arXiv 2209.072862022-09math.DGmath.SG

近复流形与近凯勒流形的不变量

Invariants of almost complex and almost Kähler manifolds

Tom Holt, Riccardo Piovani, Adriano Tomassini

备注：: 25 pages; we added new results

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AI总结：

本文研究紧近复流形上近复不变量与近凯勒不变量之间的关系，证明不可积情形下 $h^{n,0}_J=0$ 及 $h^{p,0}_d$ 的近凯勒不变性，并讨论可解李群商和特殊维数下的相关性质。

摘要：

设 $(M^{2n},J)$ 是一个紧近复流形。近复不变量 $h^{p,q}_J$ 定义为上同调空间 $\left\{\left[α\right]\in H^{p+q}_{dR}(M^{2n};\mathbb{C}) \\,\vert\\,α\in A^{p,q}(M^{2n}),\\, dα= 0 \right\}$ 的复维数。当 $2n=4$ 时，它具有许多有趣的性质。赋予 $(M^{2n},J)$ 一个近埃尔米特度量 $g$。数 $h^{p,q}_d$，即 Hodge-de Rham 调和 $(p,q)$-形式的空间的复维数，在 $2n=4$ 时是近凯勒不变量。本文研究在维数 $2n\ge4$ 时 $h^{p,q}_J$ 与 $h^{p,q}_d$ 之间的关系。我们证明若 $J$ 不可积，则 $h^{n,0}_J=0$，并证明 $h^{p,0}_d$ 是近凯勒不变量。若 $M^{2n}$ 是一个完全可解李群的紧商，且 $(J,g,ω)$ 是左不变的，我们还得到关于 $h^{1,1}_d$ 的信息。最后，我们针对特殊维数 $2n=4m$ 研究 $J$ 在 $n$-形式上的 $\mathcal{C}^\infty$-纯性与 $\mathcal{C}^\infty$-满性。

英文摘要：

Let $(M^{2n},J)$ be a compact almost complex manifold. The almost complex invariant $h^{p,q}_J$ is defined as the complex dimension of the cohomology space $\left\{\left[α\right]\in H^{p+q}_{dR}(M^{2n};\mathbb{C}) \,\vert\,α\in A^{p,q}(M^{2n}),\, dα= 0 \right\}$. When $2n=4$, it has many interesting properties. Endow $(M^{2n},J)$ with an almost Hermitian metric $g$. The number $h^{p,q}_d$, i.e., the complex dimension of the space of Hodge-de Rham harmonic $(p,q)$-forms, is almost Kähler invariant when $2n=4$. In this paper we study the relationship between $h^{p,q}_J$ and $h^{p,q}_d$ in dimension $2n\ge4$. We prove $h^{n,0}_J=0$ if $J$ is non integrable and show that $h^{p,0}_d$ is almost Kähler invariant. If $M^{2n}$ is a compact quotient of a completely solvable Lie group and $(J,g,ω)$ is left invariant, we find information also on $h^{1,1}_d$. Finally we study the $\mathcal{C}^\infty$-pure and $\mathcal{C}^\infty$-full properties of $J$ on $n$-forms for the special dimension $2n=4m$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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摘要：

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