Goppa codes over Edwards curves
Giuseppe Filippone
给定一个Edwards曲线，我们确定一个基的Riemann-Roch空间的任何因子，其支持不包含任何的两个奇点。这个基础使我们能够计算生成矩阵的代数几何Goppa代码的爱德华兹曲线。
Given an Edwards curve, we determine a basis for the Riemann-Roch space of any divisor whose support does not contain any of the two singular points. This basis allows us to compute a generating matrix for an algebraic-geometric Goppa code over the Edwards curve.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Goppa code and quantum stabilizer codes from plane curves given by separated polynomials
本文研究可分离多项式平面曲线的代数性质，在其上构造 Goppa 码，并利用 Hermitian 自正交 AG 码生成参数良好的量子稳定子码，以提升通信网络的可靠性与性能。
Rank Two Bundles on Algebraic Curves and Decoding of Goppa Codes
我们研究了两个主题之间的连接：解码Goppa码所产生的代数曲线，并排名两个扩展的某些线束的曲线。
Goppa Duality for Surfaces
本文将经典的 Goppa 对偶性从 Gorenstein 曲线推广到曲面，建立了关于将指定点作为两个除子完全交的线性级数的对偶性，并给出了在 Veronese 曲面存在性与唯一性方面的应用及 Coble 结果的替代证明。
On the duals of geometric Goppa codes from norm-trace curves
本文研究了范迹曲线上的一大类赋值码的对偶码。我们明确地找出它们的最小距离，并给出了它们的最小重量码字的数量的下界。一个一般的几何方法进行，并适用于研究特别是对偶代码的一点和两点代码所产生的范数跟踪曲线，通过Goppa的建设，在许多情况下，提供他们的最小距离和一些界限上的最小重量码字的数量。结果表明，所研究的代码的最小重量码字的支持作为射影平面的零维子计划遵守一些精确的几何规律。最后，我们计算了一些经典的两点Goppa码在范数迹曲线上的维数。
Goppa-like AG codes from $C_{a,b}$ curves and their behaviour under squaring their dual
本文提出可从任意亏格曲线构造的类 Goppa 代数几何码，通过分析 $C_{a,b}$ 曲线上码的对偶平方维数评估其抵抗区分器攻击的能力，并用数值实验验证理论界的紧性。
On the minimum distance and the minimum weight of Goppa codes from a quotient of the Hermitian curve
本文研究了Hermitian曲线的平面导数所产生的求值码，它由形式为$y^q+y=x^m$的仿射方程定义，$q$是素数幂，$m$是能整除$q+1$的正整数.从几何角度研究了这类码的对偶最小距离和最小权。在许多情况下，我们完全描述了最小重量码字的对偶码通过几何特征的支持，并提供他们的数量。最后，我们应用我们的结果来描述Goppa码的经典感兴趣的曲线。
Convolutional Goppa Codes
定义了代数曲线上的卷积Goppa码，并构造了相应的对偶码.给出了投影线和椭圆曲线上的例子，特别是得到了一些最大距离可分（MDS）卷积码。
Two Kinds of Division Polynomials For Twisted Edwards Curves
本文给出了两种扭曲Edwards曲线的除多项式。它们的主要性质是它们是给定的扭曲Edwards曲线的$n$ -扭点。我们还提出了这些多项式的系数，这可能有助于计算的结果。
A Generalized Floor Bound for the Minimum Distance of Geometric Goppa Codes and its Application to Two-Point Codes
我们证明了几何Goppa码的最小距离的一个新的界，推广了以前的两个改进的界限。我们包括的例子绑定到一个和两个点代码的铃木和埃尔米特曲线。
Quantum Error Correction with Goppa Codes from Maximal Curves: Design, Simulation, and Performance
本文研究由极大曲线构造的 Goppa 码及其量子稳定子码，通过参数改进与仿真验证其在不同错误率下的性能，展示了系统化构造方法与参数权衡的应用价值。
Division polynomials for twisted Edwards curves
本文给出了扭曲Edwards曲线的除多项式。它们的主要性质是它们是给定的扭曲Edwards曲线的$n$ -扭点。我们还提出了这些多项式的系数，这可能有助于计算的结果。
The Group Law for Edwards Curves
本文给出了Bernstein，Lange等人关于Edwards椭圆曲线群律的一个初等计算证明，爱德华兹和弗里德尔。结合律表示为整数上的多项式恒等式，可直接通过多项式除法进行检验。不需要诸如相交数、Bézout定理、射影几何、除数或黎曼洛克之类的概念。证明的目的是方便椭圆曲线密码的形式化验证。
Goppa Codes: Key to High Efficiency and Reliability in Communications
本文研究基于特定极大曲线的代数几何码，通过调整Hermitian自正交量子稳定子码的参数获得良好性能，并展示了其在噪声电力线通信中实现高数据速率传输的潜力。
Formal Proof of the Group Law for Edwards Elliptic Curves
本文给出Edwards椭圆曲线群律的一个初等计算证明。结合律表示为整数上的多项式恒等式，可直接通过多项式除法进行检验。与其他证明不同，不需要诸如相交数、Bezout定理、射影几何、除数或黎曼罗克之类的概念。群律的证明在Isabelle/HOL证明助手中得到了形式化。
Goppa goemetry codes via elementary methods (In Portuguese)
本文的主要目的是利用J.H. van Lint，R.Pellikaan和T. 1998年左右的霍霍德。本文的第一部分介绍了代数曲线上有理函数体的基本概念，为Goppa码的经典定义奠定了基础。在这项研究中，我们主要是根据自己的书？代数函数域与代码阁下于施蒂希滕斯第二部分是开始与介绍有关的功能的重量，程度和秩序，这是基本的研究Goppa码通过线性代数和半群的初等方法，这种研究是基于？代数几何编码关于J.H. van Lint，R.Pellikaan和T.霍德
Edwards curve point counting method and supersingular Edwards and Montgomery curves
我们考虑有限域$\text{F}_{p^n}$上Edwards \cite{E, SkOdProj}的代数仿射和射影曲线。现代密码学中的大多数密码体制\cite{SkBlock}都可以自然地转化为椭圆曲线\cite{Kob}。我们研究有限域上的Edwards代数曲线，它是目前最有前途的支持点集，用于快速群运算\cite{Bir}。构造了一种计算有限域上Edwards曲线阶数的新方法.由于椭圆曲线与Edwards曲线之间的双有理等价，它可以应用于椭圆曲线的阶。我们不仅找到了一组特定的系数与相应的领域的特点，这些曲线是超奇异的，但也是一个通用的公式，它可以确定是否曲线$E_d[\mathbb{F}_{p^n}]$是超奇异在这个领域或没有。研究了有限域上$\mathbb{F}_{p^n}$上Edwards超奇异曲线的嵌入度，找到了嵌入度最小的域特征，并得到了$\mathbb{F}_{p^n}$上Edwards曲线超奇异性的判据.并给出了椭圆曲线上周期具有确定性下估计的密码稳定序列的生成器。
On a two-parameter family of tropical Edwards curves
本文引入 Edwards 椭圆曲线的双参数平面嵌入族，结合 theta 一致化与超离散化方法，给出了 $a\ o 1$ 退化时热带曲线环状部分的坐标公式，并阐明如何将其恢复为 Bruhat-Tits 树的商。
Differential Goppa Codes
本文研究了微分戈普夫码的构造与性质，通过n-jets理论和Hasse-Schmidt导数定义码字，并建立了对偶定理，证明戈普夫码是其真子类。
Exp function for Edwards curves over local fields
本文将椭圆曲线的 Exp 映射从复数域短 Weierstrass 形式推广到局部域上的 Edwards 曲线，并具体计算了 p-进数域上的 Exp 映射。
A Goppa-like bound on the trellis state complexity of algebraic geometric codes
对于长度为$n$且维数为$k$的线性码$\cC$，Wolf注意到$\cC$的网格状态复杂度$s(\cC)$的上界为$w(\cC):=\min(k,n-k)$。本文给出了$s(\cC)$的一些新的下界.特别地，如果$\cC$是代数几何码，则为$s(\cC)\geq w(\cC)-(g-a)$，其中$g$是基础曲线的亏格，而$a$是代码的丰度。
On arithmetic progressions on Edwards curves
设m为正整数，a，q为有理数。用AP_m（a，q）表示有理数d的集合，使得a，a+q，.，a+（m-1）q在Edwards曲线E_d中形成一个等差数列：x^2+y^2=1+ dx^2y^2。本文研究了集合AP_m（a，q），并用代数曲线上的有理点对它进行了参数化。
On the Goppa morphism
本文研究了从代数曲线到线性码的Goppa构造作为模栈的映射，证明了Goppa映射的浸没性和普遍单射性，并探讨了零特征情况下模栈的结构。
An analog of the Edwards model for Jacobians of genus 2 curves
本文给出了亏格2曲线雅可比簇的P^3 x P^3嵌入显式方程，作为椭圆曲线Edwards模型的自然类比，比标准P^15版本更简洁，并在特定条件下具有普遍群定律。
Faster computation of the Tate pairing
本文提出了计算Tate配对的Miller算法中的加倍和加法步骤的新的显式公式。对于爱德华兹曲线，公式来自一种新的看待算术的方式。本文通过给出加法和乘法中出现的函数，对Edwards曲线上的群律给出了第一个几何解释。计算函数的系数和点的和或加倍比所有先前提出的Edwards曲线配对公式更快。它们甚至与所有已发表的Weierstrass曲线配对计算公式具有竞争力。我们也加快配对计算的魏尔斯特拉斯曲线在雅可比坐标。最后，我们提出了几个配对友好的爱德华兹曲线的例子。
Decoding of scroll codes
定义并研究了一类由有限域上任意亏格曲线的涡卷得到的码。这些码以一种自然的方式推广了Goppa码，并且这些码的正交补属于同一类。我们将展示如何症状的差错向量对应于某些向量丛扩展，以及如何解码是相关的，以找到不稳定的子束。
Still better nonlinear codes from modular curves
结合Goppa构造的两个新的改进，利用有限域k上具有多个有理点的模曲线的几何性质，给出了有限域k上非线性纠错码的一个新的构造.由此产生的代码是渐近目前已知的最好的。
Explicit bases of the Riemann-Roch spaces on divisors on hyperelliptic curves
对于亏格为$g$的（虚）超椭圆曲线$\mathcal{H}$，我们确定了Riemann-Roch空间$\mathcal{L}(D)$的一个基，其中$D$是一个正次数因子$n$，线性等价于$P_1+\cdots+ P_j+(n-j)Ω$，其中$Ω$是一个Weierstrass点，取为无穷远点.作为应用，我们确定了$j=g=3$和$n=4.$的Goppa码的生成矩阵
Remarks on codes from modular curves: MAGMA applications
讨论由曲线产生的AG或Goppa码的解释性论文，首先从抽象的一般角度，然后转向与模曲线相关的具体示例。我们将尝试用一个特殊的例子来解释这些非常技术性的思想，在一个典型的研究生的水平上，有一些背景的模形式，数论，群论，代数几何。包括许多使用MAGMA的例子。
Toric codes over finite fields
在本文中，一类纠错码与复曲面簇相关联，复曲面簇与有限域$\fff_q$上定义的扇形相关联，类似于与曲线相关联的Goppa码类。对于满足一定条件的复曲面码，我们提出了一种有效的对偶Goppa码的译码算法。列举了许多实例。对于小的$q$，这些代码中的许多代码具有超过Gilbert-Varshamov界限的参数。事实上，使用复曲面代码，我们构造了一个$(n,k,d)=(49,11,28)$代码在$\fff_8$，这是优于任何其他已知的代码中列出的Brouwer的在线表中的$n$和$k$。
Mumford representation and Riemann Roch space of a divisor on a hyperelliptic curve
本文研究带 Weierstrass 无穷远点的超椭圆曲线，证明可由零次除子的 Mumford 表示直接构造相应 Riemann–Roch 空间的基，并用于得到 Goppa 码生成矩阵。
The Ubiquity of Order Domains for the Construction of Error Control Codes
序域是一类由Høholdt、van Lint和Pellikaan引入的交换环，用于简化差错控制码的理论，并使用代数几何的思想。该定义主要是由Berlekamp-Massey-Sakata（BMS）解码算法中使用的结构激发的，其中Feng-Rao多数投票用于未知的伴随式，应用于从曲线构造的单点几何Goppa码。然而，序域是更一般的，和O 'Sullivan已经表明，BMS算法可以适用于解码所有的代码构造从序域的一个适当的推广戈帕的程序曲线。本文首先讨论有限域上函数域的序域与赋值之间的关系。在适当的条件下，我们将看到有限域上的一般射影簇具有射影模型，可以用来构造序域和Goppa型码，BMS算法适用于Goppa型码.然后，我们将给出一个稍微不同的解释盖尔和Pellikaan的外在表征秩序域通过理论的Gröbner基地，并表明他们的结果是有关的存在环面变形的品种。为了说明这些意见的潜在用途，我们提出了一系列新的明确的例子，序域与品种有许多有理点在有限域：埃尔米特超曲面，格拉斯曼，旗品种。
Excellent nonlinear codes from modular curves
利用有限域上的代数曲线构造了一种新的纠错码。在大小为q 0 ^2的域上亏格g -> infty的模曲线产生的非线性码比从相同曲线获得的线性Goppa码更有效。这些新的代码现在具有已知的字母表大小和差错率的某些范围的最高渐近传输速率。这些新记录代码的理论和可能的实际应用都需要开发新的工具。在理论方面，建立传输速率取决于Schanuel定理应用于渐近最优曲线的函数域的误差估计。在计算方面，代码的实际使用将取决于曲线计算代数几何中新问题的解决方案。
Coset bounds for algebraic geometric codes
对给定的曲线X和因子类C，给出因子A的次数的下界，使得A和A-C属于指定的因子半群.对于适当的半群选择，我们得到了（1）在敌手门限为C的代数几何线性秘密共享方案中，能恢复秘密的A方的大小的下界，以及（2）在设计的最小支持度为C的几何Goppa码中，码字的支持度A的下界.我们的界包括和改进的顺序界和地板界。的界限示出了两点码的一般厄米和铃木曲线。
Explicit bases for Riemann-Roch spaces on elliptic curves and their application in constructing various elliptic code families
本文提出了一种构造任意椭圆曲线分歧Riemann-Roch基的方法，并探讨其在密码学中的应用，特别是用于改进McEliece公钥密码系统。
Codes from surfaces with small Picard number
M. Zarzar，我们评估的潜力Goppa型评价码构造的线性系统上的投影代数曲面与小皮卡德数。把这个条件的皮卡德数提供了一些控制的数量不可约的组成部分的曲线在表面上，因此在最小距离的代码。我们发现，这样的表面不自动产生良好的代码，表面的截面属也有重大影响。利用这个额外的不变量，我们在超平面截面类生成Néron-Severi群的假设下推导出最小距离的界。我们还给出了几个例子，从这样的表面最小的距离比最好的知名界在Grassl的表的代码。
Error Correcting Codes on Algebraic Surfaces
定义了纠错码并解释了码的重要参数。研究了代数曲面上构造的新码的参数。特别是对$\proj^2$中由点爆破产生的代码进行了简要的研究，然后讨论了直纹曲面产生的代码。本文对亏格为0的曲线上直纹曲面的码进行了全面的分析，发现了一些比长度相近的直积Reed Solomon码更好的码。亏格为1的曲线上的直纹曲面也被研究，但不是所有的类都被完全分析。然而，在这种情况下，一个家庭的代码被发现，是性能相当的直积代码的里德所罗门码和戈帕码。一些进一步的工作是从更高的亏格曲线的表面上做，但仍然有很多工作要做，在这个方向上，充分理解所产生的代码。代码所产生的吹点的表面上也进行了研究，获得必要的参数，构建这样的代码的无限家庭。还包括一份文件，给出明确的公式曲线更多的\field{q} -有理点比以前已知的某些组合领域的大小和属。从这些例子中，现在已知某些上界是最优的。
Residus de 2-formes differentielles sur les surfaces algebriques et applications aux codes correcteurs d'erreurs
代数-几何码的理论是在80年代初V.D.哥帕给定有限域上的光滑射影代数曲线X，有两种不同的纠错码构造方法。第一个，称为“泛函”，使用X上的一些有理函数，第二个，称为“微分”，涉及这个曲线上的一些有理1-形式。数百篇论文致力于研究这种代码。另外，Y.马宁在1984年的一篇文章中。关于这类码的一些论文已经发表，但是关于将微分构造推广到高维情形的工作还没有做。在这篇论文中，我们提出了代数曲面上码的微分构造。然后，我们研究了这些码的性质，特别是它们与函数码的关系。一个相当令人惊讶的事实是，与曲线情况的主要区别出现了。事实上，如果在曲线的情况下，微分代码总是函数代码的正交，那么这个断言通常对曲面失败。最后的观察激发了代码的研究，这些代码是表面上的一些功能代码的正交。因此，我们证明了，在一定条件下，表面上，这些码可以实现为差分码的和。此外，我们表明，一些开放的问题的答案“一拉贝尔蒂尼”可以给这些代码的参数非常有趣的信息。
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