Branching diffusion representation of semi-linear elliptic PDEs and estimation using Monte Carlo method
我们研究了半线性椭圆型偏微分方程的多项式非线性，并提供了一个概率表示的解决方案，使用分支扩散过程。当非线性涉及的未知函数，但不是其衍生物，我们扩展了以前的文献中的结果表明，我们的概率表示提供了一个解决方案的PDE，而不假设它的存在。在一般情况下，我们推导出一个新的表示的解决方案，通过使用标记的分支扩散过程和自动微分公式，占非线性梯度项。在这两种情况下，我们开发新的理论工具，提供明确的充分条件下，我们的概率表示举行。作为应用，我们考虑了几个例子，包括多维半线性椭圆型偏微分方程和估计他们的解决方案，使用蒙特卡罗方法。
2018-02-14 math.PR
A probabilistic approach to Dirichlet problems of semilinear elliptic PDEs with singular coefficients
本文证明了一类半线性二阶椭圆型偏微分方程的Dirichlet边值问题存在唯一解。我们的方法是概率性的。Dirichlet过程和倒向随机微分方程理论起着至关重要的作用。
2012-11-16 math.PR
Quadratic BSDEs with random terminal time and elliptic PDEs in infinite dimension
本文研究了当生成元F（t，Y，Z）在Z中二次增长时，具有随机终端时间的一维倒向随机微分方程（BSDEs）的解.我们提供了一个有界解的存在性和唯一性，这样的BSDES，在无限的地平线的情况下，经常依赖于参数。然后应用所得结果证明了希尔伯特空间中椭圆型偏微分方程温和解的存在唯一性。
2007-06-21 math.PR
A deep neural network algorithm for semilinear elliptic PDEs with applications in insurance mathematics
在保险数学中，当计算风险度量时，会出现无限时间范围内的最优控制问题。它们的解对应于确定性半线性（退化）椭圆型偏微分方程的解。在本文中，我们提出了一个深度神经网络算法来解决这种偏微分方程在高维。该算法基于椭圆型偏微分方程与具有随机终端时间的倒向随机微分方程的对应关系。
2020-12-10 math.OC math.PR q-fin.MF
A CLT for degenerate diffusions with periodic coefficients, and application to homogenisation of linear PDEs
在这篇文章中，我们得到了一类具有周期系数的退化扩散过程的泛函CLT，从而推广了一致椭圆扩散的经典结果。作为应用，我们还讨论了一类线性退化椭圆和抛物偏微分方程的周期均匀化问题。
2021-02-09 math.PR
Existence of solutions for nonlinear elliptic PDEs with fractional Laplacians on open balls
本文利用(2s)-稳定分支过程的树状概率表示，在开球上证明了带分数阶拉普拉斯算子的半线性椭圆型偏微分方程粘性解的存在性，并放宽了对多项式非线性次数和项数的限制。
2025-11-09 math.AP math.PR
On Expansions and Nodes for Sparse Grid Collocation of Lognormal Elliptic PDEs
这项工作是一个后续行动，我们以前的贡献（“收敛的稀疏配置函数可数许多高斯随机变量（与应用椭圆偏微分方程）"，SIAM J。肛门，2018），并包含使用稀疏网格求解对数正态扩散系数的椭圆偏微分方程的某些方面的进一步见解。具体地，我们首先关注单变量插值规则的选择，提倡使用由Narayan和Jakeman引入的高斯Leja点（“Adaptive Leja sparse grid constructions for stochastic collocation and high-dimensional approximation”，SIAM J. Sci.计算：2014），然后讨论用Lévy-Ciesielski展开代替扩散系数的标准Karhunen-Loève展开的可能的计算优势，其动机是Bachmayr、Cohen、DeVore和Migliorati的理论工作（“参数椭圆偏微分方程的稀疏多项式逼近.第二部分：对数正态系数”，ESAIM：M2 AN，2016）。我们的数值结果表明，对于所考虑的问题，高斯Leja配置点优于高斯-埃尔米特和Genz-Keister节点的稀疏网格近似和对数扩散系数的Karhunen-Loève展开比其Lévy-Ciesielski展开的稀疏网格配置的目的更合适。
2020-04-09 cs.NA math.NA math.PR
Parametrization of renormalized models for singular stochastic PDEs
本文提出了一种对奇异随机偏微分方程正规化模型进行参数化的线性方法，并探讨了重整化方案对参数化空间的作用。
2022-02-11 math.AP math.PR math.RA
Fully discrete approximation of parametric and stochastic elliptic PDEs
本文研究了参数和随机椭圆偏微分方程的完全离散近似，通过结合空间和参数近似性，利用Taylor、Jacobi和Hermite展开，获得收敛率与总自由度相关的近似结果。
2017-07-09 cs.NA math.AP math.NA
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of high-dimensional semilinear elliptic partial differential equations
最近，所谓的全历史递归多层Picard（MLP）逼近方案已被引入，并显示出克服维数灾难的数值逼近半线性抛物型偏微分方程（PDE）与Lipschitz非线性。本文的主要贡献是介绍和分析了一个新的变种的MLP逼近计划的某些半线性椭圆型偏微分方程的Lipschitz非线性，并证明了所提出的逼近计划克服了灾难的维数在数值逼近这样的半线性椭圆型偏微分方程。
2020-03-01 cs.NA math.NA math.PR
Elliptic PDEs with distributional drift and backward SDEs driven by a c{à}dl{à}g martingale with random terminal time
本文引入了半线性椭圆型偏微分方程的一个推广概念，其中相应的二阶偏微分算子$L$具有广义漂移。研究了一类$C^1$广义解的存在唯一性.生成器$L$与马尔可夫过程$X$相关联，该过程是具有分布漂移的随机微分方程的解。如果半线性偏微分方程允许边界条件，它的解自然地与一个具有随机终端时间的倒向随机微分方程（BDEs）相联系，其中前向过程是$X$。由于$X$是正向鞅的弱解，因此鞅自然地表现为由鞅驱动。本文还讨论了当驱动过程是一般c{à}dl{à}g鞅时，具有随机终时的Battlefield的唯一性.
2015-06-02 math.PR
Examples of computational approaches to accommodate randomness in elliptic PDEs
Ecole des Ponts（巴黎路桥学校）；INRIA（法国国家信息与自动化研究所）
本文探讨了在处理具有随机系数的线性椭圆偏微分方程时，如何通过方差减少技术与灵活的有限元方法提高计算效率和精度。
2016-04-18 cs.NA math.NA math.PR
Method of Green's potentials for elliptic PDEs in domains with random apertures
拓扑不确定性问题出现在从纳米器件工程到桥梁设计的许多领域。在许多这样的问题中，一部分的域边界受到随机扰动，使效率低下的传统计划，依赖于整个域的离散化。在本文中，我们研究了椭圆型偏微分方程的边界由一个确定性的部分和随机孔域，并应用与格林核定义的域的确定性部分的修改的潜力的方法。这种方法允许通过将其重新表述为仅在随机孔径上提出的边界积分方程来降低原始微分问题的维数。然后将多级蒙特卡罗方法应用于该修改的积分方程，并显示了其最佳$ε^{-2}$渐进复杂度。最后，我们提供了所提出的技术的定性分析，并支持它与数值结果。
2020-08-06 cs.NA math.NA math.PR
Quasi continuous level Monte Carlo for random elliptic PDEs
本文提出拟连续水平蒙特卡洛方法，用拟蒙特卡洛序列生成指数分布随机变量，显著降低方差，在随机椭圆偏微分方程示例中明显优于多水平和连续水平蒙特卡洛。
2023-10-12 cs.NA math.NA math.PR
Semilinear fractional elliptic PDEs with gradient nonlinearities on open balls: existence of solutions and probabilistic representation
针对高维球域上带梯度非线性的分数阶半线性椭圆PDE，提出基于α-稳定分支过程的树状概率表示法，无需梯度非线性的多项式阶条件即可证明粘性解存在，且在10维下精度优于确定性有限差分法。
2024-06-24 cs.NA math.AP math.NA
Elliptic PDEs on log-Gaussian Shapes: Sparsity and Finite Element Discretization
Vietnam National University（越南国立大学）；University of Basel（巴塞尔大学）；University of Transport and Communications（交通与通信大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了在由对数高斯随机同构得到的随机域上求解椭圆扩散问题，通过路径拉回验证解的存在性和唯一性，并分析解的解析正则性，采用有限元方法和稀疏网格插值进行数值近似。
2026-03-25 cs.NA math.NA math.PR
Locality for singular stochastic PDEs
本文研究了由非平移不变微分算子驱动的奇异随机偏微分方程，提出了一种可描述极大一类时空相关重正化方程的方法，其核心贡献在于避开了带扩展装饰的装饰树的使用。
2024-06-04 math.AP math.PR
Representations of Gaussian random fields and approximation of elliptic PDEs with lognormal coefficients
本文提出基于小波类型的高斯随机场表示方法，用于改进椭圆PDE中对数正态系数的近似，其逼近结果优于传统Karhunen-Loève方法。
2016-03-17 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Monte Carlo FEM for Elliptic PDEs with Besov Random Tree Priors
本文提出了一种求解多面体区域上线性椭圆扩散问题的多层Monte Carlo（MLMC）-FEM算法，该算法具有Besov树随机系数，求解区域为$\mathcal D\subset \mathbb R^d$.也就是说，扩散系数的矩阵是从所谓的Besov树先验中采样的，Besov树先验最近被提出来对科学和工程中的分形现象的数据进行建模。椭圆型偏微分方程的全离散有限元的数值分析包括求积近似，并且必须考虑a）非均匀路径上和下系数边界，以及b）Besov树系数的低路径正则性。容许的非参数随机系数对应于随机函数在分形维数可调的随机分形上表现出奇异性，但不涉及样本路径奇异支撑的分形几何的先验规范。最佳的复杂性和收敛速度估计的兴趣量和他们的二阶矩的证明。MLMC-FEM的收敛性分析，产生的算法转向参数的选择，有效的实施。提供了MLMC-FEM近似的复杂性（"误差与工作“）分析。
2023-02-01 cs.NA math.NA math.PR
Sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs. Part II: lognormal coefficients
研究对数正态形式扩散系数的椭圆PDEs的Hermite多项式展开的ℓ^p求和性质，改进了最佳n项截断Hermite展开的逼近率估计。
2015-09-23 cs.NA math.AP math.NA
