Heat semigroup and singular PDEs
在这项工作中，我们提供了一个半群的方法来研究奇异偏微分方程，在最近开发的Gubinelli，Imkeller和Perkowski的paracontrolled的方法。从热半群出发，发展了一个谓词演算，并在热半群上引入了一个仿积，证明了它的交换子估计和Schauder估计，以及它们的仿控制扩张.这种机制使我们能够研究奇异偏微分方程的潜在无界黎曼流形在温和的几何条件。作为例子，我们研究了广义抛物型Anderson模型方程，在较弱的几何条件下，证明了它在Holders空间中的适定性，在二维潜在无界黎曼流形上的小时间适定性，对于加权噪声驱动的方程适定性，以及在二维无界流形上的线性抛物型Anderson模型方程的适定性.这种机制可以扩展到一个更奇异的设置，并处理索伯列夫尺度的空间，而不是霍尔德空间。
2016-02-08 math.AP math.PR
BSDEs driven by $|z|^2/y$ and applications to PDEs and decision theory
建立了一类含有$\pm|z|^2/y$形式奇异项的倒向随机微分方程解的存在唯一性。研究结果适用于奇异偏微分方程（PDE）和决策论的问题，不能使用经典的定期BSDES研究。的应用程序涉及到偏微分方程的黏性解的存在性，包含一个奇异项的形式$\pm|\nabla v|^2/v$与相当弱的假设的正则性系数。这种在价值过程中具有奇异性的偏微分方程在物理学和经济学中有许多应用。在决策论的应用方面，一方面，我们利用奇异倒向随机微分方程求解了具有幂效用函数和非平凡终端禀赋的对数型投资组合最优化问题。此外，我们得到了由Duffie和Lions [17]定义的非马尔可夫Kreps-Porteus随机微分效用的一般版本的存在性和唯一性，并在马尔可夫情况下使用Duffie和Lions [19]的PDE参数构造。
2021-08-27 math.AP math.PR
Singular stochastic PDEs
给出了一类非常奇异抛物型随机偏微分方程的适定性的一系列结果。这些方程是这样的，它甚至意味着什么是一个解决方案的问题是非常重要的。这个问题可以在最近开发的“规则结构”理论的框架内解决，该理论允许通过“喷射”局部描述候选解决方案，但通常的泰勒多项式被一系列定制对象所取代。为了说明理论，我们专注于Kardar-Parisi-Zhang方程，一个流行的界面传播模型的具体例子。
2014-03-25 math.AP math.PR
Weak uniqueness by noise for singular stochastic PDEs
该研究针对希尔伯特空间上的奇异SPDEs，提出仅需漂移项定义在索伯列夫型子空间、无需霍尔德连续性的框架，借助有色或更粗糙噪声证明温和解弱唯一性，可推广至多类具体算例。
2024-06-19 math.AP math.PR
Exploiting locality in sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs and application to parameterized domains
本研究针对椭圆偏微分方程的参数化问题，提出采用局部支撑函数的表示方式，通过逐点界证明泰勒系数的ℓᵖ可和性，应用于参数化域问题可获更高收敛率，且方法可推广至其他类型PDE。
2023-08-11 cs.NA math.AP math.NA
Very Singular Similarity Solutions and Hermitian Spectral Theory for Semilinear Odd-Order PDEs
基于线性重标奇阶算子的Hermite型谱理论，研究了奇阶半线性偏微分方程的非常奇异自相似解。
2009-10-26 math.AP
The support of singular stochastic PDEs
我们得到一个推广的Stroock-Varadhan支持定理的一大类系统的亚临界奇异随机偏微分方程驱动的噪声是白色或近似自相似。我们面临的主要问题是重新正常化的存在。特别是，它可能会发生在一般情况下，不同的重正化程序产生不同的支持的解决方案。在我们的建设中的主要步骤之一是一个子组$\mathcal{H}$的renormalisation组，使任何renormalisation程序确定一个独特的陪集$g\circ\mathcal{H}$的识别。解的支持则仅依赖于该陪集，并且通过取所有解的闭包来获得，所述所有解是通过用$g\circ\mathcal{H}$的某个元素重新归一化的方程中的光滑函数替换驱动噪声而获得的。我们的结果的一个直接的推论是，$Φ^4_3$措施有限体积有充分的支持，相关的朗之万动态是指数遍历。
2021-12-06 math.AP math.PR
The strong Feller property for singular stochastic PDEs
证明了一类奇异随机偏微分方程生成的马尔可夫半群满足强Feller性质。这些包括例如KPZ方程和动态$Φ^4_3$模型。作为推论，我们证明了布朗桥测度是具有周期边界条件的KPZ方程的唯一不变测度。
2017-04-25 math-ph math.AP math.MP
Renormalised singular stochastic PDEs
在Bruned、Hairer和Zambotti关于正则结构的代数重整化的工作中，引入了自然装饰树上的扩展装饰，为奇异随机偏微分方程系统的重整化提供了一个方便的框架。树的这种非动力学特征使得重整化过程的动力学对应物的分析变得复杂。我们提供了一个新的证明的重整化系统绕过使用扩展的装饰和工作的一大类重整化映射，与BPHZ重整化作为一个特殊情况。证明揭示了重要的代数性质连接到准备地图。
2021-02-02 math.AP math.PR math.RA
Eigenfunctions and Very Singular Similarity Solutions of Odd-Order Nonlinear Dispersion PDEs
研究了奇阶非线性色散方程解的渐近性质。构造了全局时间相似解，从而得到了重标常微分方程的本征函数。
2010-11-05 math.AP
Paracontrolled distributions and singular PDEs
我们介绍了一种方法来研究某些奇异偏微分方程，这是基于从paradifferential微积分的技术和控制粗糙路径理论的想法。我们说明了它的适用性的一些模型问题，如微分方程驱动的分数布朗运动，分数Burgers型SPDE驱动的时空白噪声，和一个非线性版本的抛物线安德森模型与白噪声潜力。
2017-08-15 math-ph math.AP math.MP
Singular limit for nonlocal conservation laws with non-locality in density and velocity
Mathematical Universität Basel（巴塞尔大学数学研究所）
研究具有密度和速度非局部性的非局部守恒律的奇异极限，通过推导得出基础Burgers方程的经典解作为奇异极限，此推导在激波形成前有效，回答了相关文献提出的问题。
2026-07-16 math.AP
Monotonicity formulae and classification results for singular, degenerate, anisotropic PDEs
考虑了可能各向异性介质中的可能退化奇异椭圆型方程。我们得到的能量密度的单调性结果，刚性的解决方案和分类结果的奇异性/退化/各向异性允许的结果。据我们所知，这些结果是新的，即使在非奇异和非退化的各向异性方程的情况下。
2014-12-19 math.AP
A tourist's guide to regularity structures and singular stochastic PDEs
该研究给出了正则结构的基本分析与代数特征及其在奇异随机偏微分方程研究中应用的自洽性阐述，为相关领域提供入门指引。
2024-11-04 math.AP math.CA
Variational methods for some singular stochastic elliptic PDEs
我们使用一些工具，从非线性分析研究两个例子的奇异随机椭圆型偏微分方程，不能解决的压缩原理或Schauder不动点定理。让$ξ$代表闭黎曼曲面$S$上的空间白噪声。我们证明了方程$$ (-Δ+ a)u = f(u) + ξu $$与潜在的$a\in L^p(S)$和$p>1$，和$f$生长条件下的解决方案的存在性。在一个额外的奇偶校验条件下$f$ -满足例如当$f(u) = u\vert u\vert^\ell$，与$\ell$一个甚至integer，我们进一步证明了这个方程有无穷多个解决方案，与所有的适定性的结果，迄今已被证明的奇异随机偏微分方程在一个小参数的假设下形成鲜明对比。这类结果是通过将方程视为表征基于Anderson算子$H=Δ+ ξ$的能量泛函的临界点并借助于山路定理的变体而获得的。然而，有一些有趣的方程不能被描述为能量泛函的临界点。这种情况下的奇异Choquard-Pecard方程的$\mathbb{T}^2$ $$ (-Δ+ a)u = \big(w\star f(u)\big)g(u) + ξu $$人们可以使用Ghoussoub的机器的自对偶泛函证明存在一个解决方案，该方程的最小值的自对偶强强制功能下适当的假设系数$a,w,f$和$g$。
2022-10-17 math.AP math.PR
Parametrization of renormalized models for singular stochastic PDEs
本文提出了一种对奇异随机偏微分方程正规化模型进行参数化的线性方法，并探讨了重整化方案对参数化空间的作用。
2022-02-11 math.AP math.PR math.RA
Three-Scale Singular Limits of Evolutionary PDEs
研究了一类具有两个小参数和三个时间尺度的偏微分方程发展系统的奇异极限。在适当的条件下，解决方案的存在，并保持一致有界的一个固定的时间，这两个参数趋于零，在不同的速度。一个简单的例子表明，这些条件的必要性，以保持一致的界限。在进一步的条件下，当参数趋于零时，原系统的解趋于极限方程的解。
2019-03-14 math.AP
The Stokes phenomenon for certain PDEs in a case when initial data have a finite set of singular points
在Cauchy数据在$\mathbb{C}$上是全纯的，但无穷远处有许多奇点或分支点，且满足适当的增长条件的条件下，利用超函数研究了一维复热传导方程解的斯托克斯现象.主要的工具是可和性理论和超函数理论，它使我们能够描述跨越斯托克斯线的跳跃。
2018-05-29 math.AP math.CV
Large field problem in coercive singular PDEs
本文研究了严酷偏微分方程中的大领域问题，通过粗糙路径理论和正则性结构推导了先验估计，并利用缩放将局部 coercivity 转换为全局性质。
2025-12-12 math.AP math.PR
Optimal Control of Singular Parabolic PDEs Modeling Multiphase Stefan-type Free Boundary Problems
分析了多维多相Stefan型自由边界问题的分布形式奇异非线性抛物型偏微分方程的最优控制。利用有限差分方法，给出了有限维最优控制问题的逼近序列。证明了最优控制的存在性和离散最优控制问题序列关于泛函和控制的收敛性。特别地，在系数的极小正则性假设下，得到了奇异偏微分方程的有限差分方法的收敛性、存在性、唯一性和稳定性估计.
2020-06-12 math.AP math.OC
Formal Gevrey solutions -- in analytic germs -- for higher order holomorphic PDEs
本文考虑一类全纯偏微分方程，其奇异轨迹由解析映射$P$的零点集给出，其中$P$具有$P(0)=0$。我们的目标是建立形式幂级数级数解的存在唯一性条件，并确定其发散率。事实上，我们证明，解决方案是Gevrey在$P$，发散性提供新的信息，而相比，经典的Gevrey类。如果$P$在$0$处不是奇异的，我们还提供了Poincaré条件来恢复收敛解.我们的策略是扩展的尺寸和升降机给定的偏微分方程的奇异偏微分方程的结果可以应用的问题。最后，例子中的Gevrey类$P$是最佳的。
2022-01-11 math.AP
Gevrey multiscale expansions of singular solutions of PDEs with cubic nonlinearity
研究了一类具有三次非线性项的奇异摄动偏微分方程，该方程依赖于一个复摄动参数$ε$。这是第一作者的一个先例工作的延续。我们构造了两族扇形亚纯解，它们是在时间尺度上对方程的代数慢曲线的两个分支在$ε$中作小扰动而得到的。我们表明，每个家庭的解决方案的非奇异部分共享一个共同的形式幂级数在$ε$作为Gevrey渐近展开，这可能是不同的一个彼此，在一般情况下。
2017-07-04 math.AP math.CV
Lecture notes on the flow equation approach to singular stochastic PDEs
EPFL（洛桑联邦理工学院）
本文介绍流方程方法，一种适用于整个亚临界区域中包括分数阶拉普拉斯算子在内的广泛奇异随机偏微分方程的鲁棒框架，通过粗粒化过程和流方程边界条件归纳解决重整化问题。
2026-05-29 math-ph math.AP math.MP
Singular Elliptic PDEs: an extensive overview
本文综述了具有奇异零阶项的非线性椭圆齐次边值问题，概述了基本概念与数学框架，介绍了关键的存在性、唯一性及正则性结果，并讨论了相关例子与开放问题。
2024-12-19 math.AP
Essentials of Real Analysis and Morrey-Sobolev spaces for second-order elliptic and parabolic PDEs with singular first-order coefficients
本文简要介绍了Hardy-Littlewood极大函数定理等实分析结果在具奇异一阶系数的二阶椭圆与抛物型PDE的Sobolev及Morrey-Sobolev空间理论中的应用，并在最后一节给出了新结果。
2025-10-10 math.AP
Fully discrete approximation of parametric and stochastic elliptic PDEs
本文研究了参数和随机椭圆偏微分方程的完全离散近似，通过结合空间和参数近似性，利用Taylor、Jacobi和Hermite展开，获得收敛率与总自由度相关的近似结果。
2017-07-09 cs.NA math.AP math.NA
A class of supercritical/critical singular stochastic PDEs: existence, non-uniqueness, non-Gaussianity, non-unique ergodicity
本文研究了具有不规则空间扰动$$ \partial_{t }θ+ u\cdot\nablaθ= -ν(-Δ)^{γ/2}θ+ ζ,\qquad u=\nabla^{\perp}(-Δ)^{-1}θ, $$的地面准地转方程，对某些$κ>0$，用$ν\geq 0$，$γ\in [0,3/2)$和$ζ\in B^{-2+κ}_{\infty,\infty}(\mathbb{T}^{2})$.这涵盖了用于$α<1$和$ξ$的$ζ= (-Δ)^{α/2}ξ$的情况，$ξ$是$\mathbb{T}^{2}$上的空间白噪声。根据$γ$和$α$之间的关系，我们的设置是亚临界，临界或超临界的Hairer的正则性结构\cite{Hai14}的语言。基于凸积分的纯分析工具，在不需要任何概率参数（包括重正化）的情况下，我们证明了在$L^{p}_{\rm{loc}}(0,\infty;B_{\infty,1}^{-1/2})\cap C_{b}([0,\infty);B^{-1/2-δ}_{\infty,1})\cap C^{1}_{b}([0,\infty);B^{-3/2-δ}_{\infty,1})$中存在无穷多个解析弱解，对于所有$p\in [1,\infty)$和$δ>0$.我们能够规定一个初始以及终端条件在有限时间$T>0$，并构建稳定状态，即时间无关，解决方案。在所有情况下，解都是非高斯的，但…
2023-02-21 math.AP math.PR
Convection-Induced Singularity Suppression in the Keller-Segel and Other Non-linear PDEs
在本文中，我们研究的效果，除了对流项，以及由此产生的增加耗散率，对一般类的非线性抛物型偏微分方程的解决方案的增长。特别是，我们表明，在这些模型中的爆破总是可以防止，如果增加的漂移有一个足够小的耗散时间。我们还证明了一个一般性的结果有关的耗散时间和有效扩散的固定细胞流，这使我们能够获得简单的不可压缩流的例子任意小的耗散时间。作为一个应用，我们表明，爆破的Keller-Segel模型的趋化性总是可以防止，如果周围流体的速度场有一个足够小的耗散时间。我们还研究了具有点火型非线性的反应扩散方程，并证明了只要平均初始温度低于点火阈值，反应总是可以通过增加一个对流项而被猝灭。
2020-06-11 math.AP
On the structure of measures constrained by linear PDEs
本文的目的是介绍满足偏微分方程约束的测度的奇异部分的结构的一些最新结果，并描述一些应用。
2017-12-24 math.AP math.FA math.MG
Operator dependent para-controlled calculus, periodic homogenisation and singular PDEs
本文基于算子依赖的Besov空间发展拟控制微积分框架，通过谱局部化乘积的衰减估计和特征值聚类论证，应用于动态Φ_4^3和KPZ方程的周期均匀化，证明解与通量的收敛。
2025-08-07 math.AP math.PR
Stochastic partial differential equations arising in self-organized criticality
本文研究了弱驱动的张和Bak-Tang-Wiesenfeld（BTW）模型的自组织临界性的标度极限。我们证明了弱驱动的张模型收敛于一个具有奇异退化扩散的随机偏微分方程。此外，确定性BTW模型收敛到一个奇异退化的PDE。另外，标度极限的证明可以理解为奇异退化随机偏微分方程有限差分离散化的收敛性证明。这扩展了最近的工作（确定性）拟线性扩散方程的有限差分近似的不连续扩散系数和随机偏微分方程。此外，我们进行数值模拟，说明所考虑的模型和收敛到随机偏微分方程的空间维度$d=1,2$的关键功能。
2022-12-19 cs.NA math.AP math.NA
Sharp regularity estimates for a singular inhomogeneous (m, p)-Laplacian equation
本文针对一类双重非线性发展偏微分方程，结合几何切向方法与内蕴尺度技术建立解在Hölder空间的精确正则性，统一处理三类扩散情形推广经典结果，并给出相关非线性模型的应用。
2023-05-04 math.AP
Jumps and cusps: a new revival effect in local dispersive PDEs
本文研究Airy方程与错位Laplacian Schrödinger方程的Dirichlet边值问题，证明初始跳跃间断会在适当时刻复兴为跳跃间断与对数尖点奇点，并阐明其成因。
2024-03-02 math.AP
Symmetry and monotonicity of singular solutions of double phase problems
我们考虑由双相泛函引起的偏微分方程的正奇异解。利用一个相当新的版本的移动平面方法最初开发的Sciunzi，我们证明了这种解决方案的对称性和单调性。
2020-10-09 math.AP
Non-local PDEs with a state-dependent delay term presented by Stieltjes integral
研究了具有状态依赖时滞的抛物型偏微分方程.由Stieltjes积分表示的延迟项同时包含离散和分布SDD。奇异的勒贝格-斯蒂尔切斯测度也是可容许的。给出了相应的初值问题适定的条件。证明了紧全局吸引子的存在性。
2010-03-18 math.AP math.DS
Singularities of a characteristic Cauchy problem for a PDE with singular coefficients
本文给出了一类具有奇异系数的偏微分方程的特征柯西问题解的显式表示。我们给出了用高斯超几何函数表示的显式解，这使我们能够研究奇异性和解析延拓。我们的结果通过一些例子来说明。
2019-09-25 math.AP
Renormalisation of parabolic stochastic PDEs
我们给出了一个调查的最新结果，从统计力学的系统的标度极限，以及在所谓的交叉制度，这样的系统的行为的普遍性。它透露，这些泛对象的描述奇异随机偏微分方程。然后，我们给出了一个调查最近开发的理论的规律性结构，允许建立这些对象，并描述它们的一些属性。我们特别强调的重正化过程中需要赋予这些方程的意义。以下是2017年11月4日在东京大学举行的第20次高木讲座的扩展笔记。
2018-03-08 math-ph math.AP math.MP
Renormalized reduced models for singular PDEs
University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文提出一种结合重整化理论与Mori-Zwanzig形式的新方法，通过强制原始系统与简化模型解的积分量相等来在线估计系数，构建高阶稳定的简化模型，并应用于奇异偏微分方程的傅里叶展开系统。
2011-11-18 cs.NA math.AP math.NA
Symmetry of intrinsically singular solutions of double phase problems
我们继续研究了由双相泛函引起的偏微分方程的正奇异解。特别是，我们考虑的情况下，$p<q < 2$，我们放松的假设上的能力的奇异集使用的内在概念的能力。
2022-04-19 math.AP
Non Linear Singular Drifts and Fractional Operators
我们考虑了由非线性奇异一阶项漂移的分数型算子的抛物型偏微分方程。当漂移在适当的Lebesgue和Besov空间中具有一定的有界性时，我们利用先验的Besov型估计建立了解的H{<$}lder连续性.特别是，我们处理几乎临界的情况下，在整个一般性。
2022-06-15 math.AP
A crypto-regularity result for the micropolar fluids equations
在偏微分方程的分析中，正则性通常用Sobolev、H{<$}lder、Besov或Lipschitz空间等来度量，然而，有时正则性的增益也可以用勒贝格空间来表示，通过从奇异设置传递到较不奇异的设置。在本文中，我们将获得微极流体方程的弱解的可积性的一般框架Morrey空间，这是一个非常有用的语言来研究的正则性偏微分方程。有趣的是，微极流体方程的两个变量可以分开研究。
2022-06-01 math.AP
On complex algebraic singularities of some genuinely nonlinear PDEs
本文研究一大类真正非线性 PDE 解的复代数奇性，分析无粘 Burgers 方程并提出相关猜想，借助映射 F 的不动点算法与数值试验支持解的唯一性。
2024-03-01 cs.NA math.AP math.CV
Symmetry and monotonicity of singular solutions to $p$-Laplacian systems involving a first order term
考虑了一类由$p$ -Laplacian算子驱动的偏微分方程组的正奇异解（即具有不可可去奇点），并考虑了一阶非线性项的存在.通过仔细使用一个相当新的版本的移动平面方法，我们证明了对称的解决方案。结果在标量情况下已经是新的。
2022-03-30 math.AP
Volume estimates on the critical sets of solutions to elliptic PDEs
本文研究了椭圆型线性方程组$L(u)=\partial_i(a^{ij}(x)\partial_j u) + b^i(x) \partial_i u + c(x) u=0$的解，无论是在$R^n$上还是在黎曼流形上，在系数$a^{ij}$为Lipschitz控制的假设下.我们把我们的注意力集中在关键集$Cr(u)\equiv\{x:|\nabla u|=0\}$和奇异集$S(u)\equiv\{x:u=|\nabla u|=0\}$，更重要的是对这些有效的版本。目前，在我们假设的系数控制下，文献中最强的结果说奇异集是n-2维的，然而在这一点上，它甚至没有被证明$H^{n-2}(S)<\infty$，除非系数是光滑的。基本上，这是由于需要$ε$ -正则性定理，该定理随着频率的增加需要更高的系数控制。我们引入新的技术来估计的临界和奇异集，这避免了需要任何这样的$ε$ -正则性。因此，我们证明，如果u的频率是有界的$Λ$，那么我们有估计$H^{n-2}(C(u))\leq C^{Λ^2}$，$H^{n-2}(S(u))\leq C^{Λ^2}$，这取决于方程是否是关键的。更重要的是，我们证明了相应的估计{ \it有效}的临界集和奇异集。即使在解析系数的假设下，这些结果也比目前文献中的结果尖锐得多。我们也给出了应用程序的技术的节点集的解决方案，并给出相应的特征值问题的估计。
2016-09-13 math.AP math.DG
Derivation of normal forms for dispersive PDEs via arborification
本文提出利用装饰树和树形化映射系统推导色散方程规范型，揭示了 Hopf 代数在色散方程中的自然出现及其对关键分解的指导作用。
2024-10-12 cs.NA math.AP math.NA
Mean field limit of interacting filaments and vector valued non linear PDEs
家庭的$N$相互作用曲线被认为是长程，平均场型，相互作用。一系列曲线定义了一个1-电流，集中在曲线上，模拟了相互作用点粒子的经验测量。证明了当$N$趋于无穷大时，该电流收敛于平均场电流，即非线性向量值偏微分方程的解。在极限情况下，每条曲线都与平均场电流相互作用，如果两条不同的曲线在零时刻独立，则它们具有独立性。这种设置的灵感来自于湍流流体中的涡丝，尽管由于技术原因，我们必须限制到光滑的相互作用，而不是奇异的Biot-Savart内核。所有这些结果都是基于对1-电流的非线性流动方程的仔细分析，它与向量值PDE的关系以及对初始条件的连续依赖性。
2016-02-01 math.AP
Non-linear parabolic PDEs with rough coefficients and critical data: existence, uniqueness and regularity of weak solutions
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；ANU – CNRS International Research Laboratory（澳国立-法国国家科学研究中心国际研究实验室）
本文研究了由粗糙系数驱动的非线性抛物型PDEs在临界齐次Bessel空间中弱解的适定性，展示了理论在粗糙反应-扩散方程中的应用，同时引入了新的超合同奇异积分算子理论和超线性反Hölder不等式的自改进性质。
2026-04-30 math.AP math.CA math.FA
