$\mathbb{N}^d$ 上 2-乘性整数系统的边界复杂度与曲面熵
Boundary complexity and surface entropy of 2-multiplicative integer systems on $\mathbb{N}^d$
AI总结：
本文针对 $\mathbb{N}^d$ 上的 2-乘性整数系统，引入边界复杂度概念，证明特定区间内所有值均可实现，并给出曲面熵的严格公式，从而提供计算拓扑熵的有效方法并揭示其与有限型子移位的内在差异。
摘要：
本文引入边界复杂度的概念，并证明对于 $\mathbb{N}$ 上的 2-乘性整数系统（2-MIS）$X^{p}_Ω$（或 $\mathbb{N}^d,d\geq 2$ 上的 $X^{\bf p}_Ω$），区间 $[h(X^p_Ω), \log r]$ 中的每一个点都可以实现为某个具有特定速度的 2-MIS 的边界复杂度，其中 $r$ 表示字母表个数。该结果是新的，并且与 $d\geq 1$ 时 $\mathbb{N}^d$ 有限型子移位（SFT）的情形有很大不同。此外，本文还给出了 $\mathbb{N}^d$ 2-MIS 曲面熵的严格公式。这为计算 $\mathbb{N}^d$ 2-MIS 的拓扑熵提供了一种有效方法，同时也揭示了 $d\geq 1$ 且 $k\geq 2$ 时 $\mathbb{N}^d$ $k$-MIS 与 SFT 之间的内在差异。
英文摘要：
In this article, we introduce the concept of the boundary complexity and prove that for a 2-multiplicative integer system (2-MIS) $X^{p}_Ω$ on $\mathbb{N}$ (or $X^{\bf p}_Ω$ on $\mathbb{N}^d,d\geq 2$), every point in $[h(X^p_Ω), \log r]$ can be realized as a boundary complexity of a 2-MIS with a specific speed, where r stands for the number of the alphabets. The result is new and quite different from $\mathbb{N}^d$ subshifts of finite type (SFT) for $d\geq 1$. Furthermore, the rigorous formula of surface entropy for a $\mathbb{N}^d$ 2-MIS is also presented. This provides an efficient method to calculate the topological entropy for $\mathbb{N}^d$ 2-MIS and also provides an intrinsic differences between $\mathbb{N}^d$ $k$-MIS and SFTs for $d\geq 1$ and $k\geq 2$.
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