Minimum-Cost Flows Over Time
Miriam Schlöter, Robert Weismantel
在本文中，我们证明了每个最大最小费用流随时间的问题有一个最优解的重复结构，如果给定的时间范围是足够大的。
In this paper we show that every maximum minimum-cost flow over time problem has an optimal solution with a repeated structure if the given time horizon is large enough.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Approximating Constrained Minimum Cost Input-Output Selection for Generic Arbitrary Pole Placement in Structured Systems
本文研究一般任意极点配置的最小费用约束输入输出选择问题。输入-输出集合在每个输入可以影响的状态集合和每个输出可以感测的状态集合是预先指定的意义上是受约束的。我们的目标是最优地选择一个输入输出集，系统没有结构上的固定模。多项式算法不存在解决这个问题，除非P=NP。为此，我们提出了一个近似算法，将问题分解为三个子问题：a）最小成本可达性问题，b）最小成本灵敏度问题和c）最小成本不相交循环问题。我们证明了问题a）和b）等价于一个适当定义的加权集合覆盖问题。我们还证明了问题c）等价于最小代价完美匹配问题。在此基础上，给出了求解最小费用一般任意极点配置问题的近似算法。所提出的算法结合了一个近似算法来解决加权集覆盖问题，以解决a）和b）和最小成本完美匹配算法来解决c）。此外，我们证明了该算法是多项式时间的，并给出了一个顺序最优解的最小成本的输入输出选择一般的任意极点配置问题。
On the Complexity and Approximability of Budget-Constrained Minimum Cost Flows
本文研究了带约束的最小费用流问题的复杂性和可逼近性，该问题是传统最小费用流问题的一种扩展，通过引入与每条边相关的第二类费用，其在可行流中的总价值受到给定预算B的约束.这个问题可以，例如，可看作是ε-约束方法在双准则最小费用流问题中的应用。我们证明了我们可以在弱多项式时间$O(\log M \cdot MCF(m,n,C,U))$内精确地求解该问题，其中C，U和M分别是输入中出现的任意数的最大绝对费用、最大容量和最大绝对值的上界，MCF（m，n，C，U）表示寻找传统最小费用流的复杂性.此外，我们提出了两个完全多项式时间的近似计划的问题一般图和一个改进的运行时间的问题的无圈图。
Robust Minimum Cost Flow Problem Under Consistent Flow Constraints
一致流约束下的鲁棒最小费用流问题（RobMCF $\equiv$）是最小费用流（MCF）问题的一个新的推广.在RobMCF $\equiv$问题中，我们考虑了受不确定性影响的需求和供给。然而，对于所有需求实现，如果弧包含在给定的预定弧集合中，则我们要求弧上的流值需要相等。其目标是找到可行的流，满足相同的流量要求，同时最大限度地减少所有的需求实现之间的最大发生成本。在一个离散集的情况下，我们推导出结构的结果，指出与多项式时间可解的MCF问题的网络积分容量的差异。特别是，积分流定理Dantzig和Fulkerson不成立。为此，我们要求在整个文件中的积分流。通过对$(3,B2)$ -Sat问题的简化，证明了RobMCF $\equiv$问题在无圈有向图上是强$\mathcal{NP}$ -困难的.此外，我们证明了RobMCF $\equiv$问题是弱$\mathcal{NP}$ -硬的串-并行有向图，通过提供减少从分区和伪多项式算法的基础上动态规划。最后，我们提出了一个特殊的情况下，串并行有向图，我们可以解决的RobMCF $\equiv$问题在多项式时间。
A Cost-Scaling Algorithm for Minimum-Cost Node-Capacitated Multiflow Problem
在本文中，我们解决了无向网络中的最小费用节点容量限制的多流问题。对于这个问题，Babenko和Karzanov（2012）通过椭球方法证明了强多项式时间可解性。我们的结果是第一个组合弱多项式时间算法这个问题。我们的算法在$O(m \log(nCD)\mathrm{SF}(kn, m, k))$时间内找到一个半整数最小费用最大多流，其中$n$是节点数，$m$是边数，$k$是终端数，$C$是最大节点容量，$D$是最大边费用，而$\mathrm{SF}(n', m', η)$是在$n'$节点，$m'$边，以及具有$η$ -时间可计算交换容量的子模函数。我们的算法是建立在图结构的离散凸分析和可约双子模流的概念。
A Network Simplex Method for the Budget-Constrained Minimum Cost Flow Problem
本文提出了一种求解有限约束最小费用流问题的网络单纯形算法，该算法是传统最小费用流问题的一种扩展，通过引入与每条边相关的第二类费用，使其在可行流中的总价值受到给定预算B的约束.我们提出了一个完全组合的算法，是基于一个新的合并的两种积分节点的潜力和三种降低成本的描述。我们证明了最优性准则，并结合两种方法，通常用于避免循环在传统的网络单纯形算法到新的技术，适用于我们的问题。有了这些技术和我们的定义，降低成本，我们能够证明一个伪多项式的运行时间的整个过程中，这可以进一步改善，结合Dantzig的旋转规则。此外，我们提出的计算结果，比较我们的程序与Guesthouse。
A Solution Procedure for Minimum Convex-Cost Network Flow Problems
提出了一种求解最小凸费用网络流问题的启发式算法。该算法是基于求解最小费用网络流问题的网络单纯形法（NSM）、Zangwill的凸单纯形法（CSM）、凸单纯形法的分解和非线性变换问题的概念而构造的。
Cost-Flow Summation Algorithm Based on Table Form to Solve Minimum Cost-Flow Problem
由于最小费用流问题在应用科学和现实生活中的广泛应用，近年来已成为最优化领域的研究热点。因此，寻找这些问题的最优解具有重要意义。虽然已经提出了一些启发式的方法来解决这个问题，但还没有任何方法来总结信息和转换从一个图形形式到一个表格。本文首先将问题的所有信息汇总在一个表格中，然后提出了一个基于费用和流量的有效算法。该算法对大规模问题是强有效的，通过求解我们生成的一些问题，它具有足够合适的结果。
Modeling Minimum Cost Network Flows With Port-Hamiltonian Systems
我们给出了一个简短的概述的优点和缺点的经典制定的最小费用网络流问题和解决方案的技术，激励经典的静态最小费用网络流问题的最优控制问题的端口-哈密顿系统（pHS）的约束。形式化地导出了端口哈密顿系统约束最优控制问题的一阶最优性系统。然后，我们提出了一个基于梯度的算法来寻找最优控制。端口-哈密顿系统公式自然地保存流量，并支持广泛的进一步建模选项，例如节点水库、流量相关成本、泄漏管道（耗散）和耦合子网络（端口）。因此，他们提供了一个通用的替代国家的最先进的方法对动态网络流的问题，这往往是基于计算成本高的时间扩展的网络。我们认为，这为网络流问题的建模选项和解决方案打开了大门。
A Deterministic Almost-Linear Time Algorithm for Minimum-Cost Flow
本文提出确定性 $m^{1+o(1)}$ 时间精确最大流与最小费用流算法，借助确定性动态图、顶点/边稀疏化和动态生成器实现近线性时间突破。
On the Minimum Pair Approach for Average-Cost Markov Decision Processes with Countable Discrete Action Spaces and Strictly Unbounded Costs
我们考虑平均成本马尔可夫决策过程（MDPs）与Borel状态空间，可数，离散的行动空间，严格无界的一阶段成本。对于最小对的方法，我们引入了一个新的优化条件的状态转移随机核，在MDP模型上通常需要的连续性条件的地方。我们将这个优控制条件与Lusin定理相结合，证明了一个稳定的最小值对的存在性，即，一个平稳策略与不变的概率测度配对诱导的状态空间，与属性，该对达到最小的长期平均成本在所有的政策和初始分布。我们还建立了平稳最小值对的其他最优性性质，并且对于这样的对中的平稳策略，在额外的递归或正则性条件下，我们证明了它的路径最优性和强最优性。我们的结果可以应用到一类可数行动空间MDP的动态和一阶段的成本是不连续的状态变量。
On seeking efficient Pareto optimal points in multi-player minimum cost flow problems with application to transportation systems
在本文中，我们提出了一个多人扩展的最小费用流问题的启发运输问题，在现代运输业。我们将一个玩家与有向网络的每个弧相关联，每个玩家都试图在网络流约束下最小化其费用函数。在我们的模型中，费用函数可以是任何一般的非线性函数，通过每个弧的流量是一个整数。我们提出的算法来计算有效的帕累托最优点（S），其中的最大可能数量的球员（但不是所有）同时最小化他们的费用函数。如果将问题转化为一个规范形式的有限静态正规型对策，则计算得到的Pareto最优点是Nash均衡。
Selective Strong Structural Minimum Cost Resilient Co-Design for Regular Descriptor Linear Systems
研究了正则广义系统在保证选择性强结构系统性能的前提下，最小代价弹性驱动-感知-通信协同设计问题。更具体地说，该问题包括确定驱动和传感技术的最小成本部署，以及这些之间的通信，使得分散控制方法对于满足预先指定的选择性结构的常规描述符系统的任意实现是可行的，即，某些条目可以是零、非零或零/非零。为了实现这一目标，我们依赖于强结构系统理论，并将其扩展到应对选择性结构，铸造弹性/鲁棒性和系统模型的不确定性。在这样的框架下，我们引入了选择性强结构固定模的概念作为分散控制律可行性的表征。此外，我们提供了充要条件，这个属性举行，并显示如何利用这些条件，以确定最低成本的弹性放置的致动传感通信技术，确保可行解。特别是，我们研究了最低成本的弹性驱动和传感位置，在此基础上，我们构建了我们的问题的解决方案。最后，通过一个电网算例说明了本文主要结果的适用性。
Minimum Cost Input/Output Design for Large Scale Linear Structural Systems
在本文中，我们提供了最优解两个不同的（但相关的）输入/输出设计问题，涉及大型线性动力系统，其中的成本与每个直接驱动/测量状态变量可以采取不同的值，但独立的标记输入/输出变量。在这些条件下，我们的第一个目标是确定和表征的输入/输出布局，在最小的成本，同时确保所得到的布局实现结构可控性/可观性。此外，我们解决了上述问题的一个受约束的变体，其中我们寻求确定最小成本的布局配置，在所有可能的输入/输出布局配置，确保结构的可控性/可观测性，与直接致动/测量状态变量的最低数量。我们表明，这两个问题都可以有效地解决，即，使用在状态变量的数量方面具有多项式时间复杂度的算法。最后，我们用一个例子来说明所得到的结果。
Minimum Flow Decomposition in Graphs with Cycles using Integer Linear Programming
最小流分解（MFD）-找到一个最小的加权源到汇路径集，完美地分解流的问题-是计算机科学中的经典问题，它的变体是生物信息学和交通运输等不同领域的强大模型。即使在非循环图上，这个问题也是NP难的，大多数实际的解决方案都是通过解析法或近似法。虽然有一个广泛的机构的研究无环图，目前，没有\emph{exact}解决方案的图与循环。在本文中，我们提出了第一个ILP制定的三个自然变种的MFD问题的图与周期，要求分解只包括加权源到汇的路径或周期，步道，和步行，分别。在生物信息学和交通运输的三个日益复杂的数据集上，我们的方法在10分钟内解决了任何问题。我们的实现可以在github.com/algbio/MFD-ILP上免费获得。
On Minimum Cost Sparsest Input-Connectivity for Controllability of Linear Systems
我们处理的最小成本的输入连接，同时保持可控性的线性系的算法技术。假设输入矩阵是受约束的，因为每个输入（如果存在）可以影响的状态集是先验已知的，并且输入和状态之间的每个互连与特定成本相关联。在这种情况下，我们确定一组输入连接，导致最小的成本，并确保所产生的系统是结构可控的。我们还确定了一个稀疏集的最小成本的输入连接，同时保持系统的结构可控性。一大类的系统，这些问题是可解决的，在多项式时间内使用有效的算法。在一般情况下，给出了一个2-近似解.图论工具来解决上述一类约束设计问题。包括说明性的例子来证明这里开发的技术的有效性。
Heuristic solutions to robust variants of the minimum-cost integer flow problem
本文讨论了鲁棒优化应用于网络流。最小费用整数流问题的两个强大的变种。因此，在问题制定的不确定性是有限的弧单位成本和明确给定的情况下表示。结果表明，这两个问题的变种是NP-困难的。为了解决所考虑的变量，提出了几种基于局部搜索或进化计算的算法。在适当的问题实例上进行实验评估。
Prediction-Correction Pedestrian Flow by Means of Minimum Flow Problem
研究了人群运动数学预测-校正模型的一种新的变形形式。预测阶段由输运方程处理，其中向量场通过程函方程$\Vert \nablaφ\Vert=f$计算，正连续函数$f$连接到自发行进的速度。校正阶段由最小流问题的新版本处理。该模型是灵活的，可以考虑不同类型的代理之间的相互作用，从梯度流在Wassersetin空间的颗粒型动力学，如沙堆。此外，可以使用不同的边界条件，例如非齐次Dirichlet（例如，具有不同退出成本惩罚的外出）和诺依曼边界条件（例如，以不同的速度进入）。结合有限体积法求解输运方程和Chambolle-Pock的原始对偶法求解程函方程和最小流问题，我们给出了数值模拟来演示不同情况下的行为。
Minimum Flow Steepest Descent Approach for Nonlinear PDE
本文提出最小流最陡下降算法，通过最小化内部能量并施加最小流约束，推广$H^{-1}$理论至非线性扩散，可处理多孔介质流、Stefan问题及非线性算子，优于JKO方案。
L-extendable functions and a proximity scaling algorithm for minimum cost multiflow problem
本文提出了一类新的离散凸函数的理论，称为L-可扩函数和交错L-凸函数，它们定义在树的乘积上。我们建立优化的基本属性：局部到全局的最优性标准，最陡下降算法连续$k$ -次模函数最小化，持久性，和邻近定理。我们的理论是由最小成本的自由多流问题。针对这一问题，Goldberg和Karzanov给出了两个基于容量和费用缩放的组合弱多项式时间算法，但没有显式的运行时间。作为该理论的应用，我们提出了一种新的简单多项式邻近标度算法来求解$O(n \log (n AC) {\rm MF}(kn, km))$时间内的最小无代价多流问题，其中$n$是节点数，$m$是边数，$k$是终端数，$A$是边代价最大值，$C$是边容量之和，以及${\rm MF}(n',m')$表示在$n'$节点和$m'$边的网络中找到最大流的时间复杂度。我们的算法被设计来解决，在相同的时间复杂度，更一般的一类多流问题，最小成本的节点需求多流问题，是第一个组合多项式时间算法这类问题。最后给出了网络设计问题的一个应用。
Proximal Linearized Method for Sparse Equity Portfolio Optimization with Minimum Transaction Cost
在本文中，我们提出了一个稀疏的股票投资组合优化（SEPO）的均值-方差投资组合选择模型的基础上。为了通过避免小投资来最小化交易成本，该新模型包括资产权重的$\ell_0$ -范数正则化以促进稀疏性，因此首字母缩写为SEPO- $\ell_0$。选择模型也受到最小预期回报的影响。由于模型的复杂性，我们采用了近似方法，通过相应的近似算子分别处理目标项。我们开发了一个有效的ADMM类算法来寻找最优投资组合，并证明了其整体收敛。使用真实的股票数据证明了该算法的效率和模型是有前途的投资组合选择在产生更高的预期收益，同时保持良好的稀疏性水平，从而最大限度地减少交易成本。
Approximating Constrained Minimum Input Selection for State Space Structural Controllability
本文研究了状态空间结构系统的最小约束输入选择和最小费用约束输入选择问题。输入矩阵是约束的，在这个意义上，每个输入可以影响的状态集是预先指定的，每个输入都有一个与之相关的成本。我们的目标是从给定的输入集最优选择一个输入集，系统是可控的。这些问题都是NP难的。首先，我们给出了一个新的用流网络检验结构能控性的充分必要图论条件。利用这个条件，我们给一个多项式减少这两个问题的一个已知的NP-困难的问题，最小成本固定流问题（MCFF）。随后，我们证明了一个最优解的MCFF问题对应于一个最优解的原始可控性问题。我们还表明，MCFF的近似计划直接适用于最小成本约束的输入选择问题。利用为结构化系统构造的流网络的特殊结构，给出了基于最小权二部匹配的多项式逼近算法和系统流网络上MCFF的贪婪选择方案。该算法给出了MCFF的$Δ$近似解，其中$Δ$表示结构化系统流网络中输入顶点的最大入度.
Solving Minimum-Cost Reach Avoid using Reinforcement Learning
针对现有强化学习无法直接求解带约束的最小代价可达规避问题、加权和替代方案得到次优策略的问题，提出结合汉密尔顿-雅可比可达性的RC-PPO方法，在Mujoco基准上实现与现有方法相当的到达率且累积代价最高降57%。
Minimum Cost Feedback Selection for Arbitrary Pole Placement in Structured Systems
本文讨论了结构系统一般任意极点配置的最优反馈选择问题，当每个反馈边都与一个代价相关联时。给定一个结构化系统和一个反馈代价矩阵，我们的目标是找到一个可行的最小代价反馈矩阵，以保证闭环结构化系统的任意极点配置。我们首先给出了一个多项式时间减少的加权集覆盖问题的反馈选择问题的一个实例，从而表明该问题是NP-困难的。然后，我们证明了问题的不可近似性，表明常数因子近似的问题不存在，除非集合覆盖问题可以近似在一个常数因子。由于这个问题是困难的，我们研究了一个子类的系统，其使用状态有向图的强连通分支构造的有向无圈图是线图，并且状态二部图具有完美匹配。针对这类系统，提出了一种基于动态规划的多项式时间优化算法。进一步地，在同类系统上，我们放宽了完美匹配的假设，并给出了一个基于动态规划的多项式时间2-最优解和一个最小代价完美匹配算法。
Minimum Cost Nowhere-zero Flows and Cut-balanced Orientations
本文研究了双向图上最小成本无处为零流与割平衡定向的优化问题，证明了其在有限因子内的NP困难不可近似性，并提出了双准则近似及对称成本下的3-近似算法。
Minimum Cost Constrained Input-Output and Control Configuration Co-Design Problem: A Structural Systems Approach
本文研究了最小成本约束下的输入输出与控制组态协同设计问题。给定一个线性时不变的植物，其中可能的输入和输出的集合是已知的先验，我们的目标是确定的输入，输出和它们之间的通信的集合招致的最小成本，从而确保所需的控制性能，测量的任意极点配置能力的闭环系统。我们表明，这个问题是NP-困难的一般（在状态空间的大小）。然而，子类的问题，其中的动态矩阵是不可约的，被证明是多项式可解的，并提出了相应的算法。此外，在相同的假设下，可以使用相同的算法来分别解决最小成本约束的I/O选择问题和最小成本控制配置选择问题。为了说明本文的主要结果，还提供了一些模拟。
Stochastic homogenisation of nonlinear minimum-cost flow problems
本文研究随机图上非线性最小费用流问题的大尺度行为，证明其在大尺度极限下通过$Γ$-收敛趋近于连续最小化问题，并利用离散blow-up技术克服了无周期结构随机图上均匀化能量密度的构造挑战。
Energy cost for controlling complex networks
复杂网络的能控性问题是近年来研究的热点，它决定了在允许外部输入的情况下，能否在有限时间内将系统从初态控制到最终状态。为了在实际中以最小的代价完成控制，我们必须研究需要多少控制能量才能达到期望的最终状态。在给定的控制距离之间的初始和最终状态，现有的结果提出的缩放行为的最小能量的下界的控制时间的解析。然而，要在给定的控制距离上达到任意的终态，最小能量实际上是由上界决定的，其解析表达式仍然是难以捉摸的。在这里，我们从理论上显示的缩放行为的最小能量的上界的时间来实现控制。除了用数值模拟验证分析结果外，我们的研究结果对直接接收输入的任意数量的节点和任意类型的网络都是可行的。此外，更精确的分析结果的最小能量的下界推导出在建议的框架。我们的结果铺平了道路，实现现实的控制各种复杂的网络，以最小的控制成本。
A machine learning based algorithm selection method to solve the minimum cost flow problem
最小费用流问题是网络优化问题中研究最多的问题之一，在许多应用中出现。对于这个问题存在一些有效的算法，它们以库或软件包的形式免费提供。值得注意的是，这些求解器中没有一个在所有情况下都优于其他求解方法。因此，问题是是否可以根据实例的特性为给定实例选择最快的算法。为此，我们训练几个机器学习分类器，以在给定的求解器集合中预测最快的。我们通过创建81，000个实例的代表性数据集并通过相关特征的向量来表征这些实例中的每一个来实现这一点。为了获得更好的性能，我们进行了网格搜索，以优化分类器的超参数。最后，我们通过准确性来评估不同的分类器。结果表明，基于树的模型似乎适应和利用的最小成本流问题的相关结构，特别是在大量的实例，预测最快的解决方案的准确性超过90%。
Lightning optimizes: a threshold mechanism ensures minimum-path flow
线性电阻网络的一个众所周知的特性是电流分布使总耗散能量最小化。当电路包括具有非线性单调特性的电阻器时，电流分布通常最小化不同的泛函。我们表明，如果非线性特性是一个阈值样的功能和能量发生器集中在一个单一的点，在闪电或介质放电的情况下，那么电流沿单一的路径，这是一个最小的路径到地面相对于阈值集中。我们还提出了一个动态模型，解释和定性再现的闪电瞬态行为：初始生成的几个等离子体分支和随后解雇的所有分支，但首先到达地面的一个，这是最佳的。
Designing Optimal Flow Networks
我们研究的问题，设计一个最小成本流网络互连n个源和一个单一的汇，每个已知的位置和流量。网络可能包含其他未指定的节点，称为Steiner点。对于凹递增费用函数，这种最小费用网络具有树拓扑，因此可以称为最小吉尔伯特树形（MGA）。我们证明了线性费用函数下多重遗传算法中Steiner点的局部拓扑结构。该问题可应用于排水、煤气管道和地下矿井通道的设计。
Fast, Flexible, and Exact Minimum Flow Decompositions via ILP
最小流分解（MFD）（寻找完美分解流的最小路径集的问题）是计算机科学中的经典问题，它的变体是生物信息学中多组装问题（例如RNA组装）的强大模型。然而，由于这个问题及其变体是NP难的，实际的多装配工具要么使用算法，要么解决更简单的多项式时间可解版本的问题，这可能会产生解决方案，不是最小的或不完美的分解流。许多RNA汇编器也使用这种实际变体的整数线性规划（ILP）公式，它们需要编码所有潜在的指数级解决方案路径。此外，MFD的唯一精确求解器不能扩展到大型实例，并且不能有效地推广到实际的MFD变体。在这项工作中，我们提供了第一个实用的ILP制定MFD（因此，第一个快速和精确的求解MFD），编码的基础上，所有的指数许多解决方案的路径，只使用一个二次变量。在模拟和真实的流图上，我们的方法在13秒内解决了任何实例。我们还表明，我们的ILP配方可以很容易地和有效地适应许多实际的变化，如纳入较长或双端读取或最大限度地减少流错误。我们希望我们的研究结果可以消除当前多组装模型的复杂性和易处理性之间的权衡，并成为未来实用RNA组装工具的核心。
A review of minimum cost box searching games
本文综述了一类零和搜索博弈，研究隐藏者在不同搜索时间和不完美检测条件下隐藏目标、搜索者优化顺序以最小化期望发现时间的已知解。
Minimum energy density steering of linear systems with Gromov-Wasserstein terminal cost
本文针对离散时间线性高斯系统，提出以Gromov-Wasserstein距离作为终端代价的最优密度控制问题，利用其对平移和旋转不变的性质，将问题转化为凸差规划并用DC算法求解，从而以最小能量实现期望的终端分布形状。
Competitive Analysis of Minimum-Cut Maximum Flow Algorithms in Vision Problems
图像采集和存储技术的快速发展强调了对能够解决大规模图像处理和计算机视觉问题的算法的需求。最小割问题在图像和视频分割、立体视觉、多视点重建和曲面拟合等成像问题中起着重要的作用。虽然在文献中可以找到几种最小割/最大流算法，但它们在实践中的性能主要是在计算机视觉的范围之外进行研究的。本文从执行时间和内存利用率两个方面对最近发表的四种最优求解{ \em s-t}割和最大流问题的算法进行了全面的计算研究：（i）Goldberg和Tarjan的{ \em Push-Relabel};（ii）Hochbaum的{ \em pseudoflow};（iii）Boykov和Kolmogorov的{ \em增广路径};和（iv）Goldberg的{ \em部分扩增-重新标记}。我们的研究结果表明，{ \em Hochbaum的pseudoflow}算法，是更快，占用更少的内存比其他算法的所有问题的情况下调查。
A new perspective on dynamic network flow problems via port-Hamiltonian systems
本文提出利用端口-哈密顿系统框架统一处理动态网络流问题，将其转化为最优控制问题，证明适定性并推导伴随梯度下降算法，通过静态与动态最小费用流实验验证了方法的有效性。
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