Strong Comparison Principle for $p-$harmonic functions in Carnot-Caratheodory spaces
我们将Bony的支持参数\cite{Bony}的传播推广到非齐次次椭圆$p-$ Laplacian的$C^1$解，该解与一个满足Hörmander有限秩条件的光滑向量场系统相关联.作为结果，我们证明了一个强最大值原理和强比较原理，推广了Tolksdorf \cite{Tolksdorf}的结果。
2017-07-19 math.AP math.DG math.MG
Metric Lie Groups. Carnot-Carathéodory spaces from the homogeneous viewpoint
本书探讨 Lie 群上左不变距离定义的非光滑几何，重点阐述 Carnot 群等度量 Lie 群在幂零群渐近锥、对称空间抛物边界及流形极限等数学语境中的核心作用。
2024-10-09 math.DG math.GR math.MG
Convex Functions on Sub-Riemannian Manifolds. I
我们找到了一种不同的方法来定义凸函数的次黎曼设置。子黎曼流形上的函数是非完整测地线凸的，如果它对任何非完整（最直）测地线的约束是凸的。在卡诺群的情况下，这个定义与Danniell-Garofalo-Nieuhn的定义一致（相当于Lu-Manfredi-Stroffolini的定义）。非完整测地线是用水平联络线定义的。引入了一个新的对应于水平连接的距离，并证明了近正则点与Carnot-Carathèodory距离等价。研究了凸函数的一些基本性质。特别地，我们证明了任何非完整测地线凸函数局部有界的上面是局部Lipschitz的Carnot-Carathèodory距离。
2007-01-10 math.DG
Metric currents, differentiable structures, and Carnot groups
我们研究理论的度量电流的Ambrosio和Kirchheim的设置空间承认可微结构的意义上的Cheeger和基思。我们证明了度量形式消失的意义上的Cheeger一组也必须消失时，与电流集中沿该集。从这一点，我们推导出一个推广的链式法则，并表明，绝对连续质量的电流是由积分对可测的$k$ -向量场。进一步证明了：如果度量空间是一个具有Carnot-Carathéodory距离的Carnot群，则当$θ\in Ω^{1}(\mathbb{G})$零化$\mathbb G$的水平丛时，每个度量流$T$满足$T\lfloor_θ=0$和$T\lfloor_{dθ}=0$.此外，这个条件是一个关于黎曼度量的度量流扩展到关于卡诺-卡拉西奥多里度量的度量流的充要条件，只要这个度量流是局部正规的，或者具有绝对连续的质量。
2011-02-06 math.DG math.FA math.MG
On the sub-Riemannian geometry of the quaternionic Heisenberg group
Chungnam National University（忠南国立大学）；University of Patras（帕特雷大学）；Yamaguchi University（山口大学）
本文研究四元数Heisenberg群的子黎曼几何，通过定义一系列黎曼度量并分析其极限，刻画了测地线和距离，并推导了超曲面的水平平均曲率公式。
2026-01-27 math.DG
Chaotic Geodesics in Carnot Groups
对角线上有1的实4 × 4上三角矩阵群具有左不变的次黎曼（或卡诺-卡拉西奥多里）结构，其基本分布对应于超对角线。我们证明了相应的次黎曼测地流是不完全可积的。这提供了具有不可积测地线流的卡诺群（分次幂零李群，其生成子空间支持不变的次黎曼结构）的第一个例子。我们应用这一结果来证明，中心化相应的二次“量子”哈密顿在通用包络代数为这个群体是“尽可能小”。
1997-04-25 dg-ga math.DG
A primer on Carnot groups: homogenous groups, CC spaces, and regularity of their isometries
卡诺群是一种结构丰富的特殊空间：它们是那些李群，其路径距离不随群的左平移而变化，并且允许自同构关于距离扩张。本文介绍了卡诺群的基本理论，并作了几点说明。我们认为它们是分次群的特殊情况和齐次度量空间。本文讨论了一般Carnot-Caratheodory空间和幂零度量李群的等距的正则性。
2016-04-28 math.DG math.GR math.MG
Convex isoperimetric sets in the Heisenberg group
我们刻画了具有水平周长的Heisenberg群中的凸等周集。首先证明了一类有界变差平面上向量场的Sobolev正则性，并与曲率方程有关。然后，通过近似-重新参数化的论证，我们证明了凸等周集的边界是由Carnot-Caratheodory距离的测地线划分的。
2006-07-26 math.CA math.DG
Bisectors in the Heisenberg group II
Chongqing-University of Posts and Telecommunications（重庆邮电大学）；Chungnam National University（忠南国立大学）；University of Patras（帕特雷大学）；Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）
本文在前期Korányi度量下度量角平分线研究基础上，探讨配备Carnot–Carathéodory度量的海森堡群中的角平分线问题。
2026-10-14 math.DG math.GR math.MG
Minimal surfaces in the Heisenberg group
本文研究了三维Heisenberg群H中的极小曲面问题，该群具有标准的Carnot-Caratheodory度规.使用一个特殊的表面措施，我们的特点极小曲面的一个次椭圆偏微分方程，并证明了存在性结果的高原问题，在这种设置。此外，我们提供了我们的极小曲面和黎曼常数中曲率表面之间的联系H配备了不同的黎曼度量近似的卡诺-Caratheodory度量。我们生成了一个大型图书馆的极小曲面的例子，并使用这些来表明，解决狄利克雷问题不需要是唯一的。此外，我们证明了我们所构造的极小曲面实际上是Garofalo和Nhieu意义下的X-极小曲面.
2006-04-13 math.DG
CC-distance and metric normal of smooth hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups
本文从不同的角度研究了$k$ -步子Riemann卡诺群中Carnot-Carathéodory（简称CC）距离$\dc$的主要几何性质.对所谓的正规CC-测地线进行了广泛的研究。我们的状态和证明一些相关的变分公式，我们找到合适的雅可比型方程正常CC测地线。我们的一个主要结果是高斯引理的次黎曼版本。证明了光滑非特征超曲面度量法线的存在性。我们还计算了2步卡诺群的次黎曼指数映射$\exp\sr$。其他功能正常CC测地线，然后研究。我们展示了如何正常的CC-测地线方程的系统可以逐步集成。最后，我们证明了来自$\cont^k$ -光滑超曲面$S$的CC-距离函数$δ\cc$的正则性。
2009-10-29 math.AP math.DG
Sard Property for the endpoint map on some Carnot groups
在Carnot-Caratheodory或次黎曼几何中，一个主要的开放问题是Sard定理的结论是否对端点映射成立，端点映射是从无限维道路空间到有限维流形的正则映射。端点图的临界值集也称为异常集，是离开基点的异常极值的端点集。我们证明了Sard性质的一个强版本对所有的第二步卡诺群和其他几类具有左不变分布的李群都成立。也就是说，我们证明了反常集位于一个真解析子簇中。在这样做的情况下，我们检查几个特征的异常集的李群。
2015-03-12 math.DG math.GR math.MG
Sub-Riemannian geometry on some step-two Carnot groups
本文是第一作者前期工作的继续。利用一些基本的亚黎曼几何性质，包括平方Carnot-Carathéodory距离、割轨迹、经典割轨迹、最优综合等，刻画了\cite{Li19}中引入的一类二阶群GM-群，并在这种情形下容易得到最短反常集.这样的群的一些例子是科尔莫哥洛夫型的corank $2$的第二步群，或者那些与二次CR流形相关联的群。作为副产品，\cite{BBG12}中的主要目标是通过完全不同的方法从将corank $2$的第二步组设置为所有可能的第二步组来实现的。本文还对开放性问题\cite [（29）-（30）]{BR 19}给出了部分回答。此外，我们提供了一个完全不同的证明，但基于\cite{Li19}，Gaveau-Brockett最优控制问题的自由步骤的卡诺集团与三个发电机。作为一个副产品，我们提供了一个新的和独立的证明\cite{MM17}中获得的主要结果，即，$d(g)^2$的精确表达式为$g$属于经典的切割轨迹的身份元素$o$，以及所有最短的测地线连接$o$这样的$g$的测定。
2021-02-19 math.DG
Compression bounds for Lipschitz maps from the Heisenberg group to $L_1$
本文证明了具有Carnot-Carathéodory度量的Heisenberg群的一个定量的双Lipschitz非嵌入定理，并应用它给出了Spartens-Cut问题的Goemans-Linial半定松弛的积分间隙的一个下界.
2009-10-11 cs.DS math.DG math.FA
Boundary at infinity of symmetric rank one spaces
我们证明了定义在非紧型秩为1的对称空间无穷远边界上的标准Carnot-Caratheodory球面度量和准球面度量是可视的，即，它们分别在无穷远处的空间上和边界上与Gromov乘积的逆指数具有泛bilipschitz常数的bilipschitz等价.
2009-09-18 math.DG math.MG
Sub-Riemannian curvature and a Gauss-Bonnet theorem in the Heisenberg group
我们使用黎曼近似方案定义了一个概念的$\textit{sub-Riemannian Gaussian curvature}$的Euclidean $C^{2}$ -光滑表面的海森堡群$\mathbb{H}$远离特征点，和一个概念的$\textit{sub-Riemannian signed geodesic curvature}$的Euclidean $C^{2}$ -平滑曲线的表面上。这些结果然后被用来证明高斯-邦纳定理的海森堡版本。给出了$\mathbb{H}$中Carnot-Carathéodory距离的Steiner公式的一个应用。
2016-04-01 math.DG
On the cut locus of free, step two Carnot groups
本文研究了具有$k$生成元的自由二阶卡诺群$\mathbb{G}_k$的割迹，这些生成元具有左不变的Carnot-Carathéodory度量.特别是，我们通过展示切割点集$C_k \subset \mathbb{G}_k$来反驳[Myasnichenko - 2002]和[Montanari，Morbidelli - 2016]中提出的切割轨迹形状的假设，对于$k \geq 4$，这些切割点集严格大于切割点集。虽然后者分别是余维$Θ(k^2)$的光滑半代数集和余维$Θ(k)$的半代数集，但集合$C_k$是半代数的，并且具有余维$2$，产生对所有$k$有效的关于$\mathbb{G}_k$的割迹大小的最佳可能下界。此外，我们还研究了割迹与所谓的异常集的关系。在低维情况下，它是已知的\[ \mathrm{Abn}_0(\mathbb{G}_k) = \overline{\mathrm{Cut}_0(\mathbb{G}_k)} \setminus \mathrm{Cut}_0(\mathbb{G}_k), \qquad k=2,3. \]对于每个$k \geq 4$，相反，我们表明，割迹总是相交的异常集，有大量的异常测地线有限的切割时间。最后，作为我们的结果的一个直接的后果，我们推导出一个明确的下界的小时间热核渐近点的$C_k$。$C_k$是否与$k\geq 4$的割迹一致的问题仍然…
2017-01-10 math.DG math.OC
Integrable geodesic flows of non-holonomic metrics
本文从哈密顿系统理论的观点出发，讨论了卡诺-卡拉西奥多里的正规测地线流。本文将三维海森堡群上对应于左不变度量和左右不变秩2分布的测地线流作为可积系统来分析。李群上的左不变度量和左不变分布所对应的流被简化为李群上的欧拉方程。这些结构的分析力学问题的关系进行了讨论。
1996-10-23 dg-ga math.DG
Sub-Riemannian geodesics in the affine-additive group
本文利用庞特里亚金最大值原理推导仿射加法群的次黎曼测地线，计算割时间，并构造Carnot-Carathéodory球面及烧瓶曲面，后者为海森堡群中Pansu球面的类似物。
2026-10-05 math.DG math.MG math.OC
Isometries of nilpotent metric groups
我们考虑具有任意距离的李群。我们只假设距离是左不变的，并导致流形拓扑。为简洁起见，我们称这样的对象为度量李群。除了黎曼李群之外，还有一些特殊的例子是次黎曼李群，特别是具有卡诺-卡拉西奥多里距离的卡诺群。我们研究等距的规律性，即，保距离同胚我们的第一个结果是度量李群之间这类映射的解析性。第二个结果是，如果两个度量李群是连通的且幂零的，则这两个群之间的每一个等距都是一个左平移和一个同构的合成。如果不假定群是连通的或幂零的，则有反例。第一个结果是基于蒙哥马利和齐平的希尔伯特第五问题的解决方案。第二个结果证明，通过第一个结果，考虑黎曼的情况下，其中的自同构是由沃尔夫解决。
2016-01-29 math.DG math.GR math.MG
The large scale geometry of nilpotent Lie groups
本文证明了具有左不变黎曼度量的连通、单连通非交换幂零李群的大尺度几何的结果。精确地说，我们证明了不存在这样一个幂零李群到CAT（0）度量空间或Alexandrov度量空间的曲率有界的拟等距嵌入。本文的主要工作是证明了具有左不变Carnot-Caratheodory度量的连通分次幂零李群与完全度量空间之间Lipschitz映射的有限度量可微性。
1999-04-01 math.DG
Sub-riemannian geometry from intrinsic viewpoint
格罗莫夫提出只从次黎曼空间的卡诺-卡拉西奥多里距离中提取（微分）几何内容。正则次黎曼空间最显著的特征之一是，它在任何一点都有一个度量切空间，该度量空间具有卡诺群的代数结构，因此是齐次李群。Siebert将齐次李群刻画为局部紧群，其中包含一个收缩且连续的单参数自同构自同构群。Siebert结果不具有度量特征。在这些笔记中，我表明，亚黎曼几何可以描述约12个公理，而不使用任何先验给定的微分结构，但使用膨胀结构代替。膨胀结构引出了另一个内在的成分，即膨胀，从而融合了Gromov度量观点和Siebert代数观点。
2012-06-14 math.DG math.MG
Some properties of Hölder surfaces in the Heisenberg group
这是一个民间猜想，当α> 1/2时，在亚黎曼海森堡群中不存在α-Hoelder曲面。也就是说，可以预期没有从R^2的开子集嵌入到阶严格大于大于1/2的Hoelder连续的海森堡群中。这里的海森堡群具有卡诺-卡拉西奥多利距离。我们证明，在这样的曲面存在的情况下，它不能是本质有界变差，它相交于一些垂直线在至少一个拓扑康托尔集。
2012-05-01 math.DG math.GT math.MG
Tubular neighborhoods in the sub-Riemannian Heisenberg groups
研究了次黎曼海森堡群$\mathbb{H}^n$，$n\ge 1$中$δ_E$到闭集$E$的Carnot-Carathéodory距离.在较弱的条件下证明了$δ_E$的$\mathbb{H}$ -正则性，并引入了奇点的一般概念.当$E$是欧氏$C^k$子流形$k\ge 2$时，我们证明了$δ_E$是奇异集之外的$C^k$.当$E$的边界为类$C^2$时，得到了管状邻域的体积的显式表达式，在奇异集之外，根据$\partial E$的水平主曲率和函数$\langle N,T\rangle/|N_h|$及其切导数.
2017-09-21 math.DG math.MG
Existence and partial regularity of Legendrian area-minimizing currents
本文证明接触流形中局部质量极小的Legendrian积分流具有开且稠密的正则集，并据此建立Heisenberg群中Legendrian Plateau问题及闭接触流形同调类中极小流的存在性与部分正则性。
2024-06-13 math.AP math.DG math.MG
Sub-Finsler Heisenberg Perimeter Measures
本文研究了由Heisenberg群给出的度量测度空间中的周长测度，该度量空间具有Haar测度和Carnot-Carathéodory度量，它一般是次Finsler度量.包括减少闵可夫斯基内容在任何CC-度量的积分公式在勒贝格表面积$\mathbb{R}^3$。利用这一结果，我研究了两个周边措施，芬斯勒规范飞机的研究所产生的，并提供证据表明，潘苏的猜想有关的等周问题在分黎曼的情况下似乎举行更一般的分芬斯勒的情况下。这与芬斯勒等周线和黎曼等周线之间的关系相反。特别是，我表明，对于任何CC-度量存在一类表面与勒让德叶理CC测地线推广潘苏的泡沫集，但即使在他们的自然度量使用任何周长措施，这样的表面的计算例子有较低的等周比潘苏泡沫集，它有勒让德叶理分黎曼测地线。
2017-11-05 math.DG math.GR math.MG
Area-stationary surfaces in the Heisenberg group H^1
我们用变分的方法引入了海森堡群H ^1中曲面的中曲率的概念，并赋予了它的卡诺-卡拉西奥多里距离。通过分析面积的一阶变分，我们将面积上的C^2平稳曲面刻画为中曲率零（或在保体积条件下为常数）且特征曲线与奇异曲线正交的曲面。此外，对于包围给定区域的保体积面积平稳曲面，得到了一个与面积、中曲率和体积有关的Minkowski型公式.由于面积平稳曲面的特征，我们改进了以前的伯恩斯坦型定理，以便描述H^1中xy平面上的整个面积平稳图。校准参数表明，这些图是全球面积最小化。最后，利用已知的奇异集的描述、面积平稳曲面的特征和常中曲率曲面的规则性质，证明了我们的主要结果，其中我们将H^1中的保体积面积平稳曲面分类为非空奇异集.特别地，我们在欧几里得空间中推导出亚历山德罗夫唯一性定理的对应定理：在体积约束下，H^1区域平稳的任何紧致连通C^2曲面必须与旋转对称球面全等，该旋转对称球面是连接两点的所有曲率相同的测地线的并集。作为结果，我们解决了H^1中的等周问题，假设解是C^2光滑的。
2006-04-08 math.DG math.MG
Geodesic manifolds with a transitive subset of smooth biLipschitz maps
本文讨论了与流形同胚且双Lipschitz齐次的路度量空间的描述问题，即，其双Lipschitz同胚群作用传递。我们的主要结果如下。设$X = G/H$是李群$G$的齐次流形，$d$是$X$上的测地距离，它具有相同的拓扑.假设存在$G$的子群$G_S$传递地作用在$X$上，使得每个元素$g \in G_S$诱导度量空间$(X,d)$的局部双Lipschitz同胚。则该度量局部双Lipschitz等价于一个次黎曼度量。任何这样的度量都由生成切丛的$G_S$不变子丛的括号定义。结果是一个更一般的事实，需要一个传递家庭的一致biLipschitz同构与控制其微分的后果。与此相关的是，在空间上传递作用的群是李群，因此它是局部紧的，因为一般来说，整个biLipschitz映射群（不太可能是等距群）不是局部紧的。我们的方法也给出了以下事实的一个初等证明。给定Finsler流形切丛的Lipschitz子丛，则与该子丛相切的分段可微曲线类和与该子丛几乎处处几乎处处相切的Lipschitz曲线类都产生相同的Finsler-Carnot-Carathéodory度量，条件是由这些距离诱导的拓扑与流形拓扑重合。
2016-02-15 math.DG math.MG
Sequence of induced Hausdorff metrics on Lie groups
设$φ: G \times (M,d) \rightarrow (M,d)$是李群在可微流形上的左作用，该流形具有与$M$拓扑相容的度量$d$（距离函数）。表示为$gp:=φ(g,p)$。令$X$是$M$的紧致子集。则$X$的各向同性子群是$G$的闭子群，定义为$H_X:=\{g\in G; gX=X\}$。导出的Hausdorff度量是左陪集流形$G/H_X$上的度量，定义为$d_X(gH_X,hH_X)=d_H(gX,hX)$，其中$d_H$是$M$中的Hausdorff距离。假设$φ$是传递的，并且存在$p\in M$使得$H_X=H_p$。则$gH_X \mapsto gp$是一个标识$G/H_X$和$M$的同构。在这项工作中，我们定义了一个离散动力系统的$M$度量。令$d^1=\hat d_X$，其中$\hat d_X$代表与$d_X$相关联的固有度量。研究了$φ: G \times (M\equiv G/H_X,d^1)\rightarrow (M\equiv G/H_X,d^1)$，左作用$φ: G\times (G,d) \rightarrow (G,d)$是$G$的乘积，$d$被$G$上的一个右不变内度量上有界，$X\ni e$是$G$的一个有限子集的特殊情形.我们证明了序列$d^i$逐点收敛到度量$d^\infty$。另外，如果$d$是完备的，并且由$X$生成的…
2017-11-09 math.DG
Braids of Three Strands and Geodesics Shooting in $SL_2(\mathbb{R})$
Montana State University（蒙大拿州立大学）
本文针对三股辫，利用$SL_2(\boldsymbol{\text{R}})$相关几何，提出构造最优几何辫的方法，得到长度最短测地线的刻画与目标方程，扩展了测地线射影的相关公式。
2026-08-25 math.AT math.DG math.DS
