Unfolding Polyhedra
Joseph O'Rourke
从未解决的“丢勒问题”的边缘展开凸多面体的网络，我们专门化和推广（a）的类型的削减允许，和（b）多面体的形状，突出既有进展建立和哪些问题仍然开放。
Starting with the unsolved "Dürer's problem" of edge-unfolding a convex polyhedron to a net, we specialize and generalize (a) the types of cuts permitted, and (b) the polyhedra shapes, to highlight both advances established and which problems remain open.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Class of Convex Polyhedra with Few Edge Unfoldings
我们构造了一个在n个顶点上的凸多面体序列，其性质是，当n ->无穷大时，避免重叠的边展开的分数接近0，因此重叠的分数接近1。然而，每个都有（几个）不重叠的边缘展开。
Unfolding Genus-2 Orthogonal Polyhedra with Linear Refinement
我们发现，每个正交多面体的亏格最多2可以展开没有重叠，而只使用一个线性数量的正交切割（平行于多面体的边缘）。这是第一个关于亏格0以上的一般正交多面体展开的结果。我们的展开算法依赖于我们称之为“展开树”（与属有关）中最多2个特殊叶子的存在，因此展开属3及以上的多面体需要新技术。
Unfolding Convex Polyhedra via Quasigeodesic Star Unfoldings
我们扩展的概念，一个明星展开的基础上一个简单的quasigodesic循环Q，而不是一个点。这给出了一个新的一般方法，展开任何凸多面体P的表面到一个简单的平面多边形：从P的所有顶点到Q的最短路径被切断，Q的所有部分，但一个部分被切断。
Source Unfoldings of Convex Polyhedra via Certain Closed Curves
我们将凸多面体P的源展开的概念扩展到基于特定类中的闭合多边形曲线Q而不是基于点。这个类要求Q在两边都“生活在一个圆锥上”;它包括简单的、封闭的准测地线。切割Q（在P中）的切割轨迹的特定子集导致多面体的非重叠展开。这给出了一种将任意凸多面体的曲面展开为简单平面多边形的新的一般方法。
Spiral Unfoldings of Convex Polyhedra
螺旋展开的凸多面体的概念，导致平坦的一种特殊类型的哈密顿割路，进行了探讨。柏拉图立体和阿基米德立体都有不重叠的螺旋展开，尽管在一般的多面体中，重叠是规则而不是例外。螺旋展开的结构进行了研究，主要是通过分析一个特殊的类，旋转多面体。
Epsilon-Unfolding Orthogonal Polyhedra
多面体的展开是通过切割表面并展平为一个单一的、连接的、没有重叠的平面片（可能在边界点处除外）来产生的。确定每个多面体是否都可以展开是一个长期未解决的问题。在这里，我们证明，通过一个算法，每一个正交多面体（一个面满足直角）的亏格为零可以展开。我们的切割不一定沿着多面体的边，但它们总是平行于多面体的边。对于n个顶点的多面体，展开的部分将是矩形条，在最坏的情况下，可能需要薄到λ = 1/2 ^{Ω（n）}。
Unfolding Convex Polyhedra via Radially Monotone Cut Trees
引入了“径向单调”割路的概念，作为寻找凸多面体非重叠边展开的有效选择。这些路径的属性，双方的削减避免重叠的地方，因为削减是无限小的开放的曲率在顶点沿Path.It的一类平面，三角形凸域总是有一个径向单调的生成森林，森林，可以找到一个基本上贪心算法。该算法可以在3D中进行模拟，并可应用于内接于球体的多面体。虽然该算法不能证明找到一个径向单调的切割树，但它实际上找到了这样一个树，具有高频率，切割后没有重叠展开。贪心算法的这种性能导致了球面多面体总是有一个径向单调的割树并且展开时没有重叠的猜想。
Vertex unfoldings of tight polyhedra
一个多面体沿其边的展开称为顶点展开，如果相邻的面不仅允许在边处连接，而且允许在顶点处连接。Demaine等人证明了每个三角化多面体都有一个顶点展开。我们将这个结果推广到一个紧多面体，如果所有的非三角形面是互不相邻的平行四边形，则多面体是紧的。
Unfolding Orthogonal Polyhedra with Quadratic Refinement: The Delta-Unfolding Algorithm
我们表明，每一个正交多面体同胚的领域可以展开没有重叠，而只使用多项式许多（正交）削减。相比之下，之前最好的结果使用了指数级的切割。更准确地说，给定一个有n个顶点的正交多面体，该算法只在通过顶点的坐标平面网格与多面体相交的地方切割多面体，以及每两个这样的网格平面之间的Theta（n^2）个附加坐标平面。
Overlapping Unfoldings of Cones and Convex Polyhedra
研究丢勒问题时反转目标，找到能在某点重叠到任意给定厚度的凸多面体展开。主要成果为：允许非沿边缘切割时，存在可任意厚度重叠展开的凸多面体；对任意厚度，存在边缘展开能重叠到该厚度的凸多面体。
Vertex-Unfoldings of Simplicial Polyhedra
我们提出了两个算法展开任何多面体的表面，所有的面都是三角形，一个不重叠的，连接的平面布局。仅沿多面体边剪切曲面。布局是连接的，但其内部可能是断开的：三角形在顶点处连接，但不一定沿边连接。
Unfolding Orthogrids with Constant Refinement
我们定义了一类新的正交多面体，称为orthogrids，可以展开没有重叠的网格化表面的不断完善。
Grid Vertex-Unfolding Orthogonal Polyhedra
多面体的边展开是通过沿着边切割并将面展平为一个 * 网 *（一个没有重叠的连接平面片）而产生的。一个 * 网格展开 * 允许额外的削减沿网格边缘诱导坐标平面通过每个顶点。顶点展开允许网络中的面在单个顶点处连接，而不必沿着边连接。我们证明了亏格为零的正交多面体都有网格顶点开折。（有些正交多面体不能进行顶点展开，因此需要对面进行某种类型的“网格化”。）对于任意n个顶点的正交多面体P，我们描述了一个在O（n^2）时间内对P进行顶点展开的算法。为了解释这个算法，我们提出了一个更简单的顶点展开算法，需要一个3 × 1的顶点网格细化。
Star Unfolding Convex Polyhedra via Quasigeodesic Loops
我们扩展的概念是基于一个准短程线环Q，而不是一个点上的明星展开。这给出了一个新的通用方法，将任何凸多面体P的表面展开为一个简单的（不重叠的）平面多边形：沿着从P的每个顶点到Q的一条最短路径切割，并且切割Q的所有部分，除了一段。
Continuous Blooming of Convex Polyhedra
我们构造了所有凸多面体的前两个连续blooming。一是源头展能持续绽放。其次，凸多面体的任何展开都可以被细化（进一步切割，通过线性数量的切割）以具有连续的晕染。
Unfolding Restricted Convex Caps
本文详细介绍了一类凸多面体的展开算法，其中每个多面体都由一个矩形底上的凸帽组成，有几个限制：帽的面是四边形的，顶点在一个底层的整数格上，并且帽的凸性是"径向单调“，这是一种光滑性约束。柯西臂引理的推广用于非重叠的证明。
Unfolding Prismatoids as Convex Patches: Counterexamples and Positive Results
我们解决未解决的问题展开prismatoids在一个新的上下文中，查看一个“无顶prismatoid”作为一个凸补丁-一个多面体子集的表面的凸多面体同胚的磁盘。我们发现，展开一个prismatoid的几个自然的策略可能会失败，但获得了积极的结果，为“花瓣展开”的无顶prismatoid。我们还表明，自然延伸到一个凸补丁组成的一个面的多面体和所有的入射面，并不总是有一个不重叠的花瓣展开。然而，我们得到了积极的结果，排除有问题的补丁。这就导致了限制性棱柱体的阳性结果。最后，我们建议研究一般的凸曲面片的开折，并提供一些可能的调查路线。
Acutely Triangulated, Stacked, and Very Ununfoldable Polyhedra
我们提出了拓扑凸边可展开多面体的新例子，即，在组合上等同于凸多面体的多面体，但不能沿着它们的边缘切割并展开成一个平面片而不重叠。一个例子是尖锐的三角形，即，每个面都是锐角三角形。另一类例子是堆叠的，即，四面体面对面粘合的结果。这两个族都实现了另一个自然属性，我们称之为非常不可展开：对于每个$k$，都有一个例子，使得每个非重叠的多段边展开至少有$k$段。
Apple Peel Unfolding of Archimedean and Catalan Solids
本文提出'苹果皮展开'方法，用于生成多面体展开图。通过定义和实现程序，判断多面体是否可完全展开，并将阿基米德立体和卡塔兰立体分类为完美、可能或不可能展开。
Edge-Unfolding Prismatoids: Tall or Rectangular Base
我们展示了如何边展开一类新的凸多面体，特别是一类新的prismatoids（两个平行的凸多边形的凸包，称为顶部和底部），通过构建一个不重叠的“花瓣展开”在两个新的情况下：（1）当顶部和底部是足够远的彼此;（2）当底部是一个矩形和所有其他面是非钝角三角形。后一个结果扩展了O 'Rourke先前的结果，即当底边是三角形（可能是钝角）且所有其他面都是非钝角三角形时，棱柱体的花瓣展开避免了重叠。我们还说明了困难的扩展这一结果，以一般的四边形基地，给我们的技术的一个反例。
Skeletal Cut Loci on Convex Polyhedra
本文研究凸多面体上割迹位于1-骨架中的骨架割迹，证明任意组合树可实现、非退化多面体至多有限个此类点、几乎所有多面体无此性质，并给出组合限制，且此类多面体的源展开为无自交的边展开。
Reshaping Convex Polyhedra
给定一个凸多面体曲面P，我们定义裁剪为从P中切除一个包含一个顶点v的简单多边形区域，并且其边界可以通过Alexandrov的胶合定理缝合到一个新的凸多面体。特别地，一个对角裁剪从P中切出一个包含v的对角，v是P的一个子集，由两个共享端点的等长测地线段限定，然后可以拉链闭合。在第一部分中，我们主要研究了凸多面体裁剪运算的性质。我们证明了P可以通过一系列的裁剪整形为conv（P）的子集的任何多面体凸曲面Q。这项研究发现了以前未探索的主题，包括将Q展开到P上的概念-将Q切成不重叠的碎片粘贴到P上，并连续地将P折叠到Q上。在这本专著的第二部分中，我们研究凸多面体的顶点合并过程（每个顶点合并在某种意义上是一个反的digon裁剪），创建嵌入到扩大的表面P。我们的目标是产生非重叠的多面体和平面展开，这使我们开发了一个显然是新的理论凸集，最小长度封闭多边形，凸多面体。我们所有的定理证明是建设性的，这意味着多项式时间算法。
Cut Locus Realizations on Convex Polyhedra
我们证明了每一个正权树T都可以实现为凸多面体P上点x的割轨迹C（x），其中T个权匹配C（x）的长度。如果T有n个叶，则P有n+1个顶点。我们表明，实际上有一个连续的多面体P每个实现T的一些X上的P。三个主要的工具在证明中的性质的明星展开的P，亚历山德罗夫的胶合定理，和切割轨迹分区引理。从T构造P是非常简单的。
Ununfoldable Polyhedra with Convex Faces
将凸多面体展开为简单平面多边形是一个研究得很好的问题。本文通过研究与凸多面体具有相同组合结构的非凸多面体来研究可展开性的极限。特别地，我们给出了两个多面体的例子，一个有24个凸面，一个有36个三角形面，不能通过沿着边切割来展开。我们进一步表明，这样的多面体确实可以展开，如果削减允许跨面。最后，我们证明了具有三角形面的“开”多面体无论如何剖切都不一定是可展开的。
Conical Existence of Closed Curves on Convex Polyhedra
设C是一个简单的，封闭的，有向曲线的表面上的凸多面体P.我们确定几个类的曲线C“生活在一个锥”，在这个意义上说，C和一个邻居的一边可能是等距嵌入表面上的一个锥λ，与顶点A的λ封闭内（图像）C;我们还证明，每个点C是“可见的”。特别是，我们得到，这些曲线在平面上有非自相交的发展。此外，我们确定的曲线，生活在圆锥体的两侧支持一种新的类型的“源展开”的整个表面的P到一个非重叠的一块，在配套文件中报告。
Tailoring for Every Body: Reshaping Convex Polyhedra
给定任意两个凸多面体P和Q，作为我们的主要结果之一，我们证明了P的曲面可以通过有限序列的“裁剪”步骤重塑为Q的一个同素异形。每一次裁剪都要在一个顶点周围切下一个三角形，然后将三角形缝合。这个结果的一个说法是，如果Q可以通过一系列具有平面的切片从P“雕刻”，那么Q可以从P裁剪。并且在某种意义上，裁剪比雕刻更精细，因为P可以裁剪成通过雕刻P无法实现的多面体。这是一个简单的推论，如果S是任何凸体的表面，则任何凸多面体P可以被定制为尽可能接近S的同素异形。因此，P可以被“削减”为例如，球面S。另一个主要结果实现了相同的整形，但通过切除更复杂的形状，我们称之为“波峰”，仍然每个包围一个顶点。把对角剪裁或顶剪裁颠倒过来，就可以证明P内的任何Q都可以通过切Q、插入和封闭曲面片而扩大到P。这些结果的一个令人惊讶的推论是，对于Q的一个子集的P，我们可以削减了Q成块，并粘贴到等距子集的P。这可以被视为一种形式的“展开”Q到P。我们所有的证明是建设性的，并导致多项式时间算法。
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