Metric spaces with unique pretangent spaces
Oleksiy Dovgoshey, Fahreddin Abdullayev, Mehmet Kuchukaslan
本文给出了度量空间$X$在标记点$a\in X$处有唯一预切空间的充要条件。关键词：度量空间;度量空间的切空间;切度量空间的唯一性;康托尔集的切空间.
We find necessary and sufficient conditions under which an arbitrary metric space $X$ has a unique pretangent space at the marked point $a\in X$. Key words: Metric spaces; Tangent spaces to metric spaces; Uniqueness of tangent metric spaces; Tangent space to the Cantor set.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Boundedness of pretangent spaces to general metric spaces
设（X，d，p）是一个度量空间，具有度量d和一个标记点p.定义了[0，\infty）的子集在0处w-强多孔集，证明了距离集{d（x，p）：x \in X}在0处w-强多孔当且仅当X在p处的预切空间有界.
Pretangent spaces with nonpositive and nonnegative Aleksandrov curvature
给出了一般度量空间的预切空间具有非正Aleksandrov曲率或非负Aleksandrov曲率的条件。给出了具有Busemann凸预切空间的一般度量空间的无穷小结构。
Uniform boundedness of pretangent spaces and local strong one-side porosity
设（X，d，p）是点度量空间. X在p处的预切空间是由收敛于p的序列（x_n）x_PDMATHABMM X的等价类组成的度量空间，其收敛阶与给定的标度序列（r_n）r_n \downarrow 0相当.我们说（r_n）是正规的，如果存在（x_n）使得|d（x_n，p）-r_n|对于n个\to \infty，=o（r_n）。设Omega_{p} ^{X}（n）是X在p处具有正规标度序列的预切空间的集合。证明了来自Omega_{p} ^{X}（n）的空间是一致有界的当且仅当{d（x，p：x \in X}是所谓的完全强多孔集.
Ultrametricity and metric betweenness in tangent spaces to metric spaces
本文研究一般度量空间的预切空间。本文给出了预切空间的一个超度量准则，它与预切空间中的度量介数密切相关。
Uniform boundedness of pretangent spaces, local constancy of metric derivatives and strong right upper porosity at a point
设$(X,d,p)$是点度量空间. $X$在$p$处的预切空间是由收敛于$p$的序列$(x_n), x_n \in X,$的一些等价类组成的度量空间，其收敛度与给定的标度序列$(r_n), r_n\downarrow 0.$相当。标度序列$(r_n)$是正规的，如果该序列最终是减的，并且存在$(x_n)$使得$\mid d(x_n,p)-r_n\mid=o(r_n)$ for $n\to\infty.$令$\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$是$X$在$p$处的预切空间的集合，具有正规标度序列的证明了$\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$是一致有界的当且仅当$\{d(x,p): x\in X\}$是所谓的完全强多孔集.证明了$\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$的一致有界性等价于$X$上所有度量可微映射的度量导数在以预切空间的标志点为中心的固定半径的开球中的恒定性.
Isometric embeddings of pretangent spaces in E^n
我们证明了Menger，Schoenberg和Blumenthal关于度量空间在有限维欧几里得空间中等距嵌入存在条件的经典结果的无穷小类似.
Finite asymptotic clusters of metric spaces
设$(X, d)$是无界度量空间，$\tilde r=(r_n)_{n\in\mathbb N}$是趋于无穷大的正实数序列.一个在无穷远处的预切空间$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$到$(X, d)$是重标度序列$\left(X, \frac{1}{r_n}d\right).$的极限所有预切空间$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$的集合称为预切空间的渐近簇。这样的聚类可以被认为是加权图$(G_{X, \tilde r}, ρ_{X})$，其最大团与$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$一致，并且权重$ρ_{X}$由$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$上的度量定义。本文描述了具有预切空间的有限渐近簇的度量空间的结构，并刻画了与这些簇同构的有限权图。
On equivalence of unbounded metric spaces at infinity
设$(X, d)$是一个无界的度量空间.为了研究$(X, d)$在无穷远处的渐近行为，可以考虑由给定的正实数序列$(r_n)_{n \in \mathbb N}$生成的重标度度量空间序列$(X, \frac{1}{r_n} d)$，其中$r_n \to \infty$。作为序列$(X, \frac{1}{r_n} d)_{n \in \mathbb N}$的极限点的度量空间称为$(X, d)$在无穷远处的预切空间。给出了$(X, d)$的两个无界子空间在无穷远处具有相同的预切空间的充要条件。当$(X, d)$是具有欧氏度量的实直线时，我们也刻画了$(X, d)$的所有无界子空间与它们的预切空间等距.
Asymptotic structure of general metric spaces at infinity
设$(X,d)$是一个无界度量空间，$\tilde r=(r_n)_{n\in\mathbb N}$是一个正实数趋于无穷大的标度序列.定义了在无穷远处的预切空间$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$到$(X, d)$为一个度量空间，它的点是序列$(x_n)_{n\in\mathbb N}\subset X$的等价类，序列以$\tilde r$的速度趋向无穷远处.证明了对于每个无界度量空间$(X, d)$和每个尺度序列$\tilde r$，预切空间$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$是完备的.找到了$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$的有限性条件。
Metric Spaces where Geodesics are Never Unique
本文提出多重测地空间概念，刻画了多重测地赋范空间，证明连续函数空间在 L1 范数下具有测地线不唯一性，而有限维赋范空间不具备该性质，并进一步探讨了一般度量空间中的相关额外特征。
Metric conditions that guarantee existence and uniqueness of Optimal Transport maps
该研究探讨度量空间中Monge问题最优传输映射存在唯一性的度量条件，提出局部度量扭转条件与局部一致非分支假设，分别在对应成本下证明了映射的存在唯一性，拓展了最优传输理论的适用场景。
Problems of unique determination of domains by the relative metrics on their boundaries
本文主要讨论非凸域边界曲面的唯一判定问题。第一，在SEC。2)我们研究了关于由边界的相对度量唯一确定域的问题的一些结果。在SEC。3.研究了黎曼流形中子流形边界的刚性条件。最后一部分（第二部分）4)是关于域的唯一确定的条件下的局部等距的边界的相对度量。该调查特别包含arXiv：1401.7295，arXiv：1305.6169，arXiv：1511.04235的结果。
Gradient Flows for Semiconvex Functions on Metric Measure Spaces - Existence, Uniqueness and Lipschitz Continuity
给定度量测度空间$(X,d,m)$上的任意连续、有界、$κ$ -凸函数$V$，证明了$V$的（向下）梯度流的存在唯一性.此外，我们证明了Lipschitz连续的流动w.r.t.起点$d(x_t,x'_t)\le e^{-κ\, t} d(x_0,x_0').$
A unique extremal metric for the least eigenvalue of the Laplacian on the Klein bottle
本文证明了Jakobson，Nadirashvili和Polterovich最近提出的一个猜想：在克莱因瓶\cite{JNP}上，旋转度量$$g_0= {9+ (1+8\cos ^2v)^2\over 1+8\cos ^2v} (du^2 + {dv^2\over 1+8\cos ^2v}),$$ $0\le u <\fracπ2$，$0\le v <π$，是Laplacian的第一本征值的\emph{unique}极值度量.证明导致我们研究的哈密顿动力系统，原来是完全可积的求积。
Metric spaces with unique tangents
我们感兴趣的研究加倍度量空间的性质，在某些点的度量切线是唯一的。在这样的设置中，Finsler-Carnot-Caratheodory几何和Carnot组显示为切线的模型。结果是基于一个类似的度量空间的Preiss的现象：切线的切线。
On the Unique Determination of Domains by the Condition of the Local Isometry of the Boundaries in the Relative Metrics
本文包含作者最近对欧几里得空间中域的刚性问题的研究结果，这些研究是为了发展一种新的方法来解决有界闭凸曲面的唯一确定的经典问题[A. V. Pogorelov，凸曲面的外部几何，AMS，Providence（1973）]，在[A. P. Kopylov，On the unique determination of domains in欧几里得空间，J. of Math. Sciences，153，no.6，869-898（2008）]。本文给出了具有光滑边界的平面域$U$的一个完整刻画（即，$U$的欧几里德边界$\mathop{\rm fr}U$是类$C^1$的一维流形（没有边界），其在具有光滑边界的$\mathbb R^2$中的域类中通过相对度量中的边界的局部等距的条件唯一地确定。如果$U$是有界的，则$U$的凸性是在所有光滑边界的有界平面域类中唯一判定这类凸性的充要条件.如果$U$是无界的，则它在所有光滑边界的平面域类中的唯一性由边界的局部等距条件在相对度量中的判定等价于它的严格凸性。在最后一节中，我们考虑空间域的情况。本文证明了一个关于$\mathbb R^n$中严格凸域的唯一判定定理，其中$n \ge 2$在所有$n$维域类中，通过相对度量中Hausdorff边界的局部等距条件，它是AD Aleksandrov关于通过（全局）条件唯一确定严格凸域的定理的推广相对度量中边界的等…
Geodesic metric spaces with unique blow-up almost everywhere: properties and examples
这篇短文是作为“差分几何学”研讨会的Oberwolfach报告而写的。我们讨论几乎在所有点上都允许切度量空间的度量空间的性质。我们解释了为什么，在一些温和的假设下，切线几乎肯定是subFinsler卡诺集团。我们提到了切线是欧几里得空间的几种情况，但初始的度量空间是相当病态的。
Generalized ordinary differential equations in metric spaces
本文的目的是将广义常微分方程的理论推广到度量空间。我们提出的存在性和唯一性定理，显着改善以前的结果，即使限制回欧几里得空间。
Nguyen's approach to Sobolev spaces in metric measure spaces with unique tangents
本文将 Nguyen 的 Sobolev 空间刻画方法推广到具有唯一欧氏切空间或 Heisenberg 群切空间的 PI-度量测度空间，并提出了比原有方法更简单且完全不同的新途径。
Isometries of Products of Path-Connected Locally Uniquely Geodesic Metric Spaces with the Sup Metric are Reducible
设$M_i$和$N_i$是非点的路径连通局部唯一测地度量空间，$f:\prod_{i=1}^m M_i\to \prod_{i=1}^n N_i$是等距空间，其中$\prod_{i=1}^n N_i$和$\prod_{i=1}^m M_i$被赋予超度量.然后，对于所有$i$，$m=n$和重新索引后的$M_i$与$N_i$等距。此外，$f$是重新索引因子空间的等距和等距$f_i:M_i\to N_i$的乘积的等距的组合。
Non-positive curvature and the Ptolemy inequality
我们给出了非局部紧测地线托勒密度量空间的例子，这些空间不是唯一测地线的。另一方面，我们证明了局部紧的测地Ptolemy度量空间是唯一测地的。证明了一个度量空间是CAT（0）的充要条件是它是Busemann凸的且是Ptolemy空间。
Unique geodesics for Thompson's metric
本文给出了Thompson度量空间中唯一测地线的一个几何刻画。这个特征是用来证明各种其他几何结果。首先，证明了在有单位元的$C^*$ -代数的正自伴元锥中，存在唯一的连接$x$和$y$的Thompson度量测地线当且仅当对某些$β\geq 1$，$x^{-1/2}yx^{-1/2}$的谱包含在$\{1/β,β\}$中.对于对称锥也将得到类似的结果。其次，将证明如果$C^\circ$是有限维闭锥$C$的内部，则汤普森度量空间$(C^\circ,d_C)$可以准等距嵌入到有限维赋范空间中，当且仅当$C$是多面体锥。此外，$(C^\circ,d_C)$等距于有限维赋范空间当且仅当$C$是单纯锥。本文还证明了如果$C^\circ$是一个严格凸锥$C$的内部，且有$3\leq \dim C<\infty$，则每个Thompson度量等距都是射影线性的.
Properties of metrics and infinite geometric graphs
我们考虑定义在各种度量上的无限随机几何图的同构性质。在以前的工作中，它表明，$\mathbb{R}^n$与$L_{\infty}$ -度量，无限随机几何图是唯一的，概率为1，同构。然而，在$n=2$的情况下，这对于任何一个$L_2$度量都是假的。我们将这个结果推广到一个大家庭的度量诱导规范。在这类度量空间中，我们证明了无限几何图在同构之前不是唯一的，如果它具有我们称之为截断的新性质：从稠密集到它自身的每一步等距都是等距。作为推论，我们得到了定义在$L_p$空间中的无限随机几何图直到同构概率为1时，对所有有限$p>1.$都不是唯一的
The Unique Games Conjecture, Integrality Gap for Cut Problems and Embeddability of Negative Type Metrics into $\ell_1$
本文证明了Goemans和Linial的一个猜想，即每一个负型度量嵌入到$\ell_1$中，且具有常数的畸变.我们发现，对于一个任意小的常数$δ> 0$，对于所有足够大的$n$，有一个$n$点负型度量，需要失真至少$(\log\log n)^{1/6-δ}$嵌入到$\ell_1.$令人惊讶的是，我们的建设是受独特的游戏猜想（UGC）的霍特，建立一个以前未被怀疑的连接之间的概率检验证明系统（PCP）和度量嵌入的理论。我们首先证明，UGC意味着一个超常数硬度的结果（非均匀）Sparcident切割问题。虽然这个硬度的结果依赖于UGC，我们证明，然而，相应的PCP减少可以用来构建一个“完整性差距实例”的Sparcadium切。为此，我们首先构建了一个完整性差距的唯一游戏的自然SDP放松的例子。然后，我们“模拟”的PCP减少和“翻译”的完整性差距的独特的游戏实例的完整性差距的Spartament切割的实例。这使我们能够证明一个$(\log \log n)^{1/6-δ}$完整性间隙的Sparling-Cut，这是已知的是等价的度量嵌入下界。
On one-dimensionality of metric measure spaces
本文证明了至少有一个等距于区间的开集的度量测度空间是一维流形（可能有边界），且存在从任意绝对连续测度到任意测度的（可能非唯一的）最优输运映射.作为一个直接推论，我们得到：如果度量测度空间是一个非常严格的$CD(K,N)$ -空间或一个本质无分支的$MCP(K,N)$ -空间，且有某个开集等距于一个区间，则它是一个一维流形.对于度量测度空间，当其上的Gromov-Hausdorff切线唯一且等距于实直线，且其上的最优输运映射存在且唯一时，我们也得到了同样的结论.在本质非分支$MCP(K,N)$ -空间的情形下，我们又得到了一个类似的推论。
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