Existence of a polyhedron which does not have a non-overlapping pseudo-edge unfolding
Alexey S Tarasov
存在一个凸多面体P的表面和P的一个划分为测地凸多边形的划分L，使得P没有连通的“边”展开而没有自相交（其生成树是L的边骨架的子集）。
There exists a surface of a convex polyhedron P and a partition L of P into geodesic convex polygons such that there are no connected "edge" unfoldings of P without self-intersections (whose spanning tree is a subset of the edge skeleton of L).
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Epsilon-Unfolding Orthogonal Polyhedra
多面体的展开是通过切割表面并展平为一个单一的、连接的、没有重叠的平面片（可能在边界点处除外）来产生的。确定每个多面体是否都可以展开是一个长期未解决的问题。在这里，我们证明，通过一个算法，每一个正交多面体（一个面满足直角）的亏格为零可以展开。我们的切割不一定沿着多面体的边，但它们总是平行于多面体的边。对于n个顶点的多面体，展开的部分将是矩形条，在最坏的情况下，可能需要薄到λ = 1/2 ^{Ω（n）}。
Vertex unfoldings of tight polyhedra
一个多面体沿其边的展开称为顶点展开，如果相邻的面不仅允许在边处连接，而且允许在顶点处连接。Demaine等人证明了每个三角化多面体都有一个顶点展开。我们将这个结果推广到一个紧多面体，如果所有的非三角形面是互不相邻的平行四边形，则多面体是紧的。
Source Unfoldings of Convex Polyhedra via Certain Closed Curves
我们将凸多面体P的源展开的概念扩展到基于特定类中的闭合多边形曲线Q而不是基于点。这个类要求Q在两边都“生活在一个圆锥上”;它包括简单的、封闭的准测地线。切割Q（在P中）的切割轨迹的特定子集导致多面体的非重叠展开。这给出了一种将任意凸多面体的曲面展开为简单平面多边形的新的一般方法。
Apple Peel Unfolding of Archimedean and Catalan Solids
本文提出'苹果皮展开'方法，用于生成多面体展开图。通过定义和实现程序，判断多面体是否可完全展开，并将阿基米德立体和卡塔兰立体分类为完美、可能或不可能展开。
Unfolding Genus-2 Orthogonal Polyhedra with Linear Refinement
我们发现，每个正交多面体的亏格最多2可以展开没有重叠，而只使用一个线性数量的正交切割（平行于多面体的边缘）。这是第一个关于亏格0以上的一般正交多面体展开的结果。我们的展开算法依赖于我们称之为“展开树”（与属有关）中最多2个特殊叶子的存在，因此展开属3及以上的多面体需要新技术。
Unfolding Orthogonal Polyhedra with Quadratic Refinement: The Delta-Unfolding Algorithm
我们表明，每一个正交多面体同胚的领域可以展开没有重叠，而只使用多项式许多（正交）削减。相比之下，之前最好的结果使用了指数级的切割。更准确地说，给定一个有n个顶点的正交多面体，该算法只在通过顶点的坐标平面网格与多面体相交的地方切割多面体，以及每两个这样的网格平面之间的Theta（n^2）个附加坐标平面。
Unfolding Prismatoids as Convex Patches: Counterexamples and Positive Results
我们解决未解决的问题展开prismatoids在一个新的上下文中，查看一个“无顶prismatoid”作为一个凸补丁-一个多面体子集的表面的凸多面体同胚的磁盘。我们发现，展开一个prismatoid的几个自然的策略可能会失败，但获得了积极的结果，为“花瓣展开”的无顶prismatoid。我们还表明，自然延伸到一个凸补丁组成的一个面的多面体和所有的入射面，并不总是有一个不重叠的花瓣展开。然而，我们得到了积极的结果，排除有问题的补丁。这就导致了限制性棱柱体的阳性结果。最后，我们建议研究一般的凸曲面片的开折，并提供一些可能的调查路线。
Unfolding Convex Polyhedra via Quasigeodesic Star Unfoldings
我们扩展的概念，一个明星展开的基础上一个简单的quasigodesic循环Q，而不是一个点。这给出了一个新的一般方法，展开任何凸多面体P的表面到一个简单的平面多边形：从P的所有顶点到Q的最短路径被切断，Q的所有部分，但一个部分被切断。
Overlapping Unfoldings of Cones and Convex Polyhedra
研究丢勒问题时反转目标，找到能在某点重叠到任意给定厚度的凸多面体展开。主要成果为：允许非沿边缘切割时，存在可任意厚度重叠展开的凸多面体；对任意厚度，存在边缘展开能重叠到该厚度的凸多面体。
Addendum to: Edge-Unfolding Nearly Flat Convex Caps
[O'R17]的这一补遗确定，在该论文的意义上，几乎平坦的锐角三角形凸帽可以通过在帽下添加凸多边形基底而边缘展开，即使接近多面体。
Unfolding Restricted Convex Caps
本文详细介绍了一类凸多面体的展开算法，其中每个多面体都由一个矩形底上的凸帽组成，有几个限制：帽的面是四边形的，顶点在一个底层的整数格上，并且帽的凸性是"径向单调“，这是一种光滑性约束。柯西臂引理的推广用于非重叠的证明。
Unfolding Polyhedra
从未解决的“丢勒问题”的边缘展开凸多面体的网络，我们专门化和推广（a）的类型的削减允许，和（b）多面体的形状，突出既有进展建立和哪些问题仍然开放。
Grid Vertex-Unfolding Orthogonal Polyhedra
多面体的边展开是通过沿着边切割并将面展平为一个 * 网 *（一个没有重叠的连接平面片）而产生的。一个 * 网格展开 * 允许额外的削减沿网格边缘诱导坐标平面通过每个顶点。顶点展开允许网络中的面在单个顶点处连接，而不必沿着边连接。我们证明了亏格为零的正交多面体都有网格顶点开折。（有些正交多面体不能进行顶点展开，因此需要对面进行某种类型的“网格化”。）对于任意n个顶点的正交多面体P，我们描述了一个在O（n^2）时间内对P进行顶点展开的算法。为了解释这个算法，我们提出了一个更简单的顶点展开算法，需要一个3 × 1的顶点网格细化。
Every Combinatorial Polyhedron Can Unfold with Overlap
Ghomi证明了每个凸多面体都可以通过仿射变换进行拉伸，使其具有到网的边展开[Gho 14]。网络是一个简单的平面多边形;特别是，它不会自重叠。人们可以把他的结果看作是建立了每一个组合多面体都有一个度量实现，允许展开成一个网。约瑟夫·马尔克维奇（Joseph Malkevitch）问道，是否存在一个组合多面体，使得对于R^3中的每一个度量实现P和每一个生成割树T，P被T割开后展开为一个网？在本文中，我们证明了答案是否定的：每个组合多面体都有一个实现和一个割树，它将多面体展开重叠。
Vertex-Unfoldings of Simplicial Polyhedra
我们提出了两个算法展开任何多面体的表面，所有的面都是三角形，一个不重叠的，连接的平面布局。仅沿多面体边剪切曲面。布局是连接的，但其内部可能是断开的：三角形在顶点处连接，但不一定沿边连接。
Unfolding Polycubes with Orthogonally Convex Layers
本文提出一种边缘展开算法，能将具有正交凸层的多立方体展平为单一不重叠的平面片，且切割仅沿立方体边缘进行。
Unfolding Orthogonal Terrains
它表明，每个正交地形，即，基于矩形的正交（直角）多面体具有网格展开：其表面可以通过沿着由穿过每个顶点的坐标平面定义的网格边缘切割而展开为单个不重叠的片。
Unfolding Manhattan Towers
我们提供了一个算法展开的任何正交多面体，落入一个特定的形状类，我们称之为曼哈顿塔，一个非重叠的平面正交多边形的表面。该算法沿着顶点网格的4x5x1细化的边缘切割。
Spiral Unfoldings of Convex Polyhedra
螺旋展开的凸多面体的概念，导致平坦的一种特殊类型的哈密顿割路，进行了探讨。柏拉图立体和阿基米德立体都有不重叠的螺旋展开，尽管在一般的多面体中，重叠是规则而不是例外。螺旋展开的结构进行了研究，主要是通过分析一个特殊的类，旋转多面体。
Edge-Unfolding Nearly Flat Convex Caps
本文的主要结果是证明了R^3中一个近似平坦的、锐角三角形的凸帽C在平面上有一个边展开为一个不重叠的多边形。凸帽是凸多面体的曲面与半空间的交线。“几乎平坦”意味着每个外表面范式与正交于半空间边界平面的z轴形成足够小的角度Φ。Φ的大小取决于锐度间隙α：如果每个三角形角至多为π/2-α，则Φ = 0.36 sqrt（α）就足够了;例如，当α = 3 °时，φ = 5 °。即使C通过在C下添加凸多边形底而接近于多面体，该多面体也可以边展开而不重叠。证明采用最近的概念，角度单调和径向单调曲线。证明是建设性的，导致一个多项式时间算法找到边切割，在最坏的O（n^2）;一个版本已经实现。
Some Polycubes Have No Edge Zipper Unfolding
不知道是否每个多面体（由面对面的立方体粘合而成的多面体）都有一个边展开，也就是说，沿着立方体的边切割，将多面体展开为平面上的一个不重叠的多边形。在这里，我们构造没有 * 边拉链展开 * 的多边形立方体，其中切割边被进一步限制以形成路径。
Skeletal Cut Loci on Convex Polyhedra
本文研究凸多面体上割迹位于1-骨架中的骨架割迹，证明任意组合树可实现、非退化多面体至多有限个此类点、几乎所有多面体无此性质，并给出组合限制，且此类多面体的源展开为无自交的边展开。
Unfolding Convex Polyhedra via Radially Monotone Cut Trees
引入了“径向单调”割路的概念，作为寻找凸多面体非重叠边展开的有效选择。这些路径的属性，双方的削减避免重叠的地方，因为削减是无限小的开放的曲率在顶点沿Path.It的一类平面，三角形凸域总是有一个径向单调的生成森林，森林，可以找到一个基本上贪心算法。该算法可以在3D中进行模拟，并可应用于内接于球体的多面体。虽然该算法不能证明找到一个径向单调的切割树，但它实际上找到了这样一个树，具有高频率，切割后没有重叠展开。贪心算法的这种性能导致了球面多面体总是有一个径向单调的割树并且展开时没有重叠的猜想。
Vertex-Unfoldings of Simplicial Manifolds
我们提出了一个算法展开任何三角形2-流形（特别是，任何单纯多面体）到一个非重叠，连接平面布局在线性时间。流形仅沿其边切割。生成的布局是连接的，但其内部可能是断开的;三角形在顶点处连接，但不一定沿边连接。我们扩展我们的算法，建立一个类似的结果为任意维的单纯形流形。
Continuous Blooming of Convex Polyhedra
我们构造了所有凸多面体的前两个连续blooming。一是源头展能持续绽放。其次，凸多面体的任何展开都可以被细化（进一步切割，通过线性数量的切割）以具有连续的晕染。
Star Unfolding Convex Polyhedra via Quasigeodesic Loops
我们扩展的概念是基于一个准短程线环Q，而不是一个点上的明星展开。这给出了一个新的通用方法，将任何凸多面体P的表面展开为一个简单的（不重叠的）平面多边形：沿着从P的每个顶点到Q的一条最短路径切割，并且切割Q的所有部分，除了一段。
Examples, Counterexamples, and Enumeration Results for Foldings and Unfoldings between Polygons and Polytopes
我们研究了如何通过折叠多边形并将其周边粘合关闭来制作凸多面体（多面体）的表面，以及切开多面体并将其展开为多边形的相反过程。我们从两个方向探索基本的枚举问题：给定一个多边形，有多少折叠？给定一个多面体，简单多边形有多少次展开？在全文中，我们特别注意凸多边形和正多边形。我们发现，每一个凸多边形折叠成无限多个不同的多面体，但他们的组合不同的胶合数是多项式。然而，也有简单的多边形具有指数数量的不同胶合。在相反的方向，我们表明，有一个指数的不同的切割，导致简单的展开多面体。我们建立了多面体具有凸展开的必要条件，这意味着，例如，在柏拉图立体中，只有四面体具有凸展开。我们提供了一个清单的多面体，可以展开为正多边形，表明，对于n>6，基本上只有一类这样的多面体。
Un-unzippable Convex Caps
多面体P的解压缩是通过其顶点的切割路径，该切割路径将P展开为平面中的非重叠形状。决定是否每个凸P都有解压缩是一个开放问题。在这里，我们表明，有几乎平坦的凸帽，没有unzipping。凸帽是凸多面体的“顶部”部分;它具有边界，即，它没有被底座封闭。
Ununfoldable Polyhedra with Convex Faces
将凸多面体展开为简单平面多边形是一个研究得很好的问题。本文通过研究与凸多面体具有相同组合结构的非凸多面体来研究可展开性的极限。特别地，我们给出了两个多面体的例子，一个有24个凸面，一个有36个三角形面，不能通过沿着边切割来展开。我们进一步表明，这样的多面体确实可以展开，如果削减允许跨面。最后，我们证明了具有三角形面的“开”多面体无论如何剖切都不一定是可展开的。
Polar Zonohedra Edge-Unfold to Nets
本文证明了每一个极带面体都有一个边开折成一个非重叠网。
Reshaping Convex Polyhedra
给定一个凸多面体曲面P，我们定义裁剪为从P中切除一个包含一个顶点v的简单多边形区域，并且其边界可以通过Alexandrov的胶合定理缝合到一个新的凸多面体。特别地，一个对角裁剪从P中切出一个包含v的对角，v是P的一个子集，由两个共享端点的等长测地线段限定，然后可以拉链闭合。在第一部分中，我们主要研究了凸多面体裁剪运算的性质。我们证明了P可以通过一系列的裁剪整形为conv（P）的子集的任何多面体凸曲面Q。这项研究发现了以前未探索的主题，包括将Q展开到P上的概念-将Q切成不重叠的碎片粘贴到P上，并连续地将P折叠到Q上。在这本专著的第二部分中，我们研究凸多面体的顶点合并过程（每个顶点合并在某种意义上是一个反的digon裁剪），创建嵌入到扩大的表面P。我们的目标是产生非重叠的多面体和平面展开，这使我们开发了一个显然是新的理论凸集，最小长度封闭多边形，凸多面体。我们所有的定理证明是建设性的，这意味着多项式时间算法。
Conical Existence of Closed Curves on Convex Polyhedra
设C是一个简单的，封闭的，有向曲线的表面上的凸多面体P.我们确定几个类的曲线C“生活在一个锥”，在这个意义上说，C和一个邻居的一边可能是等距嵌入表面上的一个锥λ，与顶点A的λ封闭内（图像）C;我们还证明，每个点C是“可见的”。特别是，我们得到，这些曲线在平面上有非自相交的发展。此外，我们确定的曲线，生活在圆锥体的两侧支持一种新的类型的“源展开”的整个表面的P到一个非重叠的一块，在配套文件中报告。
Tailoring for Every Body: Reshaping Convex Polyhedra
给定任意两个凸多面体P和Q，作为我们的主要结果之一，我们证明了P的曲面可以通过有限序列的“裁剪”步骤重塑为Q的一个同素异形。每一次裁剪都要在一个顶点周围切下一个三角形，然后将三角形缝合。这个结果的一个说法是，如果Q可以通过一系列具有平面的切片从P“雕刻”，那么Q可以从P裁剪。并且在某种意义上，裁剪比雕刻更精细，因为P可以裁剪成通过雕刻P无法实现的多面体。这是一个简单的推论，如果S是任何凸体的表面，则任何凸多面体P可以被定制为尽可能接近S的同素异形。因此，P可以被“削减”为例如，球面S。另一个主要结果实现了相同的整形，但通过切除更复杂的形状，我们称之为“波峰”，仍然每个包围一个顶点。把对角剪裁或顶剪裁颠倒过来，就可以证明P内的任何Q都可以通过切Q、插入和封闭曲面片而扩大到P。这些结果的一个令人惊讶的推论是，对于Q的一个子集的P，我们可以削减了Q成块，并粘贴到等距子集的P。这可以被视为一种形式的“展开”Q到P。我们所有的证明是建设性的，并导致多项式时间算法。
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