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arXiv 2201.03983math.CO
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最小的饱和边数

The minimum number of clique-saturating edges

Jialin He, Fuhong Ma, Jie Ma, Xinyang Ye

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摘要：

设$G$是一个无$K_p$图.如果$e\notin E(G)$和$G+e$包含一个$K_p$的拷贝，我们说$e$是$G$的$K_p$饱和边。用$f_p(n, e)$表示具有$e$边的无点$K_p$图所能具有的最小$K_p$饱和边数.埃尔德什和图扎指出，$f_4(n,\lfloor n^2/4\rfloor+1)=\left(1 + o(1)\right)\frac{n^2}{16}.$ Balogh和Liu通过展示$f_4(n,\lfloor n^2/4\rfloor+1)=(1+o(1))\frac{2n^2}{33}$证明了这一点。他们认为，对于$K_p$ -free图，他们构造的自然推广也应该是最优的，并猜想对所有整数$p\ge 3$，都有$f_{p+1}(n,ex(n,K_p)+1)=\left(\frac{2(p-2)^2}{p(4p^2-11p+8)}+o(1)\right)n^2$.本文的主要结果是证实了Balogh和Liu的上述猜想。

英文摘要：

Let $G$ be a $K_p$-free graph. We say $e$ is a $K_p$-saturating edge of $G$ if $e\notin E(G)$ and $G+e$ contains a copy of $K_p$. Denote by $f_p(n, e)$ the minimum number of $K_p$-saturating edges that an $n$-vertex $K_p$-free graph with $e$ edges can have. Erdős and Tuza conjectured that $f_4(n,\lfloor n^2/4\rfloor+1)=\left(1 + o(1)\right)\frac{n^2}{16}.$ Balogh and Liu disproved this by showing $f_4(n,\lfloor n^2/4\rfloor+1)=(1+o(1))\frac{2n^2}{33}$. They believed that a natural generalization of their construction for $K_p$-free graph should also be optimal and made a conjecture that $f_{p+1}(n,ex(n,K_p)+1)=\left(\frac{2(p-2)^2}{p(4p^2-11p+8)}+o(1)\right)n^2$ for all integers $p\ge 3$. The main result of this paper is to confirm the above conjecture of Balogh and Liu.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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