Alexandrov's Theorem for Integral Varifolds and Applications to Geometric Inequalities
University of Toronto（多伦多大学）
本文通过最优质量输运，为积分varifolds建立了等周和Michael-Simon-Sobolev不等式，推广了Brendle-Eichmair结果，并推广了Alexandrov定理，常数在余维2时最优。
2026-09-18 math.AP math.DG
Quadratic flatness and Regularity for Codimension-One Varifolds with Bounded Anisotropic Mean Curvature
该研究证明了具有有界各向异性均曲率的变分在几乎所有点上具有正则性，结合Allard定理进一步表明其在密度为1的点上具有更高级的正则性。
2026-01-28 math.AP math.DG
Perpendicularity and Locality for Codimension-One Varifolds with Bounded Anisotropic Mean Curvature
本文研究了具有有界各向异性均曲率的变分的法向性和局部性，扩展了Brakke、Schätzle和Ambrosio-Masnou在欧几里得空间中的经典定理。
2026-04-13 math.AP math.DG math.OC
A Structure Theory for Stable Codimension 1 Integral Varifolds with Applications to Area Minimising Hypersurfaces mod p
本文建立无低密度经典奇点的稳定余维1平稳积分varifold的结构理论，并用于刻画模p面积极小超曲面在平面切锥点附近的唯一性与广义$C^{1,\alpha}$分支结构。
2023-05-31 math.AP math.DG
Global regularity of integral 2-varifolds with square integrable mean curvature
University of Vienna（维也纳大学）；University of Bonn（波恩大学）
通过分析Hausdorff密度和Willmore能量阈值，证明了具有临界可积平均曲率的积分2-曲面由光滑曲面的W^{2,2}共形浸入诱导，并建立了曲率曲面与参数方法的等价性。
2026-06-24 math.AP math.DG
The Singular Structure and Regularity of Stationary and Minimizing Varifolds
如果考虑具有有界平均曲率的积分变分$I^m\subseteq M$，并且如果$S^k(I)\equiv\{x\in M: \text{ no tangent cone at $ x $ is }k+1\text{-symmetric}\}$是奇异集的标准分层，则众所周知，$\dim S^k\leq k$。在完全一般性的情况下，关于奇异集$S^k(I)$没有其他的知识。在本文中，我们证明了一般的积分变倍有界的平均曲率，特别是一个平稳变倍，每层$S^k(I)$是$k$ -求长。事实上，我们证明了$k$ -a.e.点$x\in S^k$，存在唯一的$k$ -平面$V^k$，使得在$x$处的每个切锥对于某个锥$C$具有形式$V\times C$。在最小化超曲面$I^{n-1}\subseteq M^n$的情况下，我们可以更进一步。事实上，我们可以证明，已知满足$\dim S(I)\leq n-8$的奇异集$S(I)$实际上可以用一致有限$n-8$测度对$n-8$求正。一个有效的版本，这使我们能够证明，第二基本形式$A$有先验估计在$L^7_{weak}$上$I$，估计这是尖锐的$|A|$是不是在$L^7$的西蒙斯锥。事实上，我们证明了更强的估计，正则尺度$r_I$有$L^7_{weak}$ -估计。上述结果实际上只是我们在$S^k_{ε,r}$和$S^k_ε\equiv S^k_{ε,0}…
2017-07-28 math.AP math.DG
The anisotropic Michael-Simon inequality for surfaces in every codimension
MIT（麻省理工学院）；Columbia University（哥伦比亚大学）
该研究针对任意余维数的R^N中2-varifold，在各向异性接近面积泛函时证明Michael-Simon不等式，引入各向异性应力测度投影方法得到适用于任意维数和余维数的几何不等式。
2026-09-01 math.DG
Quantitative Estimates on the Singular Set of Minimal Hypersurfaces with Bounded Index
National Taiwan Normal University（台湾师范大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文针对满足光滑部分有限指标、奇异集$\u210b^{n-1}$零测的余维1平稳积分n-varifold，证明其奇异集管状邻域局部测度界，改进了相关已知结果并补充奇异集结构信息。
2022-09-24 math.DG
Allard-Type Regularity for Varifolds with Prescribed Contact Angle
本文证明了在给定域边界上具有 prescribed contact angle 的积分 varifold，在 tangent cone 为 density one 的 half-hyperplane 条件下，其支撑集在边界点附近是 $C^{1,γ}$ 超曲面。
2024-03-26 math.AP math.DG
The singular set of minimal surfaces near polyhedral cones
本文采用Simon [JDG '93]的方法证明了等角测地线网上的极小变分的$C^{1,α}$ -正则性定理，该变分类似于锥$\bf{C}_0^2$.对于在奇异集上允许“无洞”条件的变倍类，我们在锥$\bf{C}_0^2 \times \mathbb R^m$附近建立了$C^{1,α}$ -正则性.结合Allard [Ann. of Math. '72]，Simon [JDG '93]，Taylor [Ann. of Math. '76]，和Naber-Valtorta [Ann. of Math. '17]的工作，我们的结果暗示了最小化团簇和尺寸最小化电流的前三层是一个$C^{1,α}$ -结构，而在$(n-3)$ -层上是一个Lipschitz结构.
2017-09-28 math.DG
Optimal isoperimetric inequalities for surfaces in any codimension in Cartan-Hadamard manifolds
设$(M^n,g)$是单连通的、完备的、具有非正截面曲率的，且$Σ$是$M$中具有紧支集的二维闭积分流（或模2扁链）.令$S$为面积最小化积分3-电流（分别为平链模2），使得$\partial S = Σ$ .我们使用一个弱平均曲率流，通过椭圆正则化，从$Σ$开始，以显示S满足最佳的欧几里得等周不等式：$ 6 \sqrtπ\, \mathbf{M}[S] \leq (\mathbf{M}[Σ])^{3/2} $。当M的截面曲率由$-κ< 0$自上而下有界时，得到了最优估计，并证明了等式成立的情况.证明如下从一个几乎单调的一个合适的等周差沿近似流在一个维度更高和Willmore能量的最佳估计的2维积分变倍与第一变分可求和$L^2$。
2020-02-04 math.AP math.DG
Anisotropic min-max via phase transitions
本文通过Allen-Cahn方程在各向异性表面能量下构造稳定的极小最大超曲面，建立了各向异性情形下的Modica型梯度界及稳定性解的估计。
2025-12-07 math.AP math.DG
(Log-)epiperimetric inequality and regularity over smooth cones for almost Area-Minimizing currents
通过使任意给定迹沿适当选择的方向沿径向流动，证明了一个新的关于具有孤立奇点的重1平稳锥的对数上围不等式.与以前关于极小曲面的上围不等式（例如Reifenberg，Taylor和White的上围不等式）相比，我们不需要对锥的结构（例如可积性）作先验假设。此外，如果锥是可积的（不仅通过旋转），我们恢复了经典的上围不等式。作为结果，我们推导出一个新的$\varepsilon$正则性的结果几乎面积最小化电流在奇点，其中至少有一个爆破是一个重一锥孤立奇点。这个结果与Leon Simon的平稳变分函数的结果相似，但与之无关，因为几乎极小化器不满足任何方程。
2018-02-01 math.AP math.DG
Regularity of minimal surfaces near quadratic cones
Hardt-Simon证明了每一个只有孤立奇点的面积最小超锥$\mathbf{C}$都通过光滑的、面积最小的超曲面渐近于$\mathbf{C}$而适合于$\mathbb{R}^{n+1}$的一个叶理。在本文中，我们证明了，如果一个固定的$n$ -varifold $M$在单位球$B_1 \subset \mathbb{R}^{n+1}$在于充分接近一个最小化的二次锥（例如，西蒙斯锥$\mathbf{C}^{3,3}$），那么$\mathrm{spt} M \cap B_{1/2}$是一个$C^{1,α}$扰动的锥本身，或一些叶其相关的叶理。特别是，我们表明，这些锥上的奇点模型确定的局部结构不仅$M$，但任何附近的极小曲面。我们的结果也意味着Bernstein型的结果Simon-Solomon，它的特点是面积最小化的超曲面渐近的二次锥的锥本身，或一些叶。
2019-10-01 math.AP math.DG
A Branch Set Stratification for Stationary Varifolds with Epsilon-Regularity
University of Melbourne（墨尔本大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
针对满足ε-正则性的平稳积分n-变分流类，证明密度≤Q的枝点集Hausdorff维数≤n-2，并应用于多值图及余维一稳定变分流。
2026-06-01 math.AP math.DG
A Campanato Regularity Theory for Multi-Valued Functions with Applications to Minimal Surface Regularity Theory
University of Cambridge（剑桥大学）
本文将Campanato空间正则性理论从单值函数推广至多值函数，推导了多值调和函数的边界正则性结果，结合已有研究建立了密度为5/2的经典锥附近稳定余维一稳态积分变分的正则性定理。
2022-10-12 math.AP math.DG
Transverse Singularities of Minimal Two-Valued Graphs in Arbitrary Codimension
证明了n维极小二值Lipschitz图的一些正则性结果。主要定理包含了切锥的唯一性和奇异集在至少一个切锥等于一对相交的多重n维平面的任一点的邻域中的正则性，并且在至少一个切锥等于四个不同的多重n维半平面的并集的任何点的邻域中，所述四个不同的多重n维半平面沿着（n-1）-维度轴关键成分是一个新的过剩改进引理通过爆破方法获得（灵感来自L。Simon关于极小子流形的“重一”类的奇性），并且可以无条件迭代。我们还证明了沿（n-1）或（n-2）维子空间具有平移不变的n维极小二值Lipschitz图的任何切锥确实是上述两种形式之一的锥，这产生了奇异集的全局分解结果
2016-09-06 math.AP math.DG
Non-persistence of strongly isolated singularities, and geometric applications
本文证明在典型黎曼度量下，平稳积分varifolds的强孤立奇点不能持久存在，并由此得到近乎圆四维球面中闭极小超曲面的有限性结果。
2025-02-28 math.AP math.DG
Boundary behaviour of stable Allen-Cahn limit-interfaces in Riemannian manifolds
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；University of Warwick（华威大学）；University of Toronto（多伦多大学）
本文通过Allen-Cahn方程研究带边黎曼流形中自由边界极小子流形的极小极大理论，证明稳定解的极限界面为满足广义稳定性不等式的带边界曲率varifold，并证实边界集中例子具有无界Morse指标。
2026-10-06 math.AP math.DG
Spacelike Submanifolds of Codimension Two with Parallel Mean Curvature Vector Field in Lorentz-Minkowski Spacetime Contained in the Light Cone
该研究针对洛伦兹-闵可夫斯基时空中余维二、具平行平均曲率向量场的紧致类空子流形建立积分不等式，推导出刚性结论，完整刻画了光锥内这类子流形必为类空超平面中的全脐球面。
2025-07-30 math.DG
On the Nature of Stationary Integral Varifolds near Multiplicity 2 Planes
本文研究重数为2的平面附近稳态积分变分体的结构，在密度小于2部分满足拓扑条件下建立ε-正则性定理，证明其由广义C^{1,α}的Lipschitz 2-值函数图表示，并给出切锥分类及对稳态2-值Lipschitz图的无条件应用。
2025-07-17 math.AP math.DG
Compactification of the space of Hamiltonian stationary Lagrangian submanifolds with bounded total extrinsic curvature and volume
对于$\mathbb{C}^{n}$中的一列浸入连通闭Hamilton定常拉格朗日子流形，其体积和总外曲率具有一致的界，证明了对于任何远离有限点集的非负整数$k$，其子流形在$C^{k}$中局部一致收敛于一点或收敛于一个Hamilton定常拉格朗日$n$ -varifold，且其极限在${\mathbb{C}}^{n}$中是Hamilton定常的.我们还得到了一个定理，扩展Hamilton定常拉格朗日子流形$L$通过一个紧集$N$的Hausdorff余维至少为2，是局部非崩溃的体积匹配其Hausdorff维数，如果$L$的平均曲率是在$L^{n}$和$L$的局部体积附近的$N$满足的条件。
2019-01-10 math.AP math.DG
Minimal graphs of arbitrary codimension in Euclidean space with bounded 2-dilation
对于任意$Λ>0$，设$\mathcal{M}_{n,Λ}$表示包含欧几里得空间$\mathbb{R}^{n+m}$中维数为$n$和任意余维数为$m$的局部Lipschitz极小图的空间，且其图函数具有一致有界的2-扩张$Λ$.在本文中，我们表明，这是一个自然的类，以扩大结构的结果已知的余维1。特别地，我们证明了$M\in\mathcal{M}_{n,Λ}$在无穷远处的切锥$C$的重数为1.这使得我们能够得到关于$C$的平稳不可分解分支的Neumann-Poincar $\mathrm{\acute{e}}$不等式.一个推论是$M$的刘维尔定理。对于小的$Λ>1$（我们可以取任何$Λ<\sqrt{2}$），我们证明了：（1）对于$n\leq7$，$M$是平坦的;（2）对于$n>8$和非平坦的$M$，$M$在无穷远处的任何切锥都是$\mathbb{R}^{n+m}$中重1的拟圆柱极小锥，其奇异集具有维数$\leq n-7$ .
2021-09-20 math.DG
Codimension two spacelike submanifolds into null hypersurfaces of generalized Robertson-Walker spacetimes
本文研究广义Robertson-Walker时空中类光锥内的余维二类空子流形，给出径向坐标条件使其分别共形微分同胚于双曲空间、圆圆柱面或球面，并得到弱俘获子流形的非存在性结果。
2025-08-19 math.DG
The epsilon-regularity theorem for Brakke flows near triple junctions
本文建立了 k 维 Brakke flows 在静态三分叉点附近的 ε-正则性定理，证明了在满足温和结构假设下三分叉点的正则结构在弱平均曲率流中得以保持，并证实两类基本流无条件满足该假设。
2025-10-14 math.AP math.DG
Perturbative Schauder Estimates for $Q$-Valued Quasilinear Elliptic Systems and a Sharp Dimension Bound for Branch Sets of Stationary Graphs
本文为$Q$-值拟线性椭圆系统建立微扰Schauder估计，并证明平稳图的分支集维数不超过$n-2$，该界在余维数一时是锐利的。
2026-09-14 math.AP math.DG
On the Structure of Singularities of Weak Mean Curvature Flows with Mean Curvature Bounds
本文研究了具有积分平均曲率界的弱平均曲率流的奇点结构，证明了任意切向流由平稳锥给出，并在特定条件下证明了切向流的唯一性，同时揭示了在面积最小化 Simons 锥点处存在光滑 Hardt-Simon 极小曲面伴随极限流。
2023-11-27 math.AP math.DG
The Fine Structure of the Singular Set of Area-Minimizing Integral Currents III: Frequency 1 Flat Singular Points and $\mathcal{H}^{m-2}$-a.e. Uniqueness of Tangent Cones
本文证明了光滑 Riemannian 流形中余维数大于1的面积最小化整流单体在 $\mathcal{H}^{m-2}$-几乎处处具有唯一的切锥，并结合先前工作得出其奇异集是可数 $(m-2)$-可求长的。
2024-03-22 math.AP math.DG
On Lawson-Osserman Constructions
Lawson-Osserman基于球面间的Hopf映射构造了三种高余维的非参数极小锥，它们对应于极小曲面方程的Lipschitz但不可微的解，从而与余维为1的极小图的正则性定理形成了鲜明的对比。在本文中，我们开发的建设在一个更一般的计划。一旦单位球面之间的映射f由调和黎曼浸没和位似（即，直到常数因子，等距）最小浸入，f的某些扭曲图可以产生非参数最小锥。因为第二个分量的选择通常形成一个巨大的模空间，我们的构造产生了无数个例子的星座。对于每个这样的锥，存在一个整极小图，其无穷远处的切锥恰好是给定的切锥。此外，还发现了相关的狄利克雷问题解的存在性、非唯一性和非极小化等新现象.
2017-04-07 math.DG
Generalizations of the Choe-Hoppe helicoid and Clifford cones in Euclidean space
我们的目标是推广欧几里得空间中的Choe-Hoppe螺旋面和Clifford锥。通过多螺旋运动扫出${\mathbb{R}}^{2N+2}$中的$L$独立Clifford锥，构造了${\mathbb{R}}^{L(2N+2)+1}$中的极小子流形.此外，我们还在${\mathbb{R}}^{L(2N+2)}$中扫出了$L$射线Clifford锥（在2.3节中介绍），从而构造了${\mathbb{R}}^{L(2N+2)+1}$中的极小子流形.我们的极小子流形统一了各种有趣的例子：Choe-Hoppe的余维1的螺旋面，${\mathbb{S}}^{3}$中Lawson的直纹极小曲面上的圆锥，Barbosa-Dajczer-Jorge的直纹子流形，以及Clifford环面上Harvey-Lawson的体积最小化扭曲法向圆锥。
2015-10-26 math.DG
Codimensions-Two Submanifolds Contained in the Light-like Hypercylinder $\mathcal{LC}^n\times\mathbb R$
本文研究洛伦兹-闵可夫斯基空间中类光超柱面上的类空余维二子流形，通过构造全局标架场分析外蕴不变量，并给出迷向、伪脐及平坦法丛子流形的局部分类定理。
2025-08-04 math.DG
Minimal submanifolds with multiple isolated singularities
本文将Smale的奇异桥原理推广至任意余维数及$n \geq 3$，并利用Lawson-Osserman锥在$\mathbb{R}^7$中构造出具有任意有限数目孤立奇异点的四维极小图。
2025-03-06 math.AP math.DG
The fine structure of the singular set of area-minimizing integral currents I: the singularity degree of flat singular points
本文研究面积最小化整电流在平坦奇异点处的奇异度，证明该奇异度与尺度序列无关并具有若干性质，为后续证明奇异集的可求长性与切锥唯一性奠定基础。
2025-04-03 math.AP math.DG
Fine Structure of Singularities in Area-Minimizing Currents Mod$(q)$
Institute for Advanced Study（高等研究院）；Princeton University（普林斯顿大学）
本研究针对任意余维数下的$m$维模$(q)$面积极小流，通过精细过剩衰减定理与通用频率函数几乎单调性，刻画了其内部奇异集的两类精细结构，推进了几何测度论中模极小流奇点正则性的研究。
2024-06-27 math.AP math.DG
Uniqueness of Asymptotically Conical Higher Codimension Self-Shrinkers and Self-Expanders
本文证明了渐近于同一锥的高余维自收缩子唯一且以单位重数收敛，并给出自扩张子在此条件下像重合的唯一性结果。
2023-06-20 math.DG
On FKM isoparametric hypersurfaces in $\mathbb{S}^n \times \mathbb{S}^n$ and new area-minimizing cones
本文通过扩展FKM等参超曲面和面积最小化锥的研究，揭示了$\mathbb{S}^n \times \mathbb{S}^n$中等参叶的构造及面积最小化子锥的无限族。
2026-01-31 math.DG
