On the curvature of a certain Riemannian space of matrices
利用Kubo-Mori内积作为黎曼度量，在正定实矩阵空间中计算了曲率张量和数量曲率.
1999-09-27 math.DG
Totally geodesic submanifolds in the manifold SPD of symmetric positive-definite real matrices
本文阐述了对称正定实矩阵流形 SPD 的几何，给出了子流形在仿射不变黎曼度量下为全测地的充要条件，定义了具有极小化性质的非线性投影，并导出了流形分解及在协方差矩阵分解中的应用。
2024-06-05 math.DG
Flat degenerate metrics and Riemannian foliations
本文针对Bandyopadhyay等人关于具有常数秩的平坦非负定度量闭流形的猜想提出反例，并探讨了该问题与横截平坦黎曼叶状结构之间的联系。
2025-01-28 math.DG
Gaussian distributions on Riemannian symmetric spaces in the large N limit
我们考虑某些黎曼对称空间上的高斯分布。与欧几里德的情况相反，计算这种分布的归一化因子是具有挑战性的，我们称之为分拆函数。在某些情况下，例如埃尔米特正定矩阵空间或双曲空间，可以使用随机矩阵理论的技术精确计算它们。然而，在大多数情况下，这是重要的应用，如空间的对称正定（SPD）矩阵或西格尔域，这是唯一可能的数字。此外，当我们考虑例如高维SPD矩阵时，用于计算分拆函数的已知算法可能变得非常慢。受理论物理概念的启发，我们将讨论如何在大$N$极限下近似分拆函数：随着基础对称空间的维数（更准确地说，是其秩）变大，这种近似变得越来越好。我们将在SPD矩阵和相关空间的情况下给出首阶项的公式。此外，我们将通过作为鞍点方程产生的奇异积分方程来表征Siegel域的大$N$极限。
2021-05-15 math.DG math.PR math.ST
Semi - Riemannian Geometry with Nonholonomic Constraints
本文研究了具有不完整约束的半黎曼流形的几何.这些流形可以被认为是次黎曼流形的类似物，其中正定度量被非退化度量取代。为了研究指数映射的性质，引入了Christoffel符号和其它微分算子.我们研究了哈密顿系统的解及其在流形上的投影。对一个特殊的具有不完整约束的半黎曼流形的例子，得到了该方程的显式表达式。
2009-01-11 math.DG math.OC
Invariant kernels on Riemannian symmetric spaces: a harmonic-analytic approach
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Université Grenoble-Alpes（格勒诺布尔大学）
本文利用调和分析证明非Euclid对称空间上的经典Gaussian核恒非正定，并以L$^p$-Godement定理给出可检验的正定充要条件。
2024-09-06 cs.LG math.DG stat.ML
On pseudo-Riemannian manifolds with many Killing spinors
设$M$是一个维数为$n$，签名为$s$的伪黎曼自旋流形，用$N$表示实旋量丛的秩。我们证明了$M$是局部齐性的，如果它允许多个${3/4}N$独立的Killing旋量具有相同的Killing数，除非$n\equiv 1 \pmod 4$和$s\equiv 3 \pmod 4$。我们还证明了$M$是局部齐次的，如果它允许$k_+$独立的Killing旋量与Killing数$λ$和$k_-$独立的Killing旋量与Killing数$-λ$，使得$k_++k_->{3/2}N$，除非$n\equiv s\equiv 3\pmod 4$。类似地，具有多于一个${3/4}N$独立\emph{conformal} Killing旋量的伪黎曼流形是\emph{conformally}局部齐次的。对于（正或负）定度量，上述结果中的界${3/4}N$和${3/2}N$可以分别放宽为${1/2}N$和$N$.进一步证明了具有多个${3/4}N$平行旋量的伪黎曼自旋流形是平坦的，并且如果度量是确定的，则${1/4}N$平行旋量是足够的.类似地，一个黎曼自旋流形有多于一个${3/8}N$ Killing旋量，且Killing数为$λ\in \bR$，则它有常曲率$4λ^2$。对于洛伦兹度规或负定度规，在有界${1/2}N$中也是如此。最后，我们给出了允许Killing旋量的（不一定完备的）黎曼流形的一…
2009-02-26 math.DG
Convexity of the distance function to convex subsets of Riemannian manifolds
得到了近法锥的一个特征，建立了黎曼流形凸子集的一个分离定理。此外，还讨论了凸子集$S$的距离函数$d_S$在$S$的边界包含测地线段、$S$的边界为$C^2$或$S$的边界不正则的情况下的凸性.进一步，建立了黎曼流形上凸函数的Hessian的半正定性的一个非光滑形式。
2018-05-06 math.DG
The geometry of mixed-Euclidean metrics on symmetric positive definite matrices
在对称正定矩阵流形上定义了几种黎曼度量和黎曼度量族。首先，我们形式化了一个定义度量族的通用过程：变形度量原理。我们最近推出的家庭的α-Procrustes度量的一般类的平均核度量提供了一个充分条件下，前者的元素属于后者。其次，重点介绍了我们最近引进的平衡双线性型原理。给出了平衡双线性型是度量的一个新的充分条件。它允许我们引入混合欧几里德（ME）度量，推广了混合幂欧几里德（MPE）度量。揭示了它们与信息几何的（u，v）-发散和（$α$，$β$）-发散的联系，并给出了Riemann曲率张量的一个显式表达式.我们表明，所有ME度量的截面曲率可以取负值，我们的实验表明，所有MPE度量的截面曲率，但对数欧几里德，幂欧几里德和幂仿射度量可以取正值。
2021-11-04 math.DG
Semi-Riemannian manifolds with linear differential conditions on the curvature
本文分析了满足曲率任意阶线性微分条件的半黎曼流形，涵盖递归曲率与对称空间等，通过显式例子证明其存在性，并探讨了洛伦兹流形与引力场物理学的联系。
2024-04-22 gr-qc math-ph math.DG
Doppler shift in semi-Riemannian signature and the non-uniqueness of the Krein space of spinors
我们给出的例子说明了这样一个事实，即不同的空间/时间分裂的切丛的半黎曼自旋流形引起的非等价规范的空间上的紧支撑部分的旋量丛，并因此，不同的完成。本文给出了两个空间/时间分裂在极大负定子空间之间用广义多普勒频移定义等价范数的充要条件。我们探讨了非交换几何程序的一些结果。
2018-06-29 math-ph math.DG math.MP
Universal kernels via harmonic analysis on Riemannian symmetric spaces
School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University（物理与数学科学学院，南洋理工大学）；Laboratoire Jean Kuntzman, Université Grenoble-Alpes（Jean Kuntzman实验室，格勒诺布尔阿尔卑斯大学）
本文通过黎曼对称空间上的调和分析建立工具，证明多个正定核的通用性，为流形值数据应用提供理论支持。
2025-06-24 cs.LG math.DG
Finsler manifolds with non-Riemannian holonomy
本文的目的是证明Finsler流形的完整性可以与黎曼流形的完整性有很大的不同。证明了维数大于2的非零常曲率正定非黎曼Finsler流形的和乐群不可能是紧李群.因此这个和乐群不会作为任何黎曼流形的和乐群出现。另外，我们给出了Heisenberg群上左不变Finsler度量的一个例子，使得它的和乐群不是（有限维）李群.这些结果肯定地回答了S. S. Chern和Z. Shen：“有没有一个Finsler流形的和乐群不是任何黎曼流形的和乐群？"
2010-01-15 math.DG
4-dimensional Riemannian manifolds with a harmonic 2-form of constant length
这是表明，如果一个紧凑的，有向的4维黎曼流形（M，g）的正截面曲率承认调和2形式的常数长度，它的交叉形式是明确的，这样的调和形式是唯一的常数倍。在本文中，我们证明了这样一个流形在较弱的曲率假设下与$\mathbb{CP}_{2}$同构，并且在$\mathbb{CP}_{2}$上的Fubini-Study度量附近存在这样一个度量的无限维模空间.我们讨论了一些条件，可以添加，以获得Fubini-Study度量的复同态和重标度。
2017-11-01 math.DG
Differential Privacy Over Riemannian Manifolds
在这项工作中，我们考虑的问题，释放一个差异私人统计摘要，驻留在一个黎曼流形。我们提出了一个扩展的拉普拉斯或K-范数机制，利用内在的距离和体积的流形上。我们还考虑详细的具体情况下，摘要是居住在流形上的数据的Fréchet平均。我们证明了我们的机制是速率最优的，并且仅取决于流形的维度，而不取决于任何周围空间的维度，同时还展示了忽略流形结构如何降低消毒摘要的效用。我们说明我们的框架在统计学中特别感兴趣的两个例子：对称的正定矩阵，这是用于协方差阵的空间，和球，它可以被用来作为一个空间建模离散分布。
2021-11-03 math.DG math.ST stat.ML
An Index Theory for Paths that are Solutions of a Class of Strongly Indefinite Variational Problems
本文证明了具有非正定度量张量的测地线（半黎曼流形）的Morse指标定理的一个推广。我们应用这个结果得到了某些流形类中连接两个固定非共轭点的测地线个数的较低估计。更具体地说，我们考虑半黎曼流形$(M,\mathfrak g)$，它允许交换Killing向量场所张成的光滑分布，并包含$\mathfrak$的最大负分布.特别地，我们得到了平稳半黎曼流形和{ \em Gödel型}流形的Morse关系。
2001-08-06 math.DG math.FA
Transversely Hessian foliations and information geometry
由$R^n$中的开域$Λ$参数化的概率分布族定义了该域上的半正定Fisher信息矩阵。在信息几何中，标准假设是Fisher信息矩阵张量是正定的，以这种方式定义了$Λ$上的黎曼度量。如果我们用一个合适的无挠联络的存在来代替“正定”假设，那么具有横海森结构的叶理自然出现。本文从横向Hessian叶理在信息几何中的应用出发，对横向Hessian叶理进行了研究。
2015-03-29 math.DG
A Transformation Theorem for Transverse Signature-Type Changing Semi-Riemannian Manifolds
Institute for Physics and Astronomy, Technical University Berlin（柏林工业大学物理与天文研究所）；Wilhelm Foerster Observatory Berlin（柏林威廉福斯特天文台）；Department of Mathematics, University of Zurich（苏黎世大学数学系）；Mathematics Department, Yale University（耶鲁大学数学系）
本文研究了横截签名类型变换半黎曼流形的变换方法，提出变换定理并证明了其全局版本，展示了诱导度量的性质。
2026-04-01 gr-qc math-ph math.DG
Modelling Anisotropic Covariance using Stochastic Development and Sub-Riemannian Frame Bundle Geometry
我们讨论了使用随机过程在光滑流形的标架丛中建立随机模型的几何基础，并将其应用于非线性数据的统计分析。在标架丛中发展的布朗运动到流形的投影的转移密度导致流形上的一族概率分布。我们解释如何数据的平均值和协方差可以被解释为点的标架丛，或更准确地说，在束对称正定2张量类似于描述欧几里得正态分布的参数。我们讨论了通过这个丛的标架丛投影映射的因式分解，标架丛的自然次黎曼结构，完整性的影响，以及满足Hormander条件使得布朗运动具有光滑转移密度的子丛的存在性.我们确定了最可能的路径为基础的欧几里德布朗运动和讨论小时间渐近的过渡密度的流形上。几何设置产生一个内在的方法来估计的均值和协方差在非线性空间。
2016-08-26 math.DG math.ST stat.TH
On second variation of Wang-Yau quasi-local energy
研究了具有非负数量曲率的紧致Riemannian 3-流形边界上的泛函。该泛函作为广义相对论中王丘准局域能的二阶变分而出现。证明了该泛函在大坐标球面上是正定的，并且在具有正质量的渐近平坦三维流形中的包含大的常中曲率球面的近似圆曲面上是正定的;在具有非负数量曲率的黎曼三维流形中的中心曲率不为零的小的测地线球面上也是正定的.我们还给出了函数H的例子，它可以任意接近常数2，在标准球面上，使得由标准球面度规和H组成的边界数据具有正的布朗约克质量，而相关的功能是负的。
2013-01-20 gr-qc math.DG
Geometries on the cone of positive-definite matrices derived from the power potential and their relation to the power means
本文研究了对称正定矩阵锥上的一个黎曼度量，它是由幂势函数$(1-\det(X)^β)/β$的Hessian得到的.在适当的条件下，我们给出了测地线和距离函数的显式表达式。在标量的情况下，两个正数之间的测地线符合加权幂平均，而对于大小至少为2的矩阵，它产生不同于文献中给出的加权幂平均的概念。由于$β$趋于零，幂势收敛到对数势，这产生了一个众所周知的度量与矩阵几何平均;我们表明，测地线和距离与幂势收敛到加权矩阵几何平均和距离与对数势，分别。
2021-12-11 math.CA math.DG
Operator-valued formulas for Riemannian Gradient and Hessian and families of tractable metrics
本文提出一种算子值公式方法，用于计算一类商流形的黎曼梯度与海森矩阵，并将其应用于斯蒂费尔流形、旗流形及固定秩半正定矩阵流形，扩展了流形优化和机器学习中可用的度量族。
2021-06-29 cs.CV cs.LG math.DG
Fisher-Rao geometry of equivalent Gaussian measures on infinite-dimensional Hilbert spaces
本文在无限维希尔伯特空间上显式描述了等价中心高斯测度的Fisher-Rao黎曼度量，证明有限维高斯密度相关几何量可自然推广，并建立了与正定单位化希尔伯特-施密特算子黎曼几何的联系。
2023-10-16 math.DG math.PR
Harmonic 2-forms and positively curved 4-manifolds
证明了具有正截面曲率的紧致黎曼4-流形若满足Kato型不等式，则它是定的。我们还讨论了一些新的见解，紧黎曼4-流形的正截面曲率。
2019-08-31 math.DG math.GT
Riemannian Metric Bundle
本文提出并严格发展黎曼度量丛理论，研究其范畴结构及其与 K-理论和流形几何不变量的联系，为理解几何、拓扑与分析之间的相互作用提供新视角。
2023-04-14 math.DG
Geodesic connectedness of semi-Riemannian manifolds
本文综述半黎曼流形测地连通性的几何与变分方法，重点梳理洛伦兹及高指标情形的技术、适用类别与可能推广。
2000-09-12 math.DG
The Intrinsic Riemannian Proximal Gradient Method for Convex Optimization
Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）；RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；Universität Potsdam（波茨坦大学）
研究哈达玛流形上的凸优化问题，提出内在凸黎曼近端梯度法，该方法在非光滑步骤使用流形近端映射，无需在嵌入或切空间操作，建立了收敛速率并推导不等式，数值实验显示其相对于现有方法有计算优势。
2026-07-28 cs.NA math.DG math.NA
Riemannian Metrics on Locally Projectively Flat Manifolds
在射影坐标变换下，只要u变换为某个线丛的一部分，表达式（-1/u）乘以u的海森变换为对称（0，2）张量。在局部射影平坦流形M上，截面u可以看作度量势，类似于Kahler几何中的局部势。若M是紧的，且u是Hessian正定的重言丛的对偶的负截面，则M射影等价于R^n中有界凸区域的商.如果M有一个u=0的边界，也是如此。这个定理类似于Schoen和Yau在局部共形平坦几何中的一个结果。证明使用仿射微分几何技术开发的郑和丘。
2001-08-30 math.DG
A Moser-Bernstein problem for Riemannian warped products
本文在黎曼扭曲积中研究Moser-Bernstein问题，求解极小超曲面方程的完整解，推广了经典欧氏空间中的结果。
2024-02-06 math-ph math.DG math.MP
Geometric properties of rotation minimizing vector fields along curves in Riemannian manifolds
本文针对Bishop提出的旋转最小化向量场未被充分研究的几何性质，分析了其在三维欧氏空间、三维双曲空间及Kähler流形三类黎曼流形中沿浸入曲线的几何特性。
2017-03-29 math.DG
Fast and Stable Riemannian Metrics on SPD Manifolds via Cholesky Product Geometry
University of Trento（特伦托大学）；Shanghai Qi Zhi Institute（上海启智研究院）；College of AI, Tsinghua University（清华大学人工智能学院）；Jiangnan University（江南大学）
本文提出两种快速稳定的SPD度量，通过Cholesky分解设计，提升SPD神经网络的计算效率和数值稳定性。
2026-02-08 cs.LG math.DG math.MG
Acceleration via silver step-size on Riemannian manifolds with applications to Wasserstein space
本文提出了一类基于向量传输选择的黎曼流形动态步长加速算法，首次在2-Wasserstein空间上给出了可证明的加速梯度方法，并在对称正定矩阵空间的基准任务上验证了其数值性能。
2025-09-20 math.DG math.OC
Geodesics in semi-Riemannian Manifolds: Geometric Properties and Variational Tools
测地线成为半黎曼流形几何的基本要素。事实上，它们与（正定）黎曼情形的异同，构成了理解半黎曼几何的第一步。在过去的二十年中取得的进展已成为令人印象深刻的，特别是有关的系统介绍（无穷维）变分方法。我们的目的是给出一个概述，从经典结果的改进更新变分设置。首先，研究了某些环境空间中测地线的若干性质（特别是完备性）。这包括启发式结构的紧凑不完整的例子，测地线在翘曲，GRW或静止时空，性质的表面和空间形式，或问题的稳定性的完整性。然后，我们研究了变分框架，并着重讨论了这种方法的两个基本问题，即测地连通性。第一个涉及一个平稳流形的变分原理，以及它最近在因果理论中的实现。第二个是关于正交分裂流形，并提供了一个合理的自足的发展，收集一些步骤，在文献中传播。
2010-03-21 gr-qc math.DG
On the $L^{r}$ Hodge theory in complete non compact riemannian manifolds
本文研究了Hodge Laplace方程$Δu=ω$在$p$形式上的解，并给出了$Δu=ω$的$\displaystyle L^{r}$估计。我们的主要假设是$Δ$在$\displaystyle L^{2}.$中存在一个谱隙，我们利用这个假设得到了非经典的$\displaystyle L^{r}$ Hodge分解定理。一个有趣的特点是，证明这些分解，我们从来没有使用的有界性的里斯变换$\displaystyle L^{s}.$这些结果是基于一个概括的提高步骤的方法，以完成非紧黎曼流形。
2017-08-16 math.CV math.DG
A Riemannian Framework for Low-Rank Structured Elliptical Models
本文提出了低秩结构椭圆模型的一种原始Riemmanian几何，即，当样本以具有低秩加单位结构的协方差阵椭圆分布时。所考虑的几何是由Stiefel流形和Hermitian正定矩阵流形的乘积所诱导的几何，由酉群表示。主要贡献之一是考虑一个原始的黎曼度量，导致新的表示切空间和测地线。从这个几何，我们得到一个新的黎曼优化框架的鲁棒协方差估计，这是利用最小化流行的泰勒的费用函数上考虑商流形。我们还得到了一个新的发散函数，利用它定义了商的几何误差测度，并得到了相应的内禀Cramér-Rao下界.由于所选择的参数化的结构，我们进一步考虑了格拉斯曼流形上的子空间估计误差，并提供其内在的Cramér-Rao下界。我们的理论结果说明了一些数值实验，显示所提出的优化框架的兴趣和性能界限可以达到。
2020-01-04 math.DG
Application of gradient descent algorithms based on geodesic distances
School of Science, Dalian Jiaotong University（大连交通大学理学院）；School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）；Waseda Institute for Advanced Study, Waseda University（早稻田大学高等研究院）
本文将黎曼梯度算法和自然梯度算法应用于正定Hermitian矩阵流形上的下降方向问题，考虑测地距离作为成本函数，解决正定Hermitian矩阵系统的控制问题以及计算Toeplitz正定Hermitian矩阵的Karcher均值。
2019-04-05 cs.NA math.DG math.NA
Determination of the metric from the connection
众所周知，流形上的度量确定了唯一的对称联络，该联络的度量是平行的：列维-奇维塔联络。在本文中，我们调查的反问题：在何种程度上是度量的黎曼流形确定其Levi-Civita连接？证明了对于度量$h$的一般Levi-Civita联络，存在一组半正定张量场$h_{a}$，使得平行度量是$h_{a}$的正定线性组合.此外，所有并行度量的集合可以通过soley代数过程来构造。
2008-04-05 math-ph math.DG math.MP
Curvature homogeneous spacelike Jordan Osserman pseudo-Riemannian manifolds
让我们至少2。我们构造了签名为（2s，s）的Ricci平坦伪黎曼流形，它不是局部齐次的，但它的曲率张量仍然表现出一些重要的对称性质.它们是曲率齐次的，它们的曲率张量是在局部对称空间上建模的。它们是具有3阶幂零Jacobi算子的类空Jordan Osserman;它们不是类时Jordan Osserman。它们是$2\le k\le s$的k-类空高阶Jordan Osserman;它们是$s+2\le k\le 2s$的k-类时高阶Jordan Osserman;它们不是$2\le s\le s+1$的k-类时高阶Jordan Osserman。
2003-10-05 math-ph math.DG math.MP
