Number of partitions of n into parts not divisible by m
Damanvir Singh Binner
本文给出了一个公式，该公式给出了一个计算给定自然数n和m的n的不可分部分的个数的实用有效的方法。
In this note, we obtain a formula which leads to a practical and efficient method to calculate the number of partitions of n into parts not divisible by m for given natural numbers n and m.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Statistics of blocks in k-divisible non-crossing partitions
我们推导出一个公式的预期数量的块的一个给定的大小从一个非交叉分区均匀随机选择。此外，我们改进了这个结果的限制，有一些块。此外，我们推广到k-可分分区。特别地，我们发现，渐近地，随机均匀选择nk个元素的k可分非交叉划分的大小为t的块的期望数量是（kn+1）/（k+1）^（t+1）。对Armstrong的B型和D型k-可分非交叉分拆也得到了类似的结果。
Homology of the complex of not 2-divisible partitions
计算了有限集的非偶分拆序复形的有理同调群。扭曲版本的Goresky-MacPherson方法相似的同源性计算提出。
Chain enumeration of $k$-divisible noncrossing partitions of classical types
本文给出了经典型$k$ -可分非交叉分拆中重链个数公式的组合证明，并给出了Krattenthaler和M{ü}ller关于秩和块大小的条件.我们还证明了阿姆斯特朗的猜想zeta多项式的偏序集$k$ -可分的不相交分区的类型$A$不变下的$180^\circ$旋转的循环表示。
Reversible Markov structures on divisible set partitions
我们研究$k$ -可分的分区结构，这是家庭的随机集分区的块大小是可分的整数$k=1,2,\ldots$。在这种情况下，交换映射对应于通过任意排列重新标记的通常不变性;然而，对于$k>1$，分区上的普通删除映射不再保持可除性，因此需要随机删除过程来获得分区结构。我们描述了显式的中国餐馆型的座位规则生成家庭的可交换的$k$可分的分区是一致的随机删除。我们进一步引入了{ \em马尔可夫划分结构}的概念，它是在{ \em马尔可夫删除}的随机过程下一致的$k$ -可分划分上的可交换马尔可夫链的集合。我们所研究的马尔可夫链是可逆的，并且改进了{ \em J.\应用程序\可能吧{ \bf 48}（3）：778--791。
Positive $m$-divisible non-crossing partitions and their Kreweras maps
该研究针对正$m$-可分非交叉划分及其正Kreweras映射，在经典型中给出组合实现与伪旋转解释、完成相关枚举，在一般型中构建适配例外型的组合模型，最终建立若干循环筛选现象。
Partitions With Designated Summands Not Divisible by $2^l$, $2$, and $3^l$ Modulo $2$, $4$, and $3$
本文明确刻画了部分不被 $2^l$、$2$ 和 $3^l$ 整除的指定被加数分拆数分别关于模 $2$、$4$ 和 $3$ 的性质，提供了同余式与快速递推应用，并揭示了其与奇重数分拆数的联系。
The arithmetical combinatorics of $k,l$-regular partitions
对于所有正整数$k,l,n$，小格拉茨定理指出，将$n$划分为不能被$k$整除且出现次数小于$l$的部分的次数等于将$n$划分为不能被$l$整除且出现次数小于$k$的部分的次数。虽然这种改进的Glaucet定理是很容易建立的生成函数的计算，仍然没有一对一的正则对应来解释它。我们的文件带来了一个答案，这个开放的问题，通过一个算术的方法。在$l=2$的情形下，讨论了利用加权词构造小Glaucet定理Schur型伴定理的可能性.
Counting the parts divisible by k in all the partitions of n whose parts have multiplicity less than k
本文将 Andrews 和 Merca 关于分拆中偶数部分数的研究推广至部分重数严格小于 k 时可被 k 整除的部分数，利用 Glaisher 双射扩展给出组合证明，并提供生成函数验证多种幂递推关系。
Divisible Arm Lengths, Crystal Reflections, and Enumeration of Newly Found Decomposition Columns
本文研究并枚举了满足特定钩长可除条件的划分，证明了晶体反射保持d-平衡性质，并给出了e-正则划分在块中的计数公式。
Glaisher's Partition problem
我们推广了著名的Glasgow划分双射结果。对于给定的正整数n，d，都大于1，我们提供了一个丰富的家庭之间的双射的分区n的集合，其中至少有一个部分是由d整除，和分区的集合，其中至少有一个部分出现d或更多次。
Partition Identities and the Coin Exchange Problem
将n划分为可被a或b整除的部分的数目等于其中每个部分和两个部分的每个差可表示为a或b的非负整数组合的n的划分数目。这推广了MacMahon和Andrews的恒等式。对于三个或更多个整数（代替a，b）的类似恒等式在某些情况下成立。
Generalizations of POD and PED partitions
本文将POD与PED分拆推广到模r固定剩余类部分互异及整除或同余条件下重数受限的情形，并研究相应分拆集合的性质。
Exponential Dowling structures
引入了指数道林结构的概念，推广了Stanley的指数结构理论。枚举理论的发展，以确定默比乌斯函数的指数道林结构，包括这些结构的限制，其类型满足半群条件的元素。斯坦利对与指数结构相关的排列的研究导致了对指数道林结构的类似研究。特别地，对于扩展的r-可分分划格，我们证明了默比乌斯函数是直到符号为止，在rn+k个元素上的对称群中具有下降集{r，2 r，.，nr}。利用Wachs对r-可分分划格的EL-标号，证明了扩展的r-可分分划格是EL-可壳的.
Large $p$-core $p'$-partitions and walks on the additive residue graph
本文研究了既没有可被$p$整除的部分也没有可被$p$整除的钩长度的划分，称为$p$ -核心$p'$ -划分.我们发现，最大的$p$ -核心$p'$ -分区对应于最长的步行与顶点$\{0, 1, \ldots, p-1\}$和标记的边定义通过添加模$p$的图。我们还展示了一个明确的家庭大$p$ -核心$p'$ -分区，给出了一个下界的大小最大的这样的分区是相同程度的上界发现的McSpirit和小野。
A rank of partitions with overline designated summands
Andrews、Lewis和Lovejoy引入了分拆函数$PD(n)$，作为指定被加数的$n$的分区数。在最近的工作中，林研究了分拆函数$PD_{t}(n)$，它计算了带有指定被加数的$n$的所有分区上标记部分的数量。他证明了$PD_{t}(3n+2)$可被$3$整除。本文首先介绍了一种用$PD_t(n)$计算的结构--带上划线指定和数的划分。然后，我们定义了一个广义秩的分区与overline指定的被加数，并给出了组合解释的同余$PD_t(3n+2)$。
Congruences for an analogue of Lin's partition function
研究了林受限分区函数类比B(n)的算术性质，通过q级数技术和模函数建立模2、3、5、7和9的拉马努金型同余式。
Refinements of Beck-type partition identities
富兰克林的恒等式推广了欧拉恒等式，并指出，具有$j$不同部分的$n$可被$r$整除的分区数等于具有$j$重复部分的$n$的分区数。在这篇文章中，我们给出了当$j=1$ .我们证明了富兰克林的身份时，$j=1$，$r=2$分区与固定周长，即，固定最大的钩子。我们还推导出一个贝克型恒等式的分区与固定的周长：部分的数量在所有分区成奇数部分周长$M$超过部分的数量在所有分区成不同部分周长$M$等于分区的周长$M$的偶数部分的集合是一个单例。我们提供分析和组合证明我们的结果。
Power Partitions and Semi-m-Fibonacci Partitions
乔治安德鲁斯最近证明了一个新的身份之间的基数集的半斐波纳契分区和集的分区到权力的两个与所有部分出现的奇数倍。本文将恒等式推广到$n$的半$m$ -Fibonacci划分集和$n$的划分集到$m$的幂上，其中所有部分都出现重数，不能被$m$整除.
Sequentially congruent partitions and related bijections
我们研究一类奇怪的分区，其中的部分服从一个非常严格的同余条件，我们称之为“顺序同余”：$m$第th部分是全等的$(m+1)$第th部分模$m$，与最小的部分全等为零模的分区的长度。事实证明，这些看起来模糊的物体是以一种自然的方式嵌入在划分理论中的。我们证明了具有最大部分$n$的序列全等划分与$n$的划分是双射的。此外，我们证明了顺序全等划分诱导了$n$的划分和长度为$n$的划分之间的双射，其部分服从严格的“频率全等”条件-每个部分的频率（或重数）可被该部分整除-并证明了与G有关的类似双射的族。E.安德鲁斯的理想分割理论。
On Glaisher's Partition Theorem
本文基于Glaisher定理，扩展了Euler的划分定理至m=3情况，引入新的划分函数并证明了相应的恒等式，同时给出了Glaisher乘积的新级数形式。
Asymptotic Formula for $(t+1)$-Regular Partitions
本文基于 saddle point 方法，推导了 (t+1) 正则划分数 p(N,t) 的渐近公式，并讨论了其在对称群特征表零点估计中的应用。
A generalization of conjugation of integer partitions
本文对整数划分的共轭进行推广，构造了参数为 $s$ 的对合，证明了两个统计量的联合对称性，并给出了双变量生成函数。核心贡献是提供了新的自然双射，其中 $s=1$ 时退化为经典共轭。
Franklin's identity for $n$-color partitions and companion Beck-type identities
该研究针对n色分拆，证明了其对应的富兰克林定理与两个贝克型恒等式，并为所有定理提供了解析和组合两种证明方法。
The Rank Enumeration of Certain Parabolic Non-Crossing Partitions
我们考虑$m$ -可分的非交叉分区的$\{1,2,\ldots,mn\}$的性质，对于一些$t\leq n$没有块包含一个以上的第一个$t$整数。我们给出了一个闭公式，计算了具有给定块数的非交叉分拆的多链个数。在此基础上，我们计算Chapoton的$M$ -三角形在此设置和猜想的组合解释的$H$ -三角形。本文对$m=1$证明了这一猜想。
Remarks on a certain restricted partition function of Lin
本文通过q级数和分割公式，给出了林关于b(3n+1)和b(3n+2)生成函数的初等证明，并建立了b(n)对3的无限多个内部同余式。
Bijections between t-Core Partitions and t-Tuples
本文介绍了一些与核划分和整数元组有关的双射。我们应用这些双射来计算核的数量与各种类型的限制，包括固定数量的部分，有限大小的部分，部分整除的一些整数，和不同的部分。例如，我们证明了分成$l$偶数部分的$2t$ -核心分区的数目等于分成$l$部分的$t$ -核心分区的数目.我们还推广了Baek，Nam和Yu最近给出的同时核的一个表达式。随后，我们使用该表达式来获得$s\geq1$的$(s,s+1,\cdots,s+r)-$核心分区数所满足的递归。
On the Number of Partitions with Designated Summands
Andrews，Lewis和Lovejoy引入了分拆函数PD（n）作为指定和数的$n$的分区数，其中我们假设在具有相等大小的部分中，恰好指定一个。他们证明了PD（3n+2）可以被3整除。我们得到了PD（3n+2）的生成函数的一个Ramanujan型恒等式，它包含Andrews，Lewis和Lovejoy的同余式.对于PD（3n），Andrews，Lewis和Lovejoy证明了生成函数可以表示为$(1-q^{2n+1})$的幂乘以一个函数$F(q^2)$的无穷乘积。我们找到了$F(q^2)$的显式公式，从而导出了PD（3 n）的母函数公式。我们还得到了PD（3n+1）的母函数的一个公式。我们的证明依赖于Chan关于Ramanujan三次连分数的恒等式和三次θ函数的一些恒等式。通过引入一个秩的分区与设计的被加数，我们给出了一个组合的解释的同余的安德鲁斯，刘易斯和洛夫乔伊。
Elementary Proofs of Recent Congruences for Overpartitions Wherein Non-Overlined Parts are Not Divisible by 6
本文用初等方法证实了Nath等人关于超分拆数$\overline{R_6^*}(n)$模128的无限同余式族猜想，并给出了两个先前用模形式证明的同余式的初等证明。
The $M$-triangle of generalised non-crossing partitions for the types $E_7$ and $E_8$
排序局部有限偏序集$P$的$M$ -三角形是生成函数$\sum_{u,w\in P} ^{}μ(u,w) x^{\rk u}y^{\rk w}$，其中$μ(.,.)$是$P$的莫比乌斯函数。本文计算了$E_7$和$E_8$型根系的$m$ -可除非交叉划分的Armstrong偏序集的$M$ -三角形。对于除$D_n$之外的其他类型，这已经在早期的论文“广义簇复合物的$F$ -三角形”中完成。“总之，这几乎解决了阿姆斯特朗的$F=M$猜想，该猜想预测了$m$ -可分分区偏序集的$M$ -三角形与Fomin和Reading的广义簇复合体的$F$ -三角形（某种精确的面数）之间令人惊讶的关系，这是$D_n$类型中唯一剩下的差距。此外，我们证明了一个互惠的结果，这个$M$ -三角形，再次与类型$D_n$可能的例外。我们的研究结果是基于计算的某些分解数的反射群类型$E_7$和$E_8$，实际上进行更精细的信息比$M$ -三角形。其他特殊反射群的分解数在前面的论文中已经计算过了。给出了$A_n$型分解数的一个简化公式.
Ordered set partition posets
本文研究了有序集合划分格子的子格结构，探讨了块大小受限的拓扑和组合性质，推导了递归原子顺序及对称群作用的公式，并揭示了与k-Catalan数相关的区间结构。
Parts in $k$-indivisible Partitions Always Display Biases between Residue Classes
本文证明在 $k$-不可分划分中，随着 $n$ 增大，各部分模 $t$ 的剩余类之间总是存在偏差，不存在平局，通过 $L$-函数和非消失结果证实了先前猜想。
Beck-type identities: new combinatorial proofs and a theorem for parts congruent to $t$ mod $r$
令$\mathcal O_r(n)$是$n$的$r$ -常规分区的集合，$\mathcal D_r(n)$是$n$的分区的集合，其中部分重复最多$r-1$次，$\mathcal O_{1,r}(n)$是恰好一个部分（可能重复）可被$r$整除的分区的集合，并且令$\mathcal D_{1,r}(n)$是其中恰好一个部分出现至少$r$次的分区的集合。如果$E_{r, t}(n)$是$\mathcal O_r(n)$中所有分区中与$t \pmod r$一致的部分的数量超过$\mathcal D_r(n)$中所有分区中至少出现$t$次的不同部分的数量，则为$E_{r, t}(n) = |\mathcal O_{1,r}(n)| = |\mathcal D_{1,r}(n)|$。我们证明了这一点分析和组合使用双射由于熊和基思。作为推论，我们得到第一个贝克型恒等式，即，$\mathcal{O}_r(n)$中的所有分区中的部件数量超过$\mathcal{D}_r(n)$中的所有分区中的部件数量的部分等于$(r - 1)|\mathcal{O}_{1,r}(n)|$，也等于$(r - 1)|\mathcal{D}_{1,r}(n)|$。我们的工作提供了一个新的组合证明，这一结果，不使用Glaucet的双射。我们还给出了一个新的组合证明的Xiong-Keith双射的基础上的第二贝克型身份，已被证明…
Congruences for Overcubic Partition $k$-Tuples
利用生成函数证明超立方分拆 $k$ 元组的新同余式族，包括模 2 的幂和奇数模的同余性质，如 $\OL{b}_{4}(22m+11)\equiv0\pmod{11}$ 和 $\OL{b}_{9l+2}(9m+3)\equiv0\pmod{3}$。
On possible sums from multiset of mutually divisible natural numbers
该研究刻画了满足元素间两两可整除的自然数有限多重集的子多重集和集合的结构，并给出了两个此类多重集的子多重集和集合相等的判据。
Partitions into a small number of part sizes
我们研究了$ν_k(n)$，$n$划分成$k$部件尺寸的数量，并发现了许多等差数列，其中$ν_2$和$ν_3$的值可被2和4整除。扩展早期的工作，我们显示$ν_2(An+B) \equiv 0 \pmod{4}$为（A，B）=（36，30），（72，42），（252，114），（196，70），以及可能的许多其他进展，我们的方法应该很容易推广。在一些独立的兴趣，我们证明了过分配函数$\bar{p}(n) \equiv 0 \pmod{16}$在前三个级数（第四个是已知的），从而显示$ν_3(An+B) \equiv 0 \pmod{2}$在这些级数以及，并讨论这些同余之间的关系在更一般性。最后，我们提出这方面的开放性问题。
Periodic minimum in the count of binomial coefficients not divisible by a prime
针对不被素数整除的二项式系数计数的周期函数最小值难以确定的问题，研究提出通用求解方法，解决了B. Wilson此前的相关猜想。
Projective divisible binary codes
对于哪些正整数$n,k,r$，存在$\mathbb{F}_q$上的线性$[n,k]$码$C$，其中所有码字权重都可被$q^r$整除，并且使得$C$的生成矩阵的列是投影不同的？研究这个问题的动机来自于部分扩展的理论，或者具有最高可能的最小距离的子空间码，因为在$\operatorname{PG}(v-1,\mathbb{F}_q)$中的$r$ -平坦部分扩展的孔的集合对应于具有$k\leq v$的$q^r$ -可除码。在本文中，我们提供了一个介绍这个问题，并报告新的结果$q=2$。
Congruences for Bipartitions with Odd Parts Distinct
Hirschhorn和Sellers研究了奇数部分不同的分区数的算术性质。在另一个方向上，哈蒙德和刘易斯研究了二等分数的算术性质。本文考虑奇部相异的双分拆的个数。让这个数字表示为$pod_{-2}(n)$。我们得到了$pod_{-2}(n)$的两个Ramanujan型恒等式，这意味着$pod_{-2}(2n+1)$是偶数，而$pod_{-2}(3n+2)$可被3整除.此外，我们表明，对于任何$α\geq 1$和$n\geq 0$，$ pod_{-2}(3^{2α+1}n+\frac{23\times 3^{2α}-7}{8})$是3的倍数和$pod_{-2}(5^{α+1}n+\frac{11\times 5^α+1}{4})$是整除5。我们还发现组合解释的两个同余模2和3。
Strongly regular graphs decomposable into a divisible design graph and a Hoffman coclique
本文确定了可分解为可除设计图与达到Hoffman界的独立集的强正则图的参数，证明其最小特征值为素数幂时参数与$\textsf{Sp}(2d,q)$补图一致，并推广了相关构造方法。
New Nonuniform Group Divisible Designs and Mixed Steiner Systems
本文研究混合Steiner系统与非均匀GDD的关联，提出基于正交阵列和可分解Steiner系统的新构造法，还借助H-设计大集得到t>3乃至t>4的非均匀GDD新参数，填补了相关领域的研究空白。
Refined Lattice Path Enumeration and Combinatorial Reciprocity
众所周知，具有固定高度和固定数量的谷的$m$ -Dyck路径的集合由Fuch-Narayana数计数。在这篇文章中，我们考虑的$m$ -Dyck路径的集合，至少开始于$t$北步骤。我们给出了这样的路径的数目的精确公式与固定的高度，固定数目的回报和（i）固定数目的山谷，（ii）固定数目的山谷与$x$ -坐标可整除的$m$和（iii）固定数目的山谷与$x$ -坐标不可整除的$m$。枚举（ii）combinatorially实现了$H$ -三角形出现在最近的一篇文章Krattenthaler和第一作者（代数。5，2022）在某些抛物非交叉分区的上下文中。通过Chapoton的一个变换公式，给出了相应的$F$ -三角形的一个显式公式.我们实现这个多项式组合的广义施罗德路径以及单位在某些超平面安排的手段。一路上，我们展示了两个新的组合互惠的结果。
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