An Expander Mixing Lemma for Directed Graphs via Transition Matrices
Mount Royal University（蒙特雷阿尔皇家大学）
本文利用非对称转移概率矩阵的特征值为有向图建立了 Expander Mixing Lemma，并据此推导出有向图韧性的谱界，推广了 Alon 关于 $k$-正则图的经典结论。
2026-11-09 math.CO
Connectivity, toughness, and hamiltonicity of simplicial polytopes
Deakin University（迪肯大学）
针对 $d\ge4$ 的单纯多面体，构造了满足指定连通度、低坚韧度且不可迹的例子，否定了高连通度保证高维多面体哈密顿性的猜想，还得到了短度系数和指数的相关结论。
2026-10-12 math.CO
Toughness and spectral radius in graphs
本文结合韧度变体与谱条件，给出了图成为$τ$-韧度（整数或倒数整数）且具有最小度$δ$的谱条件，并探讨了平衡二分图的类似问题。
2023-10-14 math.CO
A proof of Brouwer's toughness conjecture
连通图$G$的韧性$t(G)$被定义为$t(G)=\min\{\frac{|S|}{c(G-S)}\}$，其中在所有真子集$S\subset V(G)$上取最小值，使得$c(G-S)>1$，其中$c(G-S)$表示$G-S$的分量数.用PDMATHAMT表示图的邻接矩阵的第二大绝对特征值。对于任何连通的$d$ -正则图$G$，Alon已经证明了$t(G)>\frac{1}{3}(\frac{d^2}{dλ+λ^2}-1)$，通过它，Alon能够证明对于每个$t$和$g$，存在围长严格大于$g$的$t$ -坚韧图，从而在很强的意义上反驳了Chvátal关于泛圈性的猜想。Brouwer独立地发现了一个更好的边界$t(G)>\frac{d}λ-2$为任何连接$d$ -正则图$G$，而他也证明了下界可以改进为$t(G)\ge \frac{d}λ - 1$。我们证实了这一猜想。
2021-05-15 math.CO
Sufficient conditions for the variation of toughness under the distance spectral in graphs involving minimum degree
本文研究图韧性变化问题，基于最小度和距离谱半径提出并证明了一个图为tau-韧性的充分条件，推广了Chen、Fan和Lin关于t-韧性的结果。
2025-04-09 math.CO
The Toughness of Kneser Graphs
图$G$的\textit{toughness} $t(G)$是其连通性的度量，其与哈密尔顿性密切相关。Brouwer证明了连通$\ell$ -正则图韧性的下界$t(G) > \ell / λ- 2$，其中$ λ$是邻接矩阵的最大非平凡特征值。他解释说，这个下界可以改进为$\ell / λ-1$，这个猜想仍然是开放的。布劳威尔还观察到，许多图族（特别是那些在独立数的霍夫曼比范围内达到相等的图族）恰好具有$\ell / λ$韧性。Cioabeland和Wong证实了Brouwer对几个图族的观察，包括Kneser图$K(n,2)$及其补图，但Petersen图$K(5,2)$除外。在本文中，我们推广了这些结果，并确定了Kneser图$K(n,k)$的韧性时，$k\in \{3,4\}$和$n\geq 2k+1$以及$k\geq 5$和足够大的$n$（在$k$方面）。在所有这些情况下，韧性是由一个最大的独立集的补充，我们推测，这是任何$k\geq 5$和$n\geq 2k+1$的情况。
2021-06-28 math.CO
Spectral radius, toughness and $k$-factor of graphs
School of Mathematics, East China University of Science and Technology（华东理工大学数学学院）；College of Mathematics and System Science, Xinjiang University（新疆大学数学与系统科学学院）
本文研究了连通1-韧性图中k-因子的存在条件，基于谱半径提出并证明了当δ(G)≥k时，存在k≥3的k-因子的充分条件。
2026-03-22 math.CO
Strengthening some complexity results on toughness of graphs
设$t$为正实数。一个图被称为$t$ -tough，如果删除任何断开图的顶点集$S$，最多只留下$|S|/t$组件。图的韧性是图是$t$ -tough的最大$t$。本文的主要结果如下。对于任何正有理数$t \le 1$和任何$k \ge 2$和$r \ge 6$整数，识别$t$ -坚韧二部图是coNP-完全的（$t=1$的情况是已知的），并且这个问题对于$k$ -连通二部图仍然是coNP-完全的，识别1-坚韧r-正则二部图的问题也是如此。为了证明这些陈述，我们也处理其他相关的韧性复杂性问题。%在本文中，我们证明了以下内容。对于任意正有理数$t$，判定$τ(G)=t$是否DP-完全，如果是$t < 1$，则该问题对于二部图仍是DP-完全的.对任意整数$k \ge 2$和正有理数$t \le 1$，识别$t$ -坚韧$k$ -连通二部图是coNP-完全的.对于任意整数$r \ge 5$，识别$1/2$ -坚韧$r$ -正则图是coNP-完全的.对于任意整数$r \ge 6$，识别1-坚韧$r$ -正则二部图是coNP-完全的.对于任意正有理数$t < 2/3$，给出了识别具有韧性$t$的3-正则图的多项式时间算法.最后，我们证明了每个连通4-正则图都是1/2-坚韧的。
2019-10-19 cs.DM math.CO
Toughness, hamiltonicity and spectral radius in graphs
研究图中Hamilton圈的存在性是图论中的一个经典问题。通过结合韧性和谱条件，我们可以从另一个角度考虑Chvátal猜想：什么是谱条件，以保证存在的哈密尔顿圈之间的$t$ -坚韧图？首先给出$1$ -tough图的答案，即如果$ρ(G)\geqρ(M_{n})$，则$G$包含一个Hamilton圈，除非$G\cong M_{n}$，其中$M_{n}=K_{1}\nabla K_{n-4}^{+3}$和$K_{n-4}^{+3}$是由$3K_{1}\cup K_{n-4}$通过在$3K_{1}$和$K_{n-4}$之间添加三条独立边而得到的图. Brouwer韧性定理指出，每个$d$ -正则连通图总是有$t(G)>\frac{d}λ-1$，其中$λ$是邻接矩阵的第二大绝对特征值。本文利用图的谱半径推广了这一结果，即分别给出了一个图是1-坚韧的最小度$δ$和$t$ -坚韧的谱条件.
2022-04-05 math.CO
Toughness in regular graphs from eigenvalues
School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）；School of Finance and Business, Shanghai Normal University（上海师范大学金融商学院）
本文通过特征值分析，证明了连通正则图的 toughness 与特征值之间的关系，并给出了相关上界和构造，强化了已有结论。
2025-12-12 math.CO
Minimal covers of the prisms and antiprisms
本文对作为凸多面体棱柱和反棱柱的覆盖的正则极小抽象多面体进行了分类。它包括一个详细的讨论，他们的拓扑结构，并完成了枚举这样的覆盖凸一致多面体。此外，本文还讨论了弦C-群理论中的相关结构问题。
2012-06-26 math.CO
A decomposition theorem for binary matroids with no prism minor
棱柱图是五点完全图的对偶图，其中删除了一条边，$K_5\backslash e$。本文确定了一类无棱柱子式的二元拟阵。这个问题的动机是1963年的结果狄拉克在那里他确定了简单的3-连通图没有小同构的棱镜图。证明了除了Dirac无限图族和Oxley确定的四个无限非正则拟阵族之外，该类拟阵只存在三种可能：同构于$F_7$与自身在三角形上的广义平行联络的对偶，且三角形中的一个元素被删除，其秩有界于5;或者它允许由$P_9$中的3-分离性诱导的非极小正合3-分离性。由于棱柱图的秩为5，所以该类必须分别包含秩为3和4的二元射影几何$F_7$和$PG(3, 2)$。我们证明了类中只有一个秩为5的极值拟阵。它有17个元素，是$R_{10}$的扩展，$R_{10}$是正则拟阵的唯一分裂器。作为推论，我们得到了Dillon，Mayhew和Royle关于无棱柱子阵的二元内4-连通拟阵的判别结果[5]。
2012-03-16 math.CO
l-connectivity, l-edge-connectivity and spectral radius of graphs
本文研究了简单图的l-连通性、l-边连通性与谱半径之间的联系，并探讨了有向图及边版本的类似问题，是对正则图基于第二大绝对特征值下界研究的拓展。
2023-09-11 math.CO
The Number of Perfect Matchings in Möbius Ladders and Prisms
Lovász和Plummer在20世纪70年代提出的猜想，即任何$3$ -正则图中的完美匹配数是顶点数的指数，在2011年由Esperet，Kardoelt，King，Král '和Norine证明。给出了两类$3$ -正则图中完美匹配数的精确公式。在图组成的$2n$ -循环直径弦（也被称为莫比乌斯阶梯$M_n$和哈拉里图）和在笛卡儿积的循环$C_n$与一个边缘（称为循环棱镜），匹配的数量是总和的斐波那契数$F_{n-1}$和$F_{n+1}$，加上两个以上的莫比乌斯阶梯时，$n$是奇数和循环棱镜时，$n$是偶数。
2020-03-25 math.CO
Proving hamiltonian properties in connected 4-regular graphs: an ILP-based approach
本文研究了具有连通性${\cal C}$但不具有哈密尔顿性${\cal H}$的4-正则图的最小阶$f({\cal C},\lnot {\cal H})$的一些公开问题.特别地，${\cal C}$是连通性、2-连通性或1-韧性，并且${\cal H}$是汉密尔顿性、均匀可追溯性或可追溯性。文献中已经使用了解决这些问题的标准理论方法，但没有成功地确定$f()$的精确值。在这里，我们选择使用线性规划和编码的图形，我们正在寻找的二元解决方案的一组合适的线性不等式。这样，将存在一个具有某些性质的$n$阶图当且仅当相应的ILP有一个可行解，我们已经通过分支和切割过程确定了这一点。通过使用我们的方法，我们已经能够计算$f({\cal C},\lnot {\cal H})$的所有考虑的属性对与${\cal C}=$ 1-韧性，${\cal H}=$可追溯性除外。即使在最后一种情况下，我们仍然显著地减少了已知$f({\cal C},\lnot {\cal H})$说谎的$[LB, UB]$间隔。最后，我们证明了对每个$n \geq f({\cal C},\lnot {\cal H})$（最后一种情况为$n \geq UB$），在$n$的顶点上存在一个4-正则图，它具有性质${\cal C}$但不具有性质${\cal H}$ .
2021-12-09 math.CO math.OC
On the existence of minimally tough graphs having large minimum degrees
本文构造最小度接近三倍韧度的非正则无爪最小 t-韧度图，推翻平面图及线图情形下的推广 Kriesel 猜想，并补充相关度上界结果。
2025-05-13 math.CO
Extremal graphs for the odd prism
本文确定奇圈与边笛卡尔积所得奇棱柱的精确 Turán 数，刻画极值图，并借助 Simonovits 定理与稳定性结果在 k=1 时给出对所有 n 的完整结果。
2024-02-05 math.CO
A family of non-Cayley cores based on vertex-transitive or strongly regular self-complementary graphs
给定一个有限简单图$n$，它的补棱柱是由$Γ$和它的补图$\barΓ$通过添加完美匹配得到的图$Γ\barΓ$，其中它的每条边连接$Γ$和$\barΓ$中同一个顶点的两个副本.它推广了当$Γ$是五边形时得到的Petersen图。对任意的图$Γ$，给出了$Γ\barΓ$的自同构群.特别是，它表明，$Γ\barΓ$和$Γ$的自同构群的基数之间的比率可以达到只有值$1$，$2$，$4$，和$12$。证明了$Γ\barΓ$的Cheeger数要么等于1，要么等于$1-\frac{1}{n}$，并完全确定了相应的两类图.证明了$Γ\barΓ$是点传递的当且仅当$Γ$是点传递自补的.在这种情况下，互补棱柱是哈密尔顿连通的，只要$n>5$，而不是凯莱图，只要$n>1$。主要结果涉及图$Γ\barΓ$的自同态.证明了当$Γ$强正则自补时，$Γ\barΓ$是核，即它的所有自同态都是自同构.对许多点传递自补图也得到了同样的结论。特别地，证明了如果存在点传递自补图$Γ$使得$Γ\barΓ$不是核，则$Γ$既不是核，也不是完全图.
2021-10-20 math.CO
Metric Dimension of Amalgamation of Regular Graphs
一个顶点集$S$分解一个图$G$，如果每个顶点都由它到$S$中顶点的距离向量唯一确定。$G$的度量维数是$G$的分解集的最小基数。设$\{G_1, G_2, \ldots, G_n\}$是一个有限图集，每个$G_i$有一个固定的顶点$v_{0_i}$或固定的边$e_{0_i}$，分别称为终端顶点或终端边. $G_1, G_2, \ldots, G_n$的顶点融合，记作$Vertex-Amal\{G_i;v_{0_i}\}$，是通过取所有的$G_i$并确定它们的终端顶点而形成的。类似地，$G_1, G_2, \ldots, G_n$的边合并（由$Edge-Amal\{G_i;e_{0_i}\}$表示）通过获取所有的$G_i$并识别它们的终端边来形成。本文研究了有限个正则图集合：完全图和棱柱图的点合并和边合并的度量维数。
2014-01-21 math.CO
Constructions of minimally $t$-tough regular graphs
本文构造了奇数阶4-正则图和阶为3k+1的6-正则图族，证明存在其他最小t-坚韧正则图不满足广义Kriesell猜想，从而肯定回答了Zheng和Sun提出的问题。
2024-12-17 math.CO
A Degree Threshold for Independent Domination in Generalized Prisms
该研究针对广义棱柱图，证明颜色数等于最大度时的独立(k)-彩虹控制判定问题为NP-完全，且最大度之上该问题平凡，还引入超额参数关联了三次图的边着色度与抗性参数。
2026-08-11 cs.CC cs.DM cs.DS
On a conjecture of Mohar concerning Kempe equivalence of regular graphs
设$G$是一个顶点着色为$α$的图.设$a$和$b$为两种颜色。则由着色为$a$或$b$的顶点所诱导的子图的连通分支称为Kempe链。从$α$通过交换肯普链的顶点上的颜色而获得的$G$的着色被称为通过肯普变换而获得。$G$的两种颜色是肯普等价的，如果一种可以通过一系列肯普变化从另一种获得。Mohar（2007）的一个猜想断言，对于$k \geq 3$，所有不完全的$k$ -正则图的$k$ -着色都是Kempe等价的。后来证明，所有的$3$ -染色的三次图，既不是$K_4$也不是三棱柱是肯普等价的。在本文中，我们证明了猜想成立的每个$k\geq 4$。我们还报告的影响，这一结果的有效性的Wang-Swendsen-Koteckstrom算法的反铁磁Potts模型在零温度。
2016-09-22 cs.DM math.CO
