Inequalities of Hardy-Sobolev type in Carnot-Carathéodory spaces
本文研究了一类Carnot-Carathéodory空间$(\Om, d)$上的Hardy-Sobolev不等式，该不等式与$\RR^n$上的光滑向量场系统$X=\{X_1, X_2,...,X_m\}$相关联，该系统满足Hörmander有限秩条件$rank Lie[X_1,...,X_m] \equiv n$ .我们主要关心的问题之一是迹不等式\int_{\Om}|（x）|^{p}V（x）dx \leq C \int_{\Om}| X轴|^{p}dx，\qquad = \in C^{ \infty }_{0}（\Om），其中$V$是一般权重，即，$\Om$上的非负局部可积函数和$1<p<+\infty$。在定义域$\Om\subset \Rn$上可以用次椭圆容度或Hausdorff容度等价度量的严格几何假设下，建立了各种形式的Hardy-Sobolev型不等式.
2008-04-17 math.AP
Isoperimetric, Sobolev and Poincaré inequalities on hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups
本文研究齐次维数为Q的k步卡诺群G中的光滑子流形。在其他结果中，我们将证明一个等周不等式，它适用于具有或不具有边界$\partial S$的$C^2$ -光滑紧致超曲面S; S和$\partial S$被赋予它们的齐次测度，实际上等价于G上关于某个齐次度量$\varrho$的内在（Q-1）维和（Q-2）维Hausdorff测度;见第5节。这推广了一个经典的不等式，涉及超曲面的中曲率，由Michael和Simon [63]证明，并由Allard [1]独立证明。特别是，从这个结果可以推导出一些相关的Sobolev型不等式;见第7节。证明策略受经典证明策略的启发。特别地，我们将从证明一些线性等周不等式开始。一旦证明了这一点，就可以推导出一个局部单调性公式，然后通过一个覆盖论证来结束证明。然而，我们强调，由于我们不同的几何设置，存在许多差异。在本文中特别开发的一些工具依次是"爆破“定理，它也适用于特征点，以及HS梯度的光滑Coarea公式;见第3节和第4节。其他工具是水平分部积分法公式和H-周长的第一个变化已经在[68]，[69]中发展，并在这里推广到具有非空特征集的超曲面。这些结果的一些自然的应用是在最小和常数水平中曲率超曲面的研究。此外，我们将证明一些纯水平的，局部的和整体的庞加莱型不等式以及一些相关的事实和结论;见第4节和第5节。
2009-10-29 math.AP math.DG
Weighted $p(\cdot)$-Poincaré and Sobolev inequality]{Weighted $% p(\cdot )$-Poincaré and Sobolev inequalities for vector fields satisfiying Hörmander's condition and applications
本文将在Carnot-Carathéodory空间或Carnot群上建立不同的变指数加权Poincaré不等式。我们将使用不同的技巧来获得这些不等式。对于变非迷向索伯列夫空间中满足Hörmander条件的向量场，考虑变Muckenhoupt类$% A_{p(\cdot ),p^{\ast }(\cdot )}$中的一个权，其中指数$p(\cdot )$满足适当的假设，得到了变指数的一阶加权Poincaré不等式.在Carnot群的情形下，我们也建立了变指数的高阶加权Poincaré不等式.对于这些结果的关键部分是证明分数次积分算子在Lebesgue空间上的有界性与加权和变指数的齐型空间。此外，使用其他技术，我们扩展了一些这些结果时，指数满足跳跃条件和重量是在一个较小的Muckenhoupt类。最后，我们将使用这些加权Poincaré不等式建立一个问题的Dirichlet能量积分的最小值的存在性和唯一性，涉及退化的$p(\cdot )$ -Laplacian在卡诺群中的零边界值。
2022-09-02 math.AP
Function Spaces via Fractional Poisson Kernel on Carnot Groups and Applications
利用分数热核和泊松核给出了Carnot群中齐次Besov和索伯列夫空间的一个新刻画.我们应用我们的结果研究涉及分数幂的子拉普拉斯算子。
2020-05-13 math.AP math.FA
A Bourgain-Brezis-Mironescu-Dávila theorem in Carnot groups of step two
本文在任意卡诺群的第二步$\mathbb{G}$中证明了下列定理：\[ \underset{s\nearrow 1/2}{\lim} (1 - 2s) \mathfrak P_{H,s}(E) = \frac{4}{\sqrt π}\ \mathfrak P_H(E). \]这里，$\mathfrak P_H(E)$表示可测集$E\subset \mathbb{G}$的水平周长，而非局部水平周长$\mathfrak P_{H,s}(E)$是一个基于热的Besov矩阵.这一结果代表了Bourgain-Brezis-Mironescu和Dávila的一个著名刻画的无量纲次黎曼对应。
2020-07-18 math.AP
Rearrangements in Carnot Groups
本文将非负函数重排的概念推广到卡诺群的情形。本文定义了关于给定的各向异性球族B_r或等价地关于规范|x|的重排，并证明了这种结构的基本正则性.如果u是一个有界的非负实函数，我们用u* 表示它的重排。然后，径向函数u*。是有界变化的。另外，如果u是连续的，则u* 是连续的，并且如果U属于水平索伯列夫空间，我们得到了Polya和Szegö不等式的一个推广.
2019-01-23 math.AP
Mean value property and harmonicity on Carnot-Carathéodory groups
研究了Carnot-Carathéodory群中关于勒贝格测度的均值性质所定义的强调和函数.对于这样的功能，我们显示其Sobolev正则性和光滑性。此外，我们还证明了强调和函数在适当的规范范数下满足次Laplace方程，并且包含是尖锐的。我们观察到$\mathbb{H}_1$中的球调和多项式都是强调和的，并且满足次拉普拉斯方程。我们的介绍是通过例子说明。
2017-02-24 math.AP math.CA
Critical concave-convex problems in Carnot groups
Università di Bologna（博洛尼亚大学）
研究Carnot群中具有凹凸和临界非线性的Dirichlet问题，利用变分Perron方法和Sobolev不等式的极小函数估计，证明存在两个正解。
2026-04-16 math.AP
Critical singular problems in Carnot groups
针对Carnot群上Sobolev临界的Dirichlet半线性问题，本文研究幂型轻微奇异扰动，并用变分Perron方法及模拟Aubin-Talenti函数的估计证明存在两个正弱解。
2025-06-09 math.AP
$L^p$-Hodge decomposition and global integral estimates on the Cartan group
本文研究Cartan群上的Sobolev和Poincaré不等式，通过Rumin复形和$L^p$-Hodge分解，获得全局Poincaré和Sobolev-Gaffney不等式，针对p=1情况采用不同方法。
2026-04-16 math.AP
Characterisation of homogeneous fractional Sobolev spaces
我们的目标是描述齐次分数Sobolev-Slobodecki \u ı空间$\mathcal{D}^{s,p} (\mathbb{R}^n)$及其嵌入，用于$s \in (0,1]$和$p\ge 1$。它们被定义为关于Gagliardo-Slobodecki \u规范的一组光滑且紧支持的检验函数的完备化。对于$s\,p < n$或$s = p = n = 1$，我们表明，$\mathcal{D}^{s,p}(\mathbb{R}^n)$是同构的一个合适的函数空间，而对于$s\,p \ge n$，它是同构的一个空间的等价类的功能，不同的添加剂常数。作为我们的主要工具之一，我们提出了一个Morrey-Campanato不等式，其中Gagliardo-Slobodecki \u控制器从上面控制一个合适的Campanato控制器。
2021-06-08 math.AP math.FA
Characterisation of upper gradients on the weighted Euclidean space and applications
在具有任意Radon测度的欧几里得空间中，证明了文献中关于索伯列夫空间的几种不同概念之间的等价性，并证明了所有Lipschitz函数的最小弱上梯度.
2020-07-23 math.AP math.FA
The closure of planar diffeomorphisms in Sobolev spaces
我们刻画了Sobolev拓扑中的平面同态的（序列）弱闭包和强闭包，并证明了它们总是一致的。我们还提供了一些充分条件的平面映射是近似的单态映射在其反图像的连通性，在年轻的单调函数的特点。最后，我们证明了Sobolev拓扑中的非同态的闭包严格包含在Muller和Spector引入的INV类中。
2017-10-19 math.AP
Poincaré Sobolev equations in the Hyperbolic space
在双曲空间$\Bn$中研究了问题$-\De_{\Bn}u - \la u = |u|^{p-1}u, u\in H^1(\Bn)$的先验估计、径向变号解的存在性与不存在性以及Palais-Smale特征，其中$1<p\leq\frac{N+2}{N-2}$ .我们还将证明Hardy-Sobolev-Mazya方程和临界Grushin问题的变号解的存在性。
2011-03-24 math.AP
Critical Ambrosetti-Prodi type problems on Carnot groups
Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比莱分校）
本文研究了Carnot群上涉及子拉普拉斯算子的临界Ambrosetti-Prodi问题，探讨了参数λ<λ₁和λ>λ₁时解的存在性和多重性，以及在λ=λ₁时共振情况下的解的存在性及特征。
2026-04-15 math.AP
Hypoelliptic heat kernel inequalities on H-type groups
研究了H-型李群上亚椭圆次拉普拉斯算子的热核不等式。具体来说，我们得到精确的逐点上界和下界的热核函数本身。然后，我们应用这些界限来获得热方程，这是已知的有各种显着的后果，包括对数Sobolev不等式的解决方案的梯度的估计。我们还提出了一个计算的热核，并讨论了几何的H型群，包括他们的测地线和Carnot-Carathéodory距离函数。
2016-12-01 math.AP math.DG
Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities on Lie groups of polynomial growth
在多项式体积增长的李群中，我们得到了Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式，其中所涉及的权是与满足Hörmander条件的固定向量场系统相关联的Carnot-Caratheodory距离的幂.使用弱$L^p$空间是至关重要的，在我们的证明，我们制定这些不等式的框架内的$L^{p,q}$洛伦兹空间（规模（准）-巴拿赫空间扩展更经典的$L^p$ Lebesgue空间），从而获得一个细化，例如，Sobolev和Hardy-Sobolev不等式。
2017-07-03 math.AP math.CA math.FA
Sobolev mappings of Euclidean space and product structure
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Institute for Applied Mathematics, University of Bonn（波恩大学应用数学研究所）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进学会数理研究所）；Department of Mathematics and Statistics, Bowling Green State University（鲍灵格林州立大学数学与统计系）
研究证明在 $n \ge 2$ 时，满足特定条件的 Sobolev 映射必须分裂，但 $n=1$ 时这一结论不成立，且与之前工作相补充。
2026-03-06 math.AP math.DG
Reshetnyak-class mappings and composition operators
本文研究了Carnot群中Reshetnyak类同胚的等价描述，通过诱导有界复合算子刻画映射性质，提供了更简短的新证明并揭示了同胚的新特性。
2025-07-14 math.AP
Global hypoellipticity for a class of time-periodic operators on asymptotically Euclidean manifolds
该研究在渐近欧几里得流形上引入时间周期Gevrey-Sobolev-Kato空间并研究其表征，进而应用于一类时间周期演化方程的全局亚椭圆性问题分析。
2025-09-03 math.AP
A quantitative characterisation of functions with low Aviles Giga energy on convex domains
设L（U）是二阶索伯列夫空间中梯度（迹意义下）等于垂直于U的指向内单位的函数子集。L（U）上的Aviles Giga泛函作为与液晶和薄膜泡罩中的问题有关的模型，它也是Modica Mortola泛函的最自然的高阶推广。Jabin，奥托，Perthame的特点是一类功能，其中包括所有的限制序列的Aviles千兆能源为零。他们的工作的一个推论是，如果存在这样一个序列的有界域U，那么U必须是一个球和极限函数必须是距离边界。我们证明了一个定量的推广这一推论的类有界凸集。因此，我们证明了如果U有C^2边界并且靠近一个球，那么对于所有足够小的\ep，I_{\ep}的极小值接近于离边界的距离函数。
2012-02-23 math.AP math.CA
Traces, extensions, co-normal derivatives and solution regularity of elliptic systems with smooth and non-smooth coefficients
对于索伯列夫空间$H^s(Ω)$，1/2<s<3/2的函数，考虑了非唯一广义和唯一正则余法导数的定义，这些定义与偏微分算子及其右手边从定义了它们的域$Ω$到不定义它们的域边界的可能扩张有关.修正了边值问题的设置，使其对同法导数不敏感的固有非唯一性。给出了关于迹算子估计、索伯列夫空间特征和非光滑系数偏微分方程解的正则性的一些新事实。
2012-11-21 math.AP
A sub-Riemannian curvature-dimension inequality, volume doubling property and the Poincaré inequality
设$\mathbb{M}$是光滑连通流形，具有光滑测度$μ$和光滑局部次椭圆扩散算子$L$满足$L1=0$，且关于$μ$对称.证明了若$L$在非负曲率参数下满足第一和第三作者在\cite{BG}中引入的广义曲率不等式，则下列性质成立：1体积加倍性质; 2 Poincaré不等式; 3抛物Harnack不等式.主要内容是研究热半群的维数逆log-Sobolev不等式和相应的非线性逆Harnack型不等式。我们的结果特别适用于所有的Sasakian流形的水平Webster-Tanaka- Ricci曲率是非负的，所有的卡诺集团与步骤2，并广泛的子类主丛的黎曼流形的里奇曲率是非负的。
2014-07-23 math.AP math.DG math.PR
Estimates for the kinetic transport equation in hyperbolic Sobolev spaces
在双曲索伯列夫空间的框架下，我们建立了动力学输运方程解的速度平均算子$ρ$的光滑估计。如果速度域是单位球或单位球，那么，对于任何指数$q$和$r$，我们发现指数$β_+$和$β_-$的特征，除了可能的端点情况，其中$D_+^{β_+}D_-^{β_-} ρ$从空间速度$L^2_{x,v}$到时空$L^q_tL^r_x$有界。这里，$D_+$和$D_-$分别是经典和双曲导数算子。事实上，我们将提供一个参数，统一这些速度域和速度平均估计在任何一种情况下被证明是等价的混合范数界限上的锥乘子算子作用于$L^2$。我们进一步发展我们的想法在几个方面，包括估计的初始数据躺在某些Besov空间，其中一个关键的工具，在证明是尖锐的$\ell^p$解耦定理最近建立的Bourgain和Demeter。我们还表明，如果我们限制注意初始数据是径向对称的空间变量，允许的平滑度显着增加。
2017-03-31 math.AP math.CA
Geometric topics related to Besov type spaces on the Grushin setting
研究 Grushin 空间上基于 Grushin 半群和分数阶半群的两类 Besov 型空间，结合半群理论与非局部微积分建立 Sobolev 型不等式及等周不等式，并导出 Besov 型空间的嵌入定理。
2024-01-07 math.AP
A new approach to pointwise heat kernel upper bounds on doubling metric measure spaces
在具有强局部正则Dirichlet型的双重度量测度空间上，利用整体标度不变不等式给出了热核的逐点上界的一些特征，当体积增长为多项式时，这些特征分别对应于Nash不等式和Gagliardo-Nirenberg型不等式.这产生了一个新的证明和推广的经典热核上界和相对Faber-Krahn不等式或本地化Sobolev或纳什不等式之间的著名的等价性。我们能够处理更一般的逐点估计，热核衰变率不一定由体积增长。一个至关重要的作用是由有限的传播速度属性相关联的波动方程，我们的主要结果保持一个抽象的算子半群满足Davies-Gaffney估计。
2013-11-14 math.AP
Gradient estimates for heat kernels and harmonic functions
设$(X,d,μ)$是一个具有Dirichlet形式$\E$的二重度量测度空间，它是由“carré du champ”导出的.假设$(X,d,μ,\E)$支持尺度不变的$L^2$-Poincaré不等式。本文研究了$p\in (2,\infty]$的调和函数、热核和Riesz变换的下列性质：（i）$(G_p)$：$L^p$ -伴随热半群梯度的估计;（ii）$(RH_p)$：$L^p$ -调和函数梯度的逆Hölder不等式;（iii）$(R_p)$：$L^p$ -Riesz变换的有界性（$p<\infty$）;（iv）$(GBE)$：广义Bakry-Émery条件。证明了对于$p\in (2,\infty)$，（i），（ii），（iii）是等价的，而对于$p=\infty$，（i），（ii），（iv）是等价的.此外，其中一些等价性在比$L^2$ -Poincaré不等式更弱的条件下仍然成立。我们的结果给出了$p=\infty$的Li-Yau的热核梯度估计的特征，而对于$p\in (2,\infty)$，它是对Auscher-Coulhon-Duong-Hofmann [7]和Auscher-Coulhon [6]的早期结果的实质性改进和推广.给出了等周不等式和Sobolev不等式的应用。我们的结果适用于黎曼和次黎曼流形以及非光滑空间，并退化椭圆/抛物方程在这些设置。
2017-10-02 math.AP math.CA math.DG
