Maximal triangulations of a regular prism
Mike Develin
本文给出了De Loera，Santos和Takeuchi的两个定理，并计算了$n$ -棱柱和$n$ -反棱柱的任意正三角剖分的最大尺寸.
In this paper, we resolve two conjectures of De Loera, Santos, and Takeuchi in the affirmative, computing the maximal size of any regular triangulation of the $n$-prism and $n$-antiprism.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Triangulations of prisms and preprojective algebras of type $A$
证明了$Π_{n}$上不可分解的二项预淤复形与棱柱$Δ_{n} \times Δ_{1}$中的内部$n$ -单形是双射的，棱柱是$n$ -单形与1-单形的乘积.我们进一步表明，这会导致双射三角形的$Δ_{n} \times Δ_{1}$和两个长期淤积复合物在$Π_{n}$，使bistellar翻转三角形对应的突变的两个长期淤积复合物。这些双射与已知的涉及对称群的双射相容。
Dominating maximal outerplane graphs and Hamiltonian plane triangulations
设$G$是一个图，$γ(G)$表示$G$的控制数，即$S$的最小顶点集的基数，使得$G$的每个顶点要么在$S$中，要么与$S$中的一个顶点相邻. Matheson和Tarjan证明了具有足够多$n$顶点的平面三角剖分具有$γ(G)\le n/4$。他们的推测仍未确定。本文证明了：（1）顶点为$n$的极大外平面图有$γ(G)\le \lceil \frac{n+k} 4\rceil$，其中$k$是$G$的边界上连续的2度顶点的距离至少为3的对的个数;（2）顶点为$n \ge 23$的Hamilton平面三角剖分$G$有$γ(G)\le 5n/16 $ .我们还指出了Li等人在[Discrete Appl. Math.198（2016）164-169]中最近发表的关于这个主题的几个不正确的结果，并提供了反例。
Coupon-Coloring and total domination in Hamiltonian planar triangulations
我们考虑图的顶点的所谓的券染色，其中每个颜色出现在每个开邻域中，我们的目标是确定这样的染色中的颜色的最大数目。换句话说，每一个色类都是图的全控制集，并且我们研究了图的全域数。我们在每个极大外可平面图中确定了这个参数，并证明了每个Hamilton极大可平面图的domatic数至少为2，部分回答了Goddard和Henning的一个猜想.
Plane Triangulations Without Spanning 2-Trees
2-树是一个图，它可以通过从一个三角形开始，迭代使一个新顶点与现有图的两个相邻顶点邻顶点相邻的操作来形成。1995年，蔡雷真提出了一个问题：是否每个极大可平面图都包含一棵生成2-树。我们通过构造一个没有生成2-树的极大可平面图的无限类来否定地回答这个问题。
Null and non--rainbow colorings of projective plane and sphere triangulations
对于$n\geq 4$阶的极大可平面图，我们证明了不含彩虹面的顶点着色最多使用$\lfloor\frac{2n-1}{3}\rfloor$颜色，这是最好的可能。对于嵌入在射影平面上的极大图，我们得到了类似的最佳界$\lfloor\frac{2n+1}{3}\rfloor$。在证明的主要成分是经典的同调工具。通过将图看作拓扑空间，引入了零染色的概念，证明了对任何图$G$，极大零染色$f$使得商图$G/f$是森林.
Minimal Length Maximal Green Sequences and Triangulations of Polygons
本文利用箭图及其曲面的组合学研究了$\mathbb{A}$型箭图的最小长度的极大格林序列。我们证明了这类序列的长度为$n+t$，其中$n$是顶点数，$t$是3-圈数.此外，我们开发了一个程序，产生这些最小长度的最大绿色序列。
Maximal Independent Sets in Planar Triangulations
本研究证明含n个顶点的平面三角剖分存在大小不超n/3的极大独立集，证实了相关猜想，是对三角化圆盘控制集经典结论的结构性强化。
Infinite Schnyder Woods
本文将施尼德森林推广到无限三角剖分，证明有限边界无限三角剖分和均匀无限半平面三角剖分存在唯一最大施尼德森林，并刻画其作为有限随机三角剖分极限的结构性质。
Multi-triangulations as complexes of star polygons
平面凸点集上的极大$(k+1)$-无交叉图，即$k$-三角剖分，在最近的文献中受到了关注，其动机来自于对它们的几种解释。我们介绍了一种新的方式来看待$k$-三角剖分，即作为复杂的星形多边形。利用这个工具，我们给出了$k$-三角剖分的基本性质的新的、直接的证明，以及一些新的结果。这种解释也开辟了新的研究途径，我们在最后一节简要探讨。
Maximal Green Sequences for Cluster Algebras Associated to the n-Torus
给定一个标记曲面（S，M），我们可以将弧添加到曲面上，以创建该曲面的三角剖分T。对于每个三角剖分T，我们可以关联一个簇代数。在本文中，我们将考虑亏格n的环面有两个内部标记点（称为穿孔）。我们将构建一个特定的三角剖分，这产生一个特定的曲面。然后在Keller工作的意义下，我们将为这个矩阵产生一个最大的绿色序列。
Dyck path triangulations and extendability
本文介绍了两个单形$Δ_{n-1}\timesΔ_{n-1}$的笛卡儿积的Dyck路径三角剖分。这种三角剖分的最大单形由Dyck路径给出，并且其构造自然地推广到使用有理Dyck路径产生$Δ_{r\ n-1}\timesΔ_{n-1}$的三角剖分。我们的研究Dyck路径三角剖分的动机是两个单纯形的乘积的部分三角剖分的可拓性问题。我们表明，只要$m\geq k>n$，任何三角的$Δ_{m-1}^{(k-1)}\timesΔ_{n-1}$扩展到一个独特的三角的$Δ_{m-1}\timesΔ_{n-1}$。此外，通过一个显式构造，我们证明了界$k>n$是最优的。我们还表现出有趣的解释，我们的结果在语言的热带定向拟阵，这是类似于经典的结果在定向拟阵理论。
Extremal properties for dissections of convex 3-polytopes
凸d-多面体的剖分是将多面体划分为顶点在多面体的顶点之间的d-单形。三角剖分是具有附加性质的剖分，其所有单形的集合形成单纯复形。剖分的大小是它所包含的d-单形的数量。本文比较了最大三角剖分与最大剖分。我们还表现出较低和上界的3-多面体的解剖的大小和分析极值大小的三角形为特定的非单纯多面体：棱镜，反棱镜，阿基米德固体，和组合d-立方体。
The higher Stasheff--Tamari orders in representation theory
我们发现的关系Oppermann和托马斯之间的三角形的循环多面体和更高的Auslander代数的$A$型，表示$A_{n}^{d}$，是一个令人难以置信的丰富。\emph{higher Stasheff--Tamari orders}是循环多面体三角剖分的两个阶，被证明是等价的，在1990年代由Kapranov和Voevodsky，Edelman和Reiner定义。我们首先表明，这些订单对应于在偶数维的自然序倾斜模定义的Riedtmann和Schofield和研究的Happel和Unger。这一结果使我们能够证明，奇维循环多面体的三角剖分是双射与等价类的$d$ -最大绿色序列的$A_{n}^{d}$，我们介绍作为一个高维推广的原始最大绿色序列凯勒。我们进一步解释了较高的Stasheff-Tamari订单在奇数维，其中它们对应于自然序上的等价类的$d$ -最大的绿色序列。猜想这两个偏序等价类的$d$ -极大绿色序列是等价的定向版本的“无间隙”猜想的Brüstle，杜邦，和Perotin。我们的结果的一个推论是，这个猜想成立$A_{n}$，这里的（1-）极大格林序列的等价类的集合是一个格。
An Upper Bound for the Number of Planar Lattice Triangulations
我们证明了$m\times n$网格上所有极大三角剖分个数$f(m,n)$的一个指数上界：\[ f(m,n) < 2^{3mn}. \]特别地，这改进了S. Yu. Orevkov（1999年）。
Minimal length maximal green sequences
极大格林序列是表示论、簇代数和弦理论中的重要研究对象。确定一个矩阵的最大绿序列的长度是一个开放的问题。我们结合表面三角剖分的组合学和散射图的基础知识来解决这个问题。我们的主要结果是一个公式的长度最小长度最大的绿色序列的箭图定义的三角形的一个环或穿孔磁盘。
Maximal Green Sequences for Cluster Algebras Associated to the Orientable Surfaces of Genus n with Arbitrary Punctures
众所周知，对一个有标记的表面进行三角剖分会产生一个三角形。本文给出亏格为$n$的可定向曲面的一个三角剖分，该曲面具有任意数目的内部标记点（称为穿孔），其对应的标记点具有极大Green序列。
A construction of a $\frac{3}{2}$-tough plane triangulation with no 2-factor
本文通过构造一个没有2-因子的极大$\ rac{3}{2}$-坚韧平面图，填补了坚韧平面图中2-因子存在性问题的最后遗留情况，回答了Owens等人的疑问。
New interpretations of the higher Stasheff--Tamari orders
1996年，Edelman和Reiner在循环多面体的三角剖分上定义了两个更高的Stasheft-Tamari阶，并证明了它们是重合的。我们打开了一个代数的角度接近这个猜想，显示这些订单自然产生的表示论的高级Auslander代数的$A$型，表示$A_{n}^{d}$。为此，我们给出了新的组合解释的订单，使它们具有可比性。然后，我们将这些组合的解释到代数框架。我们还展示了如何三角化的奇数维循环多面体出现在$A_{n}^{d}$的表示论，即作为等价类的最大绿色序列。此外，我们给奇数维对应的已知描述的$2d$维三角剖分的非相交的$d$ -单形的最大尺寸。这包括在一个定义的两个新的属性，这意味着一组$d$单形产生一个$(2d+1)$维三角剖分。
On Tuza's conjecture for triangulations and graphs with small treewidth
Tuza（1981）证明了与图$G$的每个三角形相交的最小边集的大小$τ(G)$至多是$G$的最大边不相交三角形集的大小$ν(G)$的两倍。本文给出了关于图扎猜想的三个结果。我们验证它的树宽最$6$的图，我们表明，$τ(G)\leq \frac{3}{2}\,ν(G)$的每个平面三角$G$不同的$K_4$ ;和$τ(G)\leq\frac{9}{5}\,ν(G) + \frac{1}{5}$，如果$G$是树宽为3的最大图。我们的第一个结果加强了Tuza的一个结果，这意味着对每个$G$，$K_8$ -free弦图都有$τ(G) \leq 2\,ν(G)$.
Recovering the topology of surfaces from cluster algebras
提出了一种从簇代数中恢复带标记点的有边定向曲面拓扑的有效方法。信息是从最大的三角形的表面，那些交换箭与最大数量的箭头在突变类。该方法给出了曲面簇代数的自同构和同构问题的新证明，以及曲面簇代数的交换箭图的Fomin-Shapiro-Thurston块分解的唯一性.以前的证明这些结果遵循不同的方法的基础上顾的直接证明的最后结果。该方法还解释了这些结果的例外情况，由于病态的问题与几个表面的最大三角剖分。
Regular dyadic triangulations of delta-matroid polytopes
本文证明每个delta-拟阵多面体（及更一般的整B型广义置换多面体）存在正则二进三角剖分，其最大单纯形体积为2的幂，并指出B型中唯一非幺模单纯形例外，基于B型根配置的完全二进性。
Regular triangle unions with maximal number of sides
研究n个三角形的并集的最大边数，提出序列A375986并证明其线性上下界，引入三角形转换方法。
Regular Labelings and Geometric Structures
三种类型的几何结构-网格三角剖分，矩形细分，和正交多面体-都可以组合描述一个定期的标签：颜色和方向的分配到相关的最大或近最大平面图的边缘。我们简要地调查这三种标记之间的联系和类比，以及它们在设计高效的几何算法中的用途。
A Polyhedral Method for Sparse Systems with many Positive Solutions
我们调查的一个版本的Viro的方法，用于构建多项式系统的许多正解，基于牛顿多面体的系统的定期三角剖分。我们的方法得到的正解的数量是由最大的正decorable子复杂的三角剖分的大小。在这里，正可装饰性是我们引入的一个属性，它是一个正则三角剖分的子复形的对偶。利用这种对偶性，我们产生了大的积极decorable子复形的边界复杂的循环多面体。作为一个副产品，我们得到了新的下界，其中一些是目前已知的最好的，多项式系统的最大数量的正解与规定数量的单项式和变量。我们还研究了这些数字的渐近性，并观察到一个log-rank属性。
A 15/31 Counterexample Family to the Albertson-Berman Conjecture
该研究构造了顶点数为31的平面三角剖分作为反例，还构建了一系列顶点数为31k的平面图，证明Albertson-Berman猜想不成立，给出了反例族。
The two higher Stasheff-Tamari orders are equal
循环多面体的三角剖分集合具有两个先验不同的偏序，称为高阶Stasheff-Tamari序。第一个是由Kapranov和Voevodsky提出的，第二个是由Edelman和Reiner提出的，他们也在1996年证明了这两个是一致的。在本文中，我们证明了他们的猜想，从而大大增加了我们对这些订单的理解。这一结果也有分歧的表示论的代数，建立在以前的工作的作者。实际上，这意味着对于$A$型的高阶Auslander代数，倾斜模、簇倾斜对象及其极大链上的两个相应阶是相等的。
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