Schubert geometry and combinatorics
Alexander Woo, Alexander Yong
本章结合舒伯特曲式的介绍和研究概况。我们的主题是组合分类他们的奇点使用家庭的多项式理想产生的决定因素。
This chapter combines an introduction and research survey about Schubert varieties. The theme is to combinatorially classify their singularities using a family of polynomial ideals generated by determinants.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Schubert Varieties, Linear Codes and Enumerative Combinatorics
我们考虑线性纠错码与定义在有限域上的高维投影簇。确定这类码的基本参数的问题往往会导致组合数学和代数几何中一些有趣而困难的问题。这是说明了代码相关的舒伯特品种在格拉斯曼，所谓的舒伯特码，最近已经研究。这些码的长度、维数和最小距离等基本参数只有在特殊情况下才知道。最小距离的上界是已知的，并且证明该上界是实现的。给出了任意Schubert码的长度和维数的显式公式，并证明了与Schubert因子相关的码的最小距离猜想是肯定的。
String cone and Superpotential combinatorics for flag and Schubert varieties in type A
我们研究组合的伪线安排和它们的关系的几何旗和舒伯特品种。我们关联到每个伪线安排两个多面体锥，定义在一个双重的方式。我们证明了其中之一是Littelmann和Berenstein-Zelevinsky的加权弦锥。对于另一个，我们展示了它是如何出现在框架内的集群品种和镜像对称的格罗斯-哈克-基尔-Kontsevich：旗品种的锥是热带化的超势，而舒伯特品种的限制的超势是必要的。我们证明了这两个锥是单模等价的。作为我们的组合结果的推论，我们实现了卡尔德罗的复曲面退化舒伯特品种GHKK退化集群理论。
Combinatorics of semi-toric degenerations of Schubert varieties in type C
本文利用带自相交的pipe dream为C型辛Gelfand-Tsetlin多面体的Schubert类推广引入组合模型，并证明该推广可由斜有丝分裂算子构造。
Coxeter combinatorics and spherical Schubert geometry
对于有限Coxeter系统和它的图节点的子集，我们定义球形元素（Coxeter元素的推广）。在猜想上，对于外尔群，球元在旗流形G/B中的Schubert簇的指标是，对于Levi子群的作用是球的。我们的证据的猜想，采用Demazure模块的组合学，和R。阿夫季耶夫-A Petukhov，M.坎河霍奇斯河Hodges-V. Lakshmibai，P. Karuppuchamy，P. Magyar-J. Weyman-A. Zelevinsky，N. Perrin，J. Stembridge，and B.十块在类型A中，我们与A的关键多项式建立联系。拉斯科- M.- P. Schützenberger，multiplicity-freeness，and split-symmetry in algebraic combinatorics.因此，我们援引A. Kohnert，V. Reiner-M. Shimozono和C.罗斯A永
The geometry and combinatorics of Springer fibers
这篇综述论文介绍了施普林格纤维，它是最早的几何表示的例子之一。我们将把它们与舒伯特簇进行比较和对比，舒伯特簇是旗簇的另一个子簇族，在表示论和组合学中起着重要作用，但其几何在许多方面更简单。文章最后介绍了施普林格纤维与舒伯特变体的联系方式，以及存在的问题。
On combinatorics of quiver component formulas
布赫和富尔顿证明了在他们的公式中出现的一个簇的非负系数。Knutson，Miller和Shimozono证明了这个猜想，作为他们“分量公式”的直接结果。我们提出了一个替代证明的分量公式，通过替代组合学的Grobner退化。我们涉及的组件公式的工作Buch，Kresch，Tamvakis和作者在那里的“分裂”的公式舒伯特多项式的系数方面获得。我们证明类似物的这后一个结果的类型BCD-舒伯特多项式的比利和海曼。
Gröbner geometry of Schubert polynomials through ice
舒伯特多项式的几何自然性和它们的组合白日梦表示是由Knutson和Miller（2005）通过矩阵舒伯特簇的反对角Gröbner退化建立的。我们考虑对角Gröbner退化。在这种对偶的情况下，Knutson，Miller，and Yong（2009）得到了“vexillary”矩阵Schubert簇类的替代组合学。我们开始研究一般的对角退化，将它们与Lascoux（2002）在$6$ -顶点冰模型方面被忽视的公式联系起来（最近由Lam，Lee和Shimozono（2018）以“无颠簸的管道梦想”的名义重新发现）。
Diagonal degenerations of matrix Schubert varieties
Knutson和Miller（2005）建立了矩阵舒伯特簇的反对角Gröbner退化与先前存在的白日梦组合学之间的联系。他们利用这种对应关系给出了一个几何上自然的解释，解释了组合定义的舒伯特多项式作为舒伯特类的代表。最近，Hamaker，Pechenik和Weigandt（2022）提出了矩阵舒伯特簇的对角退化与无扰白日梦之间的类似联系，Lam，Lee和Shimozono（2021）介绍了较新的组合对象。Hamaker、Pechenik和Weigandt描述了矩阵Schubert簇的定义理想的新生成集，并描述了这些生成集形成对角Gröbner基的置换的特征。他们证明了这一猜想的特殊情况，并在这些情况下描述了矩阵舒伯特品种的对角退化。本文的目的是充分一般地证明这个猜想。该证明使用了Rajchgot（2021）早期工作中建立的联络和几何顶点分解之间的联系。
Billey's formula in combinatorics, geometry, and topology
在这篇简要的论文中，我们描述了一个强大的组合公式及其在几何，拓扑和代数中的含义。这个公式最早出现在安徒生、詹岑和索尔格尔的一本书的附录中。萨拉·比利在五年后独立发现了它，它在她评估与舒伯特多项式密切相关的某些多项式的工作中发挥了重要作用。比利公式涉及舒伯特微积分的许多部分：舒伯特簇的几何，环面对旗簇的作用，关于置换的组合数据，旗簇和舒伯特簇的上同调，以及根系的组合学（置换的广义反演）。在组合上，Billey公式描述了外尔群的元素对的不变量。从表面上看，这个公式是由一个固定词的子词构建的词根组合。正如我们将看到的，它还有更深层次的几何和拓扑意义：（1）它告诉我们每个舒伯特簇中每个置换标志处的切空间。(2)它告诉我们舒伯特簇中的奇点。(3)它告诉我们Kostant多项式的值。Billey公式也反映了GKM理论的一个方面，它是一种仅从关于簇中的环面不动点的信息来描述簇的环面等变上同调的方法。本文还将描述一些应用的比利公式，包括具体的组合描述比利公式在特殊情况下，以及如何引导比利公式来描述等变上同调的旗簇的子簇GKM理论不适用。
Castelnuovo-Mumford regularity and Schubert geometry
研究了Schubert簇切锥的Castelnuovo-Mumford正则性。关于这个统计量的猜测，这些都证明了covexillary的情况下。这是基于L的工作。李和作者对这些切锥，以及J. Rajchgot-Y。伦-C罗比绍-A圣迪济耶-A Weigandt和J. Rajchgot-C.罗比绍-A Weigandt关于计算某些矩阵Schubert簇的正则性的表规则。
On Schubert varieties of complexity one
设$B$是$\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$的博雷尔子群，$\mathbb{T}$是包含在$B$中的极大环面.则$\mathbb{T}$作用在$\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})/B$上，并且每个Schubert簇是$\mathbb{T}$ -不变的.我们称Schubert簇具有复杂性$k$，如果$X_w$中的极大$\mathbb{T}$ -轨道具有余维数$k$ .在本文中，我们讨论了拓扑学，几何学和组合学有关的舒伯特簇的复杂性。
Which Schubert varieties are local complete intersections?
该研究通过模式规避刻画GL_n的局部完全交舒伯特簇，给出其单位元邻域的极小方程，发展由包含定义的舒伯特簇的组合学，应用于Kostant多项式公式及上同调环表示。
Degrees of P-Grothendieck polynomials and regularity of Pfaffian varieties
本研究利用移位杨表组合数学证明P-Grothendieck多项式次数公式，结合已有结果得到vexillary斜对称矩阵Schubert簇的Castelnuovo-Mumford正则性上界，还得到Grassmannian相关多项式次数与簇正则性的新公式。
Cohomology of line bundles on Schubert varieties in the Kac-Moody setting
本文利用外尔群组合学给出了Kac Moody集下线丛的非零上同调模的顶最大和顶最小指标.我们还证明了一个满射定理。
The arc space of the Grassmannian
本文从Schubert簇的奇异性出发，研究Grassmannian弧空间。我们的主要工具是弧空间的格拉斯曼分解，类似于Schubert胞腔剖分的格拉斯曼本身。正如舒伯特单元的组合学是由分区控制的，弧空间中的组合学是由平面分区（有时也称为3d分区）控制的。对分解中的块的几何分析和对平面划分的组合分析的组合导致奇点的不变量。作为一个应用，我们减少了对数正则阈值对涉及舒伯特品种的计算一个简单的线性规划问题。我们还研究了舒伯特品种的纳什问题，表明在这种情况下，纳什映射总是双射的。
Equivariant cohomology, Schubert calculus, and edge labeled tableaux
本章主要讨论由H.托马斯和第三作者。它被用来模拟Grassmannian的等变Schubert演算。我们从组合数学、代数和辛几何、线性代数和计算复杂性方面综述了结果、问题、结构及其影响。我们报告一个新的移动模拟的边缘标记tableaux。从理论上讲，这给出了D.安德森-W。Fulton环，它与各向同性Grassmannian的等变上同调有关.
Small resolutions of minuscule Schubert varieties
本文一方面利用箭图上的组合数学描述了极小Schubert簇X的所有相对极小模型Y，证明了Y到X的态射是小的（在交上同调意义下）.另一方面，由于B. Totaro，极小Schubert簇X的任何小分辨率Z必须是X的相对极小模型。所以X容许小分辨率当且仅当存在X的光滑相对极小模型Y。我们给出了Y光滑的一个组合判据，用这种方法描述了X的所有小分辨率。我们还使用弦多项式和相对的典范模型，以另一种方式告诉当一个极小的舒伯特品种承认一个小的决议。
Following Schubert varieties under Feigin's degeneration of the flag variety
我们描述了费金的平坦退化的类型$\textrm{A}$旗品种的影响，其舒伯特品种。特别是，我们研究时，他们保持不可约的，在几种情况下，我们能够编码还原退化的对称群组合。作为一个副结果，我们得到了一些Schubert品种与Richardson品种在高阶部分旗品种的鉴定。
Hilbert functions of points on Schubert varieties in Orthogonal Grassmannians
给出了以下问题的解决方案：如何计算在正交格拉斯曼中的舒伯特簇上的点处的重数，或更一般地计算希尔伯特函数。应用标准单项式理论将问题从几何转化为组合数学。由此产生的组合问题的解决方案形成了大部分的文件。这种方法已经遵循早先解决同样的问题的格拉斯曼和辛格拉斯曼。作为一个应用，我们提出了一个解释的多重性的数量不相交的格子路径的某种。以舒伯特簇是一种特殊的类型和点是“单位陪集”，我们的问题专门的问题Pfedian理想治疗的不同方法存在于文献中。在文献中也可得到当点是“一般奇点”时的几何解。"
Elliptic classes on Langlands dual flag varieties
Schubert簇的特征类可以用来研究齐性空间的几何和组合学。证明了广义满旗簇上的Schubert簇的椭圆类与其Langlands对偶上的Schubert簇的椭圆类之间的关系。这种新的对称性只有在舒伯特演算从上同调或K理论提升到椭圆水平时才能揭示出来。
Variations on a Theme of Schubert Calculus
在本教程中，我们提供了舒伯特微积分的许多已建立的组合和代数工具的概述，舒伯特微积分是枚举几何的现代领域，它包含了涉及线性空间交叉的各种主题。它的目的是作为一个指导读者与组合弯曲理解和欣赏舒伯特微积分的几何和拓扑方面，并反过来为几何头脑的读者获得熟悉的相关组合工具在这一领域。我们带领读者通过一个主题的三个变化之旅：格拉斯曼，旗品种，正交格拉斯曼。正交格拉斯曼，不像普通格拉斯曼和标志品种，尚未解决的教科书中经常，所以这个介绍可能是有帮助的介绍B型舒伯特演算。这项工作是改编自作者的课堂笔记，为研究生研讨会期间的等变组合数学研讨会在数学研究中心，蒙特利尔，2017年6月12日至16日。
Schubert polynomials and classes of Hessenberg varieties
正则半单Hessenberg簇是旗簇的一族子簇，出现在数论、数值分析、表示论、代数几何和组合学中。给出了正则半单Hessenberg簇类用Chern类表示的Giambelli公式。事实上，我们表明，上同调类的每一个经常半单Hessenberg品种是特定的双舒伯特多项式的特殊化，给这样的特殊化一个自然的几何解释。我们还分解这样的类的Schubert基础的上同调环的标志品种。得到的系数是非负的，我们给出了封闭的组合公式的系数在许多情况下。我们引入了一个密切相关的家庭计划称为定期幂零Hessenberg计划，并使用我们的结果来确定当这些计划减少。
A positive formula for type $A$ Peterson Schubert calculus
Peterson簇是在量子上同调、表示论和组合学研究中出现的特殊幂零Hessenberg簇。在类型$A$中，彼得森簇$Y$是完全标志簇$Fl(n; \mathbb C)$的子簇，并且在$T$的子群$S\cong \mathbb C^*$的作用下不变，其中$T$是作用于$Fl(n; \mathbb C)$的标准（非紧）环面。利用Harada和Tymoczko通过将一组特定的Schubert类从$H_T^*(Fl(n; \mathbb C))$限制到$H_S^*(Y)$而引入的Peterson Schubert基，我们描述了等变上同调$H_{S}^*(Y)$的乘积结构.特别是，我们表明，该产品是明显的积极在适当的意义上，通过提供一个明确的积极的组合公式，其结构常数。我们的方法需要一个新的组合身份的二项式系数，推广范德蒙的身份。
A Robinson-Schensted Correspondence for Partial Permutations
我们研究了与矩阵Schubert簇相关的Steinberg簇，并建立了Robinson-Schensted型对应关系$τ\leftrightarrow(Λ,\mathsf Q,\mathsf P)$ .这里，$τ$是大小为$p\times q$的部分置换，$Λ$是大小为$p+q$的可容许的带符号杨氏图，而$\mathsf P$（分别为$\mathsf Q$）大小为$p$的标准Young工作表（分别$q$），其形状由$Λ$确定。通过将矩阵Schubert簇嵌入到Schubert簇中，我们发现了经典Robinson-Schensted-Knuth对应的组合数学与我们的双射之间的密切关系。我们还证明了对合$(Λ,\mathsf Q,\mathsf P)\mapsto(Λ^\vee,\mathsf P,\mathsf Q)$对应于矩阵Schubert簇上的投影对偶。
Gröbner geometry for skew-symmetric matrix Schubert varieties
矩阵Schubert簇是$B\times B$作用于所有$n\times n$矩阵的轨道的闭包，其中$B$是可逆下三角形矩阵的群.扩展工作富尔顿，克努森和米勒确定了Gröbner基础的素理想这些品种。他们还证明了相应的初始理想是可壳单纯复形的斯坦利-莱斯纳理想，并导出了一个相关的准素分解。这些结果导致的几何证明的比利-Jockusch-斯坦利公式的舒伯特多项式，在许多其他应用。我们定义反对称矩阵Schubert簇为矩阵Schubert簇与反对称矩阵子空间的非空交。与Knutson和Miller的工作类似，我们描述了这些簇的素理想的自然生成集。然后我们计算一个相关的Gröbner基。利用这些结果，我们确定了一个准素分解相应的初始理想涉及某些fpf-对合白日梦。我们证明这些初始理想同样是可壳单纯复形的Stanley-Reisner理想。作为应用，给出了辛Grothendieck多项式显式母函数的一个几何证明。我们的方法不同于克努森和米勒的，可以用来给他们的一些结果的新的证明，因为我们解释在这篇文章的结尾。
Algebra and geometry of ASM weak order
该研究将ASM上的弱布鲁哈特序与代数几何结合，刻画了ASM簇的余维数，证明弱序算子与K理论差分算子可交换且满足特定导数公式，并将结果推广至矩阵舒伯特簇的任意并。
Bumpless pipe dreams encode Gröbner geometry of Schubert polynomials
本文证明无碰撞管道梦可按对角项序为矩阵 Schubert 簇的对角 Gröbner 退化不可约分量索引，证实相关猜想并确立其与经典管道梦的对偶几何地位。
Geometry of Peterson Schubert calculus in type A and left-right diagrams
本文通过构造Peterson簇上同调环的几何加法基，从几何角度解释结构常数正性并给出正组合公式，同时证明该基与Harada-Tymoczko基一致。
Gröbner geometry of Schubert polynomials
我们的主要定理提供了一个单一的几何设置，其中多项式代表的Schubert类的标志流形的积分上同调环是唯一确定的，并有积极的几何原因的系数。这导致舒伯特多项式及其相关组合学的自然性的几何解释。给定S_n中的一个置换w，我们考虑一个行列式理想I_w，它的生成元是一般n × n矩阵（充满自变量）中的某些子式.利用“多重度”作为向量空间上环面等变上同调类的简单代数替代，我们的主要定理对每个理想I_w描述了：-用普通和双重Schubert和Grothendieck多项式表示的各种分次多重度和Hilbert级数; -由一般n × n矩阵中的子式组成的Gröbner基;- S_n中初始理想的Stanley-Reisner复形;和-一个程序归纳弱Bruhat秩序列出这一复杂的方面，从而通过组合图上的正递归生成舒伯特多项式的系数。我们证明了初始理想是Cohen-Macaulay，通过将Stanley-Reisner复形确定为一种特殊的“Sn中的子字复形”，我们对任意Coxeter群定义了它，并通过给出一个显式的顶点分解证明了它是可壳的.我们还几何地证明了一个一般的积极性声明的多程度的子计划。
Frobenius splitting and geometry of $G$-Schubert varieties
设$X$是连通约化群$G$在正特征的代数闭域$k$上的等变嵌入.令$B$表示$G$的Borel子群。$X$中的$G$-舒伯特簇是$\diag(G) \cdot V$形式的子簇，其中$V$是$X$中的$B \times B$-轨道闭包.在$X$是一组伴随型的奇妙紧化的情况下，$G$-舒伯特簇是Lusztig的$G$-稳定片的闭包。我们证明了$X$允许Frobenius分裂，它与所有$G$-Schubert簇相容.此外，当$X$是光滑的、投射的和环面的时，则$X$中的任何$G$-Schubert簇都允许沿着一个充分因子的稳定Frobenius分裂.虽然这表明$G$-舒伯特品种有很好的奇异性，我们提出了一个例子，一个非正常的$G$-舒伯特品种的精彩紧化的一组类型$G_2$。最后，我们还扩展了Frobenius分裂的结果，更一般的类的$\mathcal R$-舒伯特品种。
Intersections of Schubert varieties and other permutation array schemes
使用组合学和几何学的混合，我们给出了一个算法代数发现所有的标志在任何零维交叉的舒伯特品种相对于三个横向标志，更一般地说，任何数量的标志。特别地，三重交中的旗数也是旗流形的上同调环的结构常数。我们的算法是基于解决有限数量的行列式方程为每个路口（远少于天真的方法）。这些方程可用于计算舒伯特簇的交的伽罗瓦群和单值群。我们能够通过使用埃里克森和Linusson的置换阵列，以及它们的置换阵列品种，作为舒伯特品种的推广来限制方程的数量。我们表明，存在一个唯一的置换阵列对应于每个可实现的舒伯特问题，并给出了一个简单的递归计算相应的秩表，特别是一个简单的标准Littlewood-Richardson系数为0。我们描述了Eriksson和Linusson的置换数组品种（存在性，不可约性，等维性和简化方程）的病理，并定义了更自然的置换数组计划。特别地，我们给出了基于经典射影几何的可实现性猜想的几个反例。最后，我们给出的例子伽罗瓦/monodromy组实验似乎是小于预期。
Local models of Shimura varieties, I. Geometry and combinatorics
我们调查志村品种的本地模式的理论。特别是，我们讨论了它们的定义，并举例说明。我们给出了一个概述的结果，在过去的15年中获得的几何和组合。我们还展示了他们的连接到其他类的代数簇，如幂零轨道闭包，仿射舒伯特品种，Grassmannians和美妙的对称空间的完成。
Schubert slices in the combinatorial geometry of flag domains
旗域是实半单李群在其复化旗流形上的开轨道。某些群理论定义的紧致复子流形被视为圈，它们的复几何性质和表示论性质具有基本的重要性。已知存在最优舒伯特簇，它们在许多点上与圈横向相交，特别是在同调中确定它们。在这里，我们给出了精确的描述，这些舒伯特品种的某些子集的外尔群，并计算其总数的所有实形式的SL（n，C）。此外，我们给出了明确的描述的交点的标志和他们的数量。
Monodromy and K-theory of Schubert curves via generalized jeu de taquin
我们建立了一个组合连接之间的真正的几何和$K$ -理论的复舒伯特曲线$S(λ_\bullet)$，这是一维的舒伯特问题定义的标志密切的有理正态曲线。在以前的论文中，第二作者表明，真正的几何这些曲线所描述的轨道的地图$ω$对斜tableaux，定义为换向器的jeu德taquin整流和促进。特别地，舒伯特曲线的实轨迹自然是$\mathbb{RP}^1$的覆盖空间，其中$ω$作为单值算子。我们提供了一个本地算法计算$ω$没有纠正的歪斜表，并表明，在我们的算法中的某些步骤是在双射对应Pechenik和杨的基因组表，列举了$K$理论Littlewood-Richardson系数与舒伯特曲线。然后，我们给纯粹的组合证明的几个数值结果涉及$K$ -理论和真正的几何$S(λ_\bullet)$。
Gröbner geometry for regular nilpotent Hessenberg Schubert cells
本文研究 A 型正则幂零 Hessenberg Schubert 胞腔，通过给出定义理想的极小 Gröbner 基，证明其完全交、几何顶点可分解并计算 Hilbert 级数，还构造相容 Frobenius 分裂。
Grassmannians, flag varieties, and Gelfand-Zetlin polytopes
这些是2013年4月在莫里斯·奥斯兰德杰出讲座和国际会议（伍兹霍尔，MA）上发表的演讲的扩展笔记。他们的目的是给一个介绍到舒伯特演算的格拉斯曼和旗品种。我们讨论舒伯特演算的各个方面，如应用到枚举几何，结构的上同调环的格拉斯曼和旗品种，舒尔和舒伯特多项式。最后，我们调查的结果V.Kiritchenko，V.Timorin和作者的一个新的方法，舒伯特演算的全旗品种通过组合的Gelfand-Zetlin多面体。
On the Birational Geometry of Schubert Varieties
利用Mori梦空间结构对（余）极小Schubert簇的所有Q-因子分解进行了分类.作为推论，我们得到的所有IH-小决议的（共）极小舒伯特品种的描述推广Perrin的结果。我们改进了他的结果，包括代数闭域的积极特征和cominuscule舒伯特品种。此外，使用Q-因子分解和Mori梦空间大大简化了论证。
Consequences of the Lakshmibai-Sandhya Theorem: the ubiquity of permutation patterns in Schubert calculus and related geometry
1990年，Lakshmibai和Sandhya发表了一个关于旗流形中奇异舒伯特簇的刻画，使用了模式回避的概念。这是第一次使用模式回避来表征舒伯特变种的几何性质。他们的研究结果与海曼、瑞安和沃尔珀的研究成果密切相关，但拉克什米拜-桑德亚是第一个完全使用这种语言的人。排列中的模式避免在历史上被Knuth，Pratt，Tarjan和其他人在20世纪60年代和70年代用来描述计算机科学中的排序算法。Lascoux和Sch $\text{ü}$ tzenberger在20世纪80年代也使用模式回避来表征vexillary排列。现在，有许多舒伯特簇的几何性质使用模式避免作为表征方法，包括Gorenstein，阶乘，局部完全相交和Kazhdan-Lusztig多项式的性质。这些就是我们所说的拉克什米拜-桑德亚定理的推论。我们调查了许多美丽的结果，概括，并在这方面仍然存在的问题。我们强调的优势，使用模式避免特征的线性时间算法和易于访问的文献，通过特纳的数据库的排列模式避免。本调查基于第二作者在2012年日本大坂为日本数学学会暑期学校举办的以舒伯特微积分为主题的讲座。
Schubert polynomials, the Bruhat order, and the geometry of flag manifolds
我们阐明了对称群上的Bruhat阶与旗流形上同调的结构常数（Littlewood-Richardson系数）之间的关系.等价地，变量多项式环$x_1,x_2,...$的结构常数根据其基础的舒伯特多项式。我们使用组合，代数和几何方法，特别是研究的交叉点的舒伯特品种和旗形之间的映射。我们在这些结构常数之间建立了一些新的恒等式。这导致公式的一些这些常数和新的结果枚举链的Bruhat秩序。从这些调查中产生一个新的分次偏序的对称群，其中包含杨氏格。我们还推导出公式的某些专业化的舒伯特多项式。
Theta and eta polynomials in geometry, Lie theory, and combinatorics
经典Schur多项式形成对称多项式环的自然基，并且具有几何意义，因为它们表示Grassmannian的上同调环中的Schubert类。此外，这些多项式享有丰富的组合性质。在过去的十年中，一个精确的类似物已经出现在辛和正交李型，舒尔多项式取代布赫，Kresch和作者的theta和eta多项式。这篇简要的论文给出了一个概述什么是已知的日期有关这种对应关系，与例子。
Applications of Algebraic Combinatorics to Algebraic Geometry
本文阐述了代数几何中的一些新结果，并概述了它们从代数组合学中定理2.12的推导。
Monodromy and $K$-theory of Schubert Curves via Generalized Jeu de Taquin
我们建立了一个组合连接之间的真正的几何和$K$ -理论的复舒伯特曲线$S(λ_\bullet)$，这是一维的舒伯特问题定义的标志密切的有理正态曲线。在以前的论文中，第二作者表明，真正的几何这些曲线所描述的轨道的地图$ω$对斜tableaux，定义为换向器的jeu德taquin整流和促进。特别地，舒伯特曲线的实轨迹自然是$\mathbb{RP}^1$的覆盖空间，其中$ω$作为单值算子。我们提供了一个快速的，本地的算法计算$ω$没有纠正的歪斜表，并表明，在我们的算法中的某些步骤是在双射对应Pechenik和杨的基因组表，列举了$K$理论Littlewood-Richardson系数与舒伯特曲线。使用这种双射，我们给纯粹的组合证明的几个数值结果涉及的$K$ -理论和真正的几何$S(λ_\bullet)$。
The geometry of zonotopal algebras II: Orlik--Terao algebras and Schubert varieties
本文构造了内部带状代数与 Gale 对偶线性空间的约化 Orlik--Terao 代数之间的完美配对，证明了一个相关猜想，并通过 Schubert 簇上层截面的 Macaulay 逆系统解释及等变预解构造了联系内外带状代数的正合序列。
The geometry of quasisymmetric coinvariants
本文在前期拟对称舒伯特多项式研究基础上，构建舒伯特环的拟对称类比，并由此给出拟对称余不变量环的自然几何解释。
Schubert curves in the orthogonal Grassmannian
我们发展了一个组合规则来计算正交Grassmannian $\mathrm{OG}_n$中的B型Schubert曲线$S(λ_\bullet)$的实几何，这是关于正交旗密切有理正态曲线定义的一维Schubert问题。我们的结果是以前只在A型中已知的结果的自然类似物。首先，利用B型Wronski映射，证明Schubert曲线的实轨迹到$\mathbb{RP}^1$有一个自然覆叠映射，并将单值算子$ω$定义为半标准表上的jeu de taquin校正与提升的交换子.然后，我们介绍了两种不同的算法来计算$ω$没有纠正的倾斜表。第一个使用最近开发的移位画面晶体算子，而第二个使用本地开关很像jeu de taquin。切换算法进一步计算舒伯特曲线的K理论系数：其不相邻的开关精确地枚举Pechenik和Yong的移位基因组表。与K理论的联系也使我们对这些曲线的复杂几何形状有了部分的了解。
Enumerative geometry meets statistics, combinatorics and topology
我们解释了几个先验无关的数学领域之间的联系：组合数学，代数统计，拓扑学和枚举代数几何。我们的重点是离散不变量，密切相关的洛伦兹多项式的理论。加入上述领域的主要概念是矩阵的线性空间。
Enumerating indices of Schubert varieties defined by inclusions
通过扩展网格类的概念，包括无限网格，我们建立了一个简单的排列在Av（4231，35142，42513，351624），一个模式类，其中有三个不同的连接与代数几何，包括指定的指标定义的舒伯特品种的包含物的结构特征。这种特征化导致了类的枚举。
Minuscule Schubert varieties: Poset polytopes, PBW-degenerated Demazure modules, and Kogan faces
本文研究了偏序集族及其相关的链多面体和序多面体。我们确定的顺序多面体作为一个最大的Kogan面对Gelfand-Tsetlin多面体的倍数的基本重量。我们证明了这样的Kogan面的特征标等于出现在具有基本权的最高权倍数的$\mathfrak{sl}_n$的不可约表示中的Demazure模的特征标，并且对于任何这样的Demazure模都存在相应的偏序集和相应的极大Kogan面.我们证明了链多面体parametrizes一个单项基础的相关PBW分次Demazure模块，并进一步，Demazure模块是一个有利的模块，例如有趣的几何性质是由组合学的凸多胞体。因此，我们得到了任何极小的舒伯特簇平坦退化到一个环面投射簇，这是投射正常的和算术Cohen-Macaulay。给出了外尔群元上的一个充要条件，使得链多胞形的复曲面簇与序多胞形的复曲面簇同构.
Free resolutions of some Schubert singularities
本文构造了仿射空间的某类闭子簇（即所谓的格拉斯曼“对向大胞腔”）的自由分解.我们的类涵盖了行列式簇，它的分解首先由A。Lascoux（高级数学，1978年）。我们的方法使用舒伯特品种的几何。一个有趣的方面，我们的工作是它的连接到计算的上同调的齐次丛（不一定是完全可还原的）的部分旗品种。
The Springer Geometry of Specht Polynomials and Schubert cycle positivity for two row Springer fiber components
研究 A 型施普林格表示在完全旗簇同调中的几何实现，通过斯佩特多项式等进行一系列正展开，解决两行纤维的施普林格问题，证明相关猜想并识别施普林格基与网基，还推导了旗簇泊松退化轨迹分量的舒伯特圈展开。
Quantum multiplication of Schur polynomials
我们给出了Grassmannian量子上同调环中Schubert簇类的乘积的公式，根据分区和tableaux的组合学。
Lectures on the geometry of flag varieties
这些笔记是我在巴拿赫中心迷你学校“舒伯特品种”在华沙，2003年5月18日至22日讲座的书面版本。他们的目的是给一个自我包含的阐述一些几何方面的舒伯特演算。
The special Schubert calculus is real
我们表明，舒伯特演算枚举几何是真实的，特殊的舒伯特条件。也就是说，对于任何这样的枚举问题，都存在所有先验复解都为实的真实条件。
Nilpotent varieties in symmetric spaces and twisted affine Schubert varieties
我们将扭仿射格拉斯曼空间中的Schubert簇的几何与对称空间中的幂零簇联系起来。这推广了Achar-Henderson在扭曲情形下的一些结果。我们还得到了某些经典对称空间中2阶幂零簇几何的一些应用。
Infinite flags and Schubert polynomials
本文借助无限维旗簇与退化轨迹几何研究 Schubert 多项式，证明相关等变余积系数的 Graham 正性并给出多项式展开，同时构造 C 型旗簇嵌入及其上同调拉回映射。
Seshadri stratifications and Schubert varieties: a geometric construction of a standard monomial theory
该研究结合 Schubert 簇的 Seshadri 分层几何与 Demazure 模的 LS-路径特征公式，构造 Schubert 簇的标准单项式理论，并通过任意线性化和弱化平衡条件改进一般分层理论。
Tangent cones to Schubert varieties for Kac--Moody groups
针对$\tilde{A}_{n-1}$型仿射Kac–Moody群的旗簇，证明不同Weyl群对合对应的Schubert子簇在单位陪集点处的切锥不重合，推广了有限维情形的相关结果，所用技术工具涉及Weyl群嵌入组合学与幂么根基余伴随轨道。
The geometry and combinatorics of cographic toric face rings
在本文中，我们定义和研究一个环，我们称之为上图复曲面环，或简单的上图环。上图环是由图的以下等价组合结构定义的复曲面环：超平面的上图排列，Voronoi多面体和全循环定向的偏序集。我们描述的上图环的性质，特别是，与环的不变量对应的图形的不变量。我们的研究cographic环适合到一个身体的工作描述环从图。在可以由图构造的环中，上图环特别有趣，因为它们出现在节点曲线的紧化雅可比矩阵的研究中。
Gröbner geometry of vertex decompositions and of flagged tableaux
我们涉及一个经典的代数几何退化技术，至少可以追溯到[霍奇1941]，顶点分解的概念，单纯复形。好的情况是当退化减少时，我们称之为“几何顶点分解”。我们在本文中的主要例子是家庭的vexillary矩阵舒伯特品种，其理想也被称为（单边）阶梯行列式理想。使用对角线项，以指定（Gröbner）退化，我们表明，这些几何顶点分解成简单的品种相同的类型。从这一点，连同组合学的白日梦[Fomin-基里洛夫1996]，我们得出一个新的公式，其分子的多级希尔伯特级数，双Grothendieck多项式，在“标记集值tableaux”。这统一了工作[瓦克斯1985年]的标志tableaux，和[布赫2002年]的集值tableaux，几何意义。这项工作的重点是对角项的订单，结果互补的[克努森-米勒2004年]，在那里它被证明，生成未成年人形成一个Gröbner基础的任何反对角项的顺序和任何矩阵舒伯特品种。我们在这里表明，在对角项顺序下，这些未成年人形成Gröbner基地的唯一矩阵舒伯特品种是vexillary的，达到了阶梯行列式文献一直在建设的目的。
Free Resolutions of Some Schubert Singularities in the Lagrangian Grassmannian
本文构造了（给定大小的）对称矩阵仿射空间的某类闭子簇的自由分解。我们的类涵盖了对称行列式簇（即，对称矩阵空间中的行列式簇），其分解首先由Józefiak-Pragacz-Weyman构造。我们的方法遵循Kummini-Lakshmibai-Sastry-Seshadri在《一些舒伯特奇点的自由分解》中发展的技术，并使用舒伯特簇的几何。
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