Entire and ancient solutions of a supercritical semilinear heat equation
我们在${\mathbb R}^N$上考虑半线性热方程$u_t=Δu+u^p$。假设$N\ge 3$和$p$大于Sobolev临界指数$(N+2)/(N-2)$，我们检查整个解决方案（定义为所有$t\in {\mathbb R}$的经典解决方案）和古老的解决方案（定义在$(-\infty,T)$上的经典解决方案的一些$T<\infty$）。我们证明了一个新的Liouville型定理，即如果$p$大于Lepin指数$p_L:=1+6/(N-10)$（如果$N\le 10$则为$p_L=\infty$），则所有的正有界径向整解都是稳态的.该定理是无效的径向对称的假设，在其他范围的超临界$p$它是已知的，甚至在类径向解决方案是无效的。我们的其他结果包括分类定理的非平稳整体解决方案（当他们存在）和古老的解决方案，以及一些应用在理论中的解决方案爆破。
2019-07-18 math.AP
Hessian estimates for Lagrangian mean curvature equation with Lipschitz critical and supercritical phases
本文提出新策略，结合Allard型正则性定理与几何测度论等方法，在锐利的Lipschitz临界和超临界相位条件下，获得了Lagrangian平均曲率方程解的内部Hessian估计。
2024-11-18 math.AP math.DG
Stability of entire solutions to supercritical elliptic problems involving advection
我们研究了由\begin{equation} \label{eq_abstract} -Δu + a(x) \cdot \nabla u = u^p \qquad \mbox{in $ \IR^N$,} \end{equation}给出的方程，其中$p>1$和$ a(x)$是满足某些衰减条件的光滑向量场.我们表明，对于$ p < p_c$，约瑟夫-Lundgren指数，有没有正稳定的解决方案（\ref{eq_abstract}）提供了一个小的条件$a$随着发散自由的条件。在另一个方向上，我们证明了对于$ N \ge 4$和$ p > \frac{N-1}{N-3}$，当$a$满足小性条件时，存在（\ref{eq_abstract}）的正解.对于$ p>p_c$，我们证明了（\ref{eq_abstract}）的正稳定解的存在性，条件是$a$是发散自由的并且满足一个小性条件.
2013-05-19 math.AP
Existence, stability and oscillation properties of slow decay positive solutions of supercritical elliptic equations with Hardy potential
证明了一类具有Hardy势的超临界椭圆型方程在全空间中存在一族慢衰减正解，并研究了这些解的稳定性和振动性.我们还建立了相关的外部狄利克雷问题的稳定的缓慢衰减正解的连续存在性。
2011-08-23 math.AP
A Lagrangian approach for prescribed mass solutions of cubic-quintic Schrödinger equations and $L^2$-supercritical problems
Università degli Studi di Bari Aldo Moro（巴里阿尔多·莫罗大学）；Università Cattolica del Sacro Cuore（天主教神圣之心大学）；Waseda University（早稻田大学）
本文通过拉格朗日方法研究立方-五次薛定谔方程预设质量解的存在性，改进了部分已有结果。
2026-02-23 math.AP
A Bernstein problem for special Lagrangian equations in exterior domains
我们建立了特殊的拉格朗日方程的超临界阶段在外部区域的解决方案的二次渐近。该方法是基于一般完全非线性椭圆型方程的外Liouville型结果朝向有界Hessian的常数渐近性，以及朝向Hessian界的某些旋转参数。我们的统一方法也导致凸解的二次渐近蒙日-安培方程（以前已知），二次海森方程，和逆调和海森方程的外部域。
2017-09-14 math.AP
Hessian Estimates for Lagrangian mean curvature equation
本文在Lagrange相超临界且二阶导数有界的条件下，得到了Lagrange中曲率方程的先验内Hessian估计。
2021-09-27 math.AP math.DG
Gradient estimates for the Lagrangian mean curvature equation with Lipschitz critical phase
Tsinghua University（清华大学）；Hainan University（海南大学）；Westlake University（西湖大学）
针对Lagrangian平均曲率方程，在临界相条件下仅需相的Lipschitz范数有界，证明了先验内梯度估计。
2026-09-09 math.AP
Hessian estimates for Lagrangian mean curvature equation with sharp Lipschitz phase
本文研究了具有尖锐Lipschitz相位的Lagrangian平均曲率方程，建立了凸解和超临界相位解的先验内部$C^{1,1}$估计，并给出了非Lipschitz情况下的反例，进而推导出$C^0$粘性解的内部$C^{2,\alpha}$正则性。
2023-11-23 math.AP
Lagrangian Mean Curvature Equations on exterior domains
Beijing Normal University（北京师范大学）
本文提出扩展的外域(K,K′,α₀)拟共形映射方法，研究超临界相拉格朗日均曲率方程在无穷远处的渐进行为，扩展了Li-Li-Yuan关于特殊拉格朗日方程的外域伯恩斯坦型定理。
2026-04-20 math.AP
The exterior Dirichlet problem for special Lagrangian equations
School of Mathematics and Center for Nonlinear Studies, Northwest University（西北大学数学与非线性研究中心）
本文针对特殊拉格朗日方程的外狄利克雷问题建立存在唯一性定理，推广了前人工作并改进衰减率，还求解了内狄利克雷问题，将其应用于三维二次Hessian方程的对应问题。
2026-09-04 math.AP
Lagrangian Mean Curvature flow for entire Lipschitz graphs II
本文证明了具有局部$C^{1,1}$初值$u_0$的完全非线性Lagrange抛物型方程解的长时间存在性和估计，其中$u_0$满足（1）对于某个正维常数$η$满足$-(1+η) I_n\leq D^2u_0 \leq (1+η)I_n$，（2）$u_0$处处弱凸或（3）$u_0$满足大的超临界Lagrange相条件.
2011-05-30 math.AP math.DG
Uniqueness of entire ground states for the fractional plasma problem
建立了一类半线性分数阶椭圆型方程的径向递减零整解的唯一性。特别地，我们处理分数等离子体方程和超临界功率非线性。作为应用，我们得到了Keller-Segel型非局部聚集-扩散方程径向定态的唯一性，即使在聚集占优的区域也是如此.
2020-11-29 math.AP
Supercritical Schrödinger equations involving integro-differential operators and vanishing potentials
Federal University of Rio Grande do Norte（北里奥格兰德联邦大学）
本文研究了在全欧几里得空间上定义的Schrödinger型方程正有界解的存在性，考虑了非负势在无穷远处消失且非线性在Sobolev意义下临界或超临界增长的情况，采用变分方法和惩罚技术克服非紧性问题。
2026-04-09 math.AP
On the entire self-shrinking solutions to Lagrangian mean curvature flow II
本文给出了$(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n, g_τ)$中拉格朗日中曲率流的整体自收缩解的Bernstein型结果。证明依赖于先验估计和障碍的建设。
2019-04-16 math.AP math.DG
Bound state solutions for the supercritical fractional Schrödinger equation
证明了超临界非线性分数阶薛定谔方程$(-Δ)^s u+V(x)u-u^p=0$在$\mathbb R^n$中正解的存在性，其中$u(x)\to 0$为$|x|\to +\infty$，$p>\frac{n+2s}{n-2s}$为$s\in (0,1), \ n>2s$ .我们表明，如果$V(x)=o(|x|^{-2s})$作为$|x|\to +\infty$，那么对于$p>\frac{n+2s-1}{n-2s-1}$，这个问题承认一个连续的解决方案。更一般地，对于$p>\frac{n+2s}{n-2s}$，还提供了可溶解性的条件。这个结果是Davila，Del Pino，Musso和Wei的工作在分数情形的推广。我们的主要贡献是：在$\mathbb R^n$中存在一个光滑的、径向对称的$(-Δ)^s w=w^p$的整体解，并分析了它的性质.这里的困难是缺乏相平面分析的非局部常微分方程，而是我们使用共形几何方法与沙夫的论点，如在该文件由敖，陈，DelaTorre，Fontelos，冈萨雷斯和魏奇异分数Yamabe问题。
2019-02-04 math.AP
The Neumann problem of special Lagrangian type equations
该研究针对带临界与超临界相位的特殊拉格朗日型方程Neumann问题，通过建立二阶一致先验估计、直接证明边界双法向导数估计等技术，结合连续性方法得到存在性结果，还解决了经典Neumann问题。
2024-10-07 math.AP math.DG
Solutions of the Special Lagrangian Equation near Infinity
本文研究特殊拉格朗日方程在无穷远处的渐近行为，借助修正的 Kelvin 变换以原点附近单个函数刻画余项，并给出其在奇偶维数下的正则性差异。
2025-01-08 math.AP math.DG
A note on the two dimensional Lagrangian mean curvature equation
本文利用仅在二维情况下可用的下调和函数水平集上的Warren-Yuan超等周不等式，导出了二维Lagrange中曲率方程解的修正Hessian界.我们假设拉格朗日相是超临界的有界二阶导数。与前面的方法不同，本文的简化方法不需要$\mathbb{R}^n$的广义子流形上的Michael-Simon平均值和Sobolev不等式.
2022-04-17 math.AP math.DG
Rigidity of the entire solutions of 2-Hessian equation
本文证明了欧几里得空间中2-Hessian方程的2-凸整体解的刚性定理。作为应用，我们得到了全局特殊Lagrange图的一个Bernstein型定理.
2018-11-19 math.AP
Liouville type theorems and Hessian estimates for special Lagrangian equations
本文针对特殊Lagrange方程在特定“凸性”条件下证明了Liouville型定理，核心方法是通过Neumann-Poincaré不等式和均值不等式建立解的整体Hessian估计，并进一步推导了该条件及超临界相位下的内部Hessian估计。
2022-06-28 math.AP math.DG
Optimal Regularity for Hölder continuous Hamiltonian Stationary Lagrangian graphs
本文证明Hölder指数大于1/3且相位超临界时哈密顿驻点拉格朗日图光滑，并构造指数为1/3的奇异解，证明正则性阈值最优，与特殊拉格朗日理论形成对比。
2025-10-26 math.AP math.DG
Asymptotic expansion at infinity of solutions of special Lagrangian equations
得到了一类完全非线性椭圆型方程在外部区域上解的无穷远高阶展开式，改进了对蒙日-安培方程、特殊Lagrange方程及其它椭圆型方程的渐近性的研究，并给出了外部最大（或最小）梯度图与整体情形的精确差距.
2020-12-25 math.AP
Normalized solutions of mass supercritical Schrodinger-Poisson equation with potential
本文研究带势的质量超临界Schrödinger-Poisson方程的归一化解存在性问题，针对势函数非负和非正两种情况分别采用不同山路论证方法构造解，证明了解的存在性。
2024-12-13 math.AP
Supercritical biharmonic equations with power-type nonlinearity
研究了双调和超临界方程$Δ^2u=|u|^{p-1}u$，其中$n>4$和$p>(n+4)/(n-4)$，在整个空间$\mathbb{R}^n$中，以及在单位球中以$λ(1+u)^p$为右手边并附加特征值参数$λ>0$的修正形式，在后一种情况下与Dirichlet边界条件一起.至于整个正规径向解决方案，我们证明振荡行为周围的明确已知的径向{ \it奇异}的解决方案，提供$p\in((n+4)/(n-4),p_c)$，其中$p_c\in ((n+4)/(n-4),\infty]$是一个进一步的临界指数，这是介绍了在最近的工作由Gazzola和第二作者。第三作者已经证明，这些振荡不发生在互补的情况下，其中$p\ge p_c$。关于Dirichlet问题，我们证明了至少存在一个具有相应特征参数的奇异解。此外，对于这个非线性双调和特征值问题的分支图中的极值解，我们证明了只要$p\in((n+4)/(n-4),p_c)$就光滑。
2007-11-14 math.AP math.CA
Failure of Interior Hölder and Gradient Estimates for the Subcritical Special Lagrangian Equation
Peking University（北京大学）；Xiamen University（厦门大学）；Great Bay University（大湾区大学）
针对n≥3的次临界特殊拉格朗日方程，研究人员构造显式整体实解析解，证明基于振荡的内部C^α估计失效，且该族解无共同内部连续性模。
2026-09-02 math.AP
Rigidity of Entire self-shrinking solutions to curvature flows
我们证明了：（a）具有欧几里德度量的${\mathbb C}^{m}$中的拉格朗日中曲率流的任何整图自缩解是平坦的;（b）具有伪欧几里德度量的${\mathbb C}^{m}$中的拉格朗日中曲率流的任何类空整图自缩解是平坦的，如果位势的Hessian在下面二次有界;以及（c）对于Kähler里奇流，（b）的Hermitian对应。
2010-03-16 math.AP math.DG
Lagrangian mean curvature flow in Pseudo-Euclidean space
建立了伪欧几里得空间中与对数梯度流有关的整拉格朗日图的中曲率流的长期存在性和收敛性结果。
2010-03-11 math.AP math.DG
On planar Schrodinger-Poisson systems with repulsive interactions in the mass supercritical regime
本文研究了平面Schrödinger-泊松方程在临界质量情形下的解的存在性与渐进行为，证明了能量函数的无界性和基态与高能解的存在，解决了开放问题。
2025-12-07 math.AP
On the entire self-shrinking solutions to Lagrangian mean curvature flow
证明了具有一致有界凸初值的对数Monge-Ampère流满足远离时间的一致衰减估计$t=0$ .然后应用衰减估计，我们得出结论：如果函数$|x|^{2}D^{2}u$在无穷远处的最小特征值的下界有大于$2(1-1/n)$的一致正下界，则方程{equation*} \det D^{2}u= \exp \{n（-u+1/2 \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}）\}，{equation*}的每一个经典严格凸解都应该是二次多项式.利用类似的方法，我们可以证明方程{equation*} \sum_{i=1}^{n} \arctan λ_{i}=-u+1/2 \sum_{i=1}^{n} x_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}}的任何经典凸或凹解. {equation*}必须是二次多项式，其中$λ_{i}$是Hessian $D^{2}u$的特征值。
2012-03-15 math.AP math.DG
(1,1) forms with specified Lagrangian phase: A priori estimates and algebraic obstructions
设$(X,α)$是一个n维Kähler流形，令$[ω] \in H^{1,1}(X,\mathbb{R})$ .研究了由非线性椭圆方程\[ \sum_{i=1}^{n} \arctan(λ_i)= h(x) \]描述的$ω$相对于$α$的拉格朗日相位的确定问题，其中$λ_i$是$ω$相对于$α$的特征值.当$h(x)$为拓扑常数时，该方程对应于变形的Hermitian-Yang-Mills（dHYM）方程，并通过镜像对称性与镜像的特殊拉格朗日子流形的存在性相联系.我们引入了该方程下解的概念，并证明了当存在$|h|>(n-2)\fracπ{2}$和下解时的先验$C^{2,β}$估计。使用连续性的方法，我们表明，dHYM方程承认一个光滑的解决方案，在超临界相的情况下，只要存在一个subsolution。最后，我们发现一些稳定型上同调障碍的存在性的dHYM方程的解决方案，我们猜想，当这些障碍消失的dHYM方程承认一个解决方案。我们证实了这一猜想复杂的表面。
2015-08-08 math.AP math.DG
The continuous dependence and non-uniform dependence of the rotation Camassa-Holm equation in Besov spaces
本文首先在非齐次Besov空间$B^s_{p,r}$中用$s>1+1/p$或$s=1+1/p,\ p\in[1,+\infty),\ r=1$建立了具有弱Coriolis效应的赤道水波旋转Camassa-Holm方程的局部适定性和连续依赖性，通过一种新的方法：紧性论证和拉格朗日坐标变换，去掉了指标约束$s>3/2$，改进了我们以前的工作\cite{guoy1} .然后，我们证明了在超临界和临界Besov空间中，解对初值的依赖性不是一致连续的。
2021-10-27 math.AP
Lagrangian chaos and unique ergodicity for stochastic primitive equations
本文证明了带非退化噪声的随机三维原始方程的拉格朗日流具有混沌性，即最大李雅普诺夫指数几乎必然为正，并由此首次得到随机原始方程不变测度的唯一性结果。
2025-05-07 math-ph math.AP math.MP
Liouville type theorems for fully nonlinear elliptic equations in exterior domains in half spaces
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
针对半空间外部区域中的完全非线性一致椭圆方程，在二次边界数据和二次增长条件下，证明了任何粘性解在无穷远处趋于二次多项式加上低阶项，收敛速率至少为|x|^{-α-n}，并应用于Monge-Ampère方程、k-Hessian方程和特殊Lagrangian方程。
2026-05-27 math.AP
Threshold for Existence, Non-existence and Multiplicity of positive solutions with prescribed mass for an NLS with a pure power nonlinearity in the exterior of a ball
得到了球外半线性椭圆型方程正规解的存在性、不存在性和多重性的阈值结果。据我们所知，这是第一次在文献中解决这个问题。特别是，我们表明，规定的质量可以影响归一化的解决方案的数量，并在质量超临界的情况下有稳定的效果。此外，当N = 2时，在阈值中我们发现一个新的指数p = 6，这似乎在过去对这个方程没有起作用。此外，我们的发现是“相当令人惊讶的”，与在整个空间和球上获得的结果完全不同。我们还将表明，域的性质是至关重要的驻波的存在和稳定性。作为一种预示，众所周知，在超临界情况下，这些波在RN中是不稳定的。在本文中，我们将证明，在外部区域，他们是强稳定的。
2022-09-14 math.AP
A constant rank theorem for special Lagrangian equations
本文证明了特殊拉格朗日方程和二次 Hessian 方程鞍点解的常秩定理，并由此得到次临界相位下特殊拉格朗日方程的 Liouville 型刚性结果。
2024-05-28 math.AP math.DG
Sharp Small-Height Estimates for Subcritical Special Lagrangian Equations in Dimension Three
School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文证明三维次临界特殊拉格朗日方程粘性解在尖锐高度阈值下的内部Lipschitz估计，并证明阈值最优，方法为二维最大原理与三维代数恒等式。
2026-10-02 math.AP
Semi-convex viscosity solutions of the special Lagrangian equation
本文研究特殊拉格朗日方程在近负相位、小半凸条件下的粘性解，证明其光滑性、内部导数与指数型黑塞估计，并给出尖锐性反例及次临界相位整解的新刘维尔定理。
2025-10-20 math.AP math.DG
Nonradial stable solutions near the Joseph--Lundgren threshold
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Beijing Technology and Business University（北京工商大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；University of Macau（澳门大学）
该研究针对超临界Lane-Emden方程，在第一Joseph-Lundgren区间构造了指数接近上端点的非径向稳定整体解，否定了Chan和Wei的径向性猜想，是Emden-Fowler方程非径向稳定解的首个非平凡例子。
2026-08-12 math.AP
Heisenberg Uniqueness Pairs for a Hyperbola Branch: Supercritical Nonuniqueness for Shifted Lattice Crosses
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
研究超临界状态下正双曲线分支和移位格点十字的海森堡唯一性，解决任意移位问题的无限维条款，通过将零化条件简化为图方程，结合相关估计和刚性得出结论，还给出\(L^1\)预零化子范式及相关算子性质。
2026-07-21 math.AP math.CA math.DS
Existence of non-radial entire solutions for the Hénon equation beyond even exponents
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
本文通过Emden-Fowler变换将问题转化为圆柱域上的超临界半线性椭圆方程，利用Pöschl-Teller谱理论简化线性化算子核的刻画，证明了对每个偶整数k>(N-2)/2，在α_k=2(k-1)附近存在连续的非径向解，从而否定了Gladiali等人的猜想。
2026-07-01 math.AP
A Liouville property for gradient graphs and a Bernstein problem for Hamiltonian stationary equations
利用元的旋转，我们观察到任何凸函数的梯度图是一个Liouville流形，也就是说，不允许有界的调和函数。作为推论，我们发现拉格朗日相角一致大于临界角的四阶Hamilton定态方程的任何整体解必定是二次的。
2015-05-15 math.AP
Asymptotic expansion and optimal symmetry of minimal gradient graph equations in dimension 2
本文研究了二维梯度图的零中曲率方程在无穷远的渐近展开和对称性，其中包括蒙日-安培方程、逆调和Hessian方程和特殊Lagrange方程.这一结果深化了对渐近性的研究，给出了外极小梯度图与整体情形的精确差距，推广了蒙日-安培方程的分类结果.
2021-11-07 math.AP
Supercaloric functions for the parabolic $p$-Laplace equation in the fast diffusion case
研究抛物型$p$ -Laplace方程的一类广义上解，即所谓的$p$ -超热函数.这类函数被定义为在稠密集上有限且满足抛物比较原理的下连续函数。对于$p\geq 2$，它们的性质相对较好理解，但对于快速扩散情况$1<p<2$知之甚少。每一个有界的$p$ -超热函数都属于自然索伯列夫空间，并且在整个$1<p<\infty$范围内都是抛物型$p$ -拉普拉斯方程的弱上解.我们的主要结果表明，无界$p$ -超热函数分为两个相互排斥的类尖锐的局部可积性估计的功能和它的弱梯度在超临界情况下$\frac{2n}{n+1}<p<2$。Barenblatt解和无限点源解表明这两种情况都发生了。巴伦布拉特解决方案不存在于亚临界情况下$1<p\leq \frac{2n}{n+1}$和理论尚未得到很好的理解。
2021-03-31 math.AP
Entire surfaces of constant curvature in Minkowski 3-space
本文研究三维Minkowski空间中适当嵌入类空曲面关于其高斯曲率的整体理论。我们证明了每一个不是楔形的正则区域都被适当嵌入的常高斯曲率的凸曲面唯一地叶状。这是一个后果，我们的分类表面有界规定的高斯曲率，有时被称为闵可夫斯基问题，其中部分结果是由李，关健，Schoen，和Bonsante，Seppi。得到了双曲平面的极小Lagrange自映射的一些应用。
2018-05-21 gr-qc math.AP math.DG
An ansatz for constructing explicit solutions of Hessian equations
本研究提出一种二次曲面变体拟设，可将多类复/实Hessian方程约化为可积常微分方程组，构造出任意次临界相位的全局显式解，并验证特殊拉格朗日爆破解与已知结果一致。
2025-10-29 math.AP math.DG
