It is well known that a quadratic function defined on a finite field of odd degree is almost bent (AB) if and only if it is almost perfect nonlinear (APN). For the even degree case there is no apparent relationship between the values in the Fourier spectrum of a function and the APN property. In this article we compute the Fourier spectrum of the new quadranomial family of APN functions. With this result, all known infinite families of APN functions now have their Fourier spectra and hence their nonlinearities computed.
On the absolute irreducibility of hyperplane sections of generalized Fermat varieties in $\Bbb{P}^3$ and the conjecture on exceptional APN functions: the Kasami-Welch degree case
设$f$是有限域$F$上的函数。由多元次数多项式$n$，$ϕ(x,y,z)=f(x)+f(y)+f(z)$ in $\Bbb{P}^3(\overline{\mathbb{F}}_2)$定义的广义Fermat簇$X$的分解在几乎完美非线性（APN）函数和例外APN函数的研究中起着至关重要的作用.它们的结构基本上取决于对应于例外度$n=2^k+1$和$n=2^{2k}-2^k+1$（分别为Gold数和Kasami-Welch数）的单项函数的费马簇。Janwa，McGuire和Wilson在[12，13]中得到了非常重要的结果。本文研究了与Kasami-Welch度单项式有关的PDMATHAMO及其分解成绝对不可约分支的问题。我们表明，在这个分解，组件相交横向在一个奇异点。这一结构性事实意味着与Kasami-Welch次数多项式族相关的相应广义Fermat超曲面是绝对不可约的。特别地，我们证明了若$f(x)=x^{2^{2k}-2^k+1}+h(x)$，其中${\rm deg}(h)\equiv 3{\pmod 4}$，则对应的APN多元超曲面是绝对不可约的，因此$f(x)$不是例外APN函数.我们还证明了当${\rm deg}(h)\equiv 5{\pmod 8}$ .由于对于奇数度$f(x)$，该猜想只需要解决黄金度和Kasami-Welch度的情况下，我们的结果大大有助于证明的…
Two low differentially uniform power permutations over odd characteristic finite fields: APN and differentially $4$-uniform functions
有限域上的置换多项式是基本对象，因为它们用于密码学、编码理论、组合设计和相关主题中的各种理论和实际应用中。这一系列的多项式构成了一个积极的研究领域，其中不断取得进展。特别是，构造有限域上具有良好微分性质（即低）的置换多项式的无限类仍然是一个令人兴奋的问题，尽管在这个方向上进行了多年的研究。本文给出了奇特征有限域上的低微分均匀幂置换。具体地说，它的目标是双重的关于幂函数$F(x)=x^{\frac{p^n+3}{2}}$定义在有限域$F_{p^n}$的顺序$p^n$，其中$p$是一个奇素数，$n$是一个正整数。首先是补充一些以前的结果发起Helleseth和桑德伯格在\cite{HS}解决开放的问题留下了二十多年的关于确定的差分谱的$F$时，$p^n\equiv3\pmod 4$和$p\neq 3$。二是确定其微分均匀性的精确值。我们的成果首先通过计算$F_{p^n}$上的一些指数和（这相当于计算一些相关曲线上的$F_{p^n}$ -有理点的数目），其次通过计算Helleseth，Rong和Sandberg在[“New families of almost perfect nonlinear power mapping，”IEEE Trans. Inform.理论，45卷。No.2，1999]，在测定$F$的微分光谱时自然出现。我们表明，在所考虑的情况下（$p^n\equiv3\pm…
