Degenerate operators on the half-line
Giorgio Metafune, Luigi Negro, Chiara Spina
研究了奇异椭圆算子$$ y^α\left(D_{yy}+\frac{c}{y}D_y\right)-V(y),\qquadα\in\mathbb R $$在$\mathbb R_+$中的椭圆和抛物问题，其中$V$是具有非负实部的位势.
We study elliptic and parabolic problems governed by the singular elliptic operators $$ y^α\left(D_{yy}+\frac{c}{y}D_y\right)-V(y),\qquadα\in\mathbb R $$ in $\mathbb R_+$, where $V$ is a potential having non-negative real part.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Hölder estimates and asymptotic behaviors of solutions of some degenerate elliptic equations on half-spaces
本文研究了具有适当系数的退化椭圆型方程\begin{equation*}\label{main-Eq} Lu=x_n^{2α}\sum_{i,j=1}^{n-1}a_{ij}(x)D_{ij}u(x) +2x_n^α\sum_{i=1}^{n-1}a_{in}(x)D_{in}u(x)+D_{nn}u(x)=0 \end{equation*}在上半空间有界区域外的黏性解的渐近性态，其中$α>0$是有界区域.同时，Hölder估计到边界将使用重新标度方法获得。
Monotonicity of solutions of quasilinear degenerate elliptic equation in half-spaces
证明了当$2<p< 3$和$f(\cdot)$为幂型非线性函数，或当$p>2$和$f(\cdot)$为超线性函数时，$-Δ_p u=f(u)$的解在窄无界域上的弱比较原理.我们利用它证明了半空间中$-Δ_p u=f(u)$正解的单调性（Dirichlet假设为零），从而证明了一些Liouville型定理.
A unified approach to degenerate problems in the half-space
本文研究半空间$\mathbb R^{N+1}_+=\{(x,y): x \in \mathbb R^N, y>0\}$中由奇异椭圆算子\begin{equation*} \mathcal L =y^{α_1}Δ_{x} +y^{α_2}\left(D_{yy}+\frac{c}{y}D_y -\frac{b}{y^2}\right), \qquadα_1, α_2 \in\mathbb R \end{equation*}控制的椭圆和抛物问题。
Natural domains for edge-degenerate differential operators
研究了半空间上的锥微分算子和边退化的微分算子。我们构造了边索伯列夫空间的子空间，这些子空间可以被认为是边退化算子的自然域，并指出它们如何用于边退化算子边值问题的研究。
Liouville property for solutions of the linearized degenerate thin film equation of fourth order in a halfspace
考虑一类在半空间边界上退化的四阶线性抛物型方程的半空间边值问题.所考虑的方程基本上是线性化的薄膜方程。我们证明了，如果方程的右边和边界条件是多项式的切变量和时间，同样的性质有任何解决方案的一个权力增长。它还表明，指定的属性不适用于正常变量。作为应用，我们在幂增长函数类中给出了该问题的唯一性定理。
Degenerate linear parabolic equations in divergence form on the upper half space
研究了一类二阶退化线性抛物型方程在$(-\infty, T) \times \partial \mathbb R^d_+$中的散度型解，其中给出了$\mathbb R^d_+ = \{x \in \mathbb R^d\,:\, x_d>0\}$和$T\in {(-\infty, \infty]}$.方程的系数矩阵是$μ(x_d)$和有界一致椭圆矩阵的乘积，其中对于某些给定的$α\in (0,2)$，$μ(x_d)$的性质类似于$x_d^α$，这些$α\in (0,2)$在区域的边界$\{x_d=0\}$上退化.在系数的部分VMO假设下，我们得到了加权Sobolev空间中解的适定性和正则性。我们的结果可以很容易地扩展到系统。
Analytic semigroups in weighted $L_1$-spaces on the half-line generated by singular or degenerate operators
该研究确定了使含参数的奇异/退化微分算子在半直线加权$L_1$空间中生成解析半群的实参数取值范围，属于数学分析领域的算子半群理论研究。
Asymptotic behavior of positive solutions to a degenerate elliptic equation in the upper half space with a nonlinear boundary condition
我们考虑问题\begin{equation} \left\{\begin{array}{l}-\mbox{div}(x_{n}^{a}\nabla u)=0\qquad \mbox{in}\;\;\mathbb{R}_+^n,\\ \frac{\partial u}{\partial ν^a}=u^{q} \qquad \mbox{on}\;\;\partial \mathbb{R}_+^n,\\ \end{array} \right. \end{equation}的正解，其中$a\in (-1,0)\cup(0,1)$，$q>1$和$\frac{\partial u}{\partial ν^a}:=-\lim_{x_{n}\rightarrow 0^+}x_{n}^{a}\frac{\partial u}{\partial x_{n}}$ .在条件$q\geq\frac{n-a}{n+a-2}$下，我们得到了$n\geq3$中$a\in (-1,0)$正轴对称解的一些定性性质.特别地，我们建立了正轴对称解的渐近展开。
Liouville theorems for a class of degenerate or singular Monge-Ampère equations
本文研究半空间中右端项可退化或奇异的一类 Monge–Ampère 方程，对其解进行分类，并涵盖 Dirichlet 与 Neumann 两种边值情形。
Singular-degenerate parabolic systems with the conormal boundary condition on the upper half space
本文研究了在上半空间中具有正则退化抛物和椭圆方程组的混合范数加权Sobolev空间中解的适定性和正则性，扩展了之前针对标量方程的结果到方程组的情况，考虑了系数的测量性和小平均振荡性。
Nondivergence form degenerate linear parabolic equations on the upper half space
本文研究上半空间中边界退化的非散度型二阶线性抛物方程，在部分加权 VMO 系数条件下证明加权 Sobolev 空间中解的适定性与正则性。
The weighted Bergman space on a sector and a degenerate parabolic equation
本文用Dirichlet边界数据解射线上的退化抛物方程，并利用再生核希尔伯特空间理论的一些结果证明了该退化抛物方程的零可达空间是一个扇区上的解析函数的RKHS，其再生核可以用半平面C+上的加权Bergman核表示.
Asymptotic stability of planar stationary solution to a 2D hyperbolic-elliptic coupled system of the radiating gas in half space
本文讨论了半空间中二维双曲-椭圆耦合系统辐射气体初边值问题平面定态解的渐近稳定性。我们证明了在小的初始扰动下，当时间趋于无穷大时，问题的解收敛到相应的平面定常解。用标准的$L^2$ -能量方法证明了这些结果。证明了非退化情形下解$(u,q)$以$t^{-α/2-1/4}$的速度收敛到相应的平面定常解，退化情形下以$t^{-1/4}$的速度收敛到相应的平面定常解.证明是基于时间和空间加权能量法。
On parabolic and elliptic equations with singular or degenerate coefficients
研究了半空间$\{x_d>0\}$中抛物型和椭圆型方程的发散和非散度型，方程的系数是$x_d^α$与一致非退化有界可测矩阵值函数的乘积，其中$α\in (-1, \infty)$ .因此，系数在半空间的边界附近是奇异的或退化的。对于具有余法或Neumann边界条件的方程，当系数在小圆柱上仅在$x_d$方向可测而在其它方向有小的平均振动时，证明了加权索伯列夫空间和混合范数加权索伯列夫空间中解的存在性、唯一性和正则性.即使在系数为常数的特殊情况下，我们的结果也是新的，并且当$α=0$
Stability of degenerate stationary solution to the outflow problem for full Navier-Stokes equations
本文研究了完全可压缩Navier-Stokes方程斯托克斯方程在射线上流出问题解的大时间性态。本文是作者关于非线性波浪稳定性的系列论文之一。本文证明了一般气体（包括理想多变气体）的简并（跨音速）定态解的时间渐近稳定性。证明的关键是基于退化平稳解的新性质和精细的能量估计。
On a class of divergence form linear parabolic equations with degenerate coefficients
研究了上半空间上一类具有退化系数的散度型线性抛物型方程。具体地说，方程在$(-\infty, T) \times \mathbb{R}^d_+$中考虑，其中给出了$\mathbb{R}^d_+ = \{x \in \mathbb{R}^d\,:\, x_d>0\}$和$T\in {(-\infty, \infty]}$，扩散矩阵是$x_d$和有界一致椭圆矩阵的乘积，它们在$\{x_d=0\}$退化。因此，我们的类方程类似于相应的类退化粘性Hamilton-Jacobi方程。在适当的加权索伯列夫空间中得到了解的适定性结果和正则型估计.
Convergence to separate variables solutions for a degenerate parabolic equation with gradient source
研究了一类具有仅依赖于梯度的源项的拟线性退化扩散方程非负解的大时间行为。经过适当的重新调整的时间，收敛到一个独特的配置文件显示的全球解决方案。证明依赖于半松弛极限技术的理论内的黏性解和建设合适的超解和障碍函数，以获得最佳的时间衰减率和边界估计。研究了弱解的爆破问题。
Existence, uniqueness, and global regularity for degenerate elliptic obstacle problems in mathematical finance
Heston随机波动率过程是退化扩散过程的一个范例，在该模型中，扩散系数的退化与到半平面边界的距离的平方根成正比。这个过程的生成元，称为椭圆赫斯顿算子，是一个二阶退化椭圆偏微分算子，其系数在空间变量中线性增长，其中算子符号的退化与到半平面边界的距离成正比。借助于加权索伯列夫空间，证明了半平面上无界子域上椭圆Heston算子的平稳变分不等式和障碍问题解的存在性、唯一性和全局正则性.在数学金融学中，椭圆赫斯顿算子的障碍问题的解对应于标的资产上的永久美式期权的价值函数。
C^{1,1} regularity for degenerate elliptic obstacle problems
Heston随机波动过程是一个退化的扩散过程，其中扩散系数的退化与到半平面边界的距离的平方根成正比。这个有killing的过程的生成元称为椭圆赫斯顿算子，是一个二阶退化椭圆型部分微分算子，其中算子符号的退化度与到半平面边界的距离成正比。在数学金融学中，椭圆赫斯顿算子的障碍问题的解对应于标的资产的永久美式期权的价值函数。借助于加权索伯列夫空间和加权Holder空间，当障碍函数足够光滑时，我们建立了椭圆Heston算子障碍问题解的最优$C^{1,1}$正则性（直到半平面边界）.
Degenerate or singular parabolic systems with partially DMO coefficients: the Dirichlet problem
本文研究带部分Dini平均振荡系数的加权退化/奇异抛物方程组的Dirichlet问题，建立了解的高阶边界Schauder型估计，并推导出相应方程的高阶边界Harnack原理。
On nondivergence form linear parabolic and elliptic equations with degenerate coefficients
本文研究了上半空间中退化抛物型和椭圆型方程在加权混合范数Sobolev空间中的唯一可解性，探讨了函数空间的最优性。
Parabolic and elliptic equations with singular or degenerate coefficients: the Dirichlet problem
在上半空间$\mathbb{R}^d_+$中考虑一类椭圆型和抛物型方程的狄利克雷问题，其中系数是$x_d^α, α\in (-\infty, 1),$与有界一致椭圆系数矩阵的乘积.因此，系数在边界$\{x_d =0\}$附近是奇异的或退化的，并且它们可能不是局部可积的。新颖的工作是，我们找到适当的权重下，存在性，唯一性和正则性的解决方案在索伯列夫空间建立。这些结果似乎是第一次他们的种类，是新的，即使系数是常数。它们也很容易推广到方程组。
Effective junction conditions for degenerate parabolic equations
我们感兴趣的研究抛物型方程上的多维结，即工会的有限数量的副本的一个半超平面的尺寸d + 1，其边界被确定。公共边界被称为连接超平面。半超平面上的抛物型方程是非散度型的、完全非线性的、可能退化的，并且它们确实退化，并且沿连接超平面是拟凸的。更准确地说，沿连接超平面的非线性不依赖于二阶导数和它们的子水平集相对于梯度变量是凸的。抛物型方程补充了一个Neumann型的非线性边界条件，称为广义连接条件，它与最大值原理相容。我们的主要结果断言，在弱意义上施加一个广义的交界条件减少到施加一个有效的强意义上。这一结果推广了Imbert和Monneau关于网络和多维结点上的Hamilton-Jacobi方程的结果。我们给出了这个结果的两个应用。一方面，我们给出了关于这些方程的一个公开问题的第一个完整答案：我们证明了在两个区域的情况下，与拟凸Hamilton-Jacobi方程相关的消失粘性极限与Barles，Briani和Chasseigne（2012）确定的最大Ishii解一致。另一方面，对Bou{é}，Dupuis和Ellis（2000）的一个大偏差结果给出了一个简短的偏微分方程证明.
Stochastic representation of solutions to degenerate elliptic and parabolic boundary value and obstacle problems with Dirichlet boundary conditions
证明了退化Markov扩散过程的椭圆和抛物边值问题及障碍问题解的随机表示的存在唯一性。特别是，我们的文章集中在赫斯顿随机波动率过程，这是广泛使用的数学金融中的资产价格模型和退化的扩散过程的一个范例，其中退化的扩散系数是成比例的平方根的距离的半平面的边界。这个过程的生成器与杀戮，称为椭圆赫斯顿算子，是一个二阶，退化，椭圆部分微分算子的系数有线性增长的空间变量和退化的运营商符号是成比例的距离半平面的边界。在数学金融学中，抛物赫斯顿算子的终值/边值或障碍问题的解对应于标的资产的美式期权的价值函数。
Carleson measure estimates and the Dirichlet problem for degenerate elliptic equations
证明了当$n\geq2$和边界数据在$L^p_μ(\mathbb{R}^n)$中时，退化的椭圆型方程$\mathrm{div}(A \nabla u) = 0$在上半空间$(x,t)\in \mathbb{R}^{n+1}_+$中的狄利克雷问题可解，对于某些$p<\infty$ .系数矩阵$A$仅被假设为可测量的、实值的和$t$独立的，具有退化的边界和由$A_2$ -权$μ$控制的椭圆度。它不需要是对称的。通过证明所有有界解的Carleson测度估计，得到了退化椭圆测度相对于$\mathbb{R}^n$上的$μ$加权Lebesgue测度在$A_\infty$中的结论. Carleson测度估计使我们能够避免应用$ε$ -逼近方法，这简化了最近在一致椭圆系数的情况下得到的证明。所得结果是Lipschitz域的自然推广。
Nonlinear Instability of Half-Solitons on Star Graphs
考虑了具有幂非线性项的非线性薛定谔方程在单顶点N边星图上的半孤子定态。对于亚临界幂次非线性，半孤子态是作用泛函在质量约束下的一个退化临界点，使得二阶变分是非负的。利用规范形证明了退化临界点是一个非线性鞍点，在此点处，对半孤子态的小扰动随时间缓慢增长，导致半孤子态的非线性不稳定性.该结果适用于任何$N \geq 3$和任意亚临界功率非线性。它给出了Adami { \em et al.}以前结果的精确动力学刻画，其中半孤子态被证明是$N = 3$和立方非线性的质量约束下的作用泛函的鞍点。
Sobolev estimates for parabolic and elliptic equations in divergence form with degenerate coefficients
本文研究上半空间中主系数为 $x_d^2a_{ij}$ 的退化散度型抛物与椭圆方程，在系数具有小有界平均振荡条件下，建立了加权混合范数 Sobolev 空间中解的适定性与正则性。
Existence of multiple solutions for quasi-linear degenerate elliptic equations
研究了一类拟线性椭圆型退化方程。退化算子来源于对具有角点奇异性的流形的分析。运用变分方法证明了该问题无穷多解的存在性。
A Schauder approach to degenerate-parabolic partial differential equations with unbounded coefficients
受概率论和金融数学应用的启发，我们考虑了半空间上的抛物型偏微分方程，其系数是适当的Holder连续的，允许在空间变量上线性增长，并且沿着半空间的边界退化.我们建立了加权Holder空间中的解的存在性和唯一性，其中包含边界处的退化性和系数的无界性。在我们的同伴文章[arXiv：1211.4636]中，我们应用这篇文章的主要结果来证明与退化椭圆型偏微分算子相关的鞅问题在Stroock和Varadhan意义下是适定性的。
Analitic approach to solve a degenerate parabolic PDE for the Heston model
我们提出了一种解析方法来解决与Heston模型相关的退化抛物问题，该模型在数学金融中被广泛用于推导具有随机波动率的风险资产的欧式期权的价格。本文给出了抛物型偏微分方程的二阶退化椭圆算子在加权索伯列夫空间中的变分形式。利用这种方法，在适当的未知参数假设下，证明了半平面无界子域上抛物问题弱解的存在唯一性.
Carleman inequality for a linear degenerate parabolic problem
在这项工作中，我们证明了一个抛物问题的Carleman估计，其中有一个耗散退化项。证明依赖于选择一个合适的权函数，该权函数在控制域内符号变化。
Harnack inequality and continuity of solutions to quasi-linear degenerate parabolic equations with coeffcients from Kato-type classes
对一类具有可测系数和低阶项的非线性Kato型拟线性退化抛物方程，证明了解的局部有界性和连续性，以及正解的固有Harnack不等式.
Free boundary regularity for a degenerate fully non-linear elliptic problem with right hand side
考虑一类退化的完全非线性椭圆算子的单相自由边界问题，其右端非零。我们使用\cite{DeSilva}中的方法证明了平坦自由边界和Lipschitz自由边界是$C^{1, γ}$。
Alexandroff-Bakelman-Pucci estimate and Harnack inequality for degenerate/singular fully non-linear elliptic equations
本文研究了非散度型完全非线性椭圆型方程，它在“梯度很小”时是退化的。典型的例子是涉及$m$ -拉普拉斯算子的方程或来自随机控制问题的Bellman-Isaacs方程。我们建立了这类退化椭圆型方程黏性解的Alexandroff-Bakelman-Pucci估计并证明了一个Harnack不等式.
Gradient estimates for degenerate quasi-linear parabolic equations
对一类具有可微结构且低阶系数关于Laplacian形式有界的散度型拟线性退化抛物方程，得到了解的梯度的$L^q$ -估计，并证明了对于Kato型的低阶系数，解关于空间变量是Lipschitz连续的.
On long time behavior of periodic entropy solutions of a degenerate non-linear parabolic equation
证明了一维退化抛物型方程的空间周期熵解渐近收敛于行波解。它还表明，在一段包含的基本范围内的极限轮廓的通量函数是线性的（与斜率等于行波的速度）和扩散函数是常数。
$C^{1,α}$ regularity of solutions of degenerate fully non-linear elliptic equations
本文考虑一类完全非线性椭圆型方程，当梯度变小时，这类方程退化。将第一作者（2011）获得的Hölder估计与通过Ishii-Lions方法获得的新Lipschitz估计相结合，以获得这些方程解的$C^{1,α}$估计。
A Degenerate Edge Bifurcation in the 1D Linearized Nonlinear Schrodinger Equation
本文研究了聚焦非线性薛定谔方程一维纯幂非线性近似立方的odinger方程。我们考虑孤立子解的线性化算子的谱。当非线性度为立方时，线性化算子在本质谱的边缘处具有共振。我们建立了这些共振到特征值的退化分叉的非线性偏离立方。这些特征值的首阶表达式与以前的数值计算是一致的。
Existence and Spectral Theory for Weak Solutions of Neumann and Dirichlet Problems for Linear Degenerate Elliptic Operators with Rough Coefficients
本文在几何齐性空间中研究了二阶线性退化椭圆型偏微分算子$X$的Neumann和狄利克雷问题弱解的存在性和谱性质，其中粗糙系数为$$X=-\text{div}(P\nabla )+{\bf HR}+{\bf S^\prime G} +F$$，其中$P=P(x)$的矩阵函数$n\times n$允许退化.我们给出了$Xu\leq 0$的弱解的最大值原理，并由此得到了退化Sobolev空间$QH^{1,p}$到$L^q$的紧投影与Poincaré不等式之间的关系.
To the theory of entropy sub-solutions of degenerate non-linear parabolic equations
证明了一类仅具有连续流和扩散函数的非线性退化抛物方程Cauchy问题的最大熵子解和最小熵上解的存在性.应用这一结果，我们建立了具有周期初值的熵解的唯一性。当至少有一个初始函数是周期函数时，也证明了更一般的比较原理。
Boundary-degenerate elliptic operators and Holder continuity for solutions to variational equations and inequalities
Heston随机波动率过程是退化扩散过程的一个范例，在该模型中，扩散系数的退化与到半平面边界的距离的平方根成正比。这个过程的生成元，称为椭圆赫斯顿算子，是一个二阶的退化椭圆部分微分算子，其系数在空间变量中线性增长，并且算子符号的退化与到半平面边界的距离成正比。借助于加权索伯列夫空间，我们证明了椭圆Heston算子定义的变分方程解的上确界、Harnack不等式和边界附近的Hölder连续性，以及椭圆Heston算子定义的变分不等式解到边界的Hölder连续性.在数学金融学中，椭圆赫斯顿算子的障碍问题的解对应于标的资产上的永久美式期权的价值函数。
Smooth solutions of degenerate linear parabolic equations and the porous medium equation
本文在 Fichera 结构条件下证明了有界区域上线性退化抛物型方程光滑解的存在性，并以此为基础证明了 $1<m\le 2$ 的多孔介质方程 $u_t = Δu^m$ 的光滑短时间存在性。
Singular degenerate problems and applications
研究了线性和非线性奇异退化微分算子方程的边值问题。对于流体力学、环境工程和污染物大气扩散中的非线性问题，我们证明了线性问题的适定性和最优正则性结果。
Hypoellipticity for linear degenerate elliptic systems in Carnot groups and applications
我们证明了如果u是Carnot群（对步长没有限制）中常系数方程组（沿水平方向具有强椭圆性）的弱解，则u实际上是光滑的.然后利用这个结果发展爆破分析，证明了某些非线性系的弱解的部分正则性结果。
Elliptic and parabolic equations with rough boundary data in Sobolev spaces with degenerate weights
本文研究了半空间中散度形式的椭圆和抛物型方程的非齐次边值问题，边界数据属于 Besov 分布空间，解空间为带有快速衰减幂权重的 Sobolev 空间，并建立了使问题适定的右端项结构条件。
Feynman-Kac Formulas for Solutions to Degenerate Elliptic and Parabolic Boundary-Value and Obstacle Problems with Dirichlet Boundary Conditions
我们证明了与一般马尔可夫扩散过程相关的椭圆和抛物边值问题和障碍问题的解的Feynman-Kac公式。我们的扩散模型涵盖了几个流行的随机波动率模型，如赫斯顿模型，CEV模型和SABR模型，这些模型被广泛用于数学金融中的资产定价模型。这个马尔可夫过程的生成元是一个二阶的退化椭圆型偏微分算子，其中算子符号的退化度与到半平面边界的距离的$2α$ -幂成比例，其中$α\in(0,1]$。我们的随机表示公式提供了唯一的解决方案，椭圆边值和障碍问题，当我们寻求的解决方案是适当光滑的边界部分$Γ_{0}$包含在上半平面的边界。在完全狄利克雷条件的情况下，我们的随机表示公式提供的唯一的解决方案，不保证是任何超过连续的边界部分$Γ_{0}$。
On radial solutions for a Fully Non Linear degenerate or singular PDE
本文考虑环中的方程$-| \nabla u |^αF ( D^2 u) = |u|^{p-1} u $。$F$是完全非线性椭圆，$α$是一些真正的$> -1$和$p > 1+ α$。解决方案是在Birindelli和Demengel \cite{BD1}给出的定义的意义上。我们证明了非平凡的正/负径向解的存在性。
On some properties of entropy solutions of degenerate non-linear anisotropic parabolic equations
证明了一类非线性退化各向异性抛物型方程Cauchy问题的最大熵解和最小熵解的存在性。应用这个结果，我们建立了当至少有一个初始函数是周期函数时的比较原理。在强平均意义下，当初始函数在无穷远处为零时，我们证明了在严格的非线性扩散条件下熵解的长时间衰减。
Liouville theorems for a family of very degenerate elliptic non linear operators
本文证明了一类含有完全非线性退化椭圆算子${\cal P}^\pm_k$的方程的非负黏性解的Liouville型不存在性，该算子分别定义为黑塞矩阵的最大和最小$k$特征值之和.对于算子${\cal P}^+_k$，我们得到类似的结果，适用于拉普拉斯算子在空间维$k$。然而，由于算子${\cal P}^-_k$具有更强的退化性，我们得到了完全不同的结果.
Some possibly degenerate elliptic problems with measure data and non linearity on the boundary
研究了有界区域上一类可能退化的椭圆型方程在非线性边界条件下的解。我们研究两类问题：第一类是有界区域上的拉普拉斯算子，测度支撑在区域和边界上。第二个处理相同类型的数据，但涉及方程中的退化权重。在这两种情况下，所考虑的非线性位于边界上。对于第一个问题，我们证明了一个最佳的正则性结果，而对于第二个最优性是不能保证的，但我们提供然而，正则性估计。
A priori bounds for a class of semi-linear degenerate elliptic equations
本文主要讨论退化椭圆型方程{方程} \label{000} a^{ij}（x）\partial_{ij} u+b^i（x）\partial_i u +f（x，u）=0，\text{in} Ω \subset \subset R^n，{方程}其中$a^{ij}\partial_i ϕ\partial_j ϕ=0$在$\partial Ω$上，$ϕ$是$\partial Ω$的定义函数.对系数和$f(x,u)$施加适当的条件，可以通过爆破方法得到\eqref{000}的$L^\infty$ -估计.
A classical Perron method for existence of smooth solutions to boundary value and obstacle problems for degenerate-elliptic operators via holomorphic maps
利用Perron方法的一个新版本，证明了退化椭圆型线性二阶偏微分算子在部分Dirichlet边界条件下的边值问题和障碍问题解的存在性.所考虑的椭圆算子沿着区域边界的一部分具有退化性，这类似于Daskalopoulos和Hamilton（1998）在多孔介质方程的研究中确定的模型线性算子的退化性或数学金融中的Heston算子（1993）的退化性。存在一个解决方案的狄利克雷问题的半球，其中运营商成为退化的平坦边界和狄利克雷条件只施加在球形边界上，提供了关键的额外成分所需的Perron方法。半球上的狄利克雷问题的解可以通过一个合适的在二维上全纯的双同态转化为无限平板上的狄利克雷问题。所需的Schauder正则性理论和存在的解的狄利克雷问题的板，但可以得到使用以前的工作，作者和C。流行[arXiv：1210.6727]。我们的Perron方法依赖于退化椭圆算子的弱最大值原理和强最大值原理、退化椭圆算子的边界值和障碍问题的连续子解和上解的概念以及作者以前开发的最大值和比较原理估计[arXiv：1204.6613]。
Hypoellipticity of a Class of Infinitely Degenerate Second Order Operators and Systems
本文建立了二阶线性算子的一个亚椭圆性结果，该算子由具有无穷消失系数的次椭圆算子的线性组合组成。这推广了以前已知的结果。
Existence results for parabolic problems related to fully non linear operators degenerate or singular
本文证明了在Omega时间]0，T[上带某些边界条件的抛物型方程dtu = F（Du，D2 u）+ f（x，u）的解的存在性和正则性，其中Omega是具有锥性质的有界区域，$F$是奇异的或退化的，并满足某些一致椭圆性条件.
On the martingale problem for degenerate-parabolic partial differential operators with unbounded coefficients and a mimicking theorem for Ito processes
使用我们的同伴文章[arXiv：1112.4824v2]上的Schauder方法的退化抛物型偏微分方程的解的存在性的结果，我们解决了三个交织的问题，概率论和数学金融的动机，关于退化扩散过程。证明了半空间上具有无界局部Holder连续系数的退化椭圆型微分算子的鞅问题在Stroock和Varadhan意义下是适定性的.其次，我们证明了一类具有退化扩散和无界系数的随机微分方程弱解的存在性、唯一性和强马尔可夫性，并具有适当的Hölder连续性.第三，对于具有退化扩散和无界但适当正则系数的Ito过程，我们证明了强马尔可夫过程的存在性，它在概率律意义下是唯一的，其一维边缘概率分布与给定的Ito过程的边缘分布相匹配.
Exact solution to the Dirichlet problem for degenerating on the boundary elliptic equation of Tricomi-Keldysh type in the half-space
本文利用Fourier变换和相似方法，求解了半空间中Tricomi，Gellerstedt和Keldysh方程的推广的多维椭圆型方程的Dirichlet问题，在方程退化的边界超平面上的边界条件下，解以一个简单核的积分形式给出，该简单核近似于Tricomi-Keldysh型方程的恒等式和自相似解特别是，这个公式包含一个泊松公式，它给出了半空间的拉普拉斯方程的狄利克雷问题的解决方案。如果给定的边界值是一个广义的缓慢增长的函数，狄利克雷问题的解可以写成这个函数与核的卷积（如果卷积存在）。
Fully non-linear degenerate elliptic equations in complex geometry
本文给出了紧致Hermitian流形上一类几何完全非线性椭圆型方程解的先验实Hessian估计，该估计与右端函数的下界无关.这改进了Székelyhidi的估计，并且还适用于右手边退化的椭圆型方程。作为应用，我们建立了紧致Hermite流形上$(θ, m)$ -下调和函数包络的最优$C^{1,1}$正则性.
Maximum principles for boundary-degenerate linear parabolic differential operators
我们发展弱和强最大值原理的边界退化，线性，抛物型，二阶偏微分算子，$Lu := -u_t-\tr(aD^2u)-\langle b, Du\rangle + cu$，与\emph{partial} Dirichlet边界条件。假设系数$a(t,x)$沿着域$\sQ\subset\RR^{d+1}$的抛物线边界$\mydirac!\sQ$的非空开子集$\mydirac_0!\sQ$（称为\emph{degenerate boundary portion}）消失，而$a(t,x)$在\emph{non-degenerate boundary portion}（$\mydirac_1!\sQ := \mydirac!\sQ\less\bar{\mydirac_0!\sQ}$）中的点处可以是非零的。$\mydirac_0!\sQ$中的点与域$\sQ$内部的点起着相同的作用，边界比较只需要非退化边界部分$\mydirac_1!\sQ$。我们还开发了比较原则和先验最大值原理估计的边界退化抛物算子定义的边界值和障碍问题的解决方案，再次只有非退化的边界部分，$\mydirac_1!\sQ$，需要边界比较。我们的结果补充了我们以前的文章[arXiv 1204.6613，arXiv：1305.5098]中的结果。
Linearly degenerate PDEs and quadratic line complexes
二次线聚是射影空间P ^3中的一个三参数直线族，它在Plucker坐标系中由一个二次关系指定。在P^3中固定一点p，取复形中所有通过p的直线，我们得到一个顶点在p的二次锥。这一族锥为P^3提供了一个共形结构。与此共形结构，我们相关联的三维二阶拟线性波动方程。我们证明了任何这样产生的偏微分方程都是线性退化的，而且任何线性退化的偏微分方程都可以通过这种构造得到。这提供了一个分类的线性退化波方程分为十一种类型，标记的塞格雷符号的相关的二次复形。我们分类塞格雷类型的相关的共形结构是共形平坦的，以及塞格雷类型的相应的PDE是可积的。
Schauder a priori estimates and regularity of solutions to boundary-degenerate elliptic linear second-order partial differential equations
建立了一类边界退化椭圆型线性二阶偏微分方程解的Schauder先验估计和正则性.此外，给定一个光滑的源函数，我们证明了正则性的解决方案的边界的一部分，该算子是退化的。退化椭圆算子在我们的文章中描述的那种出现在各种各样的应用，包括作为仿射扩散过程的发电机在数学金融随机波动率模型中，数学生物学中产生的扩散过程的发电机，以及多孔介质的研究。
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