Stochastic solutions and singular partial differential equations
R. Vilela Mendes
本文提出将随机解技术推广至分布值噪声驱动的偏微分方程，作为其求解方法。
随机解技术此前用于确定性方程，本文将其提出为一种求解由分布值噪声驱动的偏微分方程的方法。
The technique of stochastic solutions, previously used for deterministic equations, is here proposed as a solution method for partial differential equations driven by distribution-valued noises.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The strong Feller property for singular stochastic PDEs
证明了一类奇异随机偏微分方程生成的马尔可夫半群满足强Feller性质。这些包括例如KPZ方程和动态$Φ^4_3$模型。作为推论，我们证明了布朗桥测度是具有周期边界条件的KPZ方程的唯一不变测度。
Semigroups on generalized Sobolev spaces associated with Laplacians with applications Stochastic PDEs with singular boundary conditions
该研究考察带奇异边界条件区域对应的拉普拉斯算子及其生成的广义Sobolev空间半群，并给出其在带奇异边界条件的随机偏微分方程中的应用。
Concentration bounds for stochastic systems with singular kernels
本文研究了具有奇异成对相互作用的弱相互作用随机粒子系统，通过建立变分上界，证明了混沌的受控熵传播意味着经验测度的指数集中界，从而推断出一类奇异随机系统的集中界。
Averaging approximation to singularly perturbed nonlinear stochastic wave equations
利用平均法在开有界区域$D\subset\R^n$ \，，$1\leq n\leq 3$ \，上得到了奇摄动非线性随机阻尼波动方程ν u_{tt} +u_t= \D u+f（u）+ν^α \dot{W}的有效逼近.这里，$ν>0$是表征奇异扰动的小参数，而$ν^α$ \，$0\leq α\leq 1/2$ \，，参数化噪声的强度。某些标度变换和鞅表示定理给出了小$ν$的有效逼近，u_t= \D u+f（u）+v ^α \dot{W}，误差为$\ord{ν^α}$ \，.
Corrigendum to `Convergence of invariant measures for singular stochastic diffusion equations'
修正了[奇异随机扩散方程不变测度的收敛性，随机过程]中的一些错误. Appl.122（2012），no. 4，1998- 2017] by I. Ciotir和J.M.托尔
Renormalization of singular elliptic stochastic PDEs using flow equation
针对含分数阶拉普拉斯算子、加性白噪声和三次非线性项的奇异椭圆随机偏微分方程，基于Wilson重正化群理论和Polchinski流方程建立解理论，覆盖整个亚临界区域。
Stochastic differential equations with singular (form-bounded) drift
本文考虑了在漂移中具有临界阶奇异性和在色散矩阵中具有临界阶不连续性的伊藤方程和Stratonovich随机微分方程的弱解的构造问题。
A Zvonkin's transformation for stochastic differential equations with singular drift and related applications
本文通过建立带奇异项和Lipschitz项的抛物型偏微分方程的$L^p$估计和Sobolev估计，给出了带奇异项和Lipschitz漂移的随机微分方程的一个新的Zvonkin型变换.建立了相应的Krylov估计。作为应用，在没有正则性假设的情况下，建立了具有Hölder连续扩散系数和奇异漂移项的随机方程的Harnack不等式.
Approximating dynamics of a singularly perturbed stochastic wave equation with a random dynamical boundary condition
研究了一类具有随机动力边界条件的奇摄动随机非线性波动方程。当奇异扰动参数足够小时，利用分裂技巧导出了系统在概率分布意义下的近似方程。当奇异摄动参数的幂指数为$[1/2, 1)$时，近似方程为随机抛物型方程;当奇异摄动参数的幂指数为$(1, +\infty)$时，近似方程为确定性双曲（波）方程。
Locality for singular stochastic PDEs
本文研究了由非平移不变微分算子驱动的奇异随机偏微分方程，提出了一种可描述极大一类时空相关重正化方程的方法，其核心贡献在于避开了带扩展装饰的装饰树的使用。
Large deviations for slow-fast stochastic partial differential equations
对具有慢-快分量的随机偏微分方程导出了一个大偏差原理。结果表明，该速率函数是平均方程加上波动偏差的速率函数，是一个带有小高斯扰动的随机偏微分方程。这也证实了平均方程加波动偏差对慢-快随机偏微分方程逼近的有效性。
Mean field singular stochastic PDEs
本文研究了由均场类型奇异随机偏微分方程驱动的相互作用场系统，建立了稳健的研究框架，证明了解的存在性与唯一性及大数定律传播结果。
Remarks on the convex integration technique applied to singular stochastic partial differential equations
本文讨论了凸积分技术在奇异随机偏微分方程中的应用，并指出该技术难以证明Φ⁴模型的非唯一性。
Stochastic transport equation with singular drift
本文证明了一类奇异向量场中漂移随机迁移方程Cauchy问题弱解的存在性、唯一性和Sobolev正则性，特别是一类奇异向量场，其中包含$L^d$类、弱$L^d$类，以及对于任何$\varepsilon>0$甚至不在$L_{\rm loc}^{2+\varepsilon}$中的向量场.
Multi-valued, singular stochastic evolution inclusions
在希尔伯特空间中，给出了具有一般加性和Wiener乘性噪声的多值、单调、非强制随机发展包含的一个抽象变分存在唯一性结果.作为例子，我们讨论了某些奇异扩散方程，如随机1-Laplacian发展（全变差流）在所有空间维和随机奇异快速扩散方程。在加性Wiener噪声下，证明了存在唯一的弱 * 均值遍历不变测度.
On the inviscid limit of the singular stochastic complex Ginzburg-Landau equation at statistical equilibrium
研究了具有Gibbs测度初始数据的二维奇异随机随机三次非线性复形Ginzburg-Landau的极限行为。我们发现，在适当的小粘度和小噪音制度，极限动力学给出的吉布斯平衡的确定性立方非线性薛定谔方程。为了获得这种收敛性，我们的方法结合了热和薛定谔分析，在Bourgain（1993）的傅立叶限制范数方法的框架内。
Sample-path large deviation principle for a 2-D stochastic interacting vortex dynamics with singular kernel
本文考虑了一个随机相互作用的$N$粒子涡系，它近似于环面上二维Navier-斯托克斯方程的涡量形式。奇异相互作用核由毕奥-萨伐尔定律给出。我们只要求初态具有有限的能量，并在涡旋数趋于无穷大时得到了经验测度的样本路径大偏差原理。速率函数的特征在于一个明确的公式支持样本路径上的有限能量和有限积分的$L^2$规范随时间的推移。该证明利用了奇异核的对称化表示技术，以及有限速率函数的样本路径的详细正则性分析。其关键是证明对称化后的奇异项可由$L^2$范数沿样本路径的积分有界。
Some recent progress in singular stochastic PDEs
随机偏微分方程在数学建模中是普遍存在的。然而，许多这样的方程太奇异，不允许经典处理。本文综述了近年来在这类方程的定义、逼近和性质研究方面的一些进展。主要介绍了动力学Phi ~ 4方程、KPZ方程和抛物型Anderson模型，以及一些主要出现在物理学中的方程。
Singular-degenerate multivalued stochastic fast diffusion equations
考虑带乘性Lipschitz连续噪声的奇异退化多值随机快扩散方程.特别是，这包括随机符号快速扩散方程所产生的Bak-Tang-Wiesenfeld模型的自组织临界性。基于随机变分不等式（SVI）建立了一个适定性框架，刻画了随机符号快速扩散方程的解，该方程以前仅在极限意义下得到.除了推广的SVI方法随机快速扩散方程，我们开发了一个新的证明适定性，适用于一般的扩散系数。在线性乘性噪声的情形下，证明了（广义）强解的存在性，这使得解具有更高的正则性。
Random attractors for singular stochastic partial differential equations
证明了一般加性噪声扰动下奇异随机偏微分方程（SPDE）随机吸引子的存在性。漂移被假定为只满足标准的变分方法，以SPDE与紧凑的嵌入在Gelfand三重和奇异的davivity的假设。对于遍历、单调、压缩的随机动力系统，证明了吸引子由一个随机点组成。在实线性乘性噪声的情况下，得到了有限时间消光定理。应用包括随机广义快速扩散方程和随机广义奇异p-Laplace方程的Levy噪声扰动与跳跃测度具有有限的第一和第二时刻。
Pathwise uniqueness by noise for singular stochastic PDEs
本文通过噪声正则化方法，解决了奇异随机偏微分方程中具有微分形式漂移项的路径唯一性问题，为流体动力学和相分离模型等提供了新的唯一性结果。
Martingale-driven approximations of singular stochastic PDEs
我们定义了关于càdlàg鞅的多重随机积分，并证明了矩界和混沌展开式，这使得它们可以以类似于Wiener随机积分的方式工作。结合Erhard和Hairer（2017）的离散化框架，我们的结果提供了一个工具，用于证明相互作用粒子系统收敛到使用正则结构的随机偏微分方程。作为例子，我们证明了$3$维随机量子化方程和KPZ方程的鞅驱动离散的收敛性。
On the approximation for singularly perturbed stochastic wave equations
通过考虑有界空间上的奇摄动随机非线性波动方程ν u_{tt} +u_t= \D u+f（u）+ν^α \dot{W}，研究了不同尺度下快波、阻尼和噪声之间的关系.通过对$νu_{t}$进行特殊的变换和分裂，构造了随机波动方程的一个渐近逼近。这种划分清楚地描述了$u$的结构。对于小$ν>0$ \，近似模型是指数为$0\leqα<1$ \，的随机非线性热方程，而对于指数为$α>1$ \，是确定性非线性波动方程。
Well-Posedness and Stability for a Class of Stochastic Delay Differential Equations with Singular Drift
本文证明了一类具有奇异漂移的随机时滞微分方程的适定性和稳定性。此外，我们证明了本地化的假设下的局部适定性。
Stochastic equations with time-dependent singular drift
证明了一类不定常向量场中漂移随机微分方程的唯一弱可解性和Feller性质。这个类包含，特别是，关键Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin类，弱$L^d$类以及一些向量场，甚至不是在$L^{2+\varepsilon}_{\rm loc}$，$\varepsilon>0$。
Stochastic partial differential equations with singular terminal condition
在生成元单调性假设下，证明了一类倒向双随机微分方程（BDSDE）及其相关的随机偏微分方程（SPDE）解的存在唯一性.然后我们研究了终端数据是奇异的情况，在这个意义上，它可以等于+ $\infty$上的一组正的措施。在这种情况下，我们表明，存在一个最小的解决方案，无论是BDSDE和SPDE。请注意，SPDE的解意味着索博列夫意义上的弱解。
The central limit theorem for stochastic Volterra equations with singular kernels
这项工作涉及随机Volterra方程奇异核。在适当的条件下，证明了它们的中心极限定理。此外，我们将我们的结果应用到随机Volterra方程的分数布朗运动的Hurst参数$H\in(0, 1)$的核。
Integro-partial differential equations with singular terminal condition
本文证明了一个倒向随机微分方程的最小解给出了一个积分-偏微分方程的最小黏性解的概率表示，这两个方程都具有奇异终端条件.奇异性意味着在最后时刻，解的值可以等于无穷大。不同类型的规律性的黏性解方案进行了研究：Sobolev，H{<$}lder或强规律性。
Singular perturbations to semilinear stochastic heat equations
考虑了随机热方程或其半线性变分的一类奇异扰动。这些扰动的有趣特征是，当小参数ε趋于零时，它们的解收敛到“错误”的极限，即它们不收敛到通过简单地设置ε = 0获得的解。类似的效果也观察到一些（正式）小的随机扰动的确定性半线性抛物型偏微分方程。我们的证明是基于对方程的空间粗糙分量的详细分析，结合高斯浓度不等式的明智使用。
Stochastic De Giorgi Iteration and Regularity of Stochastic Partial Differential Equation
在一般条件下，我们证明了形式为\[ \partial_t u = \mathrm{div} (A \nabla u) + f(t,x, u) + g_i (t,x,u) \dot{w}^i_t \]的随机抛物型偏微分方程的解在空间和时间变量上几乎必然是Hölder连续的.
Itô differential representation of singular stochastic Volterra integral equations
本文给出了一类奇异随机Volterra积分方程的Itô微分表示.作为应用，我们研究了解的小时间中心极限定理收敛速率。
Structured Singular values on some generalized stochastic matrices
本文给出了一类广义随机复矩阵的结构奇异值的精确值，并给出了其行（列）和为常数的表达式。
Approximation of the random inertial manifold of singularly perturbed stochastic wave equations
利用Rohlin关于Lebesgue空间同态分类的结果，证明了一类具有奇异扰动的随机阻尼非线性波动方程的随机惯性流形几乎必然地近似于一类由依赖于奇异扰动参数的新Wiener过程驱动的随机非线性热方程的随机惯性流形.这种近似可以看作是Smolukowski-Kramers近似，因为时间趋于无穷大。然而，当时间趋于无穷大时，该近似随小参数而变化，这与有限区间上的近似不同。
Singular perturbations in stochastic optimal control with unbounded data
研究了一类具有无界数据的双尺度随机控制系统的奇异扰动。这些假设旨在涵盖深度神经网络的一些松弛问题。构造了HJB型抛物型方程的有效Hamilton量和初值，证明了其值函数收敛于极限（有效）Cauchy问题的解.我们使用的概率，黏性解和均匀化的方法。
Convergence of invariant measures for singular stochastic diffusion equations
证明了在具有Dirichlet边界条件的有界开域$Λ\subset\R^d$上，奇异随机$p$-Laplace方程的解$p\in (1,2)$和含非线性参数$r\in (0,1)$的随机快扩散方程的解分别关于参数$p$和$r$在Hilbert空间$L^2(Λ)$，$H^{-1}(Λ)$中平均连续，时间一致连续.借助于随机发展变分不等式，讨论了强奇异极限情形$p=1$，其中$\mathbbm{P}$ -a.s.在时间上一致地收敛。证明了遍历半群的唯一不变测度在概率测度的弱意义下收敛。
An introduction to singular stochastic PDEs: Allen-Cahn equations, metastability and regularity structures
这些笔记是为2019年1月28日至2月1日在萨拉热窝随机分析冬季学校举行的一系列讲座准备的。已经有几个关于这个主题的优秀讲义和评论，例如（Hairer 2009）关于（非奇异）随机偏微分方程，以及（Hairer 2015，Chandra和Weber 2017）关于奇异随机偏微分方程和正则性结构。本说明有两个主要特点。第一个是他们关注一个特定的例子，即艾伦-卡恩方程，该方程允许通过逐步增加空间维度，以渐进的方式引入该理论的几个困难。希望是，虽然这限制了所提出的理论的普遍性，但这种限制更多地是由清晰度的提高所弥补的。这些笔记的第二个具体方面是，他们超越了存在性和唯一性的解决方案，通过覆盖一些最近的结果收敛到平衡和亚稳定性在这些系统。
Sharp interface limit of stochastic Cahn-Hilliard equation with singular noise
本文研究了在时空白噪声和保守噪声驱动下二维随机Cahn-Hilliard方程与$\varepsilon$相关的锐界面极限为$\varepsilon\to 0$ .在噪声足够小的情况下，通过比较方程（1.1）的解与文献[ABC 94]中构造的近似解，我们证明了解的极限也是确定性Hele-Shaw问题的解。
Picard approximation of a singular backward stochastic nonlinear Volterra integral equation
倒向随机微分方程是随机分析和计算随机学中研究最多的一类方程。本文证明了具有全局Lipschitz连续非线性项的倒向随机微分方程的Picard迭代以指数速度收敛于解。本文的主要结果是建立了一个基本引理，证明了希尔伯特空间中$α\in (\frac{1}{2},1)$阶奇异倒向随机非线性Volterra积分方程（简称奇异BSVIE）在比Lipschitz更弱的条件下适应解的整体存在唯一性.
Uniform in time propagation of chaos for the 2D vortex model and other singular stochastic systems
该研究调整已有方法，首次证明一类奇异相互作用核的时间一致混沌传播，模型含环面Biot-Savart核及二维涡旋模型。
Propagation of Singularities for the Stochastic Wave Equation
研究了在时间上为白噪声、空间上为有色噪声驱动下的一维线性随机波动方程解的存在性和奇性奇性传播。我们的方法是基于同时法的迭代对数和高斯过程的一般方法。
Singular stochastic PDEs
给出了一类非常奇异抛物型随机偏微分方程的适定性的一系列结果。这些方程是这样的，它甚至意味着什么是一个解决方案的问题是非常重要的。这个问题可以在最近开发的“规则结构”理论的框架内解决，该理论允许通过“喷射”局部描述候选解决方案，但通常的泰勒多项式被一系列定制对象所取代。为了说明理论，我们专注于Kardar-Parisi-Zhang方程，一个流行的界面传播模型的具体例子。
Nonlinear stochastic partial differential equations with singular diffusivity and gradient Stratonovich noise
利用随机变分不等式（SVI）研究了一类带强奇异扩散项和乘性Stratonovich梯度型噪声的随机非线性扩散方程变分解的存在唯一性.我们推导出一个交换子关系的无界噪声系数的几何Killing向量条件。漂移项分别由全变差流和奇异$p$ -Laplace型算子给出。我们施加非线性零诺依曼边界条件，并精确地调查它们与噪声系数场的连接。这解决了一个开放的问题提出[Barbu，Brzeolyniak，Hauseniak，Tubaro; Stoch.申请程序，123（2013）]和[Barbu，Röckner; J. Eur.数学会，17（2015）]。
Well-posedness of SVI solutions to singular-degenerate stochastic porous media equations arising in self-organised criticality
考虑一类带乘性Lipschitz连续噪声的广义随机多孔介质方程。这些方程可以与表现出自组织临界性的物理模型相关。我们发现，这些SPDE有唯一的SVI解决方案，连续依赖于初始值。为了制定这一概念的解决方案，并证明唯一性的情况下，缓慢增长的非线性，所产生的能量泛函进行了详细分析。
Stochastic viscosity solutions for stochastic integral-partial differential equations and singular stochastic control
本文研究半线性 SIPDE 的随机粘性解，通过由 Brown 运动、Poisson 随机测度及 càdlàg 递增过程驱动的 GBDSDE，证明解的存在唯一性，给出非线性 Neumann 边界下的概率表示，并建立奇异随机最优控制的随机最大值原理。
Pathwise uniqueness for singular stochastic Volterra equations with Hölder coefficients
本文证明了一类由布朗运动驱动、带奇异核和Hölder连续扩散系数的一维随机Volterra方程的道路唯一性，进而得到唯一强解的存在性。
Higher Order Fluctuation Expansions for Nonlinear Stochastic Heat Equations in Singular Limits
本文研究了具有非线性噪声的随机热方程（SHE），在奇异极限下推导出描述解渐近行为的高阶Edgeworth型涨落展开，并涵盖了正则与非正则扩散系数及多种相关SPDE情形。
On the Analysis of a Singular Stochastic Volterra Differential Equation driven by a Wiener Noise
本文研究了由奇异漂移向量场和Wiener噪声驱动的随机Volterra微分方程的强解唯一性及初始值对强解的Sobolev可微性。
Well-posedness and long time behavior of singular Langevin stochastic differential equations
本文研究了具有奇异速度场的阻尼Langevin随机微分方程。我们证明了这样的方程的强适定性。此外，通过结合李雅普诺夫函数技巧和Krylov估计，我们还建立了唯一强解的指数遍历性。
Stochastic evolution equations with singular drift and gradient noise via curvature and commutation conditions
本文证明了$d$维环面上一类非线性随机发展方程解的存在唯一性，其中奇异$p$ -Laplace型或全变差流型漂移具有一般的次线性倍化非线性项，高斯梯度Stratonovich噪声具有无发散系数.在弱亏换位子界和曲率维数条件下，利用预解式和Dirichlet形式方法以及Itô-公式的近似，得到了随机变分不等式中的适定性结果.
Strong Solutions to Reflecting Stochastic Differential Equations with Singular Drift
本文证明了仅具有可测漂移的反射随机微分方程存在唯一强解，从而肯定地回答了长期存在的问题。这是通过Zvonkin变换和仔细分析的非光滑时变域上的转换反射随机微分方程。
Stationary Solutions of Stochastic Differential Equation with Memory and Stochastic Partial Differential Equations
我们研究了漂移项可能依赖于无限过去的伊藤随机微分方程。假设存在一个李雅普诺夫函数，我们证明了存在一个固定的解决方案，假设只有最小的连续性的系数。如果对过去的依赖衰减得足够快，则证明了固定解的唯一性。然后将本文的结果应用于随机强迫耗散偏微分方程，如随机Navier-斯托克斯方程和随机Ginsburg-Landau方程.
On a stochastic phase-field model of cell motility with singular diffusion
研究一类描述移动边界问题的随机相场模型，通过加权L^2空间中的概率弱解处理相场零水平集处的奇异性，建立全局存在性。
Asymptotic approach for backward stochastic differential equation with singular terminal condition *
本文给出了具有奇异终端条件的B_1的解Y与具有奇异生成元的B_1的解H之间的一一对应关系。这一结果提供了精确的渐近行为的Y接近最终的时间和扩大的唯一性结果，更广泛的一类发电机。
Singular stochastic integral operators
本文介绍了具有算子核的奇异随机积分的Calderón-Zygmund理论。特别是，我们证明了$L^p$ -外推的结果下的核的Hörmander条件。稀疏控制和尖锐的加权边界下得到的Dini条件的内核，导致随机版本的解决方案的$A_2$ -猜想。结果被应用于获得$p$ -独立性和加权界的随机最大$L^p$ -正则性在复杂的和真正的插值尺度。从而得到了$\mathbb{R}^d$、光滑区域和角域上随机热方程的几个新的正则性结果。
Quantitative particle approximation of nonlinear stochastic Fokker-Planck equations with singular kernel
本文研究了受个体与环境噪声及奇异核扰动的大型相互作用粒子系统，证明了平滑化经验过程收敛于非线性随机 Fokker-Planck 方程的解，并利用 Itô 公式等方法证明了该方程存在唯一的强解。
Renormalised singular stochastic PDEs
在Bruned、Hairer和Zambotti关于正则结构的代数重整化的工作中，引入了自然装饰树上的扩展装饰，为奇异随机偏微分方程系统的重整化提供了一个方便的框架。树的这种非动力学特征使得重整化过程的动力学对应物的分析变得复杂。我们提供了一个新的证明的重整化系统绕过使用扩展的装饰和工作的一大类重整化映射，与BPHZ重整化作为一个特殊情况。证明揭示了重要的代数性质连接到准备地图。
Ergodicity of 2D singular stochastic Navier-Stokes equations
针对高频强度足够弱、正则性类似时空白噪声的噪声驱动二维随机 Navier-Stokes 方程，证明系统具有时间一致界、不变测度及拉伸指数尾界。
Calderon-Type Uniqueness Theorem for Stochastic Partial Differential Equations
本文给出了随机偏微分方程Cauchy问题的一个Calderón型唯一性定理。为此，我们引入了随机伪微分算子的概念，并建立了它们的有界性和其它基本性质。我们的唯一性定理的证明是基于一个新的Carleman型估计。
Smooth Solutions of Non-linear Stochastic Partial Differential Equations
本文在Hilbert标度的框架下研究了非线性随机偏微分方程解的存在性。然后将所得结果应用于几类典型的非线性随机偏微分方程，如实数上的随机Burgers方程和Ginzburg-Landau方程，全空间上的随机二维Navier-斯托克斯方程以及全空间上的随机驯服三维Navier-斯托克斯方程，得到了它们各自光滑解的存在性.
A dynamical theory for singular stochastic delay differential equations I: Linear equations and a Multiplicative Ergodic Theorem on fields of Banach spaces
证明了奇异随机时滞微分方程在巴拿赫空间域上诱导上循环映射.证明了巴拿赫空间域上的一个一般乘法遍历定理，并将其应用于线性SDDE.在本文的第二部分中，我们使用我们的结果证明了非线性奇异SDDE的稳定流形定理。
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