Some More Functions That Are Not APN Infinitely Often. The Case of Kasami exponents
本文证明了当n较大时，某些Kasami次数的多项式是F_{q^n}上的APN的一个必要条件.
2011-01-31 cs.IT math.IT math.NT
Polynomial functions of degree 20 which are APN infinitely often
给出了无穷域扩张上APN的所有20次多项式函数，并证明了它们都与函数$x^5$ CCZ等价，这是证明Aubry，McGuire和Rodier猜想的一个新步骤.
2013-01-25 cs.CR cs.IT math.IT
Infinite families of 3-designs from APN functions
组合$t$ -设计在编码理论、有限几何和工程领域有很好的应用。研究了如何利用$2$ -传递置换群得到$3$ -设计.研究了基块轨道在一般仿射群作用下形成的关联结构，这些仿射群是$2$ -传递的。给出了这种关联结构是一个$3$ -设计的特征，并给出了基块稳定器是平凡的一个充分条件。利用这些一般性结果，利用APN函数构造了$3$ -设计的无限族.本文提出的某些$3$ -设计可产生具有已知最佳或最佳参数的自对偶二元码或线性码。文中还给出了几个关于$3$ -设计和二进制码的例子。
2019-04-09 cs.IT math.IT
On the Fourier Spectra of the Infinite Families of Quadratic APN Functions
定义在奇数次有限域上的二次函数几乎弯曲（AB）当且仅当它几乎完全非线性（APN）。对于偶数度的情况，函数的傅立叶谱中的值与APN属性之间没有明显的关系。在这篇文章中，我们计算的傅里叶谱的新的四项家庭的APN功能。有了这个结果，所有已知的APN函数的无限族现在都有了它们的傅里叶谱，因此计算了它们的非线性。
2008-11-28 cs.CR cs.DM cs.IT
A Few More Quadratic APN Functions
我们提出了两个无限家庭的APN功能的领域的程度是可分的3，但不是9。我们的家庭包含两个已知的家庭作为特殊情况。我们还讨论了不等价性证明（通过计算），这表明这些功能是新的。
2008-04-30 cs.IT math.IT
A Note on Cyclic Codes from APN Functions
循环码作为编码理论中的线性分组纠错码，具有重要的地位和广泛的应用。Ding在\cite{D}中利用有限域上的几乎完全非线性（APN）函数和平面函数构造了一类循环码，并提出了关于高度非线性函数循环码的十个公开问题.在本文中，我们考虑两个公开的问题，涉及反APN函数$f(x)=x^{q^m-2}$和Dobbertin APN函数$f(x)=x^{2^{4i}+2^{3i}+2^{2i}+2^{i}-1}$。通过计算这两类APN函数生成的两个序列的线性跨度和最小多项式，确定了相应循环码的维数，并给出了这些循环码最小重量的下界。实际上，我们提出了一个由$s_t=Tr((1+α^t)^e)$定义的序列$s^{\infty}$的最小多项式和线性跨度的框架，其中$α$是$GF(q)$中的本原元素。这些技术也可应用于\cite{D}中的其他开放问题。
2013-05-31 cs.IT math.IT
Cyclic Codes from APN and Planar Functions
循环码是线性码的子类，并且由于它们具有有效的编码和解码算法而在消费电子、数据存储系统和通信系统中具有应用。本文利用有限域上的几乎完全非线性函数和平面函数构造了几类循环码。给出了几类循环码的最小重量的下界。确定了本文所构造的其它几类码的最小重量。代码的尺寸是灵活的。本文中提出的许多码是最优或几乎最优的，因为它们满足线性码的某些上界。还提出了十个关于高度非线性函数的循环码的公开问题。
2012-06-20 cs.IT math.IT
On a Class of Quadratic Polynomials with no Zeros and its Application to APN Functions
证明了在$\gf_{2^{2k}}$上存在一个形式为$F(x)=x^{2^{s}+1} + x^{2^{k+s}+2^k} + cx^{2^{k+s}+1} + c^{2^k}x^{2^k + 2^s} + δx^{2^{k}+1}$的APN函数族，其中$k$是偶数，$\gcd(2k,s)=1, 3\nmid k$ .这实际上是Lilya Budaghyan和Claude Carlet提出的APN族，他们在\cite{carlet-1}中表明，当存在$c$时，函数是APN，使得多项式$y^{2^s+1}+cy^{2^s}+c^{2^k}y+1=0$在$\gf_{2^{2k}}$中没有解。在\cite{carlet-1}中，他们用计算机证明了这样的元素$c$可以在许多域上找到，特别是当域的度不能被3整除时。我们表明，这样的$c$存在时，$k$是偶数和$3\nmid k$（并演示为什么$k$奇数情况下，只重新描述了现有的家庭APN功能）。给出了这些系数的形式，以便我们可以写出APN函数的无限族。
2011-10-14 cs.IT math.IT
Three Infinite Classes of APN Permutations on $Z_n$
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文在循环群上构造了三族无限类APN置换，利用Singer循环、二项式和完成倒数等方法，首次自2011年以来产生无限多个非标准形式的合数阶数，填补了该领域的空白。
2026-09-09 cs.IT math.CO math.IT
A Further Study of Quadratic APN Permutations in Dimension Nine
最近，Beierle和Leander在9维空间中发现了两个新的偶发二次APN排列。直到EA-等价，我们提出了一个单一的三元表示的这两个排列为$C_u \colon (\mathbb{F}_{2^m})^3 \rightarrow (\mathbb{F}_{2^m})^3, (x,y,z) \mapsto (x^3+uy^2z, y^3+uxz^2,z^3+ux^2y)$，其中$m=3$和$u \in \mathbb{F}_{2^3}\setminus\{0,1\}$，使得这两个排列对应于不同的选择$u$。然后，我们分析了在更一般的情况下的微分均匀性和$C_u$的非线性。特别是，对于$m \geq 3$是3的倍数和$u \in \mathbb{F}_{2^m}$不是7次幂，我们表明，$C_u$的微分均匀性是由8以上的界限，和$C_u$的线性度是由$8^{1+\lfloor \frac{m}{2} \rfloor}$以上的界限。基于数值实验，我们推测当$m$大于$3$时，$C_u$不是APN.我们还分析了迄今为止已知的9维二次APN置换的CCZ-等价类，并推导出它们的EA-等价类的个数的下界。我们进一步表明，这两个零星的APN排列共享一个有趣的相似性，黄金APN排列在奇数维可被3整除，即一个排列EA-不等价于那些零星的APN排列和它们的逆，可以通过只应用EA变换和反转的原始排列。
2022-04-25 cs.IT math.IT
Quadratic APN Functions in Dimension 8 via Gröbner Basis Search in a Self-Equivalence Subspace
eCampus University（欧洲开放大学）
本文在8维自等价子空间中通过Gröbner基搜索发现566个二次APN函数，其中4个新CCZ等价类（500个函数）未被现有数据库收录，并验证了搜索管道的正确性。
2026-06-23 cs.CR cs.IT math.CO
On the Niho type locally-APN power functions and their boomerang spectrum
在这篇文章中，我们重点介绍了Blondeau，Canteaut和Charpin引入的局部APN的概念（“APN”是着名的几乎完美非线性概念的缩写），这使得S盒的语料库在其差分一致性方面变得更大，因此，可能更适合对抗差分攻击（或其变体）。具体地说，给定两个互质正整数$m$和$k$使得$\gcd(2^m+1,2^k+1)=1$，我们研究了有限域${\mathbb F}_{2^{2m}}$上形式为$F(x)=x^{s(2^m-1)+1}$的Niho型幂函数族的局部APN性质，其中$(2^k+1)^{-1}$表示模$2^m+1$的乘法逆.通过对有限域（偶特征域）上某些方程的解的个数的研究，以及对某些方程的求解的一些巧妙操作，我们证明了$F(x)$是局部APN，并确定了它的微分谱.值得注意的是，计算机实验表明，这类局部APN功率函数涵盖了$2\leq m\leq10$的所有Niho型局部APN功率函数。此外，我们还利用微分谱确定了$F(x)$的回飞棒谱，特别推广了Yan，Zhang和Li最近的一个结果.
2022-08-04 cs.IT math.IT
On functions of low differential uniformity in characteristic 2: A close look (I)
本文提出 APN-defect 以衡量函数到 APN 函数集合的距离，分析其与相关概念的关系、界值及逆函数修改情形。
2024-06-11 cs.IT math.IT
On APN Exponents and the Differential and Boomerang Properties of Binomials in Characteristic 3
Institute of Basic Science, Sungkyunkwan University（基础科学研究所，成均馆大学）；Department of Mathematics, Sungkyunkwan University（数学系，成均馆大学）；Applied Algebra and Optimization Research Center, Sungkyunkwan University（应用代数与优化研究中心，成均馆大学）
本文系统分析特征3中二项式的APN幂函数，给出Zha-Wang构造的APN指数显式参数化，证明两类局部PN二项式具有最小回弹均匀度0，并确定另一类二项式的回弹谱。
2026-05-22 cs.CR cs.IT math.IT
Constructing new APN functions through relative trace functions
在2020年，Budaghyan，Helleseth和Kaleyski [IEEE TIT 66（11）：7081-7087，2020]考虑了形式为$x^3+a(x^{2^s+1})^{2^k}+bx^{3\cdot 2^m}+c(x^{2^{s+m}+2^m})^{2^k}$的$\mathbb{F}_{2^{n}}$上的四项多项式的无限族，其中$n=2m$具有$m$奇数。证明了当$\gcd(3,m)=1$，$ k=0 $，$(s,a,b,c)=(m-2,ω, ω^2,1)$或$((m-2)^{-1}~{\rm mod}~n,ω, ω^2,1)$中有$ω\in\mathbb{F}_4\setminus \mathbb{F}_2$时，这类四项多项式能提供新的几乎完全非线性（APN）函数.通过取$a=ω$和$b=c=ω^2$，我们观察到这类四项式可改写为$a {\rm Tr}^{n}_{m}(bx^3)+a^q{\rm Tr}^{n}_{m}(cx^{2^s+1})$，其中$q=2^m$和$ {\rm Tr}^n_{m}(x)=x+x^{2^m} $为$ n=2m$ .受四项多项式和我们的观察的启发，本文研究了一类具有$f(x)=a{\rm Tr}^{n}_{m}(F(x))+a^q{\rm Tr}^{n}_{m}(G(x))$形式的函数，并确定了这类新函数的APN性，其中$a \in…
2021-01-27 cs.IT math.IT
On the weight distributions of several classes of cyclic codes from APN monomials
设$m\geq 3$是一个奇整数，$p$是一个奇素数。%，其中$h$是奇数。本文通过研究分别具有奇偶校验多项式$m_1(x)m_d(x)$和$m_1(x)m_e(x)$的循环码$\mathcal{C}_{(1,d)}$和$\mathcal{C}_{(1,e)}$具有相同重量分布的条件，给出了$\mathbb{F}_{p}$上的许多类三重量循环码，其中$m_i(x)$是$\mathbb{F}_{p}$上$π^{-i}$对$\mathbb{F}_{p^m}$的本原元$π$的最小多项式.对于$p=3$，所提出的五类循环码在满足线性码的某些界的意义上是最优的。此外，对于$p\equiv 3 \pmod{4}$和正整数$e$，使得存在整数$k$，其中$\gcd(m,k)=1$和$τ\in\{0,1,\cdots, m-1\}$满足$(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^τ\pmod{p^m-1}$，确定了两个指数和$T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e)}$和$ S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}, $的值分布，其中$s=(p^m-1)/2$。作为应用，利用$S(a,b,c)$的值分布研究了具有校验多项式$m_…
2013-08-27 cs.IT math.IT
Trims and Extensions of Quadratic APN Functions
在这项工作中，我们研究的功能，可以通过限制向量布尔函数$F \colon \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{F}_2^n$的仿射超平面的尺寸$n-1$，然后投影输出到一个$n-1$维空间。我们表明，一个多集的$2 \cdot (2^n-1)^2$ EA-等价类的限制定义了EA-不变的向量布尔函数$\mathbb{F}_2^n$。此外，对于所有已知的二次APN功能的尺寸$n < 10$，我们确定的限制，也是APN。此外，我们构造了6,368个新的二次APN功能在8维EA-等价扩展的二次APN功能在7维。这项工作的一个特别的重点是二次APN功能的最大线性。特别地，我们通过其限制到线性超平面的正交导数的性质来表征具有$2^{n-1}$的线性的二次APN函数$F \colon \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{F}_2^n$。使用的事实，所有的二次APN功能在7维分类，我们能够获得一个分类的所有二次8位APN功能的线性$2^7$ EA-等效。
2022-03-23 cs.DM cs.IT math.IT
On the Conjecture on APN Functions
有限域$\mathbb{F}$上的几乎完全非线性（APN）函数（必然是多项式函数）称为例外APN，如果它也是$\mathbb{F}$的无穷多个扩张上的APN。在这篇文章中，我们认为最研究的情况下，$\mathbb{F}=\mathbb{F}_{2^n}$。Janwa-Wilson和McGuire-Janwa-Wilson（1993/1996）在2011年提出的一个猜想是，唯一例外的单项APN函数是单项$x^n$，其中$n=2^i+1$或$n={2^{2i}-2^i+1}$（分别是Gold或Kasami指数）。随后的猜想指出，任何例外的APN函数是刚才描述的单项式之一。我们的结果之一是，所有的功能的形式$f(x)=x^{2^k+1}+h(x)$（为任何奇数度$h(x)$，在少数情况下具有温和的条件），是不例外的APN，基本上扩展了最近的几个结果对决议的规定猜想。
2012-07-23 cs.IT math.AG math.CO
Proof of a Conjecture on the Sequence of Exceptional Numbers, Classifying Cyclic Codes and APN Functions
本文证明了一个分类例外数的猜想，指出每个例外数具有 $2^i+1$ 或 $4^i-2^i+1$ 的形式，该猜想同时关联密码学中的APN函数与编码理论中的二元循环码。
2009-09-18 cs.IT math.AG math.IT
The differential spectrum and boomerang spectrum of a class of locally-APN functions
本文研究了${\mathbb F}_{q^2}$上幂映射$F(x)=x^{k(q-1)}$的回飞式谱，其中$q=p^m$，$p$是素数，$m$是正整数，$\gcd(k,q+1)=1$ .我们首先测定了$F(x)$的差示光谱，证明了$F(x)$是局域APN。这将[IEEE Trans. Inf. Theory 57（12）：8127-8137，2011]的结果从$(p,k)=(2,1)$扩展到一般的$(p,k)$。利用微分谱确定了$F(x)$的回旋谱，结果表明，当$p=2$和$m$为奇数时，$F(x)$的回旋均匀性为4，否则为2。我们的结果不仅推广了[Des.密码89：2627-2636，2021]和[arXiv：2203.00485，2022]，但也将示例${\mathbb F}_{2^8}$扩展到[Des.密码89：2627-2636，2021]转化为具有回飞棒一致性2的幂映射的无限类。
2022-07-02 cs.IT math.IT
On the Classification of Dillon's APN Hexanomials
University of Perugia（佩鲁贾大学）；Naval Postgraduate School（海军研究生院）
本文研究了Dillon六项式在有限域上的分类，通过代数方法推导APN条件并排除大量六项式，发现其代数障碍限制了差分均匀性，并通过计算验证了APN六项式的CCZ等价性。
2026-02-21 cs.IT math.AG math.IT
Progress Towards the Conjecture on APN Functions and Absolutely Irreducible Polynomials
几乎完全非线性（APN）函数作为S盒在密码学中非常有用，因为它们具有良好的抵抗差分密码分析的能力。APN函数$f:\mathbb{F}_{2^n}\rightarrow\mathbb{F}_{2^n}$称为例外APN，如果它是$\mathbb{F}_{2^n}$的无限多个扩展上的APN。Aubry、McGuire和Rodier指出，唯一例外的APN函数是Gold和Kasami-Welch单项函数。他们建立了一个奇数次的多项式函数不是例外APN，只要它的次数不是Gold数$(2^k+1)$或Kasami-Welch数$(2^{2k}-2^k+1)$。当多项式函数的次数为Gold数时，得到了几个部分结果[1，7，8，10，17]。本文的结果之一是证明了多元APN多项式猜想的相对素性，在黄金度的情况下。这有助于我们充分扩展以前的结果。证明了$x^{2^k+1}+h(x)$形式的Gold次数多项式不能是例外APN，其中$deg(h)$是任意奇数（自然例外）.我们还证明了有限域上几类多元多项式的绝对不可约性，并讨论了它们的应用。
2016-01-30 cs.CR cs.IT math.AG
On the differential spectrum of a class of APN power functions over odd characteristic finite fields and their $c$-differential properties
文献中只研究了奇特征有限域上的三类几乎完全非线性幂函数，并确定了它们的微分谱。Helleseth和Sandberg在1997年研究了$p^n$阶有限域$F_{p^n}$上的幂函数$F(x)=x^{\frac{p^{n}-3}{2}}$的微分一致性，其中$p$是奇素数，$p^n\equiv3\pmod{4}$是具有$p^n>7$的奇素数幂。结果表明，当$p^n=27$时，$F$为PN，当$5$在$F_{p^n}$中为非正方形时，$F$为APN，当$5$在$F_{p^n}$中为正方形时，$3$为差分$3$ -均匀。本文通过研究$F_{p^n}$上的某些方程组和某些特征和，完全确定了$F_{p^n}$的微分谱.本文研究了$F_{p^n}$（$p$ odd）上具有偶$d$的幂函数$x^d$，所考虑的幂函数$F$是具有最低微分一致性和非平凡微分谱的APN.此外，我们研究了所谓的$c$ -微分均匀性的扩展，通过调查$F$的$c$ -微分性质。具体地说，给出了$F$的$c$-微分均匀性的上界，并考虑了当$c=-1$ .最后，我们强调，在我们的研究所考虑的幂函数的微分谱，我们提供的方法，用于评估与椭圆曲线的连接的特定字符的总和，并确定有限域上的特定方程组的解的数量。
2022-10-19 cs.IT math.IT
Infinite families of APN permutations in constrained trivariate classes over $\mathbb{F}_{2^m}$
University of Perugia（佩鲁贾大学）；Naval Postgraduate School（海军研究生院）
本文研究了二元约束三元类中无限族的APN置换，通过允许标量参数在F_{2^m}^*中变化，扩展了Li-Kaleyski的两个APN置换族，并证明了G_a和H_a的根条件及强不等价性。
2026-03-16 cs.CR cs.IT math.IT
Three-Weight Ternary Linear Codes from a Family of Monomials
基于一般构造方法，从一族幂函数（包括一些APN幂函数）中得到了两类三元三重线性码。通过研究与幂函数相关的指数和的性质，确定了这些线性码的重量分布。
2016-04-11 cs.IT math.IT
Two low differentially uniform power permutations over odd characteristic finite fields: APN and differentially $4$-uniform functions
有限域上的置换多项式是基本对象，因为它们用于密码学、编码理论、组合设计和相关主题中的各种理论和实际应用中。这一系列的多项式构成了一个积极的研究领域，其中不断取得进展。特别是，构造有限域上具有良好微分性质（即低）的置换多项式的无限类仍然是一个令人兴奋的问题，尽管在这个方向上进行了多年的研究。本文给出了奇特征有限域上的低微分均匀幂置换。具体地说，它的目标是双重的关于幂函数$F(x)=x^{\frac{p^n+3}{2}}$定义在有限域$F_{p^n}$的顺序$p^n$，其中$p$是一个奇素数，$n$是一个正整数。首先是补充一些以前的结果发起Helleseth和桑德伯格在\cite{HS}解决开放的问题留下了二十多年的关于确定的差分谱的$F$时，$p^n\equiv3\pmod 4$和$p\neq 3$。二是确定其微分均匀性的精确值。我们的成果首先通过计算$F_{p^n}$上的一些指数和（这相当于计算一些相关曲线上的$F_{p^n}$ -有理点的数目），其次通过计算Helleseth，Rong和Sandberg在[“New families of almost perfect nonlinear power mapping，”IEEE Trans. Inform.理论，45卷。No.2，1999]，在测定$F$的微分光谱时自然出现。我们表明，在所考虑的情况下（$p^n\equiv3\pm…
2022-10-19 cs.IT math.IT
Recovering or Testing Extended-Affine Equivalence
Extended Affine (EA) equivalence is the equivalence relation between two vectorial Boolean functions $F$ and $G$ such that there exist two affine permutations $A$ , $B$ , and an affine function $C$ satisfying $G = A \circ F \circ B + C$ . While the problem has a simple formulation, it is very difficult in practice to test whether two functions are EA-equivalent. This problem has two variants: { \em EA-partitioning} deals with partitioning a set of functions into disjoint EA-equivalence classes, and \emph{EA-recovery} is about recovering the tuple $(A,B,C)$ if it exists. In this paper, we prese…
2022-05-16 cs.CR cs.DM cs.IT
On two-to-one mappings over finite fields
有限域上的二对一（$2$ -to- $1$）映射在对称密码学中起着重要的作用。特别地，它们允许设计APN函数、弯曲函数和半弯曲函数。本文系统地研究了有限域上的二对一映射。我们通过Walsh变换刻画了这类映射。我们还提出了几个建设，包括AGW的标准，建设的形式$x^rh(x^{(q-1)/d})$，那些从置换多项式，从线性翻译和APN功能。然后，我们给出了$2$ -to- $1$多项式映射在经典多项式类中的应用：线性化多项式和单项式，低次多项式，Dickson多项式和Muller-Cohen-Matthews多项式等.最后，我们给出了有限域上$2$ -to- $1$映射在构造弯曲布尔函数和向量弯曲函数，半弯曲函数，平面函数和置换多项式中的应用.在所有这些方面，我们将回顾已知的情况，并提供一些新的结果。
2019-06-27 cs.CR cs.IT math.IT
Resolving a conjecture on quadratic APN functions and a new quadratic $(n,n)$-function associated to crooked functions
Universities of Paris 8, France（巴黎第八大学）；Bergen, Norway（卑尔根大学）；Department of Mathematics, Vanderbilt University, USA（范德堡大学）
该研究解决了Gorodilova关于二次APN函数正交导数非零分量代数次数的猜想，证明了弯曲函数正交导数的相关性质，还得到了$m$-序列问题的同余结果及特定布尔函数的精确代数次数。
2026-09-09 cs.IT math.CO math.IT
The Differential and Boomerang Properties of a Class of Binomials
本文研究了有限域上一类二项式函数的差分与回旋镖性质，确定了其差分均匀度、差分谱及回旋镖均匀度，并推翻了关于存在无穷多 APN 函数实例的猜想。
2024-09-25 cs.CR cs.IT math.IT
Universal Coding on Infinite Alphabets: Exponentially Decreasing Envelopes
本文研究可数无限字母表上的通用无损编码问题。它侧重于一些类的源定义的包络条件的边缘分布，即指数下降包络类的指数$α$。证明了指数递减包络类的极大极小冗余等价于$\frac{1}{4 α\log e} \log^2 n$.然后提出了一种编码策略，贝叶斯冗余等价于最大最小冗余。最后给出了一种自适应算法，其冗余度等价于极小极大冗余度
2010-05-31 cs.IT math.IT
Two infinite classes of rotation symmetric bent functions with simple representation
在文献中，很少有$n$ -变量旋转对称bent函数被构造。本文给出了$\mathbb{F}_2^{n}$上两种形式的旋转对称bent函数的两个无限类：{ \rm（i）} $f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}x_ix_{i+m} + γ(x_0+x_m,\cdots, x_{m-1}+x_{2m-1})$，{ \rm（ii）} $f_t(x)= \sum_{i=0}^{n-1}(x_ix_{i+t}x_{i+m} +x_{i}x_{i+t})+ \sum_{i=0}^{m-1}x_ix_{i+m}+ γ(x_0+x_m,\cdots, x_{m-1}+x_{2m-1})$，\noindent其中$n=2m$，$γ(X_0,X_1,\cdots, X_{m-1})$是任意旋转对称多项式，$m/gcd(m,t)$是奇数.旋转对称Bent函数类（i）的代数次数范围为2到$m$，另一类（ii）的代数次数范围为3到$m$。
2015-09-01 cs.IT math.IT
Further study of $2$-to-$1$ mappings over $\mathbb{F}_{2^n}$
有限域上的$2$ -to- $1$映射在对称密码学中起着重要的作用，特别是在构造APN函数、Bent函数、semi-Bent函数等方面，最近Mesnager和Qu \cite{MQ2019}对有限域上的$2$ -to- $1$映射进行了系统的研究.特别地，他们确定了在任何有限域上度至多为4的所有$2$到$1$映射。此外，另一个研究方向是考虑具有少项的$2$ -to- $1$多项式。在\cite{MQ2019}中得到了$2$ -to- $1$单式和二项式的一些结果.受他们工作的启发，本文进一步研究了有限域上的$2$ -to- $1$映射，特别是具有特征$2$的有限域上的$2$ -to- $1$映射（二进制情形是最有趣的应用）.首先，我们利用著名的Hasse-Weil界完全确定了$\mathbb{F}_{2^n}$上次数为$5$的$2$ -to- $1$多项式。此外，我们还考虑了$2$ -to- $1$映射，主要是三项和四项.利用多元方法和两个多项式的结式，我们给出了两类$2$ -to- $1$三项式，解释了$x^k+βx^{\ell} + αx\in\mathbb{F}_{2^n}[x]$-to- $1$三项式的所有例子，并导出了$n\le 7$上的12类系数为平凡的$2$ -to- $1$四项式.
2019-10-15 cs.IT math.IT
Two classes of constacyclic codes with a square-root-like lower bound
本文构造并分析了两类无限长度的 $q$ 元负循环码和常循环码，并作为副产物给出了两类最小距离具有类平方根下界的三元负循环自对偶码。
2024-04-29 cs.IT math.IT
Permutations via linear translators
我们表明，许多无限类的置换在有限域上可以构造通过翻译与一个大的参数选择。本文首先刻画了一些具有线性平移子的函数，然后在此基础上导出了几个置换族。推广了文[10]的结果，我们在几种情况下给出了这些置换的合成逆.与完全排列的连接也被用来提供进一步的无限类排列。此外，我们提出了新的工具来研究形式x映射到x+（x^（p^m）- x+ lambda）^s的置换，并提出了几个无限类的这种形式的置换。
2016-12-12 cs.IT math.IT
Finite Biased Teaching with Infinite Concept Classes
Universitat Politècnica de València（瓦伦西亚理工大学）；University of Bergen（卑尔根大学）
我们通过学习偏误（学习者使用学习偏误来偏好某些概念，教师使用学习偏误来设计教学实例）和抽样偏误（抽样偏误决定概念如何从类中抽样）的影响来研究无限概念类的教学。我们分析两个重要的类：图灵机和有限状态机。我们推导出有偏见的教学维度时，学习偏见是来自复杂性的措施（Kolmogorov复杂性和最小数量的国家分别）和分析的抽样分布，导致有限的预期有偏见的教学维度的界限。我们强调了现有的权衡之间的界限和样本的代表性，其影响的理解是什么丰富的概念，机器需要。
2018-04-19 cs.AI cs.IT math.IT
A connection between the boomerang uniformity and the extended differential in odd characteristic and applications
本文首次建立经典差分/回旋镖均匀度与 c-差分均匀度的联系，证明奇 APN 函数的回旋镖均匀度等于其 (-1)-差分均匀度，并据此构造低差分均匀度函数、完成 p=3 情形的置换多项式刻画，推广奇特征下的差分均匀度上界。
2024-08-06 cs.DM cs.IT math.IT
Almost perfect nonlinear power functions with exponents expressed as fractions
California State University, Northridge（北岭加州州立大学）；Schweitzer Engineering Laboratories, Inc.（施维策工程实验室有限公司）
本文研究了一类APN幂函数的指数表达形式，通过重新表述指数形式，实现了对差分谱的精确分析，并确定了任意差分导数纤维中的元素。
2026-06-04 cs.CR cs.DM cs.IT
