Reflected BSDEs and continuous solutions of parabolic obstacle problem for semilinear PDEs in divergence form
考虑带障碍物的散度型半线性抛物型方程的Cauchy问题。我们表明，在自然条件下的右手边的方程和温和的条件下的障碍，一个唯一的连续的解决方案的问题承认一个随机表示的反射向后随机微分方程。我们还得到了解的一些正则性，并证明了一些有用的逼近结果。
2009-12-11 math.AP math.PR
Strong-viscosity Solutions: Semilinear Parabolic PDEs and Path-dependent PDEs
本工作的目的是引进一种粘性类型的解决方案，称为强黏性解，以区别于经典的，具有以下特点：它是一个纯粹的分析对象，它可以很容易地适应更一般方程比经典的偏微分方程。首先，我们引入半线性抛物型偏微分方程的强粘性解的概念，将其定义为扰动半线性抛物型偏微分方程经典解的逐点极限，并将其与标准的黏性解定义进行比较。然后，我们将强粘性解的概念推广到半线性抛物型路径依赖偏微分方程的情形，得到了强粘性解的存在唯一性结果。
2019-03-15 math.PR
Uniqueness of gauge covariant renormalisation of stochastic 3D Yang-Mills-Higgs
SISSA（的里雅斯特国际高等研究学院）；University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文证明了三维随机量化方程中杨-米尔斯-希格斯场的重整化唯一性，强化了前人结果并为其他近似方法如晶格动力学提供理论支持。
2026-01-21 math-ph math.AP math.MP
Homogenization of semilinear parabolic PDEs with the third boundary conditions
该研究聚焦弱意义下具快速振荡周期系数的半线性抛物型偏微分方程第三边值问题的均匀化，采用完全概率方法，基于已有工作并借助带奇异系数的倒向随机微分方程开展研究。
2024-06-22 math.PR
Some Parabolic Pdes Whose Drift is an Irregular Random Noise in Space
考虑一类新的随机抛物型偏微分方程，其中随机项由不规则噪声漂移组成，不一定是高斯的，并给出了相应的解释.在冻结漂移（随机过程）的实现之后，我们研究了相关的抛物型方程的存在唯一性（在某种适当的意义上），并研究了概率解释。
2007-12-04 math.PR
Zero-sum Switching Game, Systems of Reflected Backward SDEs and Parabolic PDEs with bilateral interconnected obstacles
本文研究了具有双向障碍物的反射倒向随机微分方程（简称RBSDEs）系统和具有双向障碍物的抛物型偏微分方程（简称PDEs）系统的零和切换博弈及其验证定理。我们证明了每个系统都有唯一的解。然后我们证明这个博弈有一个值。
2020-06-29 math.PR
Mild and viscosity solutions to semilinear parabolic path-dependent PDEs
研究并比较了半线性抛物型路径依赖偏微分方程弱解的两个概念。第一种是温和的解决方案，如，在历史超过程的对数拉普拉斯泛函中本文的目的是表明，温和的解决方案也是解决方案的粘度感。这一结果是由于温和解可以为随机最优控制问题提供价值函数和最优策略。由于在较弱的条件下存在唯一的温和解，作为推论，我们得到了半线性抛物型PPDE的黏性解的一般存在性结果。
2018-11-14 math.AP math.OC math.PR
Probabilistic approach to singular perturbations of viscosity solutions to nonlinear parabolic PDEs
本文证明了一类具有遍历结构的完全非线性抛物型偏微分方程的奇异扰动问题的一个收敛定理。极限函数表示为完全非线性退化偏微分方程的黏性解。我们的方法主要是基于G-随机分析的论点。作为副产品，我们还建立了两个时标的G-布朗运动驱动的随机微分方程的平均原理。所得结果将Khasminskii平均原理推广到非线性情形。
2021-07-16 math.PR
Mild Solutions for Path-Dependent Parabolic PDEs with Neumann Boundary Conditions via Generalized BSDEs
University of Verona（维罗纳大学）；Alexandru Ioan Cuza University（亚历山德鲁·约安·库扎大学）
本文通过广义BSDEs研究了具有Neumann边界条件的路径依赖抛物型PDE的温和解，建立了FBSDE系统与PDE之间的联系。
2026-01-22 math.PR
On nonlinear Feynman-Kac formulas for viscosity solutions of semilinear parabolic partial differential equations
经典的Feynman-Kac恒等式通过为线性Kolmogorov偏微分方程的经典解提供随机表示，在随机分析和偏微分方程之间架起了一座桥梁.这为基于抽样的蒙特卡罗近似方法的推导打开了大门，该方法可以是无网格的，从而有机会近似解偏微分方程而不受维数灾难的影响。本文将经典的Feynman-Kac公式推广到一类半线性Kolmogorov偏微分方程。更具体地说，我们确定合适的解决方案的随机不动点方程（SFPEs），这产生时，经典的Feynman-Kac身份正式应用于半线性Kolmorogov偏微分方程，作为相应的偏微分方程的黏性解。这证明，特别是，采用全历史递归多级皮卡德（MLP）近似算法，最近已被证明克服维数灾难的解决方案的SFPE的数值逼近，在半线性Kolmogorov偏微分方程的数值逼近。
2020-04-16 math.AP math.PR
Monotone Schemes for Fully Nonlinear Parabolic Path Dependent PDEs
University of Southern California（南加州大学）
本文扩展了Barles和Souganidis的开创性工作到路径依赖情况，基于路径依赖PDE的粘性理论，证明了单调方案收敛于唯一粘性解，并提出一个例子，且在解足够光滑时获得收敛速率。
2014-02-17 cs.NA math.AP math.NA
Strong invariance and noise-comparison principles for some parabolic stochastic PDEs
我们考虑整数格点上的相互作用扩散系统。通过让网格步长为零，并通过使用一个适当的缩放，我们表明，该系统收敛（在很强的意义上）的随机热方程的解决方案的实数线。作为结果，我们得到了具有不同非线性项的随机热方程的乘积矩的比较不等式。
2014-04-28 math.PR
High-frequency analysis of parabolic stochastic PDEs
研究了一类二阶抛物型随机偏微分方程的随机波动率估计问题。假设在高的时间频率下观察到的解决方案，我们使用极限定理的多功率变化和相关的泛函构造一致的非参数估计和渐近置信界的综合波动率过程。作为我们的分析的副产品，我们还获得了可行的估计的空间协方差函数的噪声的规律性。
2019-03-25 math.PR math.ST stat.ME
Stochastic switching in infinite dimensions with applications to random parabolic PDEs
我们考虑随机切换边界条件的抛物型偏微分方程。为了分析这些随机偏微分方程，我们考虑更一般的随机混合系统，并证明收敛到一个平稳分布，和性质。将这些一般结果应用于具有随机切换边界条件的热方程，得到了解的各种统计量的显式表达式，并得到关于其正则性和结构的几乎必然结果.这些结果是特别感兴趣的生物应用程序，以及他们的显着偏离的行为所看到的偏微分方程被迫不同的高斯噪声。我们的一般结果也有应用到其他类型的随机混合系统，如常微分方程的随机切换的右手边。
2016-08-20 math.DS math.PR
An averaging principle for nonlinear parabolic PDEs via reflected FBSDEs driven by G-Brownian motion
本文研究由 G-Brownian motion 驱动的带反射的前向-后向随机微分方程的平均问题，利用非线性随机技巧和粘性解方法，证明了解的极限分布是完全非线性抛物型 PDEs 障碍问题的唯一粘性解。
2025-03-02 math.PR
Coupled FBSDEs with Measurable Coefficients and its Application to Parabolic PDEs
利用纯概率的方法，证明了一类系数可测且可能不连续的耦合正倒向随机微分方程（FBSDEs）系统解的存在唯一性.作为推论，我们得到了半线性抛物型偏微分方程$$ \begin{aligned} &\mathcal{L} u(t,x)+F(t,x,u,\partial_x u)=0;\qquad u(T,x)=h(x)\\ &\mathcal{L}:=\partial_t+\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^m(σσ^\intercal)_{ij}(t,x)\partial^2_{x_ix_j} \end{aligned} $$在二阶线性抛物型算子$\mathcal{L}$的自然区域上的适定性.我们允许$F$和$h$相对于$x$是不连续的。最后，我们将结果应用于流行病的最优决策和碳排放金融衍生品的定价。
2021-10-09 math.PR
Deep splitting method for parabolic PDEs
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Münster（明斯特大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
在本文中，我们介绍了一种结合算子分裂和深度学习的非线性抛物型偏微分方程的数值方法。它将偏微分方程近似问题分解为一系列独立的学习问题。由于每个子问题的计算图相对较小，该方法可以处理极高维的偏微分方程。我们从物理，随机控制和数学金融不同的例子测试的方法。在所有情况下，它都能在最多10，000个维度上以较短的运行时间产生非常好的结果。
2021-06-21 cs.LG cs.NA math.NA
On the regularity of solutions of some linear parabolic path-dependent PDEs
该研究针对定义在右连左极路径空间、系数含积分项的线性抛物型路径依赖偏微分方程，借助Dupire导数在相关条件下证明了光滑解的存在性，推广了现有结论并补充了相关工作，还得到一类路径依赖SDE弱解的存在唯一性。
2023-10-06 math.AP math.PR
Viscosity Solutions of Fully Nonlinear Parabolic Path Dependent PDEs: Part I
本文的主要目的和附带的一个\cite{ETZ2}是提供一个概念的黏性解的完全非线性抛物型路径依赖偏微分方程。我们的定义扩展了我们以前的工作\cite{EKTZ}，专注于半线性的情况下，是至关重要的基础上的非线性最优停止问题分析\cite{ETZ0}。我们证明了我们的黏性解概念与相应的经典解概念是一致的，并且满足一个稳定性性质和一个部分比较结果.后者是在\cite{ETZ2}中建立适定性结果的关键步骤。我们还证明了路径依赖随机控制问题的值过程是相应的路径依赖动态规划方程的黏性解。
2014-09-12 math.PR
A weighted Sobolev space theory of parabolic stochastic PDEs on non-smooth domains
本文研究了定义在任意有界区域$\cO \subset \bR^d$上的抛物型随机偏微分方程满足Hardy不等式：$$ \int_{\cO}|ρ^{-1}g|^2\,dx\leq C\int_{\cO}|g_x|^2 dx, \quad \forall g\in C^{\infty}_0(\cO), $$其中$ρ(x)=\text{dist}(x,\partial \cO)$ .在加权Sobolev空间$\frH^γ_{p,θ}(\cO,T)$中给出解的存在唯一性结果，其中$p\in [2,\infty)$，$γ\in \bR$是解的导数个数，$θ$控制解的边界表现.此外，还得到了解的几个Hölder估计。允许方程的系数在边界附近爆炸。
2011-09-22 math.PR
Convergence analysis of explicit stabilized integrators for parabolic semilinear stochastic PDEs
显式稳定积分器是隐式或半隐式方法的有效替代方案，以避免标准显式积分器应用于刚性扩散问题所面临的严格时间步长限制。本文给出了一类抛物型半线性确定性和随机偏微分方程的一族显式稳定化方法与有限元法耦合的全离散强收敛性分析。数值实验包括半线性随机热方程时空白噪声证实了理论研究结果。
2022-12-13 cs.NA math.NA math.PR
Average principles for forward-backward multivalued stochastic systems and homogenization for systems of nonlinear parabolic PDEs
本文针对前向-后向多值随机系统，在L^2p和L^2意义下分别证明了一般随机微分方程和后向随机变分不等式的平均原理，并应用于非线性抛物型偏微分方程的均匀化。
2023-11-12 math.PR
Solving high-dimensional parabolic PDEs using the tensor train format
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；BTU Cottbus-Senftenberg（科特布斯-森夫滕贝格勃兰登堡工业大学）；dida Datenschmiede GmbH（dida数据锻造有限公司）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；Universität Potsdam（波茨坦大学）
高维偏微分方程在经济、科学和工程中普遍存在。然而，他们的数值处理带来了巨大的挑战，因为传统的基于网格的方法往往会受到维数灾难。在本文中，我们认为，张量列车提供了一个有吸引力的近似框架抛物偏微分方程：在向后随机微分方程和回归类型的方法在张量格式的重组相结合的承诺，利用潜在的低秩结构，使压缩和有效的计算。按照这种模式，我们开发新的迭代方案，涉及显式和快速或隐式和准确的更新。我们证明了在一些例子中，我们的方法实现了良好的平衡与国家的最先进的神经网络为基础的方法相比，准确性和计算效率。
2021-07-17 cs.LG cs.NA math.NA
Viscosity solutions of fully nonlinear parabolic path dependent PDEs: Part II
在我们之前的论文[Ekren，Touzi and Zhang（2015）]中，我们引入了完全非线性路径相关偏微分方程的黏性解概念，扩展了Ekren等人的半线性情况。[Ann. Probab. 42（2014）204-236]，其满足标准Lipshitz型假设下的部分比较结果。本文的主要结果是在一个附加的假设下，给出了一个完整的适定性结果，即进一步假设这种路径冻结的标准偏微分方程满足比较原理和Perron方法，证明了非线性路径依赖偏微分方程存在唯一的黏性解.比较结果暗示了唯一性。
2016-09-27 math.PR
A Probabilistic Scheme for Fully Nonlinear Nonlocal Parabolic PDEs with singular Lévy measures
Ecole Polytechnique（巴黎综合理工学院）
提出一种蒙特卡洛格式求解完全非线性非局部抛物型偏微分方程，通过截断无限Lévy测度避免困难，并证明格式收敛性及凹（凸）非线性情形的收敛速率。
2012-11-02 cs.NA math.NA math.PR
Multilevel Picard algorithm for general semilinear parabolic PDEs with gradient-dependent nonlinearities
针对系数非常数且非线性依赖梯度的一般半线性抛物型 PDE，提出多层 Picard 逼近算法，并借助 SFPE 证明解与梯度的表示、收敛性及复杂度，辅以 300 维数值验证。
2025-02-18 cs.NA math.AP math.NA
$C^{ 0,1}$ -It{ô} chain rules and generalized solutions of parabolic PDEs
本文研究有限二次变差过程与连续半鞅的 Itô 链式法则，结合 Fukushima-Dirichlet 分解，为抛物型 PDE 的拟强解给出显式广义链式法则。
2025-05-12 math.PR
Power variations in fractional Sobolev spaces for a class of parabolic stochastic PDEs
考虑一类包含随机热方程的有界区域$D\subseteq\mathbb{R}^d$上的抛物型随机偏微分方程，但其幂函数为拉普拉斯算子的分数阶$γ$.将解看作是分数索伯列夫空间$H_r$尺度上的一个过程，利用$r < γ- d/2$，我们研究了它在$H_r$中沿时间轴规则分区的幂次变化.当网格尺寸趋于零时，我们发现在$r=-d/2$处有一个相变：当$r<-d/2$时，解有一个非平凡的二次变分，当$r>-d/2$时，解有一个非平凡的$p$阶变分。更一般地，任何阶的适当归一化的幂变化在第一种情况下满足真正的大数定律，在第二种情况下满足退化极限定理。当$r<-d/2$时，二次变分通过涉及谱zeta函数的表达式显式给出，当$d=1$和$D$为区间时，谱zeta函数可简化为黎曼zeta函数。
2020-06-29 math.PR
Parabolic stochastic PDEs on bounded domains with rough initial conditions: moment and correlation bounds
本文研究了有界Lipschiz区域上由Gaussian噪声驱动的非线性抛物型随机偏微分方程，在测度值初始数据下建立了解的存在性、唯一性、矩界与两点相关函数的显式上下界，并证明了解在特定噪声水平下的完全间歇性。
2023-08-04 math.PR
Full error analysis of the random deep splitting method for nonlinear parabolic PDEs and PIDEs
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）
本文提出采用随机神经网络的随机深度分裂方法，用于高维非线性抛物型 PDE 与带跳 PIDE，证明其收敛至唯一黏性解，并通过金融定价算例展示万维问题的秒级求解能力。
2025-01-05 cs.LG cs.NA math.NA
High-frequency analysis of parabolic stochastic PDEs with multiplicative noise
本文针对乘性噪声驱动的随机热方程，在空间相关函数为 Riesz 核时，证明了幂变差等泛函的中心极限定理，并发现无渐近偏差，归因于误差项的抵消效应。
2024-11-09 math.PR math.ST stat.TH
Discretisations of rough stochastic PDEs
University of Warwick（华威大学）；University of Toronto（多伦多大学）
本文提出了一种通用框架，用于对具有正则结构理论解的抛物型随机偏微分方程进行空间离散化，并展示了二进制网格上的动态Φ^4_3模型在重整化后收敛于其连续形式。
2017-07-24 cs.NA math.AP math.NA
A macroscopic multifractal analysis of parabolic stochastic PDEs
一般认为，具有乘性噪声的随机偏微分方程（如$\dot{u}=\frac12 u"+uξ$，其中$ξ$表示时空白噪声）的解通常会产生“宏观多重分形”的异常大的峰值。例如，参见Giovanni和Doering（2005）、Giovanni和Titi（2005）以及Zimmermann等人（2000）。几年前，我们证明了上述随机偏微分方程解的空间峰确实形成了Barlow和Taylor（1989; 1992）宏观意义下的随机多重分形。本文的主要结果是证明了一个严格的公式的断言，即时空峰值的解决方案形成无限-许多不同的多重分形在无限-许多不同的尺度，我们有时称为“拉伸因子。“一个更简单的，虽然仍然复杂，这样的结构也存在于所述随机PDE的常数系数版本。
2017-05-17 math.PR
From continuous-time formulations to discretization schemes: tensor trains and robust regression for BSDEs and parabolic PDEs
Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；dida Datenschmiede GmbH（dida Datenschmiede 有限公司）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
针对高维抛物型PDEs的数值逼近难题，本文基于连续时间视角提出结合张量列车与回归型方法的迭代方案，利用低秩结构在精度与计算效率间实现有利权衡。
2023-07-28 cs.LG cs.NA math.NA
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear parabolic partial differential equations
长期以来，人们都知道用蒙特卡罗方法可以近似求解高维线性抛物型偏微分方程，其计算量在维数和精度的倒数上都呈多项式增长。换句话说，线性偏微分方程不受维数灾难的影响。然而，对于一般的半线性偏微分方程的Lipschitz系数，它仍然是一个悬而未决的问题，这些是否遭受灾难的维数。在本文中，我们部分解决这个开放的问题。更确切地说，我们证明在半线性热方程的情况下，梯度独立和全球Lipschitz连续非线性，最近推出的多层次皮卡德近似的一个变体的计算工作量增长多项式的尺寸和所需的精度的倒数。
2020-06-24 cs.NA math.AP math.NA
A learning scheme by sparse grids and Picard approximations for semilinear parabolic PDEs
基于倒向随机微分方程（BSDEs）与非线性抛物型偏微分方程（PDEs）之间的经典联系，提出了一种求解高维半线性抛物型偏微分方程的新的概率学习方法.该方案受到来自机器学习的方法的启发，并使用Han等人的深度神经网络开发[32]。我们的算法是基于皮卡德迭代计划，其中一系列的线性二次优化问题是通过随机梯度下降（SGD）算法解决。在近似空间的线性规范的框架下，我们设法证明了我们的计划的收敛结果，在一定的小条件。在实践中，为了能够处理高维的例子，我们采用稀疏网格近似空间。在周期系数和使用预小波基函数的情况下，我们得到了我们的方法的全局复杂性的上界。它特别表明，灾难的维数是驯服的意义上，为了实现一个均方根误差的顺序$ε$，对于一个规定的精度$ε$，皮卡德算法的复杂性多项式增长$ε^{-1}$到一些对数因子$ |log(ε)| $，它线性增长的PDE尺寸。给出了各种数值结果来验证我们的方法的性能，并将其与Han等人[20]和Huré等人[37]中提出的一些最近的机器学习方案进行比较。
2021-02-24 cs.NA math.NA math.PR
Pointwise explicit estimates for derivatives of solutions to linear parabolic PDEs with Neumann boundary conditions
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）
本文通过概率方法推导了具有Neumann边界条件的线性抛物型PDE解的导数显式点界，并应用于最优控制中的验证定理。
2025-12-24 math.PR
Intermittency and multifractality: A case study via parabolic stochastic PDEs
令$ξ$表示时空白噪声，并考虑以下随机偏微分方程：（i）$\dot{u}=\frac{1}{2} u" + uξ$，相同地从1开始;和（ii）$\dot{Z}=\frac12 Z" + ξ$，相同地从0开始。众所周知，（i）的解决方案是间歇性的，而（ii）的解决方案则不是。这两个方程属于不同的普适类。我们证明了这两个系统的高峰是在一个自然的大尺度意义上的多重分形。这项工作的一些扩展也建立多重分形行为的随机偏微分方程的峰值$\mathbf{R}_+\times\mathbf{R}^d$与$d\ge 2$。G.劳勒问我们，不连续性是否等同于多重分形。本文对这一问题给出了否定的回答。作为我们的方法的副产品，我们还证明了布朗运动的峰形成一个大规模的单分形，而$\mathbf{R}$上的Ornstein-Uhlenbeck过程的峰是多重分形。在整个过程中，我们广泛使用的宏观分形理论的M. T。Barlow和S. J. Taylor（1989，1992）。我们还扩展了巴洛-泰勒理论的各个方面。
2015-03-20 math.PR
A Probabilistic Numerical Method for Fully Nonlinear Parabolic PDEs
Ecole Polytechnique Paris（巴黎综合理工学院）；EDF R&D & FiME, Finance des Marchés de l’Energie Laboratory（法国电力研发部与金融市场能源金融实验室）
提出并分析一种结合蒙特卡洛和有限差分的概率数值方法，用于求解完全非线性抛物型PDE，证明离散化误差和蒙特卡洛误差的收敛性，并通过平均曲率流和Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数值实验验证。
2010-08-25 cs.NA math.NA math.PR
