Constructing new APN functions through relative trace functions
在2020年，Budaghyan，Helleseth和Kaleyski [IEEE TIT 66（11）：7081-7087，2020]考虑了形式为$x^3+a(x^{2^s+1})^{2^k}+bx^{3\cdot 2^m}+c(x^{2^{s+m}+2^m})^{2^k}$的$\mathbb{F}_{2^{n}}$上的四项多项式的无限族，其中$n=2m$具有$m$奇数。证明了当$\gcd(3,m)=1$，$ k=0 $，$(s,a,b,c)=(m-2,ω, ω^2,1)$或$((m-2)^{-1}~{\rm mod}~n,ω, ω^2,1)$中有$ω\in\mathbb{F}_4\setminus \mathbb{F}_2$时，这类四项多项式能提供新的几乎完全非线性（APN）函数.通过取$a=ω$和$b=c=ω^2$，我们观察到这类四项式可改写为$a {\rm Tr}^{n}_{m}(bx^3)+a^q{\rm Tr}^{n}_{m}(cx^{2^s+1})$，其中$q=2^m$和$ {\rm Tr}^n_{m}(x)=x+x^{2^m} $为$ n=2m$ .受四项多项式和我们的观察的启发，本文研究了一类具有$f(x)=a{\rm Tr}^{n}_{m}(F(x))+a^q{\rm Tr}^{n}_{m}(G(x))$形式的函数，并确定了这类新函数的APN性，其中$a \in…
2021-01-27 cs.IT math.IT
On the Conjecture on APN Functions
有限域$\mathbb{F}$上的几乎完全非线性（APN）函数（必然是多项式函数）称为例外APN，如果它也是$\mathbb{F}$的无穷多个扩张上的APN。在这篇文章中，我们认为最研究的情况下，$\mathbb{F}=\mathbb{F}_{2^n}$。Janwa-Wilson和McGuire-Janwa-Wilson（1993/1996）在2011年提出的一个猜想是，唯一例外的单项APN函数是单项$x^n$，其中$n=2^i+1$或$n={2^{2i}-2^i+1}$（分别是Gold或Kasami指数）。随后的猜想指出，任何例外的APN函数是刚才描述的单项式之一。我们的结果之一是，所有的功能的形式$f(x)=x^{2^k+1}+h(x)$（为任何奇数度$h(x)$，在少数情况下具有温和的条件），是不例外的APN，基本上扩展了最近的几个结果对决议的规定猜想。
2012-07-23 cs.IT math.AG math.CO
A direct proof of APN-ness of the Kasami functions
使用最近的结果求解方程$X^{2^k+1}+X+a=0$在有限域$\mathbb{F}_{2^n}$上，我们解决了第一作者在WAIFI 2014中提出的一个悬而未决的问题，该问题涉及Kasami函数$x\mapsto x^{2^{2k}-2^k+1}$的APN性与$gcd(k,n)=1$，$x\in\mathbb{F}_{2^n}$。
2020-01-31 cs.CR cs.IT math.IT
On the Niho type locally-APN power functions and their boomerang spectrum
在这篇文章中，我们重点介绍了Blondeau，Canteaut和Charpin引入的局部APN的概念（“APN”是着名的几乎完美非线性概念的缩写），这使得S盒的语料库在其差分一致性方面变得更大，因此，可能更适合对抗差分攻击（或其变体）。具体地说，给定两个互质正整数$m$和$k$使得$\gcd(2^m+1,2^k+1)=1$，我们研究了有限域${\mathbb F}_{2^{2m}}$上形式为$F(x)=x^{s(2^m-1)+1}$的Niho型幂函数族的局部APN性质，其中$(2^k+1)^{-1}$表示模$2^m+1$的乘法逆.通过对有限域（偶特征域）上某些方程的解的个数的研究，以及对某些方程的求解的一些巧妙操作，我们证明了$F(x)$是局部APN，并确定了它的微分谱.值得注意的是，计算机实验表明，这类局部APN功率函数涵盖了$2\leq m\leq10$的所有Niho型局部APN功率函数。此外，我们还利用微分谱确定了$F(x)$的回飞棒谱，特别推广了Yan，Zhang和Li最近的一个结果.
2022-08-04 cs.IT math.IT
A complete characterization of the APN property of a class of quadrinomials
本文利用Hasse-Weil界确定了系数$a_1,a_2,a_3\in\mathbb{F}_{2^n}$与$n=2m$的充要条件，使得$f(x) = {x}^{3\cdot2^m} + a_1x^{2^{m+1}+1} + a_2 x^{2^m+2} + a_3x^3$是$\mathbb{F}_{2^n}$上的APN函数.我们的结果解决了Carlet在International Workshop on the Arithmetic of Finite Fields，83-107，2014中的一个公开问题的上半部分。
2020-07-08 cs.IT math.IT math.NT
On $-1$-differential uniformity of ternary APN power functions
最近，Ellingsen等人引入了一个新的概念，称为乘法微分和相应的$c$ -微分均匀性。有限域$\mathrm{GF}(p^n)$上的函数$F(x)$称为$c$ -微分均匀性$δ$，或等价的，$F(x)$是微分$(c,δ)$均匀的，当$F(x+a)-F(cx)=b$的最大解数$x\in\mathrm{GF}(p^n)$，$a,b,c\in\mathrm{GF}(p^n)$，$c\neq1$，如果$a=0$，等于$δ$。研究了$\mathrm{GF}(3^n)$上三元APN幂函数$F(x)=x^d$的$-1$ -微分一致性.我们得到了具有低$-1$ -微分一致性的三值幂函数，其中有些是几乎完全$-1$ -非线性的.
2021-01-26 cs.IT math.IT
Progress Towards the Conjecture on APN Functions and Absolutely Irreducible Polynomials
几乎完全非线性（APN）函数作为S盒在密码学中非常有用，因为它们具有良好的抵抗差分密码分析的能力。APN函数$f:\mathbb{F}_{2^n}\rightarrow\mathbb{F}_{2^n}$称为例外APN，如果它是$\mathbb{F}_{2^n}$的无限多个扩展上的APN。Aubry、McGuire和Rodier指出，唯一例外的APN函数是Gold和Kasami-Welch单项函数。他们建立了一个奇数次的多项式函数不是例外APN，只要它的次数不是Gold数$(2^k+1)$或Kasami-Welch数$(2^{2k}-2^k+1)$。当多项式函数的次数为Gold数时，得到了几个部分结果[1，7，8，10，17]。本文的结果之一是证明了多元APN多项式猜想的相对素性，在黄金度的情况下。这有助于我们充分扩展以前的结果。证明了$x^{2^k+1}+h(x)$形式的Gold次数多项式不能是例外APN，其中$deg(h)$是任意奇数（自然例外）.我们还证明了有限域上几类多元多项式的绝对不可约性，并讨论了它们的应用。
2016-01-30 cs.CR cs.IT math.AG
On functions of low differential uniformity in characteristic 2: A close look (I)
本文提出 APN-defect 以衡量函数到 APN 函数集合的距离，分析其与相关概念的关系、界值及逆函数修改情形。
2024-06-11 cs.IT math.IT
Quadratic Zero-Difference Balanced Functions, APN Functions and Strongly Regular Graphs
令$F$是从$\mathbb{F}_{p^n}$到自身的函数，$δ$是正整数。如果方程$F(x+a)-F(x)=0$对所有非零$a\in\mathbb{F}_{p^n}$都有精确的$δ$解，则称$F$为零差$δ$平衡的。作为一种特殊情况，所有已知的二次平面函数都是零差1-平衡的，并且$\mathbb{F}_{2^n}$上的一些二次APN函数是零差2-平衡的。在本文中，我们研究这个概念和微分一致性之间的关系，我们表明，所有的二次零差$δ$平衡的功能是差分$δ$一致的，我们特别调查这样的功能与形式$F=G(x^d)$，其中$\gcd(d,p^n-1)=δ+1$和$G$的限制，所有非零$(δ+1)$次幂在$\mathbb{F}_{p^n}$是一个注入。我们引入新的家庭零差异$p^t$平衡功能。更有趣的是，我们表明，这样的功能的图像集是一个定期的部分差集，从而产生强正则图，这推广了强正则图的建设，使用平面功能翁等。使用最近发现的二次APN功能$\mathbb{F}_{2^8}$，我们获得$15$新的$(256, 85, 24, 30)$负拉丁方型强正则图。
2014-10-31 cs.IT math.CO math.IT
Two new families of bivariate APN functions
在这项工作中，我们提出了两个新的家庭的二次APN功能。第一个（F1）是通过双投射多项式构造的。该家族包括Gölolu于2022年推出的两个APN家族之一。然后，按照与Li \emph{et al.}（2022）类似的方法，我们给出了通过向F1添加某些项而获得的另一个族（F2）。作为副产品，第二个家族包括Li \emph{et al.}（2022）介绍的两个家族之一。此外，我们表明，$n=12$，从我们的建设，我们可以得到APN功能，CCZ-不等价于任何其他已知的APN功能$\mathbb{F}_{2^{12}}$。
2022-04-26 cs.IT math.IT math.NT
The differential spectrum and boomerang spectrum of a class of locally-APN functions
本文研究了${\mathbb F}_{q^2}$上幂映射$F(x)=x^{k(q-1)}$的回飞式谱，其中$q=p^m$，$p$是素数，$m$是正整数，$\gcd(k,q+1)=1$ .我们首先测定了$F(x)$的差示光谱，证明了$F(x)$是局域APN。这将[IEEE Trans. Inf. Theory 57（12）：8127-8137，2011]的结果从$(p,k)=(2,1)$扩展到一般的$(p,k)$。利用微分谱确定了$F(x)$的回旋谱，结果表明，当$p=2$和$m$为奇数时，$F(x)$的回旋均匀性为4，否则为2。我们的结果不仅推广了[Des.密码89：2627-2636，2021]和[arXiv：2203.00485，2022]，但也将示例${\mathbb F}_{2^8}$扩展到[Des.密码89：2627-2636，2021]转化为具有回飞棒一致性2的幂映射的无限类。
2022-07-02 cs.IT math.IT
On the Classification of Dillon's APN Hexanomials
University of Perugia（佩鲁贾大学）；Naval Postgraduate School（海军研究生院）
本文研究了Dillon六项式在有限域上的分类，通过代数方法推导APN条件并排除大量六项式，发现其代数障碍限制了差分均匀性，并通过计算验证了APN六项式的CCZ等价性。
2026-02-21 cs.IT math.AG math.IT
A proof of two conjectures on APN functions
Dobbertin，Mills，Müller，Pott和Willems猜想两个幂映射族是APN函数族。在这里，我们证明了这两个假设。
2011-10-24 cs.IT math.IT math.NT
On the differential spectrum of a class of APN power functions over odd characteristic finite fields and their $c$-differential properties
文献中只研究了奇特征有限域上的三类几乎完全非线性幂函数，并确定了它们的微分谱。Helleseth和Sandberg在1997年研究了$p^n$阶有限域$F_{p^n}$上的幂函数$F(x)=x^{\frac{p^{n}-3}{2}}$的微分一致性，其中$p$是奇素数，$p^n\equiv3\pmod{4}$是具有$p^n>7$的奇素数幂。结果表明，当$p^n=27$时，$F$为PN，当$5$在$F_{p^n}$中为非正方形时，$F$为APN，当$5$在$F_{p^n}$中为正方形时，$3$为差分$3$ -均匀。本文通过研究$F_{p^n}$上的某些方程组和某些特征和，完全确定了$F_{p^n}$的微分谱.本文研究了$F_{p^n}$（$p$ odd）上具有偶$d$的幂函数$x^d$，所考虑的幂函数$F$是具有最低微分一致性和非平凡微分谱的APN.此外，我们研究了所谓的$c$ -微分均匀性的扩展，通过调查$F$的$c$ -微分性质。具体地说，给出了$F$的$c$-微分均匀性的上界，并考虑了当$c=-1$ .最后，我们强调，在我们的研究所考虑的幂函数的微分谱，我们提供的方法，用于评估与椭圆曲线的连接的特定字符的总和，并确定有限域上的特定方程组的解的数量。
2022-10-19 cs.IT math.IT
On Dillon's property of $(n,m)$-functions
狄龙观察到，一个APN函数$F$ over $\mathbb{F}_2^{n}$且$n$大于$2$必须满足条件$\{F(x) + F(y) + F(z) + F(x + y + z) \,:\, x,y,z \in\mathbb{F}_2^n\}= \mathbb{F}_2^n$。最近，Taniguchi（2023）将这个条件推广到定义为从$\mathbb{F}_2^n$到$\mathbb{F}_2^m$的函数，其中有$m>n$，称之为D-性质。Taniguchi给出了APN函数满足D-性质的一些特征，并给出了从$\mathbb{F}_2^n$到$\mathbb{F}_2^{n+1}$满足D-性质的APN函数族.本文进一步研究了具有$m\ge n$的$(n,m)$ -函数的D-性质。我们给出了一些组合界的尺寸$m$存在这样的功能。然后，我们刻画的D-性质的沃尔什变换和二次函数，我们给出了这个属性的ANF方面的表征。我们还给出了一个简化的检查的D-性质的二次函数，这允许扩展的一些APN家庭提供的Taniguchi。我们进一步集中在类的plateaued功能，提供条件的D-性质。
2023-02-27 cs.IT math.CO math.IT
Reduced APN permutations and a disproof of the Galois-ring lifting conjecture
University of Perugia（佩鲁贾大学）；Naval Postgraduate School（海军研究生院）
本文阐明了伽罗瓦环上的APN提升猜想，证明了有效非APN界，给出了偶次数推论，并证明三次置换多项式满足修正后的提升猜想。
2026-10-20 cs.IT math.IT math.NT
On a recent extension of a family of biprojective APN functions
本文研究Göloğlu双射影APN函数族的近期推广，证明其在3不整除m时等价于原族，在3整除m时给出不等价函数数量，并确定其最小像集大小和Walsh谱，解决了若干公开问题。
2024-02-22 cs.IT math.CO math.IT
Infinite families of APN permutations in constrained trivariate classes over $\mathbb{F}_{2^m}$
University of Perugia（佩鲁贾大学）；Naval Postgraduate School（海军研究生院）
本文研究了二元约束三元类中无限族的APN置换，通过允许标量参数在F_{2^m}^*中变化，扩展了Li-Kaleyski的两个APN置换族，并证明了G_a和H_a的根条件及强不等价性。
2026-03-16 cs.CR cs.IT math.IT
Three Infinite Classes of APN Permutations on $Z_n$
Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
本文在循环群上构造了三族无限类APN置换，利用Singer循环、二项式和完成倒数等方法，首次自2011年以来产生无限多个非标准形式的合数阶数，填补了该领域的空白。
2026-09-09 cs.IT math.CO math.IT
On the weight distributions of several classes of cyclic codes from APN monomials
设$m\geq 3$是一个奇整数，$p$是一个奇素数。%，其中$h$是奇数。本文通过研究分别具有奇偶校验多项式$m_1(x)m_d(x)$和$m_1(x)m_e(x)$的循环码$\mathcal{C}_{(1,d)}$和$\mathcal{C}_{(1,e)}$具有相同重量分布的条件，给出了$\mathbb{F}_{p}$上的许多类三重量循环码，其中$m_i(x)$是$\mathbb{F}_{p}$上$π^{-i}$对$\mathbb{F}_{p^m}$的本原元$π$的最小多项式.对于$p=3$，所提出的五类循环码在满足线性码的某些界的意义上是最优的。此外，对于$p\equiv 3 \pmod{4}$和正整数$e$，使得存在整数$k$，其中$\gcd(m,k)=1$和$τ\in\{0,1,\cdots, m-1\}$满足$(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^τ\pmod{p^m-1}$，确定了两个指数和$T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e)}$和$ S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}, $的值分布，其中$s=(p^m-1)/2$。作为应用，利用$S(a,b,c)$的值分布研究了具有校验多项式$m_…
2013-08-27 cs.IT math.IT
On different notions related to APN mappings
Univerza na Primorskem - Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije（滨海大学数学、自然科学与信息技术学院）
本文研究了与APN映射相关的多种概念，包括k-breaking、强非正规性和和自由性，引入k-强breaking并刻画APN函数子类，通过特征变换解决开放问题并探索平衡性质。
2026-10-28 cs.IT math.CO math.IT
A Triple-Error-Correcting Cyclic Code from the Gold and Kasami-Welch APN Power Functions
基于Hollmann和Xiang提出的构造三重纠错码的一个充分条件，研究了长度为$2^m-1$的二进制循环码$\mathcal{C}_{1,3,13}$的最小距离及其对偶码的重量可除性，其中$m\geq 5$是奇数，$α$是有限域$\mathbb{F}_{2^m}$的本原元.证明了该码$\mathcal{C}_{1,3,13}$与相同长度的二进制三重纠错基元BCH码$\mathcal{C}_{1,3,5}$具有相同的权值分布。
2010-03-31 cs.DM cs.IT math.IT
Quadratic APN Functions in Dimension 8 via Gröbner Basis Search in a Self-Equivalence Subspace
eCampus University（欧洲开放大学）
本文在8维自等价子空间中通过Gröbner基搜索发现566个二次APN函数，其中4个新CCZ等价类（500个函数）未被现有数据库收录，并验证了搜索管道的正确性。
2026-06-23 cs.CR cs.IT math.CO
Gold Functions and Switched Cube Functions Are Not 0-Extendable in Dimension $n > 5$
在Kalgin和Idrisova以及Beierle、Leander和Perrin的独立工作中，观察到在$\mathbb{F}_{2^5}$上的Gold APN函数产生在维度6中具有最大可能线性度$2^5$（即，最小可能非线性度$2^4$）的二次APN函数。在这篇文章中，我们表明，$n \leq 5$的情况下是非常特殊的意义上说，黄金APN功能的尺寸$n>5$不能扩展到二次APN功能的尺寸$n+1$具有最大可能的线性。在这项工作的第二部分，我们表明，这也是APN功能的形式$x \mapsto x^3 + μ(x)$与$μ$是一个二次布尔函数的情况。
2022-09-28 cs.IT math.CO math.IT
Two low differentially uniform power permutations over odd characteristic finite fields: APN and differentially $4$-uniform functions
有限域上的置换多项式是基本对象，因为它们用于密码学、编码理论、组合设计和相关主题中的各种理论和实际应用中。这一系列的多项式构成了一个积极的研究领域，其中不断取得进展。特别是，构造有限域上具有良好微分性质（即低）的置换多项式的无限类仍然是一个令人兴奋的问题，尽管在这个方向上进行了多年的研究。本文给出了奇特征有限域上的低微分均匀幂置换。具体地说，它的目标是双重的关于幂函数$F(x)=x^{\frac{p^n+3}{2}}$定义在有限域$F_{p^n}$的顺序$p^n$，其中$p$是一个奇素数，$n$是一个正整数。首先是补充一些以前的结果发起Helleseth和桑德伯格在\cite{HS}解决开放的问题留下了二十多年的关于确定的差分谱的$F$时，$p^n\equiv3\pmod 4$和$p\neq 3$。二是确定其微分均匀性的精确值。我们的成果首先通过计算$F_{p^n}$上的一些指数和（这相当于计算一些相关曲线上的$F_{p^n}$ -有理点的数目），其次通过计算Helleseth，Rong和Sandberg在[“New families of almost perfect nonlinear power mapping，”IEEE Trans. Inform.理论，45卷。No.2，1999]，在测定$F$的微分光谱时自然出现。我们表明，在所考虑的情况下（$p^n\equiv3\pm…
2022-10-19 cs.IT math.IT
On large Sidon sets
Otto-von-Guericke-University Magdeburg（马格德堡奥托·冯·古里克大学）
本文利用高线性APN函数构造大Sidon集，并改进了APN函数线性的上界。
2026-01-01 cs.IT math.CO math.IT
On the Walsh spectra of quadratic APN functions
University of Florida（佛罗里达大学）；University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）；University of South Florida（南佛罗里达大学）
本文研究了二次二次可逆函数的瓦尔什谱特性，建立了两个新连接，推导出强条件，证明了二次二次可逆函数的瓦尔什谱与向量空间划分和对应的射影空间中的特定阻集有关，并给出了关于函数瓦尔什谱的多种结果，包括最大幅度组件函数的限制和二次二次可逆函数的非平凡上界。
2026-05-17 cs.IT math.CO math.IT
Resolving a conjecture on quadratic APN functions and a new quadratic $(n,n)$-function associated to crooked functions
Universities of Paris 8, France（巴黎第八大学）；Bergen, Norway（卑尔根大学）；Department of Mathematics, Vanderbilt University, USA（范德堡大学）
该研究解决了Gorodilova关于二次APN函数正交导数非零分量代数次数的猜想，证明了弯曲函数正交导数的相关性质，还得到了$m$-序列问题的同余结果及特定布尔函数的精确代数次数。
2026-09-09 cs.IT math.CO math.IT
Proof of a Conjecture on the Sequence of Exceptional Numbers, Classifying Cyclic Codes and APN Functions
本文证明了一个分类例外数的猜想，指出每个例外数具有 $2^i+1$ 或 $4^i-2^i+1$ 的形式，该猜想同时关联密码学中的APN函数与编码理论中的二元循环码。
2009-09-18 cs.IT math.AG math.IT
On APN Exponents and the Differential and Boomerang Properties of Binomials in Characteristic 3
Institute of Basic Science, Sungkyunkwan University（基础科学研究所，成均馆大学）；Department of Mathematics, Sungkyunkwan University（数学系，成均馆大学）；Applied Algebra and Optimization Research Center, Sungkyunkwan University（应用代数与优化研究中心，成均馆大学）
本文系统分析特征3中二项式的APN幂函数，给出Zha-Wang构造的APN指数显式参数化，证明两类局部PN二项式具有最小回弹均匀度0，并确定另一类二项式的回弹谱。
2026-05-22 cs.CR cs.IT math.IT
On the absolute irreducibility of hyperplane sections of generalized Fermat varieties in $\Bbb{P}^3$ and the conjecture on exceptional APN functions: the Kasami-Welch degree case
设$f$是有限域$F$上的函数。由多元次数多项式$n$，$ϕ(x,y,z)=f(x)+f(y)+f(z)$ in $\Bbb{P}^3(\overline{\mathbb{F}}_2)$定义的广义Fermat簇$X$的分解在几乎完美非线性（APN）函数和例外APN函数的研究中起着至关重要的作用.它们的结构基本上取决于对应于例外度$n=2^k+1$和$n=2^{2k}-2^k+1$（分别为Gold数和Kasami-Welch数）的单项函数的费马簇。Janwa，McGuire和Wilson在[12，13]中得到了非常重要的结果。本文研究了与Kasami-Welch度单项式有关的PDMATHAMO及其分解成绝对不可约分支的问题。我们表明，在这个分解，组件相交横向在一个奇异点。这一结构性事实意味着与Kasami-Welch次数多项式族相关的相应广义Fermat超曲面是绝对不可约的。特别地，我们证明了若$f(x)=x^{2^{2k}-2^k+1}+h(x)$，其中${\rm deg}(h)\equiv 3{\pmod 4}$，则对应的APN多元超曲面是绝对不可约的，因此$f(x)$不是例外APN函数.我们还证明了当${\rm deg}(h)\equiv 5{\pmod 8}$ .由于对于奇数度$f(x)$，该猜想只需要解决黄金度和Kasami-Welch度的情况下，我们的结果大大有助于证明的…
2016-12-18 cs.CR cs.IT math.AG
Three-Weight Ternary Linear Codes from a Family of Monomials
基于一般构造方法，从一族幂函数（包括一些APN幂函数）中得到了两类三元三重线性码。通过研究与幂函数相关的指数和的性质，确定了这些线性码的重量分布。
2016-04-11 cs.IT math.IT
Boomerang uniformity of a class of power maps
本文研究了一类无限大的（局部APN）幂映射的回飞去一致性，证明了当$n \equiv 0 \pmod 4$和$n \equiv 2 \pmod 4$分别满足时，其在有限域$\F_{2^n}$上的回飞去一致性为$2$和$4$.因此，我们证明了这类幂映射的微分一致性严格大于其回旋镖一致性。
2021-09-06 cs.IT math.IT
The Differential and Boomerang Properties of a Class of Binomials
本文研究了有限域上一类二项式函数的差分与回旋镖性质，确定了其差分均匀度、差分谱及回旋镖均匀度，并推翻了关于存在无穷多 APN 函数实例的猜想。
2024-09-25 cs.CR cs.IT math.IT
Coefficient choice in Galois-ring lifts of APN permutations: sharp unit-direction spectra and one-term optimal lifts
Research Institute of Criminal Psychiatry / Sex Offender Medical Center（犯罪精神病学研究所/性犯罪者医疗中心）；Department of Neuropsychiatry, Kyoto University（京都大学神经精神医学系）
本文针对奇数$m\ge5$，显式构造了简约APN置换$P_{m,r}$，确定其分歧性质，推导其伽罗瓦环提升的计算方法，还证明了Li-Wang准则并分析了相关映射特性。
2026-10-28 cs.CR cs.IT math.IT
The combinatorial structure and value distributions of plateaued functions
University of South Florida（南佛罗里达大学）；Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg（奥托·冯·格里克马德堡大学）
本文研究高原函数的组合性质及其值分布，探讨了 Walsh 变换与线性性、差分性质之间的关系，以及高原函数的构造条件和差分均匀性界。
2026-03-25 cs.IT math.CO math.IT
Further study of $2$-to-$1$ mappings over $\mathbb{F}_{2^n}$
有限域上的$2$ -to- $1$映射在对称密码学中起着重要的作用，特别是在构造APN函数、Bent函数、semi-Bent函数等方面，最近Mesnager和Qu \cite{MQ2019}对有限域上的$2$ -to- $1$映射进行了系统的研究.特别地，他们确定了在任何有限域上度至多为4的所有$2$到$1$映射。此外，另一个研究方向是考虑具有少项的$2$ -to- $1$多项式。在\cite{MQ2019}中得到了$2$ -to- $1$单式和二项式的一些结果.受他们工作的启发，本文进一步研究了有限域上的$2$ -to- $1$映射，特别是具有特征$2$的有限域上的$2$ -to- $1$映射（二进制情形是最有趣的应用）.首先，我们利用著名的Hasse-Weil界完全确定了$\mathbb{F}_{2^n}$上次数为$5$的$2$ -to- $1$多项式。此外，我们还考虑了$2$ -to- $1$映射，主要是三项和四项.利用多元方法和两个多项式的结式，我们给出了两类$2$ -to- $1$三项式，解释了$x^k+βx^{\ell} + αx\in\mathbb{F}_{2^n}[x]$-to- $1$三项式的所有例子，并导出了$n\le 7$上的12类系数为平凡的$2$ -to- $1$四项式.
2019-10-15 cs.IT math.IT
Almost perfect nonlinear power functions with exponents expressed as fractions
California State University, Northridge（北岭加州州立大学）；Schweitzer Engineering Laboratories, Inc.（施维策工程实验室有限公司）
本文研究了一类APN幂函数的指数表达形式，通过重新表述指数形式，实现了对差分谱的精确分析，并确定了任意差分导数纤维中的元素。
2026-06-04 cs.CR cs.DM cs.IT
A connection between the boomerang uniformity and the extended differential in odd characteristic and applications
本文首次建立经典差分/回旋镖均匀度与 c-差分均匀度的联系，证明奇 APN 函数的回旋镖均匀度等于其 (-1)-差分均匀度，并据此构造低差分均匀度函数、完成 p=3 情形的置换多项式刻画，推广奇特征下的差分均匀度上界。
2024-08-06 cs.DM cs.IT math.IT
Further Investigation on Differential Properties of the Generalized Ness-Helleseth Function
本文研究广义Ness-Helleseth函数的微分性质，在特定条件下给出其成为APN函数的充要条件，并用三次多项式的二次特征和刻画满足特定特征条件的参数所对应函数的微分谱。
2024-08-30 cs.CR cs.DM cs.IT
On Differential and Boomerang Properties of a Class of Binomials over Finite Fields of Odd Characteristic
Institute of Basic Science, Sungkyunkwan University（基础科学研究院，成均馆大学）；Department of Mathematics, Sungkyunkwan University（数学系，成均馆大学）；Applied Algebra and Optimization Research Center, Sungkyunkwan University（应用代数与优化研究中心，成均馆大学）
本文研究了一类双项式在有限域上的微分和Boomerrang性质，证明了其在特定条件下具有局部PN或APN特性及零Boomerrang均匀性。
2026-01-06 cs.CR cs.IT math.IT
Non-permutation phenomena in trivariate families over $\F_{2^m}$ and resolution of a conjecture
University of Perugia（佩鲁贾大学）；University of Bergen（卑尔根大学）；Naval Postgraduate School（海军研究生院）
研究三元函数在有限域上的非排列现象，解决关于三元形式的猜想的排列部分。
2026-02-21 cs.IT math.AG math.CO
Quantitative form of Ball's Cube slicing in $\mathbb{R}^n$ and equality cases in the min-entropy power inequality
我们证明了一个定量形式的著名的球的立方体切片定理在$\mathbb{R}^n$，并获得，作为一个结果，平等的情况下，最小熵功率不等式。独立地给出了Khintchine不等式在特殊情形$p=1$下的一个定量形式.
2021-09-08 cs.IT math.FA math.IT
