On multiple Borsuk numbers in normed spaces
Hujter和Lángi在直径为$d > 0$的欧几里得$n$ -空间中引入了一个集合$S$的$k$ -fold Borsuk数，作为$S$子集的家族$\mathcal F$的最小基数，其直径严格小于$d$，使得$S$的每个点至少属于$\mathcal F$的$k$成员。研究了有限维赋范空间中集合$S$的$k$ -fold Borsuk覆盖是否可以扩展为$S$的完备化.进一步，我们确定了赋非角范平面上集合的$k$ -fold Borsuk数，并给出了赋角范平面上集合的一个部分刻画.
2013-11-26 math.CO math.MG
On the multiple Borsuk numbers of sets
n维欧氏空间中直径d >0的集合S的Borsuk数是m的最小值，使得S可以被划分为m个直径小于d的集合。我们的目的是推广这个概念如下：这样一个集合S的k重Borsuk数是m的最小值，使得存在S的k重覆盖，m个集合的直径小于d。本文刻画了欧氏平面上集合的k重Borsuk数，给出了中心对称集、光滑体和常宽凸体的k重Borsuk数的界，并对欧氏空间中的有限点集进行了检验.
2012-10-12 math.CO math.MG
Reducing the upper bound for the Borsuk number in $\mathbb{R}^4$ to 8
Moscow Institute of Physics and Technology（莫斯科物理技术学院）；Caucasus Mathematical Center of Adyghe State University（阿迪格国立大学高加索数学中心）；Skolkovo Institute of Science and Technology（斯科尔科沃科学技术研究所）
本文通过构造几种截断 Lassak 覆盖的 8 分割，证明了 $\mathbb{R}^4$ 中的 Borsuk 数上界可降至 8。
2026-05-18 math.MG
Extremal spherical polytopes and Borsuk's conjecture
本文通过数值梯度流生成反自极球面多胞形，研究其临界点与组合性质，并探讨与Borsuk猜想的联系。
2024-11-11 math.CO math.MG
A two-page disproof of the Borsuk partition conjecture
本文给出了Borsuk猜想的最简单的反证：如果n维欧几里得空间的一个有界子集包含n个以上的点，那么这个子集可以被划分为n+1个直径较小的非空部分。这个论点是由于N。阿隆和是一个显着的应用组合数学和代数几何。这张便条纯粹是临时性的，学生们可以拿到。
2013-11-22 math.CO math.MG
Borsuk's conjecture for two-distance sets and its equivalent formulation for graphs
本研究利用图可作为双距离集嵌入欧氏空间的性质，给出双距离集下博苏克猜想的图论等价表述，介绍其未解决的维度范围，还探讨了图构造反例的思路与向s-距离集的推广。
2025-11-15 math.CO math.MG
Anti-Vietoris--Rips metric thickenings and Borsuk graphs
该研究定义了反Vietoris-Rips度量加厚空间$\rm{AVR^m}(X;r)$，分析了球面的加厚空间拓扑性质（同胚、同伦等价、可缩性），给出紧黎曼流形加厚空间的覆盖维数与上同调消失条件，并建立了与Borsuk图色数的联系。
2025-04-15 math.AT math.MG
A note on Borsuk's problem in Minkowski spaces
本文研究 Minkowski 空间中的 Borsuk 问题，指出 Kahn–Kalai 的反例构造可推广至所有 $\ell_p$ 空间，且其划分下界随 $p$ 增大而增强。
2023-07-19 math.CO math.MG
Counterexamples to Borsuk's conjecture on spheres of small radii
讨论了经典的Borsuk猜想，即欧几里得空间$ {\mathbb R}^d $中直径为1的任意集合都可以被分成直径更小的$ d+1 $部分.在过去的二十年中，许多反例的猜想已被提出在高维。然而，它们都是直径为1的集合，它们位于半径接近值$ {1}{\sqrt{2}} $的球体上。本文的主要结果是：{ \it}对于任何$ r > {1}{2} $，存在一个$ d_0 $使得对于所有$ d \ge d_0 $，Borsuk猜想的一个反例可以在球面$ S_r^{d-1} \subset {\mathbb R}^d $上找到.
2010-10-03 cs.DM math.CO math.MG
Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry
该课程于2019年秋季在北京大学开设。主要内容包括：（1）一般拓扑学、超空间、度量与伪度量空间、图论。(2)度量空间中的图，最小生成树，Steiner最小树，Gromov最小填充。(3)Hausdorff距离，Vietoris拓扑，极限理论，完备性继承，完全有界性，超空间紧性。(4)Gromov-Hausdorff距离，三角不等式，紧空间等距类的正定性，有界紧空间的反例。(5)可分空间在\ell_\有限空间中的等距像的Gromov-Hausdorff距离，对应，对应的Gromov-Hausdorff距离。(6)Epsilon-isometries和Gromov-Hausdorff距离(7)不可约对应和Gromov-Hausdorff距离(8)格罗莫夫-豪斯多夫收敛，当格罗莫夫-豪斯多夫收敛时度量和拓扑性质的继承. (9)Gromov-T2空间（GH-空间），最优对应，紧度量空间的闭最优对应的存在性，GH-空间是测地的。(10)GH-空间的覆盖数、堆积数、完全有界性、完备性和可分性。(11)用到单形的GH-距离表示的mst-谱，GH-空间中的Steiner问题。(12)到多点单形的GH-距离，到至多相同点数单形的GH-距离。(13)广义Borsuk问题，广义Borsuk问题的GH-距离解，简单图的团覆盖数和色数，它们的对偶，用GH-距离计算这些数。
2020-12-01 math.MG
A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture
在1933年卡罗尔Borsuk问是否每一个有界集的n维欧几里得空间可以分为n+1部分较小的直径。集合的直径定义为所包含点的距离的上确界（上确界）。因此，假设整个集合至少包含两个点。这个问题的答案是肯定的假设成为著名的名称Borsuk的猜想。从杰夫·卡恩和吉尔·卡莱开始，从1993年到2003年，几位作者证明了在某些（几乎所有）高维中这样的划分是不可能的。在2013年发表的一篇论文中，Andriy V. Bondarenko构建了一个65维的416个向量的二维距离集，这些向量不能被分成小于小于84个较小直径的部分。这不仅是第一个已知的两个距离反例博苏克的猜想，但也是一个相当大的减少已知的最低维的猜想失败的一般。本文提出了上述向量集的一个64维子集，它不能被分成小于71（由A. Bondarenko 72）的部分较小的直径，这种方式提供了一个两个距离反例，以Borsuk的猜想在64维。所包含的证明依赖于一些（组合）计算的结果。另外（在源代码包中）提供的小型计算机程序G24CHK在1 GHz Intel PIII上执行该任务需要大约一秒钟。同时，本文作者和Andries E. Brouwer遵循这篇文章的主要思想，但避免了大量的计算部分，已提交给电子组合学杂志。
2014-08-20 math.CO math.MG
Sub-25-dimensional counterexamples to Borsuk's conjecture in the Leech lattice?
本文研究利奇格中Borsuk猜想的低维反例，通过构造24维利奇格及叠层子格中的最小范数向量集，验证n≤21时可分成至多n+1个小直径部分，并给出22至24维分别需要25、29、34部分的计算证据。
2025-03-13 math.CO math.MG
Functionals on the Spaces of n-Dimensional Convex Bodies
在几何学中，研究与凸体相关的数有几个具有挑战性的问题。例如，填充密度问题，接吻数问题，覆盖密度问题，填充覆盖常数问题，Hadwiger的覆盖猜想和Borsuk的划分猜想。它们都是关于同一个对象的基本而迷人的问题。然而，到目前为止，它们所采用的方法和技术都有本质的不同。因此，人们对它们的共同基础寄予厚望。通过将这类问题作为定义在n维凸体空间上的泛函来处理，本文试图建立这样一个基础。本文提出了一个理想的理论结构和几个重要的研究课题，如上导数和积分和这些泛函。证明了Hausdorff度量与Banach-Mazur度量之间的一个不等式，并得到了上导数的一些估计.
2014-02-15 math.MG
The Gromov--Hausdorff Distance between Simplexes and Two-Distance Spaces
本文计算了任意单形（所有非零距离相同的度量空间）和有限度量空间（所谓的$2$ -距离空间）之间的Gromov-Hausdorff距离。作为推论，得到了$2$ -距离空间上广义Borsuk问题的完全解.此外，我们还根据单纯形与由图$G$构造的适当的$2$ -距离空间之间的Gromov-Hausdorff距离，导出了任意图$G$的团覆盖数和色数的计算公式.
2019-07-22 math.GT math.MG
Divide bounded sets into sets having smaller diameters
对于每个正整数$m$和每个实有限维Banach空间$X$，我们设置$β(X,m)$为$δ\in (0,1]$的下确界，使得每个具有直径$1$的集合$A\subset X$可以表示为直径至多为$δ$的$A$的$m$子集的并集。给出了$β(X,m)$的一些基本性质，包括在Banach-Mazur度量意义下它相对于$X$的稳定性.介绍了两种估算$β(X,m)$的方法。第一个估计$β(X,m)$使用的知识$β(Y,m)$，其中$Y$是一个Banach空间足够接近$X$。第二估计使用关于$β_X(K,m)$的信息，即$δ\in(0,1]$的下确界，使得对于$X$中的某些类凸体$K$，$K\subset X$是直径不大于$δ$乘以$K$的直径的$m$子集的并集。特别是，我们表明，$β(l_p^3,8)\leq 0.925$持有每个$p\in [1,+\infty]$通过应用第一种方法，我们证明了$β(X,8)<1$时，$X$是一个三维Banach空间满足$β_X(B_X,8)<\frac{221}{328}$，其中$B_X$是单位球的$X$，通过应用第二种方法。这些结果和方法与Borsuk问题在有限维Banach空间中的推广以及C。Zong的Borsuk猜想计算机程序。
2021-03-28 math.FA math.MG
Coverings of planar and three-dimensional sets with subsets of smaller diameter
考虑了与将欧几里得空间中的集合分裂为较小直径子集的经典Borsuk问题相关的定量估计。对于给定的$k$，存在子集的最小直径，在该最小直径处存在由任何单位直径的平面集合的$k$子集构成的覆盖。为了找到最小直径的上估计，我们提出了一个算法，找到次优分区。在$10 \leqslant k \leqslant 17$的情况下，改进了最小直径的一些上估计和下估计。另一个结果是单位直径的任何集合$M \subset \mathbb{R}^3$可以被划分成直径不大于$0.966$的四个子集。
2022-10-22 math.MG
Combinatorial distance geometry in normed spaces
我们调查的问题和结果，从组合几何赋范空间，集中在涉及距离的问题。其中包括单位距离图、最小距离图、直径图以及最小生成树和Steiner最小树的各种性质。特别是，我们讨论translative接吻（或Hadwiger）号码，等边集，和Borsuk问题在赋范空间。本文给出了如何利用Peter Brass的角测度证明平面上凸体的Hadwiger数和阻塞数的各种说法，包括一些新的结果。我们还包括一些新的结果薄锥和它们的应用不同的距离和其他组合问题的赋范空间。
2017-05-03 math.CO math.MG
Quantitative upper bounds on the Gromov-Hausdorff distance between spheres
本文开发了一种离散框架，用于获取球面间Gromov-Hausdorff距离的上界，首次提供了适用于所有维度对球面的定量界，并确定了圆与高维球面间的精确距离及2-球面到k-球面距离的渐近行为。
2024-08-26 math.AT math.CO math.MG
Banach-Mazur Distance from $\ell_p^3$ to $\ell_\infty^3$
Banach-Mazur距离的最大值$d_{BM}^M(X,\ell_\infty^n)$，其中$X$在所有$n$维实Banach空间的集合上的范围，是很难计算的.事实上，要让所有$p\in [1,\infty]$都获得最大值$d_{BM}^M(\ell_p^n,\ell_\infty^n)$已经不容易了。我们证明了$d_{BM}^M(\ell_p^3,\ell_\infty^3)\leq 9/5,~\forall p\in[1,\infty]$ .作为应用，得到了Banach空间中Borsuk分拆问题的如下结果：$\ell_p^3$的任何直径为$1$的子集$A$是$A$的直径至多为$0.9$的$8$子集的并.
2022-07-12 math.FA math.MG
Some geometric applications of the discrete heat flow
本研究利用离散超立方体上的热流方法，得到双Lipschitz嵌入畸变下界的改进估计，还提出度量稳定型不变量并证明其与线性稳定型一致，可用于加权超立方体的不可嵌入分析。
2023-10-03 math.FA math.MG
Neighboring mapping points theorem
本研究提出一类Borsuk-Ulam定理与拓扑Radon型定理的新扩展，通过将大子集映射为单点的要求放宽为映射为小子集，覆盖m<n时m维球面到n维空间的映射场景，且可推广到更多空间类型。
2022-01-10 math.AT math.CO math.GT
Ultrametricity and metric betweenness in tangent spaces to metric spaces
本文研究一般度量空间的预切空间。本文给出了预切空间的一个超度量准则，它与预切空间中的度量介数密切相关。
2009-04-28 math.MG
The Gromov-Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic
证明了紧度量空间的空间上的Gromov-Hausdorff度量在等距上是严格内禀的，即，相应的度量空间是测地线的。换句话说，这个空间（每两个紧的度量空间）的每两点都可以通过测地线连接。对于有限度量空间，显式地构造了测地线。
2015-04-15 math.MG
Lexicographic metric spaces: basic properties and the metric dimension
本文引入了字典序度量空间的概念，讨论了这类度量空间的一些基本性质，如完备性、有界性、紧性和可分性，得到了任意字典序度量空间的度量维数的一个公式。
2019-11-12 math.MG
Quasi-metric and metric spaces
本文简要地回顾了Frink关于从拟度量空间得到度量空间的一个构造。通过一个例子说明了这种构造的局限性。
2006-07-13 math.MG
Classification of Finite Subspaces of Metric Space Instead of Constraints on Metrics
提出了一种基于有限子空间分类的度量空间研究新方法。它允许导出有关度量空间性质的信息，这些信息是用度量编码的。该方法描述的几何在唯一的度量。它允许去掉通常加在度规上的约束（三角公理和平方度规的非负性），用度量空间来描述具有不定度规的时空和其它几何。描述时空并使用这种方法，可以将量子效应解释为几何效应，即时空特性
1999-05-19 math.MG
On the k-metric Dimension of Metric Spaces
一般度量空间的度量维数定义于1953年，1975年应用于图度量的顶点集，2013年进一步发展为度量空间。然后在2015年将其推广到每个正整数k的图的k-度量维数，其中k=1对应于原始定义。本文讨论一般度量空间的k-度量维数。
2016-03-13 math.MG
Trimming of finite metric spaces
定义了一类修剪度量空间，证明了每个有限度量空间都是具有修剪基的度量森林的叶空间。
2016-12-20 math.MG
Tangent spaces to metric spaces and to their subspaces
研究了一般度量空间的一点处的切空间和度量空间的值导数.完全确定了度量空间的两个不同子空间在其公共点上有等距切空间的条件。
2009-04-28 math.MG
Metric 1-spaces
本文给出了度量空间的一个推广，它承认一个与普通度量空间强相关的理论。为了避免删除度量空间的任何公理所引起的拓扑效应，首先给出了一个新的等价的度量空间公理化，然后从一个新的观点将其推广.自然产生的例子从度量几何。
2012-01-19 math.MG
Spaces of metrics are Baire
本文证明了对于任意可度量空间，生成相同拓扑的度量空间在上确界度量下是 Baire 空间，且完备度量集合在其中是 comeager 的，并探讨了其非阿基米德类比。
2024-06-01 math.MG
Three strongly hyperbolic metrics on ptolemy spaces
最近，强双曲空间作为Gromov双曲空间的某些解析加强被B. Nica和J. Spakula。本文证明了Ptolemy空间（X，d）上的对数度量log（1+d）是强双曲度量.利用我们的结果，我们构造了Ptolemy度量空间上的三个度量，并证明了它们是强双曲的。
2018-03-04 math.MG
Minimal universal metric spaces
设$\mathfrak{M}$是一类度量空间.一个度量空间$Y$是极小$\mathfrak{M}$ -泛的，如果每个$X\in\mathfrak{M}$都可以等距嵌入$Y$中，但不存在满足这个性质的$Y$真子集。我们发现的条件下，对于给定的度量空间$X$，有一类$\mathfrak{M}$的度量空间，使$X$是最小的$\mathfrak{M}$ -泛。我们推广的概念，最小$\mathfrak{M}$ -普遍度量空间的概念，最小$\mathfrak{M}$ -普遍类的度量空间，并证明了唯一性，直到同构，为这些类。给出了属于一类$\mathfrak{M}$的度量空间的不交并是极小$\mathfrak{M}$ -泛的充要条件，并对三点度量空间和$n$维赋范空间类构造了极小泛度量空间的例子.此外，对于度量空间类$X$的某些子类，还找到了极小泛度量空间，它具有下列性质.在$X$的每三个不同点中，有一个点位于其他两个点之间。
2015-04-16 math.MG
Convergence in the space of compact labeled metric spaces
一个标记的度量空间直观地说是一个度量空间连同一组特殊的点被理解为空间的几何边界。我们研究了最近引入的标记Gromov-Hausdorff距离的基本性质，该距离是经典Gromov-Hausdorff距离的扩展，它度量了两个标记度量空间的接近程度。我们提供了一个工具箱的结果特征收敛标记Gromov-Hausdorff距离。得到了标号度量空间的完备性结果和该空间子集的预紧性特征。将所得结果应用于标记度量空间中的旅行时反问题。
2022-10-02 math.MG
Metric spaces with unique pretangent spaces
本文给出了度量空间$X$在标记点$a\in X$处有唯一预切空间的充要条件。关键词：度量空间;度量空间的切空间;切度量空间的唯一性;康托尔集的切空间.
2009-03-27 math.CA math.MG
Metrically Round and Sleek Metric Spaces
本文定义并研究圆形与光滑两类度量空间，分别刻画开球闭包与闭球内部的性质，并给出相关结果。
2021-08-25 math.GN math.MG
Strings in metric spaces
本文提出度量空间中的弦及弦复形概念，并刻画由有限度量空间生成的二维拓扑空间类别。
2024-04-16 math.AT math.MG
An interpolation of metrics and spaces of metrics
Department of Mathematical Sciences Tokyo Metropolitan University（东京都立大学数学科学系）
本文提出了一种度量及其空间的插值定理，并探讨了度量空间中子集的典型性，通过研究各种度量集合的稠密交集，展示了其在非倍度和非均匀断开度量中的应用。
2026-01-13 math.GN math.MG
Statistical convergence in g-metric spaces
本文的目的是在广义度量空间（g-度量空间）上定义关于度量的统计收敛序列，并研究这种统计收敛形式的基本性质.
2021-02-26 math.GN math.MG
Embeddings of locally finite metric spaces into Banach spaces
证明了若X是无余型的巴拿赫空间，则每个局部有限的度量空间度量嵌入X.
2007-02-09 math.FA math.MG
Products of metric spaces, covering numbers, packing numbers and characterizations of ultrametric spaces
本文描述了度量空间的某些笛卡儿积，并找到了超度量空间的乘积是超度量的条件。
2009-03-10 math.CA math.MG
Double controlled cone metric spaces and the related fixed point theorems
本文通过两个控制函数引入了双控制锥度量空间。给出了一个由两个不可比较函数构成的双重控制锥度量空间的例子，它不是一个控制的度量空间。在双控制锥度量空间中，我们也给出了Banach型和Kannan型压缩的不动点定理.
2022-08-14 math.FA math.MG
Round and sleek subspaces of linear metric spaces and metric spaces
在最近的工作[Metrically round and sleep度量空间，\emph{The Journal of Analysis}（2022），pp 1- 17]中，作者证明了关于度量圆光滑线性度量空间和度量空间的一些结果.本文在子空间拓扑中讨论了线性度量空间和度量空间的圆子集和光滑子集的识别问题。
2022-09-07 math.FA math.GN math.MG
Point distributions in compact metric spaces
我们考虑紧度量空间中的有限点子集（分布）。在一般可求长度量空间的情形下，给出了度量球上分布点间距离和及分布差的非平凡界。我们将Stolarsky的不变性原理推广到距离不变空间，并对任意度量空间证明了一个概率不变原理.此外，我们构造了一般可求长紧度量空间的等测度最小平均直径子集的划分。
2015-12-01 math.CO math.MG math.PR
On isometric universality of spaces of metrics
本文研究了度量空间的等距普遍性，证明了具有丰富子空间的可度量空间上的有界度量空间和度量空间分别对特定类别的度量空间具有普遍性，并给出了紧致可数空间下的反例。
2024-09-26 math.FA math.GN math.MG
