关于分类循环码与APN函数的例外数序列猜想的证明
Proof of a Conjecture on the Sequence of Exceptional Numbers, Classifying Cyclic Codes and APN Functions
AI总结：
本文证明了一个分类例外数的猜想，指出每个例外数具有 $2^i+1$ 或 $4^i-2^i+1$ 的形式，该猜想同时关联密码学中的APN函数与编码理论中的二元循环码。
摘要：
我们证明了一个分类例外数的猜想。该猜想以两种不同方式出现，分别来自密码学和编码理论。奇整数 $t\geq 3$ 被称为例外的，如果 $f(x)=x^t$ 在 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上对无限多个 $n$ 值是 APN（几乎完全非线性）的。等价地，$t$ 是例外的，如果长度为 $2^n-1$ 且有两个零点 $ω, ω^t$ 的二元循环码对无穷多个 $n$ 值具有最小距离 5。我们证明的猜想表明，每个例外数都具有 $2^i+1$ 或 $4^i-2^i+1$ 的形式。
英文摘要：
We prove a conjecture that classifies exceptional numbers. This conjecture arises in two different ways, from cryptography and from coding theory. An odd integer $t\geq 3$ is said to be exceptional if $f(x)=x^t$ is APN (Almost Perfect Nonlinear) over $\mathbb{F}_{2^n}$ for infinitely many values of $n$. Equivalently, $t$ is exceptional if the binary cyclic code of length $2^n-1$ with two zeros $ω, ω^t$ has minimum distance 5 for infinitely many values of $n$. The conjecture we prove states that every exceptional number has the form $2^i+1$ or $4^i-2^i+1$.
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