Boundedness of pretangent spaces to general metric spaces
Viktoriia Bilet, Oleksiy Dovgoshey
设（X，d，p）是一个度量空间，具有度量d和一个标记点p.定义了[0，\infty）的子集在0处w-强多孔集，证明了距离集{d（x，p）：x \in X}在0处w-强多孔当且仅当X在p处的预切空间有界.
Let (X,d,p) be a metric space with a metric d and a marked point p. We define the set of w-strongly porous at 0 subsets of [0,\infty) and prove that the distance set {d(x,p): x\in X} is w-strongly porous at 0 if and only if every pretangent space to X at p is bounded.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Uniform boundedness of pretangent spaces and local strong one-side porosity
设（X，d，p）是点度量空间. X在p处的预切空间是由收敛于p的序列（x_n）x_PDMATHABMM X的等价类组成的度量空间，其收敛阶与给定的标度序列（r_n）r_n \downarrow 0相当.我们说（r_n）是正规的，如果存在（x_n）使得|d（x_n，p）-r_n|对于n个\to \infty，=o（r_n）。设Omega_{p} ^{X}（n）是X在p处具有正规标度序列的预切空间的集合。证明了来自Omega_{p} ^{X}（n）的空间是一致有界的当且仅当{d（x，p：x \in X}是所谓的完全强多孔集.
Uniform boundedness of pretangent spaces, local constancy of metric derivatives and strong right upper porosity at a point
设$(X,d,p)$是点度量空间. $X$在$p$处的预切空间是由收敛于$p$的序列$(x_n), x_n \in X,$的一些等价类组成的度量空间，其收敛度与给定的标度序列$(r_n), r_n\downarrow 0.$相当。标度序列$(r_n)$是正规的，如果该序列最终是减的，并且存在$(x_n)$使得$\mid d(x_n,p)-r_n\mid=o(r_n)$ for $n\to\infty.$令$\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$是$X$在$p$处的预切空间的集合，具有正规标度序列的证明了$\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$是一致有界的当且仅当$\{d(x,p): x\in X\}$是所谓的完全强多孔集.证明了$\mathbf{Ω_{p}^{X}(n)}$的一致有界性等价于$X$上所有度量可微映射的度量导数在以预切空间的标志点为中心的固定半径的开球中的恒定性.
Metric spaces with unique pretangent spaces
本文给出了度量空间$X$在标记点$a\in X$处有唯一预切空间的充要条件。关键词：度量空间;度量空间的切空间;切度量空间的唯一性;康托尔集的切空间.
Pretangent spaces with nonpositive and nonnegative Aleksandrov curvature
给出了一般度量空间的预切空间具有非正Aleksandrov曲率或非负Aleksandrov曲率的条件。给出了具有Busemann凸预切空间的一般度量空间的无穷小结构。
Ultrametricity and metric betweenness in tangent spaces to metric spaces
本文研究一般度量空间的预切空间。本文给出了预切空间的一个超度量准则，它与预切空间中的度量介数密切相关。
Isometric embeddings of pretangent spaces in E^n
我们证明了Menger，Schoenberg和Blumenthal关于度量空间在有限维欧几里得空间中等距嵌入存在条件的经典结果的无穷小类似.
Finite asymptotic clusters of metric spaces
设$(X, d)$是无界度量空间，$\tilde r=(r_n)_{n\in\mathbb N}$是趋于无穷大的正实数序列.一个在无穷远处的预切空间$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$到$(X, d)$是重标度序列$\left(X, \frac{1}{r_n}d\right).$的极限所有预切空间$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$的集合称为预切空间的渐近簇。这样的聚类可以被认为是加权图$(G_{X, \tilde r}, ρ_{X})$，其最大团与$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$一致，并且权重$ρ_{X}$由$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$上的度量定义。本文描述了具有预切空间的有限渐近簇的度量空间的结构，并刻画了与这些簇同构的有限权图。
On equivalence of unbounded metric spaces at infinity
设$(X, d)$是一个无界的度量空间.为了研究$(X, d)$在无穷远处的渐近行为，可以考虑由给定的正实数序列$(r_n)_{n \in \mathbb N}$生成的重标度度量空间序列$(X, \frac{1}{r_n} d)$，其中$r_n \to \infty$。作为序列$(X, \frac{1}{r_n} d)_{n \in \mathbb N}$的极限点的度量空间称为$(X, d)$在无穷远处的预切空间。给出了$(X, d)$的两个无界子空间在无穷远处具有相同的预切空间的充要条件。当$(X, d)$是具有欧氏度量的实直线时，我们也刻画了$(X, d)$的所有无界子空间与它们的预切空间等距.
Asymptotic structure of general metric spaces at infinity
设$(X,d)$是一个无界度量空间，$\tilde r=(r_n)_{n\in\mathbb N}$是一个正实数趋于无穷大的标度序列.定义了在无穷远处的预切空间$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$到$(X, d)$为一个度量空间，它的点是序列$(x_n)_{n\in\mathbb N}\subset X$的等价类，序列以$\tilde r$的速度趋向无穷远处.证明了对于每个无界度量空间$(X, d)$和每个尺度序列$\tilde r$，预切空间$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$是完备的.找到了$Ω_{\infty, \tilde r}^{X}$的有限性条件。
Boundedness of precompact sets of metric measure spaces
对Gromov关于度量测度空间的预紧集关于盒距离和Lipschitz序有界的陈述给出了详细的证明。
Boundedness of measured Gromov-Hausdorff precompact sets of metric measure spaces in pyramids
证明了包含在一个称为金字塔的集合中的度量测度空间的任何度量Gromov-Hausdorff预紧集，都被关于金字塔内部Lipschitz序的度量测度空间所包围.这被证明是一个步骤，可能扩展的声明格罗莫夫，为此，我们给出了详细的证明，在我们以前的工作。同时也得到了一些相关的结果。
Neumann problem for p-Laplace equation in metric spaces using a variational approach: existence, boundedness, and boundary regularity
我们采用变分方法研究了度量下有界光滑区域上$p$ -Laplacian算子的Neumann边值问题，证明了解的存在性和有界性.所考虑的边界数据是Borel可测的有界函数。我们还研究了解的边界连续性。利用的关键工具之一是牛顿-索伯列夫函数的迹定理，另一个是适应于诺依曼问题的De Giorgi不等式的模拟。
Pull-back of metric currents and homological boundedness of BLD-elliptic spaces
利用度量流和polylipschitz形式的对偶性，证明了定向上同调流形$X$和$Y$之间的BLD-映射$f\colon X\to Y$在局部有限质量的度量流$k$ -流空间之间诱导出一个拉回算子$f^\ast \colon M_{k,loc}(Y) \to M_{k,loc}(X)$.对于适当的映射，拉回是前推$f_\ast \colon M_{k,loc}(X)\to M_{k,loc}(Y)$的右逆（直到重数）。作为应用，我们得到了Bonk和Heinonen的上同调有界性定理在局部Lipschitz可缩上同调$n$ -流形$X$中的一个非光滑形式，其中$X$允许一个BLD-映射$\mathbb{R}^n \to X$ .
Asymptotic behavior of metric spaces at infinity
提出了一种新的序贯方法来研究度量空间在无穷远处的结构。给出了度量空间在无穷远处的有限性和有界性的判别准则。
Lexicographic metric spaces: basic properties and the metric dimension
本文引入了字典序度量空间的概念，讨论了这类度量空间的一些基本性质，如完备性、有界性、紧性和可分性，得到了任意字典序度量空间的度量维数的一个公式。
Boundedness of Riesz transforms on $\RCD(K, \infty)$ spaces
本文证明了一类广泛度量测度空间（包括对数凹概率测度的希尔伯特空间）上Riesz变换的$L^p$有界性，并扩展了Sobolev函数的Lusin型逼近范围。
Gradient estimate and Universal bounds for semilinear elliptic equations on RCD$^*$(K,N) metric measure spaces
本文研究了半线性椭圆方程在RCD*(K,N)度量测度空间上的梯度估计和通用界，通过子临界指数条件下的方程恢复了许多经典结果，并在K<0的情况下证明了估计的最优性，同时建立了通用界、对数梯度估计和Harnack不等式之间的基本关系。
Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry
该课程于2019年秋季在北京大学开设。主要内容包括：（1）一般拓扑学、超空间、度量与伪度量空间、图论。(2)度量空间中的图，最小生成树，Steiner最小树，Gromov最小填充。(3)Hausdorff距离，Vietoris拓扑，极限理论，完备性继承，完全有界性，超空间紧性。(4)Gromov-Hausdorff距离，三角不等式，紧空间等距类的正定性，有界紧空间的反例。(5)可分空间在\ell_\有限空间中的等距像的Gromov-Hausdorff距离，对应，对应的Gromov-Hausdorff距离。(6)Epsilon-isometries和Gromov-Hausdorff距离(7)不可约对应和Gromov-Hausdorff距离(8)格罗莫夫-豪斯多夫收敛，当格罗莫夫-豪斯多夫收敛时度量和拓扑性质的继承. (9)Gromov-T2空间（GH-空间），最优对应，紧度量空间的闭最优对应的存在性，GH-空间是测地的。(10)GH-空间的覆盖数、堆积数、完全有界性、完备性和可分性。(11)用到单形的GH-距离表示的mst-谱，GH-空间中的Steiner问题。(12)到多点单形的GH-距离，到至多相同点数单形的GH-距离。(13)广义Borsuk问题，广义Borsuk问题的GH-距离解，简单图的团覆盖数和色数，它们的对偶，用GH-距离计算这些数。
Diversities, hyperconvexity and fixed points
最近引入了距离作为度量的推广，可以陈述丰富的紧跨度理论。本文讨论了非扩张映象的超凸性、扩张性和不动点等问题。这些问题的动机大多是超凸多样性和它的诱导度量空间之间的联系的研究，我们提供了一些答案。例如，给出的例子表明，这样的度量空间不一定是超凸的，但我们仍然证明，作为我们的主要结果，他们享有不动点性质的非扩张映射提供的多样性是有界的，这种有界性条件不能从多样性转移到诱导度量空间。
First-Order Analysis of Optimization in Uniformly Convex Metric Spaces: Directional Subderivatives and Basic Descent
研究一致凸度量空间中函数最小化的一阶方法，通过方向次导数等制定收敛条件，证明存在最速下降方向，为局部光滑非凸优化的一阶显式算法奠定基础。
Ramified optimal transportation in geodesic metric spaces
最优输运路径可以被看作是在合适的度量族下的概率测度空间中的测地线。这种测地线可以在许多应用中表现出树形分支结构，例如树木、血管、排水和灌溉系统。本文将概率测度之间分歧最优运输的研究从欧几里得空间推广到测地线度量空间。我们调查的存在性以及最优输运路径的各种性质下的度量，如完整性，加倍，或曲率上界的行为。在完备测地度量空间上引入了概率测度的迁移维数，并证明了概率测度的迁移维数上界为Minkowski维数，下界为测度的豪斯多夫维数.此外，我们还在概率测度空间上引入了一个度量，称为“维数距离”。这个度量给了传输维一个几何意义：关于这个度量，一个概率测度的传输维等于从它到任何有限原子概率测度的距离。
On Perelman's $W$-entropy and Shannon entropy power for super Ricci flows on metric measure spaces
本文将Perelman的W-熵公式、Shannon熵幂凹性及Li-Yau-Hamilton-Perelman Harnack不等式推广到度量测度空间上的超Ricci流，并证明RCD(0,N)空间中体积非局部坍缩与W-熵下界等价，进而研究最优对数Sobolev不等式。
Heat Kernel Bounds on Metric Measure Spaces and Some Applications
设$(X,d,μ)$是一个具有$K\in \mathbb{R}$和$N\in [1,\infty]$的$RCD^\ast(K, N)$空间。对于$N\in [1,\infty)$，利用抛物Harnack不等式和比较原理，得到了$(X,d,μ)$上热核的上、下界及其梯度的精确界.当$N=\infty$时，我们还利用无量纲Harnack不等式建立了热核的一个尖锐的上界。作为应用，我们研究了热核的大时间行为，热方程解的稳定性，并证明了（局部）里斯变换的$L^p$有界性。
Riesz transform on eventually Gaussian local trees
研究均匀局部树上的Riesz变换，在体积增长和热核估计条件下，证明局部Dini条件保证L^p有界性，并确定交替Vicsek分形折叠上不等式成立的精确p范围。
Lorentzian metric spaces and GH-convergence: the unbounded case
本文提出无界洛伦兹度量空间概念，通过三个最小条件定义空间，推广（预）长度空间并定义其Gromov-Hausdorff收敛，证明GH稳定性，还给出准一致性与准度量结构，并与近期其他构造进行比较。
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