A Few More Quadratic APN Functions
Carl Bracken, Eimear Byrne, Nadya Markin, Gary McGuire
我们提出了两个无限家庭的APN功能的领域的程度是可分的3，但不是9。我们的家庭包含两个已知的家庭作为特殊情况。我们还讨论了不等价性证明（通过计算），这表明这些功能是新的。
We present two infinite families of APN functions where the degree of the field is divisible by 3 but not 9. Our families contain two already known families as special cases. We also discuss the inequivalence proof (by computation) which shows that these functions are new.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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New Instances of Quadratic APN Functions
在最近的一项工作中，Beierle，Brinkmann和Leander提出了一种递归树搜索，用于在小维中找到具有线性自等价的APN排列。在本文中，我们描述了如何这种搜索可以适应找到许多新的二次APN功能的情况。特别是，我们发现了12，921个新的八维二次APN函数，35个新的九维二次APN函数和五个新的十维二次APN函数，直到CCZ等价。值得注意的是，第九维中的35个新APN函数中有两个是APN排列。在8位APN函数中，存在三个扩展Walsh谱，其不对应于任何先前已知的二次8位APN函数，并且令人惊讶地，存在至少四个具有线性$2^7$的不等价于CCZ的8位APN函数，即，最高可能的非平凡线性二次函数在8维。
Trims and Extensions of Quadratic APN Functions
在这项工作中，我们研究的功能，可以通过限制向量布尔函数$F \colon \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{F}_2^n$的仿射超平面的尺寸$n-1$，然后投影输出到一个$n-1$维空间。我们表明，一个多集的$2 \cdot (2^n-1)^2$ EA-等价类的限制定义了EA-不变的向量布尔函数$\mathbb{F}_2^n$。此外，对于所有已知的二次APN功能的尺寸$n < 10$，我们确定的限制，也是APN。此外，我们构造了6,368个新的二次APN功能在8维EA-等价扩展的二次APN功能在7维。这项工作的一个特别的重点是二次APN功能的最大线性。特别地，我们通过其限制到线性超平面的正交导数的性质来表征具有$2^{n-1}$的线性的二次APN函数$F \colon \mathbb{F}_2^n \rightarrow \mathbb{F}_2^n$。使用的事实，所有的二次APN功能在7维分类，我们能够获得一个分类的所有二次8位APN功能的线性$2^7$ EA-等效。
A Further Study of Quadratic APN Permutations in Dimension Nine
最近，Beierle和Leander在9维空间中发现了两个新的偶发二次APN排列。直到EA-等价，我们提出了一个单一的三元表示的这两个排列为$C_u \colon (\mathbb{F}_{2^m})^3 \rightarrow (\mathbb{F}_{2^m})^3, (x,y,z) \mapsto (x^3+uy^2z, y^3+uxz^2,z^3+ux^2y)$，其中$m=3$和$u \in \mathbb{F}_{2^3}\setminus\{0,1\}$，使得这两个排列对应于不同的选择$u$。然后，我们分析了在更一般的情况下的微分均匀性和$C_u$的非线性。特别是，对于$m \geq 3$是3的倍数和$u \in \mathbb{F}_{2^m}$不是7次幂，我们表明，$C_u$的微分均匀性是由8以上的界限，和$C_u$的线性度是由$8^{1+\lfloor \frac{m}{2} \rfloor}$以上的界限。基于数值实验，我们推测当$m$大于$3$时，$C_u$不是APN.我们还分析了迄今为止已知的9维二次APN置换的CCZ-等价类，并推导出它们的EA-等价类的个数的下界。我们进一步表明，这两个零星的APN排列共享一个有趣的相似性，黄金APN排列在奇数维可被3整除，即一个排列EA-不等价于那些零星的APN排列和它们的逆，可以通过只应用EA变换和反转的原始排列。
On a Class of Quadratic Polynomials with no Zeros and its Application to APN Functions
证明了在$\gf_{2^{2k}}$上存在一个形式为$F(x)=x^{2^{s}+1} + x^{2^{k+s}+2^k} + cx^{2^{k+s}+1} + c^{2^k}x^{2^k + 2^s} + δx^{2^{k}+1}$的APN函数族，其中$k$是偶数，$\gcd(2k,s)=1, 3\nmid k$ .这实际上是Lilya Budaghyan和Claude Carlet提出的APN族，他们在\cite{carlet-1}中表明，当存在$c$时，函数是APN，使得多项式$y^{2^s+1}+cy^{2^s}+c^{2^k}y+1=0$在$\gf_{2^{2k}}$中没有解。在\cite{carlet-1}中，他们用计算机证明了这样的元素$c$可以在许多域上找到，特别是当域的度不能被3整除时。我们表明，这样的$c$存在时，$k$是偶数和$3\nmid k$（并演示为什么$k$奇数情况下，只重新描述了现有的家庭APN功能）。给出了这些系数的形式，以便我们可以写出APN函数的无限族。
On the Fourier Spectra of the Infinite Families of Quadratic APN Functions
定义在奇数次有限域上的二次函数几乎弯曲（AB）当且仅当它几乎完全非线性（APN）。对于偶数度的情况，函数的傅立叶谱中的值与APN属性之间没有明显的关系。在这篇文章中，我们计算的傅里叶谱的新的四项家庭的APN功能。有了这个结果，所有已知的APN函数的无限族现在都有了它们的傅里叶谱，因此计算了它们的非线性。
On the Walsh spectra of quadratic APN functions
本文研究了二次二次可逆函数的瓦尔什谱特性，建立了两个新连接，推导出强条件，证明了二次二次可逆函数的瓦尔什谱与向量空间划分和对应的射影空间中的特定阻集有关，并给出了关于函数瓦尔什谱的多种结果，包括最大幅度组件函数的限制和二次二次可逆函数的非平凡上界。
Millions of inequivalent quadratic APN functions in eight variables
该研究针对八变量二次APN函数，通过计算构造出3775599个不等价实例，估计总数约600万，为相关猜想提供了关键依据。
Quadratic APN Functions in Dimension 8 via Gröbner Basis Search in a Self-Equivalence Subspace
本文在8维自等价子空间中通过Gröbner基搜索发现566个二次APN函数，其中4个新CCZ等价类（500个函数）未被现有数据库收录，并验证了搜索管道的正确性。
Quadratic Zero-Difference Balanced Functions, APN Functions and Strongly Regular Graphs
令$F$是从$\mathbb{F}_{p^n}$到自身的函数，$δ$是正整数。如果方程$F(x+a)-F(x)=0$对所有非零$a\in\mathbb{F}_{p^n}$都有精确的$δ$解，则称$F$为零差$δ$平衡的。作为一种特殊情况，所有已知的二次平面函数都是零差1-平衡的，并且$\mathbb{F}_{2^n}$上的一些二次APN函数是零差2-平衡的。在本文中，我们研究这个概念和微分一致性之间的关系，我们表明，所有的二次零差$δ$平衡的功能是差分$δ$一致的，我们特别调查这样的功能与形式$F=G(x^d)$，其中$\gcd(d,p^n-1)=δ+1$和$G$的限制，所有非零$(δ+1)$次幂在$\mathbb{F}_{p^n}$是一个注入。我们引入新的家庭零差异$p^t$平衡功能。更有趣的是，我们表明，这样的功能的图像集是一个定期的部分差集，从而产生强正则图，这推广了强正则图的建设，使用平面功能翁等。使用最近发现的二次APN功能$\mathbb{F}_{2^8}$，我们获得$15$新的$(256, 85, 24, 30)$负拉丁方型强正则图。
On a conjecture on APN permutations
本文利用有限域代数几何工具研究两个九维零星二次 APN 置换的三变量表示族，证明其在更高维数中不存在其他 APN 置换。
Gold Functions and Switched Cube Functions Are Not 0-Extendable in Dimension $n > 5$
在Kalgin和Idrisova以及Beierle、Leander和Perrin的独立工作中，观察到在$\mathbb{F}_{2^5}$上的Gold APN函数产生在维度6中具有最大可能线性度$2^5$（即，最小可能非线性度$2^4$）的二次APN函数。在这篇文章中，我们表明，$n \leq 5$的情况下是非常特殊的意义上说，黄金APN功能的尺寸$n>5$不能扩展到二次APN功能的尺寸$n+1$具有最大可能的线性。在这项工作的第二部分，我们表明，这也是APN功能的形式$x \mapsto x^3 + μ(x)$与$μ$是一个二次布尔函数的情况。
Two new families of bivariate APN functions
在这项工作中，我们提出了两个新的家庭的二次APN功能。第一个（F1）是通过双投射多项式构造的。该家族包括Gölolu于2022年推出的两个APN家族之一。然后，按照与Li \emph{et al.}（2022）类似的方法，我们给出了通过向F1添加某些项而获得的另一个族（F2）。作为副产品，第二个家族包括Li \emph{et al.}（2022）介绍的两个家族之一。此外，我们表明，$n=12$，从我们的建设，我们可以得到APN功能，CCZ-不等价于任何其他已知的APN功能$\mathbb{F}_{2^{12}}$。
Resolving a conjecture on quadratic APN functions and a new quadratic $(n,n)$-function associated to crooked functions
该研究解决了Gorodilova关于二次APN函数正交导数非零分量代数次数的猜想，证明了弯曲函数正交导数的相关性质，还得到了$m$-序列问题的同余结果及特定布尔函数的精确代数次数。
On Dillon's property of $(n,m)$-functions
狄龙观察到，一个APN函数$F$ over $\mathbb{F}_2^{n}$且$n$大于$2$必须满足条件$\{F(x) + F(y) + F(z) + F(x + y + z) \,:\, x,y,z \in\mathbb{F}_2^n\}= \mathbb{F}_2^n$。最近，Taniguchi（2023）将这个条件推广到定义为从$\mathbb{F}_2^n$到$\mathbb{F}_2^m$的函数，其中有$m>n$，称之为D-性质。Taniguchi给出了APN函数满足D-性质的一些特征，并给出了从$\mathbb{F}_2^n$到$\mathbb{F}_2^{n+1}$满足D-性质的APN函数族.本文进一步研究了具有$m\ge n$的$(n,m)$ -函数的D-性质。我们给出了一些组合界的尺寸$m$存在这样的功能。然后，我们刻画的D-性质的沃尔什变换和二次函数，我们给出了这个属性的ANF方面的表征。我们还给出了一个简化的检查的D-性质的二次函数，这允许扩展的一些APN家庭提供的Taniguchi。我们进一步集中在类的plateaued功能，提供条件的D-性质。
On the Conjecture on APN Functions
有限域$\mathbb{F}$上的几乎完全非线性（APN）函数（必然是多项式函数）称为例外APN，如果它也是$\mathbb{F}$的无穷多个扩张上的APN。在这篇文章中，我们认为最研究的情况下，$\mathbb{F}=\mathbb{F}_{2^n}$。Janwa-Wilson和McGuire-Janwa-Wilson（1993/1996）在2011年提出的一个猜想是，唯一例外的单项APN函数是单项$x^n$，其中$n=2^i+1$或$n={2^{2i}-2^i+1}$（分别是Gold或Kasami指数）。随后的猜想指出，任何例外的APN函数是刚才描述的单项式之一。我们的结果之一是，所有的功能的形式$f(x)=x^{2^k+1}+h(x)$（为任何奇数度$h(x)$，在少数情况下具有温和的条件），是不例外的APN，基本上扩展了最近的几个结果对决议的规定猜想。
Constructing new APN functions through relative trace functions
在2020年，Budaghyan，Helleseth和Kaleyski [IEEE TIT 66（11）：7081-7087，2020]考虑了形式为$x^3+a(x^{2^s+1})^{2^k}+bx^{3\cdot 2^m}+c(x^{2^{s+m}+2^m})^{2^k}$的$\mathbb{F}_{2^{n}}$上的四项多项式的无限族，其中$n=2m$具有$m$奇数。证明了当$\gcd(3,m)=1$，$ k=0 $，$(s,a,b,c)=(m-2,ω, ω^2,1)$或$((m-2)^{-1}~{\rm mod}~n,ω, ω^2,1)$中有$ω\in\mathbb{F}_4\setminus \mathbb{F}_2$时，这类四项多项式能提供新的几乎完全非线性（APN）函数.通过取$a=ω$和$b=c=ω^2$，我们观察到这类四项式可改写为$a {\rm Tr}^{n}_{m}(bx^3)+a^q{\rm Tr}^{n}_{m}(cx^{2^s+1})$，其中$q=2^m$和$ {\rm Tr}^n_{m}(x)=x+x^{2^m} $为$ n=2m$ .受四项多项式和我们的观察的启发，本文研究了一类具有$f(x)=a{\rm Tr}^{n}_{m}(F(x))+a^q{\rm Tr}^{n}_{m}(G(x))$形式的函数，并确定了这类新函数的APN性，其中$a \in…
Recovering or Testing Extended-Affine Equivalence
Extended Affine (EA) equivalence is the equivalence relation between two vectorial Boolean functions $F$ and $G$ such that there exist two affine permutations $A$ , $B$ , and an affine function $C$ satisfying $G = A \circ F \circ B + C$ . While the problem has a simple formulation, it is very difficult in practice to test whether two functions are EA-equivalent. This problem has two variants: { \em EA-partitioning} deals with partitioning a set of functions into disjoint EA-equivalence classes, and \emph{EA-recovery} is about recovering the tuple $(A,B,C)$ if it exists. In this paper, we prese…
Three Infinite Classes of APN Permutations on $Z_n$
本文在循环群上构造了三族无限类APN置换，利用Singer循环、二项式和完成倒数等方法，首次自2011年以来产生无限多个非标准形式的合数阶数，填补了该领域的空白。
Reduced APN permutations and a disproof of the Galois-ring lifting conjecture
本文阐明了伽罗瓦环上的APN提升猜想，证明了有效非APN界，给出了偶次数推论，并证明三次置换多项式满足修正后的提升猜想。
Optimal Reduced Representatives of Quadratic APN Permutations in Odd Dimension
该研究针对奇维二次APN置换，证明奇数n≥5时存在特定可逆映射使简约代表元导数满足条件，相关结果在Lean 4中验证，为伽罗瓦环上最优微分均匀性置换多项式提供反例。
On the Classification of Dillon's APN Hexanomials
本文研究了Dillon六项式在有限域上的分类，通过代数方法推导APN条件并排除大量六项式，发现其代数障碍限制了差分均匀性，并通过计算验证了APN六项式的CCZ等价性。
A note on the differential spectrum of a class of locally APN functions
针对 Budaghyan 和 Pal 研究的局部 APN 函数，本文分析参数 $u=\pm1$ 时的微分均匀度与微分谱，并借助有限域方程组和二次特征和给出其谱表达式。
On the inverses of Kasami and Bracken-Leander exponents
我们明确地确定的二进制表示的逆的所有Kasami指数$K_r=2^{2r}-2^r+1$模$2^n-1$的$n$和$r$的所有可能的值。这包括APN Kasami指数与$\gcd(r,n)=1$的重要特殊情况。作为推论，我们确定了Kasami函数的逆的代数次数。特别地，我们证明了$\mathbb{F}_{2^n}$上的APN Kasami函数的逆总是具有代数次数$\frac{n+1}{2}$，如果$n\equiv 0 \pmod 3$。对于$n\not\equiv 0 \pmod 3$，我们证明了代数次数由$\frac{n}{3}$从下有界。我们考虑Kasami指数的逆是二次指数或Kasami指数。我们还确定了Bracken-Leander指数$BL_r=2^{2r}+2^r+1$模$2^n-1$的逆的二进制表示，其中$n=4r$和$r$是奇数。我们证明了Bracken-Leander函数的逆的代数次数是$\frac{n+2}{2}$。
Linear codes with a few weights from inhomogeneous quadratic functions
具有很少权重的线性码多年来一直是一个有趣的研究课题，因为这些码在秘密共享，认证码，关联方案和强正则图中有应用。本文利用有限域$\gf(p)$上的非齐次二次函数构造了具有少量权的线性码，其中$p$是奇素数.它们包括一些早期的线性码作为特殊情况。这些线性码的重量分布也被确定。
The Differential and Boomerang Properties of a Class of Binomials
本文研究了有限域上一类二项式函数的差分与回旋镖性质，确定了其差分均匀度、差分谱及回旋镖均匀度，并推翻了关于存在无穷多 APN 函数实例的猜想。
The combinatorial structure and value distributions of plateaued functions
本文研究高原函数的组合性质及其值分布，探讨了 Walsh 变换与线性性、差分性质之间的关系，以及高原函数的构造条件和差分均匀性界。
Coefficient choice in Galois-ring lifts of APN permutations: sharp unit-direction spectra and one-term optimal lifts
本文针对奇数$m\ge5$，显式构造了简约APN置换$P_{m,r}$，确定其分歧性质，推导其伽罗瓦环提升的计算方法，还证明了Li-Wang准则并分析了相关映射特性。
Linear Codes with Two or Three Weights From Quadratic Bent Functions
具有较少权值的线性码在秘密共享、认证码、关联方案和强正则图中有应用。本文利用有限域$\gf_p$上的二次Bent函数构造了几类具有两个或三个权的$p$ -元线性码，其中$p$是奇素数.它们包括一些早期的线性码作为特殊情况。这些线性码的重量分布也被确定。
The recovery of complex sparse signals from few phaseless measurements
我们研究了从尽可能少的无相测量中稳定恢复复杂的$k$稀疏信号。主要结果是表明，可以使用$\ell_1$最小化，以高概率从$m\geq O(k\log (n/k))$复高斯随机二次测量中稳定地恢复复$k$稀疏信号。为此，我们建立了高斯随机测量满足限制等距性质的秩- $2$和稀疏矩阵的高概率。本文首次提出了从复高斯二次测量中稳定恢复复稀疏信号的测量数的理论估计。
Further Investigation on Differential Properties of the Generalized Ness-Helleseth Function
本文研究广义Ness-Helleseth函数的微分性质，在特定条件下给出其成为APN函数的充要条件，并用三次多项式的二次特征和刻画满足特定特征条件的参数所对应函数的微分谱。
Several new classes of Boolean functions with few Walsh transform values
本文通过将两个或三个线性函数的乘积加到已知的Bent函数上，得到了几类新的具有较少Walsh变换值的布尔函数，包括Bent函数、半Bent函数和五值Bent函数，数值结果表明，这类布尔函数包含与所有已知的二次Bent函数仿射不等价的三次Bent函数.同时，我们确定了本文所构造的五值函数的Walsh谱的分布。
Non-permutation phenomena in trivariate families over $\F_{2^m}$ and resolution of a conjecture
研究三元函数在有限域上的非排列现象，解决关于三元形式的猜想的排列部分。
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