Invariant Carnot-Caratheodory metrics on $S^3$, $SO(3)$, $SL(2)$ and lens spaces
本文研究了$SU(2)\simeq S^3$，$SO(3)$和$SL(2)$上由Cartan分解和Killing形式导出的不变Carnot-Caratheodory度量.除了明确计算测地线和共轭轨迹，我们计算切割轨迹（全球），我们给出的Carnot-Caratheodory距离的表达式作为一个初等函数的逆。然后，我们证明了$SU(2)$上给出的度量投影在所谓的透镜空间$L(p,q)$上。同样对于透镜空间，我们计算切割轨迹（全局）。对于$SU(2)$，切割轨迹是没有一个点的最大圆。在所有其他情况下，切割轨迹是一个分层集。据我们所知，这是第一次明确计算整个切割轨迹在亚黎曼几何，除了平凡的情况下，海森堡群。
2008-01-24 math.DG math.OC
The Carnot-Carathéodory distance on $2$-step groups
结合Varadhan公式、Loewner定理和稳定相位法，研究了$2$ -阶群上Carnot-Carathéodory距离的精确公式.该方法还适于确定从单位元到任何给定点（直到一组测量零点）的所有正规测地线。作为应用，我们分别刻画了广义Heisenberg型群和星图上的平方次黎曼距离和割迹。此外，长期开放的问题Gaveau-Brockett完全解决的情况下，$N_{3, 2}$，自由卡诺群的步骤2和3生成元。
2021-12-15 math.CA math.DG
Carnot-Carathéodory Balls on Manifolds with Boundary
本文将 Nagel-Stein-Wainger 的 Carnot-Carathéodory 球定量理论推广到带边流形，在内部和非特征边界部分建立缩放映射，为极大次椭圆边值问题研究奠定基础。
2025-07-04 math.AP math.CA math.DG
On the Cheeger inequality in Carnot-Carathéodory spaces
本文将 Cheeger 不等式推广至秩变化 Carnot-Carathéodory 空间上的几何次 Laplacian，给出 Cheeger 常数下界方法，并推广 Courant 节域定理。
2025-02-17 math.DG math.SP
Lipschitz Carnot-Carathéodory structures and their limits
本文讨论了光滑流形上Lipschitz向量场的收敛结构和连续变范数的距离的收敛性。我们证明了，在一个温和的可控性假设下的极限向量场结构，与equi-Lipschitz向量场结构的距离一致收敛于紧子集，并规范一致收敛于紧子集，局部一致收敛到极限卡诺-Carathéodory距离。在极限距离是有界紧的情况下，我们证明了在紧集上距离的一致收敛性。我们给出了一个例子，其中的极限距离不是有界紧的，收敛是不一致的紧集。我们讨论了几个例子中，我们的收敛结果可以应用。其中，我们证明了一个范数连续变化的次Finsler Mitchell定理，以及连通李群的李代数上与子空间和范数相关的Carnot-Carathéodory距离的一般收敛结果.
2021-11-12 math.CA math.DG math.FA
Metric Lie Groups. Carnot-Carathéodory spaces from the homogeneous viewpoint
本书探讨 Lie 群上左不变距离定义的非光滑几何，重点阐述 Carnot 群等度量 Lie 群在幂零群渐近锥、对称空间抛物边界及流形极限等数学语境中的核心作用。
2024-10-09 math.DG math.GR math.MG
On transversal submanifolds and their measure
研究了横截子流形类。我们刻画了它们在横截点的爆破，并证明了它们的“广义特征集”的可忽略性定理，关于Carnot-Carathéodory Hausdorff测度。这个集合由所有非最大度的点组成。由于卡诺群中的C^1子流形是通有横截的，所以前面的结果证明了C^1子流形的“内在测度”通有等价于它们的卡诺-Carathéodory Hausdorff测度。因此，这个豪斯多夫测度对子流形的限制可以被一个更容易处理的积分公式所取代，这个积分公式应该被看作是一个“亚黎曼质量”。这些结果的另一个推论是一个计算C^1横截子流形的卡诺-卡拉索多里豪斯多夫维数的显式公式，它只依赖于子流形的嵌入。
2012-11-28 math.DG math.MG
On the sub-Riemannian geometry of the quaternionic Heisenberg group
Chungnam National University（忠南国立大学）；University of Patras（帕特雷大学）；Yamaguchi University（山口大学）
本文研究四元数Heisenberg群的子黎曼几何，通过定义一系列黎曼度量并分析其极限，刻画了测地线和距离，并推导了超曲面的水平平均曲率公式。
2026-01-27 math.DG
Minimal surfaces in the Heisenberg group
本文研究了三维Heisenberg群H中的极小曲面问题，该群具有标准的Carnot-Caratheodory度规.使用一个特殊的表面措施，我们的特点极小曲面的一个次椭圆偏微分方程，并证明了存在性结果的高原问题，在这种设置。此外，我们提供了我们的极小曲面和黎曼常数中曲率表面之间的联系H配备了不同的黎曼度量近似的卡诺-Caratheodory度量。我们生成了一个大型图书馆的极小曲面的例子，并使用这些来表明，解决狄利克雷问题不需要是唯一的。此外，我们证明了我们所构造的极小曲面实际上是Garofalo和Nhieu意义下的X-极小曲面.
2006-04-13 math.DG
Metric currents, differentiable structures, and Carnot groups
我们研究理论的度量电流的Ambrosio和Kirchheim的设置空间承认可微结构的意义上的Cheeger和基思。我们证明了度量形式消失的意义上的Cheeger一组也必须消失时，与电流集中沿该集。从这一点，我们推导出一个推广的链式法则，并表明，绝对连续质量的电流是由积分对可测的$k$ -向量场。进一步证明了：如果度量空间是一个具有Carnot-Carathéodory距离的Carnot群，则当$θ\in Ω^{1}(\mathbb{G})$零化$\mathbb G$的水平丛时，每个度量流$T$满足$T\lfloor_θ=0$和$T\lfloor_{dθ}=0$.此外，这个条件是一个关于黎曼度量的度量流扩展到关于卡诺-卡拉西奥多里度量的度量流的充要条件，只要这个度量流是局部正规的，或者具有绝对连续的质量。
2011-02-06 math.DG math.FA math.MG
A primer on Carnot groups: homogenous groups, CC spaces, and regularity of their isometries
卡诺群是一种结构丰富的特殊空间：它们是那些李群，其路径距离不随群的左平移而变化，并且允许自同构关于距离扩张。本文介绍了卡诺群的基本理论，并作了几点说明。我们认为它们是分次群的特殊情况和齐次度量空间。本文讨论了一般Carnot-Caratheodory空间和幂零度量李群的等距的正则性。
2016-04-28 math.DG math.GR math.MG
CC-distance and metric normal of smooth hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups
本文从不同的角度研究了$k$ -步子Riemann卡诺群中Carnot-Carathéodory（简称CC）距离$\dc$的主要几何性质.对所谓的正规CC-测地线进行了广泛的研究。我们的状态和证明一些相关的变分公式，我们找到合适的雅可比型方程正常CC测地线。我们的一个主要结果是高斯引理的次黎曼版本。证明了光滑非特征超曲面度量法线的存在性。我们还计算了2步卡诺群的次黎曼指数映射$\exp\sr$。其他功能正常CC测地线，然后研究。我们展示了如何正常的CC-测地线方程的系统可以逐步集成。最后，我们证明了来自$\cont^k$ -光滑超曲面$S$的CC-距离函数$δ\cc$的正则性。
2009-10-29 math.AP math.DG
Area-stationary surfaces inside the sub-Riemannian three-sphere
我们考虑由曲率为1的黎曼度量限制到与Hopf向量场正交的平面分布所提供的$\mathbb{S}^3$上的次黎曼度量$g_{h}$。我们计算的测地线与卡诺Carathéodory距离，我们表明，根据其曲率，它们是封闭的或密集的克利福德环面的子集。我们在$(\mathbb{S}^3,g_{h})$中研究了带或不带体积约束的面积平稳曲面。利用[RR]中的思想和技巧，我们引入了变分的中曲率的概念，刻画了平稳曲面，并证明了具有非空奇异集的完全保体积面积平稳曲面的分类结果.我们还使用的Carnot-Carathéodory测地线的行为和统治财产的恒定中曲率曲面表明，只有$C^2$紧凑，连接，嵌入表面在$(\mathbb{S}^3,g_{h})$与空奇异集和恒定中曲率$H$，使$H/\sqrt{1+H^2}$是一个无理数，Clifford托里。最后我们描述了$(\mathbb{S}^3,g_{h})$中具有常中曲率的完备旋转不变曲面。
2006-08-02 math.DG math.MG
On the cut locus of free, step two Carnot groups
本文研究了具有$k$生成元的自由二阶卡诺群$\mathbb{G}_k$的割迹，这些生成元具有左不变的Carnot-Carathéodory度量.特别是，我们通过展示切割点集$C_k \subset \mathbb{G}_k$来反驳[Myasnichenko - 2002]和[Montanari，Morbidelli - 2016]中提出的切割轨迹形状的假设，对于$k \geq 4$，这些切割点集严格大于切割点集。虽然后者分别是余维$Θ(k^2)$的光滑半代数集和余维$Θ(k)$的半代数集，但集合$C_k$是半代数的，并且具有余维$2$，产生对所有$k$有效的关于$\mathbb{G}_k$的割迹大小的最佳可能下界。此外，我们还研究了割迹与所谓的异常集的关系。在低维情况下，它是已知的\[ \mathrm{Abn}_0(\mathbb{G}_k) = \overline{\mathrm{Cut}_0(\mathbb{G}_k)} \setminus \mathrm{Cut}_0(\mathbb{G}_k), \qquad k=2,3. \]对于每个$k \geq 4$，相反，我们表明，割迹总是相交的异常集，有大量的异常测地线有限的切割时间。最后，作为我们的结果的一个直接的后果，我们推导出一个明确的下界的小时间热核渐近点的$C_k$。$C_k$是否与$k\geq 4$的割迹一致的问题仍然…
2017-01-10 math.DG math.OC
Tubular neighborhoods in the sub-Riemannian Heisenberg groups
研究了次黎曼海森堡群$\mathbb{H}^n$，$n\ge 1$中$δ_E$到闭集$E$的Carnot-Carathéodory距离.在较弱的条件下证明了$δ_E$的$\mathbb{H}$ -正则性，并引入了奇点的一般概念.当$E$是欧氏$C^k$子流形$k\ge 2$时，我们证明了$δ_E$是奇异集之外的$C^k$.当$E$的边界为类$C^2$时，得到了管状邻域的体积的显式表达式，在奇异集之外，根据$\partial E$的水平主曲率和函数$\langle N,T\rangle/|N_h|$及其切导数.
2017-09-21 math.DG math.MG
Braids of Three Strands and Geodesics Shooting in $SL_2(\mathbb{R})$
Montana State University（蒙大拿州立大学）
本文针对三股辫，利用$SL_2(\boldsymbol{\text{R}})$相关几何，提出构造最优几何辫的方法，得到长度最短测地线的刻画与目标方程，扩展了测地线射影的相关公式。
2026-08-25 math.AT math.DG math.DS
