Symmetric Galois Groups Under Specialization
给定一个不可约二元多项式$f(t,x)\in \mathbb{Q}[t,x]$，对于无穷多个$t_0\in \mathbb{Q}$，什么群$H$作为$f(t_0,x)$的伽罗瓦群出现？上面的群$H$作为$f(t_0,x)$的伽罗瓦群$t_0\in \mathbb{Q}$出现的频率是多少？给出了$\mathbb{Q}(t)$上具有交错或对称伽罗瓦群的大$x$ -度的$f$的一个结果.这是通过确定覆盖$\tilde{X}\rightarrow \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$的低亏格子覆盖与交替或对称单值群。
2020-03-25 math.GR math.NT
Specialization results and ramification conditions
给定一个特征为零的希尔伯特域$k$和一个有限的Galois扩张$E/k(T)$，其群$G$使得$E/k$是正则的，我们给出了$E/k(T)$在点$t_0 \in \mathbb{P}^1(k)$上的一些特殊化，这些点在许多给定的素数上具有相同的伽罗瓦群，但也具有特定的惯性群.这个结果有两个主要的应用。首先，我们结合它与以前的工作，以获得各种有限群的$\mathbb{Q}$的伽罗瓦扩展指定的局部行为-分歧或unramified -在许多给定的素数。其次，在$k$是一个数域的情况下，我们提供了扩展$E/k(T)$满足这个性质的准则：至少有一个组$G$的伽罗瓦扩展$F/k$不是$E/k(T)$的特殊化。
2015-03-15 math.NT
Density results for specialization sets of Galois covers
我们提供了证据证明这一结论：给定一个有限的伽罗瓦覆盖$f: X \rightarrow \mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$的组$G$，几乎所有（在密度意义上）实现的$G$在$\mathbb{Q}$不发生的专业化$f$。我们表明，这持有的$f$的分支点的数量是足够大的，根据abc猜想，并可能，下界预测的Malle猜想的伽罗瓦扩展的$\mathbb{Q}$给定的组和有界判别式的数量。这广泛地扩展了格兰维尔的结果缺乏$\mathbb{Q}$ -有理点上二次扭曲的超椭圆曲线的$\mathbb{Q}$与大亏格，根据abc猜想（丢番图重新制定的情况下$G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$我们的结果）。作为进一步的证据，我们给出了几个有限群$G$，对于它们，上述结论对群$G$的几乎所有$\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$覆盖都无条件成立.我们还介绍了一个局部-全局原则的专门化的伽罗瓦覆盖$f: X \rightarrow \mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$，并表明，它往往失败，如果$f$有阿贝尔伽罗瓦群和足够多的分支点，在abc猜想。一方面，这样的局部-全局结论强调了$\mathbb{P}^1_\mathbb{Q}$的伽罗瓦覆盖的专门化集的“小性”。另一方面，它允许有条件地产生“许多”曲线超过$\mathbb{Q}$失败的哈塞原则，从而推广…
2019-10-10 math.NT
On the local behaviour of specializations of function field extensions
给定一个特征为零的域$k$和一个不确定的$k$上的$T$，我们研究了$k$的有限Galois扩展在$k$素数处的局部行为，这些有限Galois扩展是有限Galois扩展$E/k(T)$（具有$E/k$正则）在点$t_0 \in \mathbb{P}^1(k)$处的专门化。本文给出了$k$在特殊化中素数分解群的一般结果，推广了Beckmann关于惯性群的一个基本结果.然后，我们应用我们的结果来研究交叉产品，希尔伯特-Grunwald性质，和有限参数集。
2018-01-05 math.NT
Twisted covers and specializations
中心议题是这个问题：是一个给定的$k$ -tale代数$\prod_lE_l/k$的特殊化一个给定的$k$ -cover $f:X\rightarrow B$在某些点$t_0\in B(k)$？我们的主要工具是一个{ \it扭曲引理}，它将问题简化为在某个$k$ -簇上寻找$k$ -有理点。推广和统一了这一扭引理的先前形式。新的应用程序给出：数域上Hilbert不可约定理的Grunwald形式，有限域上函数域的Tchebotarev定理的非Galois变体，PAC或充裕域上覆盖的一般特殊化性质.
2011-06-30 math.AG math.NT
The Hilbert-Grunwald specialization property over number fields
给定一个有限群$G$和一个数域$K$，我们研究了以下问题：是否存在一个Galois扩张$E/K(t)$，其群$G$的特化集产生了群$G$的所有Grunwald问题的解，在一个有限集的素数之外？根据以前的工作，这样的伽罗瓦扩张将被称为具有“希尔伯特-格伦沃尔德性质”。在本文中，我们得到了一个完整的分类群$G$，它允许一个扩展与Hilbert-Grunwald性质的域，如$K=\mathbb{Q}$。从而完成了$\mathbb{Q}$上有限群的"局部维数”的确定.
2021-12-31 math.NT
Minimal fields of definition for Galois action
设$K$是域，$G$是有限群，$\bar X\rightarrow \bar Y$是$K^{sep}$上簇的$G$ -Galois分支覆盖.给定$K$上该覆盖的一个纯覆盖模型$X\rightarrow Y$，在本文的第一部分中，我观察到存在一个唯一的极小域$E$，在这个极小域上$X\rightarrow Y$成为Galois，并且我证明了$E/K$是Galois，它具有$Aut(G)$的子群a.在本文的第二部分中，通过附加假设$K$是一个定义域（即，存在\it（$K$上的某个\rm Galois模型），从而能够给出$X\rightarrow Y$的Galois作用的唯一极小域的显式描述.也就是说，如果在一个非分歧点$P\in Y(K)$之上存在$K$ -$X$的有理点，则$E$包含在$K$上的$\bar X\rightarrow \bar Y$的各种不同$G$ -伽罗瓦模型中$P$处的特化的交集中.使用相同的证明机制，我观察到“扭曲引理”的反向版本，它断言在$K$上的各种纯覆盖模型上的$K$ -有理点的行为，以及在$K$上的各种$G$ -伽罗瓦模型上的特化的行为，都是由一个单一的等价关系（独立的模型）上的$K$合理的点的基础品种。
2015-09-09 math.AG math.NT
Inverse Galois problem for ordinary curves
本文研究了特征为p的函数域上的逆Galois问题，例如射影直线上的逆Galois问题。我们描述了一种方法来构造某些伽罗瓦覆盖的射影线和其他曲线，这是普通的意义上，他们的雅可比矩阵有最大的p-挠。我们通过构造普通半稳定曲线的伽罗瓦覆盖，然后将它们变形为光滑的伽罗瓦覆盖来实现这一点。
2017-05-16 math.AG math.NT
Motives with exceptional Galois groups and the inverse Galois problem
我们构造了$\GQ$的motivic $\ell$-adic表示为$E_7,E_8$型例外群和像是Zerkiki稠密的$G_2$型例外群.这回答了塞尔的一个问题。该结构是统一的这些群体和使用朗兰兹对应的功能领域。作为应用，我们解决了逆Galois问题的新情况：有限单群$E_{8}(\FF_{\ell})$是$\QQ$上的伽罗瓦群，其中素数$\ell$足够大。
2011-12-12 math.AG math.NT
Ribet bimodules and the specialization of Heegner points
我们描述了Shimura曲线上Heegner点在坏约化素数处的特化。此外，我们给出了一些相互作用的法律联系的伽罗瓦作用在这些点上的自然作用的奇点和一组连接组件的纤维。
2010-03-02 math.NT
Inverse Galois problem for del Pezzo surfaces over finite fields
我们完全解决了所有有限域上的$2$和$3$度的del Pezzo曲面的逆Galois问题。
2019-02-21 math.AG math.NT
On the inverse Galois problem for del Pezzo surfaces of degree 1
Universität Bonn（波恩大学）
本文完全解决了度数为1的德尔皮佐表面在有限域上的反伽罗瓦问题，针对112种类型中的85种，并确定了所有类型的最小存在域。
2026-04-02 math.AG math.NT
Réalisations galoisiennes explicites de certaines familles de $2$-groupes
本文对某些$2$ -群$G$，用$E\cap\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}$构造了群$G$的显式Galois扩张$E/\mathbb{Q}(T)$.我们还提供了整数$t_0$的显式等差数列，使得$t_0$处的$E/\mathbb{Q}(T)$的特化$E_{t_0}/\mathbb{Q}$具有伽罗瓦群$G$。
2020-08-05 math.NT
Moduli spaces and the inverse Galois problem for cubic surfaces
研究了标记三次曲面的模空间$\widetilde{\calM}$。通过A.\，B. Coble，这有一个紧化$\widetilde{M}$，它被群$W(E_6)$线性作用。$\widetilde{M}$是$\bP^9$中30个立方的交集。对于遗忘标记的态射$\widetilde{calM} \to \bP(1,2,3,4,5)$，紧跟着Clebsch不变映射，我们给出了显式公式.即，Clebsch的不变量是用Coble的无理不变量表示的。作为应用，我们对$\bbQ$上的三次曲面的Galois反问题给出了肯定的回答.
2013-09-15 math.AG math.NT
Parametric Galois Extensions
给定一个域$k$和一个有限群$H$，{ \it{an $H$-parametric extension over $k$} }是包含$H$的伽罗瓦群的$k(T)$的有限伽罗瓦扩张，它在$k$上正则，并且在它的专门化中具有群$H$的$k$的所有伽罗瓦扩张。我们主要感兴趣的是生产非$H$参数的扩展，这涉及到经典的逆伽罗瓦论的问题，如贝克曼-布莱克问题和存在的一个参数一般多项式。我们开发了一个通用的方法开始在前面的文件，并提供新的非参数化标准和新的例子。
2014-09-18 math.NT
Quantitative inverse Galois problem for semicommutative finite group schemes
半交换有限群格式是由交换有限群格式通过迭代地与交换核作半直积并与正规子群相乘得到的有限群格式。本文对一类单调半交换有限群格式$G$，给出了有界高度（如判别式）的连通$G$ -扭子个数的一个下界.
2022-11-04 math.AG math.NT
Genuine and strongly genuine polynomials: With an application to the persistence of Galois groups under specialization
Duke University（杜克大学）
本文发展了强n-本原和n-本原多项式理论，通过四种等价刻画，定量控制特殊化后多项式的可约性或完全分裂，并应用于证明任意多项式在整数点上伽罗瓦群同构保持的上界。
2026-07-03 math.NT
Park City lecture notes: around the inverse Galois problem
本讲义围绕逆伽罗瓦问题，介绍其相关研究，包括诺特问题、刚性方法及单有理簇的算术，基于2022年帕克城讲座。
2025-10-17 math.AG math.NT
Semi-topological Galois theory and the inverse Galois problem
通过引入与伽罗瓦论中的分裂域相对应的分裂覆盖的概念，加强了域扩张与覆盖空间之间的相似性。定义了Weierstrass多项式的半拓扑伽罗瓦群，并证明了其伽罗瓦对应的存在性.这一新的工具使我们能够从一个新的角度研究逆伽罗瓦问题。
2010-06-07 math.AG math.GR math.GT
Applying modular Galois representations to the Inverse Galois Problem
对于许多有限群，逆伽罗瓦问题可以通过模/自守伽罗瓦表示来处理。这是一份解释最近一些结果背后的基本策略、想法和方法的报告。它主要集中在2维的情况下，特别强调了理解系数场的重要性。
2014-02-05 math.NT
Hilbert specialization results with local conditions
给定一个特征为零的域$k$和一个不确定的$T$，本文的主题是构造$k(T)$的任意给定的有限扩张的度$n$的专门化，即在$k$的任意给定的有限素数集上具有特定局部行为的$k$的度$n$域扩张.首先，我们给出了一个完整的非伽罗瓦模拟的结果与分歧类型的结论从前面的文件，接下来我们证明了一个统一的声明，结合我们的结果和以前的工作致力于unramified部分的问题的情况下，$k$是一个数域。
2016-02-15 math.NT
Automorphic Galois representations and the inverse Galois problem
解决Q上的逆伽罗瓦问题的策略包括利用附加到某些自守形式的伽罗瓦表示的知识。更确切地说，如果仔细选择这样的形式，它们提供了满足某些期望性质的伽罗瓦表示的兼容系统，例如反映在系统成员的图像上的性质。在这篇文章中，我们调查使用这种策略获得的一些结果。
2013-11-20 math.NT
Le problème inverse de Galois sur les corps des fractions tordus à indéterminée centrale
在这篇文章中，我们表明，逆伽罗瓦问题的除环$H$的有限维在其中心$k$是等价的一个变种的逆伽罗瓦问题的$k$涉及一个多项式约束。作为应用，我们证明了如果$k$包含一个充裕域，那么逆Galois问题在中心不定的有理分式的除环$H(t)$上有正解.
2021-02-03 math.NT
Modular forms and some cases of the inverse Galois problem
我们证明了新的情况下，逆伽罗瓦问题考虑的残留伽罗瓦表示所产生的一个固定的newform。具体选择权$3$新形式将表明，存在$\mathbb{Q}$的伽罗瓦扩张，其中伽罗瓦群$PSL_2(\mathbb{F}_p)$用于所有素数$p$，$PSL_2(\mathbb{F}_{p^3})$用于所有奇素数$p \equiv \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6 \pmod{13}$。
2015-08-31 math.NT
Specialization of monodromy group and l-independence
设$E$是定义在$k$上的几何连通簇$X$上的阿贝尔概型，是$\mathbb{Q}$上的一个非线性生成域。设$η$为$X$的类属点，$x\in X$为闭点。如果$\mathfrak{g}_l$和$(\mathfrak{g}_l)_x$是交换簇$E_η$和$E_x$的$l$-adic伽罗瓦表示的李代数，则$(\mathfrak{g}_l)_x$通过特殊化嵌入到$\mathfrak{g}_l$中.证明了集合$\{x\in X$闭点$| (\mathfrak{g}_l)_x\subsetneq \mathfrak{g}_l\}$与$l$无关，并证实了[2]中的猜想5.5.
2011-11-13 math.NT
Remarks on the inverse Galois problem over function fields
本文通过Galois理论和自守方法构造取值于半单群的$\ell$-adic Galois表示相容系统，并利用Larsen的经典结果证明Galois像在正密度素数集上极大，从而证明了Lie型有限群在全局函数域上逆Galois问题的新实例。
2023-10-24 math.NT
The inverse Galois problem for PSL_2(F_p)
证明了对p>3的素数，单群PSL_2（F_p）是有理数扩张的伽罗瓦群.通过研究椭圆曲面的二阶上同调群上的Galois作用，得到了我们的Galois扩张。
2013-03-15 math.NT
Compatible systems of symplectic Galois representations and the inverse Galois problem III. Automorphic construction of compatible systems with suitable local properties
这篇文章是一系列关于相容系统的辛伽罗瓦表示和应用的逆伽罗瓦问题的三篇文章的第三部分和最后一部分。这一部分证明了辛群的逆Galois问题的下列新结果。对于任意偶数n和任意正整数d，PSp_n（F_{l^d}）或PGSp_n（F_{l^d}）作为素数正密度集l的有理数上的伽罗瓦群出现.结果是通过证明GL_n（A_Q）的正则、代数、自对偶、尖点自守表示的存在性而得到的，所选择的局部类型是为了得到一个相容的伽罗瓦表示系统，本系列第二部分的结果适用于该系统。
2013-09-23 math.NT
Compatible systems of symplectic Galois representations and the inverse Galois problem I. Images of projective representations
这篇文章是一系列的三篇文章的第一部分关于兼容系统的辛伽罗瓦表示和应用程序的逆伽罗瓦问题。在第一部分中，我们确定了一个满足某些自然条件的辛群表示在其上的投影可以被定义的最小域。答案只取决于内心的扭曲。我们将其应用到一个兼容系统的辛伽罗瓦表示满足一些温和的假设，并获得精确的信息，他们的投影图像的系统的几乎所有成员，在巨大的残留图像的假设下，我们的意思是，一个辛群的全维的素域包含共轭。最后，我们得到一个应用程序的逆伽罗瓦问题。
2013-09-23 math.NT
On Galois extensions with prescribed decomposition groups
研究了局部条件下的Galois逆问题。特别地，我们问是否每个有限群都作为$\mathbb{Q}$的伽罗瓦扩张的伽罗瓦群出现，其所有分解群都是循环的（分别为，阿贝尔）。这个属性是已知的所有可解群由于Shafarevich的解决方案的逆伽罗瓦问题的这些群体。然而，它对不可解群是完全开放的。本文通过函数域扩张的特殊化给出了解决这类问题的一般准则，特别给出了仅具有循环分解群和具有不可解伽罗瓦群的伽罗瓦实现的第一类无限族.我们还研究了整体函数域上的类似问题。
2021-07-21 math.NT
Sixteen points in $\mathbb{P}^4$ and the inverse Galois problem for del Pezzo surfaces of degree one
一个定义在有理数上的度为1的del Pezzo曲面有240条例外曲线。这些曲线被绝对伽罗瓦群的作用置换。我们展示了如何解决经典的逆伽罗瓦问题的一个子群的外尔群的类型$D_8$引起的逆伽罗瓦问题的解决方案，这个子群的行动上的240例外曲线。具有这种伽罗瓦作用的一次德尔佩佐曲面在其皮卡格中包含一个$D_8$型伽罗瓦不变子格;这可以用$\mathbb{P}^4$中的某个十六点集来表征。
2021-11-27 math.NT
Minimal ramification and the inverse Galois problem over the rational function field $\mathbb{F}_p(t)$
逆伽罗瓦问题是关于给定伽罗瓦群的域$K$的伽罗瓦扩张问题。在本文中，我们考虑的特殊情况下，基本字段是$K=\F_p(t)$。本文给出了$K$的$G$ -扩张中分歧的有限和无限素数的最小个数的一个公式，并对这一猜想的许多情形给出了理论和计算证明.
2014-10-30 math.NT
Hurwitz spaces and Inverse Galois Theory
Université de Lille（里尔大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
本文综述了Hurwitz空间在反 Galois 理论中的五十年研究，重点介绍近期进展，包括大域、紧化、降理论和模塔等半现代发展，以及通过研究组件环重塑Hurwitz空间算术的最新成果。
2026-04-11 math.AG math.NT
A propos d'une version faible du problème inverse de Galois
本文讨论了弱逆Galois问题，对于给定的域$k$，证明了对每个有限群$G$，存在有限可分扩张$L/k$使得${\rm{Aut}}(L/k)=G$ .它的目标之一是解释如何一般地产生满足这个问题的域族，但不满足通常的逆伽罗瓦问题。我们表明，这适用于，例如，字段$\mathbb{Q}^{\rm{sol}}$、$\mathbb{Q}^{\rm{tr}}$、$\mathbb{Q}^{\rm{pyth}}$和用于$\mathbb{Q}$的最大pro-$p$-扩展。此外，我们还证明了对于每个有限非平凡群$G$，存在许多满足弱逆Galois问题的域，但在这些域上$G$不作为Galois群出现.作为进一步的应用，我们证明了每个域都满足弱逆伽罗瓦问题的正则形式。
2018-05-11 math.NT
Modular forms applied to the computational inverse Galois problem
对于PSL2（F25）、PSL2（F32）、PSL2（F49）、PGL2（F25）和PGL2（F27）中的每一个群，我们将Q上具有该群的第一个显式已知多项式显示为伽罗瓦群。每个多项式与关联于模形式的伽罗瓦表示相关。我们指出如何计算模块化伽罗瓦表示被用来获得这些多项式。对于每个多项式，我们还指出如何使用塞尔的代数，以确定模形式产生的相关的伽罗瓦表示。
2011-09-30 math.NT
The inverse Galois problem for orthogonal groups
证明了有限域上由正交群产生的单群的逆Galois问题的许多新情形。例如，我们证明了有限单群Omega_{2n+1}（p）和POmega_{4n} ^+（p）都作为有理数的伽罗瓦扩张的伽罗瓦群出现，对于所有整数n>1和所有素数p>3。通过研究椭圆曲线的曲折族，并利用Birch和Swinnerton-Dyer猜想的一些已知情况以及Hall的一个大的单值结果，我们得到了我们的表示.
2014-09-03 math.NT
On Galois-Gauss sums and the square root of the inverse different
本文讨论了Bley，Burns和Hahn关于弱分歧Artin特征的第二Adams算子扭曲Galois-Gauss和与有限奇次数域Galois扩张的逆差的平方根之间关系的一个猜想的可能推广，推广到所有有限数域Galois扩张的逆差的平方根存在的情况.我们还扩展了关键的方法和结果的布莱，伯恩斯和哈恩这个更一般的设置，并结合这些方法与最近的结果Agboola，伯恩斯，卡普托和本作者关于Artin根数扭曲的不可约辛字符，我们提供了新的见解到猜想的Erez关于伽罗瓦结构的平方根的逆不同。
2022-10-19 math.NT
Tame torsion, the tame inverse Galois problem, and endomorphisms
确定正整数$g$和有理数素数$p$。通过对自同态环施加条件，证明了存在亏格$g$曲线$C/\mathbb{Q}$使得其Jacobian的mod $p$表示是驯服的.作为应用，我们考虑驯服逆伽罗瓦问题，并能够实现一般辛群作为$\mathbb{Q}$驯服扩展的伽罗瓦群。
2020-06-08 math.NT
Compatible systems of symplectic Galois representations and the inverse Galois problem II. Transvections and huge image
这篇文章是一系列的三篇文章的第二部分关于兼容系统的辛伽罗瓦表示和应用的逆伽罗瓦问题。这一部分讨论了具有巨大余象的辛伽罗瓦表示，我们的意思是，在素域上的全维辛群包含到共轭。一个关键的成分是辛表示的分类，其图像包含一个非平凡的transvection：这些分为三个非常简单的描述类，可约的，诱导的和那些巨大的图像。利用Khare，Larsen和Savin的（n，p）-群的思想，我们给出了系数在有限域上的辛伽罗瓦表示具有巨象的简单条件.最后，我们把这个分类结果与第一部分的主要结果结合起来，得到了它在Galois逆问题中的一个加强应用。
2014-05-06 math.NT
On Modular Forms and the Inverse Galois Problem
本文建立了Galois逆问题的新的情形。主要结果是：对于一个固定的整数n，存在一个正的素数密度集，使得PSL_2（F_{p^n}）作为有理数的某个有限扩张的伽罗瓦群出现.这些群作为剩余模伽罗瓦表示的投影像而得到。此外，家庭的模形式的构造，使其所有的残留伽罗瓦表示的图像是尽可能大的先验可能。这两个结果本质上都使用了Khare和Wintenberger的好二面体素数的概念。特别注意，以排除非平凡的内部扭曲。
2009-05-08 math.NT
On parametric extensions over number fields
给定一个数域$F$，一个有限群$G$和一个不定$T$，{ \it{a $G$-parametric extension over $F$} }是一个有限的伽罗瓦扩张$E/F(T)$，它具有伽罗瓦群$G$和$E/F$正则，在它的专门化中具有$G$的所有$F$的伽罗瓦扩张。我们主要感兴趣的是生产非$G$参数扩展，这涉及到经典的逆伽罗瓦论的问题，如贝克曼-布莱克问题。建立在以前的论文中开发的策略，我们表明，存在至少一个非$G$参数扩展$F$对于一个给定的非平凡有限群$G$和一个给定的数域$F$的唯一必要条件下，$G$作为伽罗瓦群的伽罗瓦扩展$E/F(T)$与$E/F$定期。
2016-12-17 math.NT
An Application of Maeda's Conjecture to the Inverse Galois Problem
本文证明了Maeda关于1阶特征形的猜想意味着：对于密度为1的素数集合中的每一个正偶数d和每一个p，单群PSL_2（F_{p^d}）出现为仅在p处分歧的数域的伽罗瓦群.
2013-10-03 math.NT
Right Splitting, Galois Correspondence, Galois Representations and Inverse Galois Problem
Indian Institute of Science Education and Research（印度科学教育与研究所）
本文通过研究右分裂、伽罗瓦对应和伽罗瓦表示，实现某些群作为有理数域和有限扩展域的伽罗瓦群。
2025-11-26 math.GR math.NT math.RT
Functoriality and the Inverse Galois Problem
证明了在有理数域上存在无穷多个具有任意特征和秩的有限辛李型单群，它们都表现为伽罗瓦群。这推广了Wiese的一个结果，该结果启发了本文。
2015-05-29 math.NT
Non-parametricity of rational translates of regular Galois extensions
推广了F. Legrand关于给定群$G$的非参数伽罗瓦扩张的存在性。更准确地说，对于$K$ -正则伽罗瓦扩张$F|K(t)$，我们考虑将$F(s)|K(s)$转化为有理函数域的扩张$K(s)|K(t)$（换句话说，$s$是某个有理函数$g\in K(X)$的$g(X)-t$的根）。证明了如果$F|K(t)$是数域$K$上的具有群$G$的$K$正则伽罗瓦扩张，则对于任意次数$k\ge 2$和几乎所有次数$k$的有理函数$g$，$F$通过$g(X)-t$在$K(t)$上的根域的平移是非$G$参数的，即并非所有具有群$G$的$K$的伽罗瓦扩展都是作为$F(s)|K(s)$的专门化而出现的。
2017-06-11 math.NT
Zéro-cycles sur les espaces homogènes et problème de Galois inverse
设X是数域k上线性代数群G的齐性空间的光滑紧化。我们建立了Colliot-Thélène，Sanjiang，Kato和Saito关于X的零圈Chow群在k的所有完备化上的乘积的像的猜想。当G是半单单连通的且几何稳定子是有限的且超可解时，我们证明了X的有理点在Brauer-Manin集中是稠密的.对于有限的超可解群，特别是有限的幂零群幂群，这产生了一个新的证明Shafarevich定理的逆伽罗瓦问题，并解决了，在同一时间，Grunwald的问题，为这些群体。- Soit X une compactification lisse d'un espace homogène d'un groupe algébrique linéaire G sur un corps de nombres k.我们在所有k的完备集上生成了Colliot-Thélène，Santiago，Kato和Saito关于X的零圈群的映象的猜想。Lorsque G是半简单的和简单的连接，几何稳定性是有限的和超可解的，我们认为X的理性点在Brauer-Manin的整体中是密集的。对于超可解群，特别是对于幂零群，沙法列维奇提出了一种新的关于伽罗瓦逆问题的理论，并同时对这些群的格伦沃尔德问题进行了研究。
2019-10-15 math.AG math.NT
A finiteness theorem for specializations of dynatomic polynomials
设$t$和$x$是不定根，设$ϕ(x)=x^2+t\in\mathbb Q(t)[x]$，对每个正整数$n$，设$Φ_n(t,x)$表示$ϕ$的动力多项式$n^{\text{th}}$.令$G_n$是函数域$\mathbb Q(t)$上的$Φ_n$的伽罗瓦群，对于$c\in\mathbb Q$，令$G_{n,c}$是专用多项式$Φ_n(c,x)$的伽罗瓦群。从希尔伯特不可约定理可以得出，对于固定的$n$，我们有$G_n\cong G_{n,c}$，对于薄集$E_n\subset\mathbb Q$之外的每个$c$。根据Morton（对于$n=3$）和本书作者（对于$n=4$）的早期工作，已知$E_n$是无限的，如果$n\le 4$。相反，我们在这里表明，$E_n$是有限的，如果$n\in\{5,6,7,9\}$。作为这一结果的应用程序，我们表明，对于这些值的$n$，以下成立最多有100多个例外：对于每一个$c\in\mathbb Q$，超过$81\%$的素数$p$的性质，多项式$x^2+c$没有一个点的周期$n$在$p$ -进字段$\mathbb Q_p$。
2019-02-23 math.NT
Théorie inverse de Galois sur les corps des fractions rationnelles tordus
本文证明了：若$H$是中心$k$的斜域，$σ$是$H$的有穷级自同构，使得$k$的固定子域$k^{\langle σ\rangle}$在$σ$作用下包含一个充裕域，则逆Galois问题在扭有理分式的斜域$H(t,σ)$上有正解.此外，如果$k^{\langle σ\rangle}$包含实闭域，或包含剩余特征$0$的Hensel域且包含所有单位根，则可数秩的profree群$\widehat{F}_ω$是$H(t,σ)$上的伽罗瓦群。
2020-08-16 math.NT
Inverse curve problems on del Pezzo surfaces
Bilkent University（比尔肯特大学）；Brigham Young University（杨百翰大学）；University of Bristol（布里斯托大学）
该研究根据相对极小曲面分类del Pezzo曲面上k-有理直线和二次曲线纤维化数量，建立其逆伽罗瓦问题的有理曲线类似问题，在各类域上完全解决所有次数的相关问题并推广了三次曲面定理。
2025-11-11 math.AG math.NT
The Inverse Galois Problem for p-adic fields
基于Jannsen和Wingberg对$\mathbb{Q}_p$的绝对Galois群的描述，我们描述了一种计算$\mathbb{Q}_p$在给定Galois群$G$下的扩张数的方法.因为这种描述只适用于奇数$p$，所以我们的结果不适用于$\mathbb{Q}_2$。我们报告的结果计数这样的扩展$G$的顺序高达$2000$（除了那些可被$512$整除），为$p=3,5,7,11,13$。特别是，我们强调了一个相对较短的最小$G$列表，这些列表不是作为伽罗瓦群出现的。受此启发，我们证明了关于$\mathbb{Q}_p$逆Galois问题的两个定理：一个给出了$\mathbb{Q}_p$在$\mathbb{Q}_p$上可实现的必要条件，另一个给出了一个充分条件.
2018-09-26 math.NT
Functoriality and the Inverse Galois problem II: groups of type B_n and G_2
对每个有限域F和每个正整数r，存在F的一个有限扩张F'，使得SO（2 r +1，F'）或它的单导群可实现为Q上的一个伽罗瓦群.如果F的特征是3或5（mod 8），则可以保证SO（2r+1，F '）的导群是可实现的。同样地，对每个有限域F，存在F的一个有限扩张F'，使得有限单群G_2（F'）可以实现为Q上的一个伽罗瓦群.证明使用自守形式来构造伽罗瓦表示，它切出所需类型的伽罗瓦扩展。
2008-07-05 math.NT
Ramification in the Inverse Galois Problem
本文主要研究了Galois逆问题的一种改进形式。我们探讨有限群出现的伽罗瓦群的一个扩展的有理数，其中只有一个预定的一组素数可能分歧。在提出了新的结果，只有一个有限的素数分歧的扩展，我们继续研究更复杂的情况下，多个素数从一个有限集的任意大小可能分歧。然后，我们继续研究一个猜想Harbater认为，最小数量的发电机的伽罗瓦群的驯服，伽罗瓦扩展的有理数是有界的总和以上的常数和对数的产品的分歧素数。我们证明了Harbater猜想的有效性，在一些情况下，包括我们限制我们的注意力，有限群包含一个幂零子群的指数$1,2,$或$3$的情况。我们还得到了这个猜想的真实性所暗示的一些结果。
2019-05-12 math.NT
Regular version of the inverse Galois problem for skew fields
该研究将正则反伽罗瓦问题推广至斜域，定义任意域的正则扩张与InvReg(k)类，结合非交换反伽罗瓦问题结果验证斜分式域的归属，并推广方法构造新的正则扩张类。
2025-10-01 math.NT
On the Galois module structure of the square root of the inverse different in abelian extensions
设$K$是具有整数环$\mathcal{O}_K$的数域，$G$是奇数阶有限群.若$K_h$是一个弱分歧$G$ $K$ -代数，则它的逆差的平方根$A_h$是一个局部自由$\mathcal{O}_{K}G$ -模，从而确定了$\mathcal{O}_KG$的局部自由类群$\mbox{Cl}(\mathcal{O}_KG)$中的一个类.我们表明，$G$阿贝尔和适当的假设下，所有这样的类的集合是一个子群的$\mbox{Cl}(\mathcal{O}_KG)$。
2015-06-09 math.NT
