Counting perfect colourings of plane regular tilings
研究周期性和非周期性图案的颜色对称性的第一步是确定允许所考虑的图案的完美着色的颜色的数量。完美的着色是指未着色图案的每一种对称性都导致颜色的整体排列。有两种情况：要么是关于所有对称性的完美着色，要么是关于仅保持对称性的方向（没有反射）。对于重要的一类染色的经常平铺（和一些Laves平铺）的欧几里德或双曲平面，这主要是组合的问题是解决这里使用群论方法。
2008-07-29 math.CO math.GR
Perfect tilings of 3-graphs with the generalised triangle
本文确定了3-一致超图被广义三角形完美铺砌的最佳最小共度条件，并给出了彩虹版本的渐近最优条件。
2025-05-08 math.CO
Obtaining binary perfect codes out of tilings
如果基本瓦片是公制球，则$n$维汉明立方体的瓦片化产生完美码（根据给定的公制）。我们关心的是度量的$n$维汉明立方体是由一个权重，尊重支持向量（TS-度量）。我们认为已知的平铺的汉明立方体，并首先确定其中产生一个完美的代码。在序列中，对于那些满足这个条件的平铺，我们确定所有的TS-度量，将其变成一个完美的代码。我们还提出了新的完美码的建设所获得的两个较小的级联。
2019-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Triangle-tilings in graphs without large independent sets
本文研究了具有次线性独立数的$n$ -顶点图$G$中保证完美和几乎完美三角形拼接存在所需的最小度。在这种情况下，我们表明，如果$δ(G) \ge n/3 + o(n)$，那么$G$有一个三角形平铺覆盖所有，但最多四个顶点。此外，对于每一个$r \ge 5$，我们渐近地确定一个完美的三角形平铺的最小度阈值的额外的假设下，$G$是$K_r$自由和$n$是由$3$整除。
2016-07-26 math.CO
Tilings in randomly perturbed dense graphs
图$G$中的完美$H$ -平铺是图$H$在$G$中的顶点不相交副本的集合，这些副本一起覆盖$G$中的所有顶点。本文研究了由Bohman，Frieze和Martin提出的随机图模型中的完美$H$ -镶嵌问题.在这个随机图模型中，我们从稠密图开始，然后在稠密图上添加$m$随机边.具体地说，对于任何固定图$H$，我们确定添加到线性最小度的任意图所需的随机边的数量，以确保所得到的图包含完美的$H$。以高概率平铺。我们的证明利用Szemerédi的正则引理以及一个特殊情况下的结果Komlós关于几乎完美的$H$ -tilings密集图。
2018-05-11 math.CO
Combinatorial connections in snake graphs: Tilings, lattice paths, and perfect matchings
本文引入三角蛇图，建立其路径、底层蛇图完美匹配与铺砌之间的双射，并据此给出直蛇图完美匹配数的 Hankel 行列式表达及 Fibonacci、Pell 序列的行列式来源。
2025-03-17 math.CO
Perfect precise colorings of plane semiregular tilings
本文研究平面半正镶嵌的完美精确着色问题，为$k\leq 6$的某些$k$价半正镶嵌族构造了满足对称群置换与顶点邻接颜色约束的着色方案。
2023-12-31 math.CO
Minimum degree thresholds for bipartite graph tiling
对于任何二部图$H$，我们确定了平衡二部图$H$包含完美$H$ -平铺的最小度阈值.我们表明，这个阈值是最好的可能的常数仅取决于$H$。此外，我们证明了一个相应的最小度阈值，以保证$G$有一个$H$ -平铺只缺少一个常数数量的顶点。我们的阈值为完美的瓷砖取决于色数$χ(H)$或临界色数$χ_{cr}(H)$，而几乎完美的瓷砖的阈值只取决于$χ_{cr}(H)$。我们的结果回答了赵的两个问题。它们可以被看作是Kuhn和Osthus以及Shokoufandeh和Zhao的结果的二分类似物。
2014-10-16 math.CO
A degree sequence version of the Kühn-Osthus tiling theorem
Kühn和Osthus的一个基本结果[完美图填充的最小度阈值，Combinatorica，2009]确定了一个附加常数的最小度阈值，迫使一个图包含一个完美的H-瓦片。我们证明了这个结果的度序列版本，它允许大量的顶点具有较低的程度。
2019-09-27 math.CO
Perfect Matching Complexes of Polygonal Line Tilings
本文研究多边形线镶嵌及$\left(2 \times n\right)$-网格图的完美匹配复形，利用离散Morse理论证明其要么可缩要么与球面的楔同伦等价，并刻画了无法扩展为完美匹配的所有匹配。
2025-04-07 math.AT math.CO
Perfect tilings with the generalised triangle in $k$-graphs
本文将 Bowtell 等人关于 3-图中完美广义三角形平铺的最小共度阈值结果推广到所有 k≥3，利用基于格的吸收方法构造统一转移，并给出彩虹变体的渐近紧阈值。
2025-08-17 math.CO
A Note on One-Hole Domino Tilings of Squares and Rectangles
本文研究奇数乘奇数矩形网格中单孔多米诺铺砖（即近完美匹配）的计数问题，证明了正方形网格任意特定空缺位置的近完美匹配数均为$2^k$的倍数，从而证实Kong猜想，并给出矩形情形的奇偶性判定。
2025-06-03 math.CO
Tiling randomly perturbed bipartite graphs
本文研究随机扰动二部图中完美 $K_{h,h}$-平铺的存在性阈值，在具有线性最小度的条件下给出了该阈值的精确刻画。
2024-11-19 math.CO
Tiling dense hypergraphs
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）
研究超图完美平铺问题，证明了对于近似封闭于子抽样的超图族，空间、可除性和覆盖三个必要条件是渐近充分的，并给出了最小d度阈值的刻画。
2026-05-29 math.CO
Tilings in randomly perturbed graphs: bridging the gap between Hajnal-Szemerédi and Johansson-Kahn-Vu
图$G$中的完美$K_r$ -平铺是$K_r$的顶点不相交副本的集合，这些副本一起覆盖$G$中的所有顶点。本文考虑了随机扰动图的完美$K_r$ -镶嵌; Bohman，Frieze和Martin引入的模型，其中从稠密图开始，然后向其添加$m$随机边。具体地，给定任何固定的$0< α<1-1/r$，我们确定必须向最小度$δ(G) \geq αn$的$n$ -顶点图$G$添加多少随机边，以确保，渐近几乎必然地，所得到的图包含完美的$K_r$平铺。随着$α$的增加，我们证明了随机边缘的数量需要以规则的间隔“跳跃”，并且在这些间隔内，我们的结果是最好的。因此，这项工作缩小了Johansson，Kahn和Vu的开创性工作之间的差距（解决了纯粹随机的情况，即，$α=0$）以及Hajnal和Szemerédi的（这表明对于$α\geq 1-1/r$，初始图已经容纳了期望的完美$K_r$ -平铺）。
2020-07-29 math.CO
Tilings in vertex ordered graphs
近年来，人们对点序图的Turán性质和Ramsey性质都很感兴趣。在这篇论文中，我们开始研究在点序图中嵌入生成结构。特别是，我们介绍了一个一般的框架来接近的问题，确定最低程度的阈值，迫使一个完美的$H$平铺有序图。在（无序）图设置中，这个问题由Kühn和Osthus解决[完美图填充的最小度阈值，Combinatorica，2009]。我们使用我们的一般框架来解决区间色数$2$的所有有序图$H$的完美$H$ -平铺问题。已经在这个限制设置类极值的例子是丰富的比无序图的问题。在证明我们的结果的过程中，新的方法的规律性和吸收方法的发展。
2022-02-16 math.CO
Ramsey-Turán Type Problem for Perfect Transitive Triangle Tilings in Digraphs
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
研究有向图在独立数较小条件下，通过最小度条件保证完美传递三角形铺砌的存在性，给出了渐近最优的最小度下界。
2026-06-15 math.CO
On Tilings of Asymmetric Limited-Magnitude Balls
我们研究一个不对称的有限大小的球是否可以瓷砖$\mathbb{Z}^n$。这个球概括了以前研究的形状：十字架，半十字架和准十字架。这样的平铺在信道中充当完美的纠错码，其通过有限幅度的误差改变有界数目的条目中的发送的整数向量。给出了一种基于汉明度量下的完美码的格分块的构造方法。几个不存在的结果被证明，无论是一般tilings，和格tilings。证明了两种情况下格拼接的完全分类。
2021-01-15 cs.IT math.CO math.IT
On Perfect Matchings and tilings in uniform Hypergraphs
本文研究了超图中Dirac型问题的一些变形。首先，我们证明了对于$k\ge 3$，如果$H$是一个在$n\in k\mathbb N$顶点上的$k$ -图，其独立数至多为$n/p$，最小余度至少为$(1/p+o(1))n$，其中$p$是$k$的最小素因子，则$H$包含完美匹配.其次，证明了如果$H$是一个在$n\in 3\mathbb N$顶点上的$3$ -图，且不包含$K_4^-$的任何导出拷贝（唯一的$3$ -图，其顶点和边都是$4$），且最小度至少为$(1/3+o(1)))n$，则$H$包含完美匹配.此外，如果我们允许匹配在大多数$3$顶点错过，那么最小度条件可以减少到$(1/6+o(1)))n$。第三，我们证明了如果$H$是一个在$n\in 4\mathbb N$顶点上的$3$ -图，且不包含$K_4^-$的任何诱导拷贝，且最小余度至少为$(1/8+o(1)))n$，则$H$包含一个完美$Y$ -平铺，其中$Y$表示唯一的具有$4$顶点和$2$边的$3$ -图。我们还提供的例子表明，我们的最小余度条件是渐近最好的可能。我们的主要工具，寻找完美匹配是一个特征定理，其特征$k$ -图的最小度至少$n/k$包含一个完美匹配。
2018-02-16 math.CO
Applications of Graphical Condensation for Enumerating Matchings and Tilings
利用图凝聚技术证明了平面二部图的（完美）匹配数与区域分块数之间的各种组合恒等式。图形凝聚涉及将图的匹配叠加到较小子图的匹配上，然后以两种可能的方式之一将联合匹配（实际上是多重图）重新划分为另外两个子图的匹配。这种技术可以用来枚举各种各样的二部可平面图的完美匹配。应用程序包括阿兹特克钻石和矩形的多米诺骨牌平铺，堡垒的空竹平铺，平面分区和转置互补平面分区。
2003-09-11 math.CO
Signed lozenge tilings
众所周知，六边形的平面划分、菱形镶嵌、蜂窝图上的完美匹配以及六边形中的不相交格路族都是双射。在这项工作中，我们考虑的区域比六边形更一般。它们是通过进一步去除指向上的三角形而获得的。我们称之为三角形区域。我们建立签署后三个双射三角区域的版本。我们首先研究三角形区域的菱形可分性。然后，我们使用完美匹配和家庭的不相交的晶格路径来定义两个符号的菱形瓷砖。使用一种新的方法，我们称之为解决穿刺，我们表明，这两个符号实际上是等价的。因此，我们得到的平等的决定因素，直到签署，枚举签署完美匹配和签署家庭的格路径的三角形区域，分别。我们还描述了三角形区域，其中有符号枚举同意与无符号枚举。
2015-07-06 math.CO
Tiling randomly perturbed multipartite graphs
本文证明了随机扰动平衡 $r$-部图中存在完美 $K_r$-平铺的阈值为 $n^{-2/r}$，将已有二部图结果推广到多部图情形。
2025-04-09 math.CO
Tiling edge-ordered graphs with monotone paths and other structures
本文首次研究边有序图中的完美平铺问题，刻画了问题良定义的边有序图，并利用吸收方法渐近确定了迫使完美单调路径平铺的最小度阈值。
2023-10-17 math.CO
Transitive Triangle Tilings in Oriented Graphs
本文证明了Corrádi和Hajnal经典定理的一个类似定理。存在$n_0$，使得对于每个$n \in 3\mathbb{Z}$，当$n \ge n_0$时，以下成立。若$G$是$n$顶点上的定向图，且每个顶点的入度和出度都至少为$7n/18$，则$G$包含一个完美传递三角形镶嵌，它是覆盖$G$的每个顶点的顶点不相交的传递三角形的集合.这个结果是最佳可能的，因为对于每个$n \in 3\mathbb{Z}$，存在$n$顶点上的定向图$G$，而不存在完美传递三角形镶嵌，其中每个顶点的入度和出度至少为$\lceil 7n/18\rceil - 1.$
2017-01-09 math.CO
Dirac-type results for tilings and coverings in ordered graphs
Balogh，Li和Treglown最近的一篇论文开始了有序图的Dirac-type问题的研究。在本文中，我们证明了在这方面的一些结果。特别地，我们渐近地确定了（i）对于任何区间色数至少为$3$的固定有序图$H$，在有序图中强制完美$H$ -平铺的最小度阈值;（ii）对于覆盖$G$的固定比例的顶点的有序图$G$，在有序图中强制$H$ -平铺的最小度阈值（对于任何固定有序图$H$）;（iii）有序图中的$H$ -覆盖（对于任何固定有序图$H$）.前两个这些结果解决问题的Balogh，李和Treglown，而（三）解决了一个问题的Falgas，Ravry。请注意，（i）与Balogh，Li和Treglown的结果相结合，完全确定了用于强制完美$H$平铺的渐近最小度阈值。此外，我们证明了一个结果，结合Balogh，李和Treglown定理，渐近确定的最小度阈值，迫使几乎完美的$H$ -平铺在有序图（任何固定的有序图$H$）。因此，我们的工作提供了Kühn和Osthus [Combinatorica 2009]和Komlós [Combinatorica 2000]的开创性平铺定理的有序图类似物。我们的每一个结果都表现出一些奇怪的，也许是意想不到的行为。我们对（i）的解决方案使用了一个新颖的吸引人的论点。
2022-10-17 math.CO
On perfect subdivision tilings
本文研究图$H$的完美细分平铺问题，通过最小度条件$δ_{\mathrm{sub}}(n, H)$，对任意给定图$H$渐近确定了其完美细分平铺存在的最小度阈值。
2025-03-26 math.CO
Enumerations of lozenge tilings, lattice paths, and perfect matchings and the weak Lefschetz property
MacMahon列举了$a \times b \times c$框中的平面分区。这些是在双射菱形平铺的六边形，某些完美的匹配，和家庭的非交叉晶格路径。在这项工作中，我们考虑更一般的区域，称为三角区域，并建立后三个双射的有符号版本。事实上，我们使用完美匹配和家庭的不相交的晶格路径来定义两个符号的菱形瓷砖。一个组合的论点，涉及一个新的方法，所谓的解决方案的穿刺，然后表明，这些迹象实际上是等价的。这特别提供了这些族的两个不同的行列式枚举。利用这些结果研究了三维多项式环的单项式理想的Artin行列式的弱Lefschetz性质.建立了理想的合丛具有弱Lefschetz性质和半稳定性的充分条件，对具有弱Lefschetz性质的二型代数进行了分类，并深入研究了单项几乎完全交.此外，我们开发了一个通用的方法，往往与代数失败的弱Lefschetz属性复曲面，满足拉普拉斯方程。我们还提出了复曲面品种，满足任意多个拉普拉斯方程的例子。我们的组合方法使我们能够解决依赖于我们的许多结果的基本字段的特性。
2013-05-06 math.AC math.AG math.CO
Perfect t-embeddings and Lozenge Tilings
本文首次为六角格正六边形构造完美t-嵌入，利用逆Kasteleyn矩阵与对称性推导精确公式，证明折纸映射收敛到Minkowski空间极大曲面，并给出高度涨落收敛到高斯自由场的新证明。
2024-08-10 math-ph math.CO math.MP
Hexagonal Tilings and Locally C6 Graphs
通过证明六角镶嵌图和局部C6图在环面或克莱因瓶中有一个自然嵌入，给出了它们的一个完全分类。我们还表明，局部网格图是未成年人的六边形平铺（和对偶的局部C6图）的收缩的完美匹配和删除所产生的平行边，在一种形式适合于研究他们的Tutte唯一性。
2005-12-14 math.CO
Monochromatic triangle-tilings in dense graphs without large independent sets
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Hefei National Laboratory, University of Science and Technology of China（合肥国家实验室，中国科学技术大学）
本文研究了稠密图中无大独立集的2边着色图的弱单色三角形铺砌问题，给出了渐近最优的铺砌大小阈值。
2026-01-26 math.CO
Covering and tiling hypergraphs with tight cycles
给定$3 \leq k \leq s$，我们称一个$k$ -一致超图$C^k_s$是$s$顶点上的紧圈，如果$C^k_s$的顶点有一个循环序，使得在这个序下的每个$k$连续顶点形成一条边.证明了如果$k \ge 3$和$s \ge 2k^2$，则$k$ -一致超图的最小余度至少为$(1/2 + o(1))n$的$k$ -一致超图的每个顶点都被$C^k_s$的一个副本覆盖.我们的结果是渐近最好的可能无限多对$s$和$k$，例如，当$s$和$k$互质。完美的$C^k_s$平铺是$C^k_s$的顶点不相交副本的跨越集合。当$s$可被$k$整除时，确定保证完美的$C^k_s$ -平铺的最小余度的问题由Mycroft的结果解决。证明了：若$k \ge 3$和$s \ge 5k^2$不能被$k$整除，且$s$整除$n$，则$n$顶点上的最小度至少为$(1/2 + 1/(2s) + o(1))n$的$k$ -一致超图有完美$C^k_s$ -平铺.同样，我们的结果对于无穷多对$s$和$k$是渐近最佳可能的，例如当$s$和$k$与$k$互质时。
2019-05-05 math.CO
A discrepancy version of the Hajnal-Szemerédi theorem
图$G$中的完美$K_r$ -平铺是覆盖$G$的每个顶点的$G$中的团$K_r$的顶点不相交副本的集合。著名的Hajnal-Szemerédi定理确定了在图$G$中强制完美$K_r$ -平铺的最小度阈值。差异的概念出现在数学的许多分支中。在图设置中，从$\{-1,1\}$分配图的边$G$标签，并且寻找具有“高”差异的$G$的子结构$F$（即，$F$中的边的标签之和远离$0$）。在本文中，我们确定的最小度阈值的图包含一个完美的$K_r$ -平铺的高差异。
2020-09-15 math.CO
Perfect sampling algorithm for Schur processes
我们描述了随机生成算法的一大类随机组合对象称为舒尔过程，这是随机（整数）分区的序列受到一定的交错条件。这个类包含几个基本的组合对象作为特殊情况，如平面分区，阿兹特克钻石的平铺，金字塔分区和更普遍的平面陡峭的多米诺骨牌平铺。我们的算法具有多项式复杂度，既精确（即输出完全遵循目标概率定律，在我们的情况下，目标概率定律是玻尔兹曼或均匀的），又是熵最优的（即它读取最小数量的随机比特作为输入）。该算法包含之前与原始和二元RSK算法相关的特殊Schur过程的生长过程，以及用于阿兹特克钻石多米诺骨牌的著名多米诺洗牌算法。它可以很容易地适用于处理对称Schur过程和一般的Schur过程涉及无穷多个参数。该算法比Borodin算法更具体、更易于实现，并且是熵最优的。在技术层面上，它依赖于统一的双射证明的不同类型的柯西和Littlewood身份的舒尔函数，并适应福明的增长图描述的RSK算法的设置。用该算法进行的模拟表明，有趣的极限形状现象相应的平铺模型，其中一些是新的。
2018-09-04 cond-mat.stat-mech cs.DM math.CO
Hitting Matrix and Domino Tiling with Diagonal Impurities
作为我们以前工作的延续[9，10]，我们考虑了含有杂质的多米诺骨牌平铺问题。(1)如果边界上有两个以上的杂质，我们可以用击中矩阵方法[4]计算相应的完美匹配数。(2)使用Kenyon-Wilson [6，7]计算圆形可平面图上小树林数的公式，我们对[9]中的主要结果和上述（1）中的结果进行了另一种证明。(3)我们研究了当图的大小趋于无穷大时，在给定位置发现杂质的概率的行为，以及它们的标度极限。
2012-11-26 math.CO
Tiling tripartite graphs with 3-colorable graphs
设G是一个三部图，每个顶点类中有N个顶点，N可被6 h整除，且每个顶点至少与其它顶点类中的2N/3+h-1个顶点相邻.证明了如果N足够大，则G可以完全被K_{h,h,h}的拷贝拼接.这推广了文[19]中的工作，也给出了任意（固定）3-可着色图可平铺的一个充分条件.此外，我们表明，这种最小程度的条件是最好的可能性，并提供了非常严格的界限时，N是由h整除，但不是由6 h。
2016-05-21 math.CO
Minimum vertex degree thresholds for tiling complete 3-partite 3-graphs
给定正整数$a\leq b \leq c$，设$K_{a,b,c}$是具有三个部分大小为$a,b,c$的完全3部3一致超图.设$H$是$n$顶点上的3-一致超图，其中$n$可被$a+b+c$整除.我们渐近确定$H$的最小顶点度，保证一个完美的$K_{a, b, c}$ -平铺，即，一个生成子图的$H$的顶点不相交副本的$K_{a, b, c}$。这部分回答了一个问题的麦考夫，谁证明了一个类似的结果，就codegree的$r$ -一致超图的所有$r\ge 3$。我们的证明使用了一个基于格的吸收方法，分数平铺的概念，和最近的结果阴影的3-图。
2017-08-14 math.CO
Generalizing the divisibility property of rectangle domino tilings
我们介绍了一类图称为复合图，广义矩形，这是一个平面的二分基图的副本。主要结果是：每一个复合图的完美匹配数都能被它的基图的完美匹配数整除。我们的方法是使用Kasteleyn定理来证明一个关键引理，其中整除定理组合地遵循。这个定理然后被应用于提供Propp的匹配的枚举问题21的证明，矩形的整除性。最后，我们提出了一个新的证明，在同样的精神，Ciucu的因式分解定理。
2016-07-26 math.CO
Codegree conditions for tiling complete $k$-partite $k$-graphs and loose cycles
给定两个$k$ -图（$k$ -均匀超图）$F$和$H$，$H$中的完美$F$ -平铺（或$F$ -因子）是$F$的顶点不相交副本的集合，这些副本一起覆盖$H$的顶点集.对于所有的完全$k$ -部$k$ -图$K$，Mycroft证明了一个最小余度条件，该条件保证$n$ -顶点$k$ -图中存在$K$ -因子，并且紧到误差项$o(n)$ .当$K$的顶点类的大小差互质时，本文将Mycroft结果中的误差项改进为与$K$的Turán数有关的次线性项.此外，我们找到了一个结构，表明我们的改进的余度条件是渐近紧在无限多的情况下，从而反驳了Mycroft猜想。最后，我们确定了平铺$K^{(k)}(1, \dots, 1, 2)$和平铺松散圈的精确最小余度条件，从而推广了Czygrinow，DeBiasio，Nagle和Czygrinow的结果。
2019-03-13 math.CO
Tiling tripartite graphs with 3-colorable graphs: The extreme case
存在一个足够大的$N\in h\mathbb{N}$，使得以下成立。如果$G$是一个三部图，每个顶点类中有$N$顶点，使得每个顶点至少与其他每个类中的$2N/3+2h-1$顶点相邻，则$G$可以完全由$K_{h,h,h}$的副本平铺。这扩展了两位作者的工作[Electron. J. Combin，16（1），2009]，并且还给出了任何固定3-可着色图进行平铺的充分条件。此外，我们证明了在我们的结果中$2N/3+2h-1$不能被$2N/3+ h-2$代替，并且如果$N$可被$6h$整除，那么我们可以用值$2N/3+h-1$代替它，这是紧的.
2018-08-10 math.CO
Perfect domination in rectangular grid graphs
一个图$G$中的控制集$S$称为完美的，如果$G$的每个不在$S$中的顶点都只与$S$的一个顶点相邻。给定$m\times n$格图$G$的边$P_m$的顶点子集$S'$，通过运行时的穷举算法$Θ$ $O(2^{m+n})$，可以确定具有$S'=S\cap V(P_m)$的$G$中的完美控制集$S$.将$Θ$扩展到宽度为$m-1$的无限网格图，周期性使得$Θ$的二叉决策树可被打印成有限线索树，其闭行走产生所有这样的集合$S$ .这些集合$S$的补集所诱导的图可以通过$Θ$由正整数的有序对的阵列编码，对于其生长和确定，存在更快的%贪婪算法。%及其周期结构，进一步研究。最近的一个特征的网格图具有完全完美的代码$S$（只有1-立方体作为诱导组件），由于Klostermeyer和Goldwasser，在$Θ$方面，它允许显示，这些集$S$的限制只有一个完全代码$S_1$的整数格图$Λ$的$\R^2$。此外，补$Λ-S_1$产生非周期性平铺，如彭罗斯平铺。相反，$Λ$中的平行、水平、完全完美码与双无限$\{0,1\}$ -序列1-1对应。
2007-11-27 math.CO
Components of domino tilings under flips in quadriculated tori
该研究针对方格环面的多米诺铺砌翻转图连通性问题，用图论方法证明非二分方格环面翻转图含两个同构分量且其完美匹配强迫数为整数区间，还用同调给出二分情形分量数的通用下界。
2024-11-02 math.CO
Cut-and-paste of quadriculated disks and arithmetic properties of the adjacency matrix
我们定义剪切和粘贴，一个建设，给定一个quadriculated磁盘获得一个不相交的联盟quadriculated磁盘较小的总面积。我们提供了两个使用此过程作为递归步骤的例子。磁盘的平铺$Δ$接收奇偶校验：我们构造相反奇偶校验的平铺的完美或接近完美的匹配。假设$B_Δ$是黑白邻接矩阵：我们因子化$B_Δ= L\tilde DU$，其中$L$和$U$是下三角矩阵和上三角形矩阵，通过移除行和列从更大的单位矩阵获得$\tilde D$，并且$L$、$\tilde D$和$U$的所有条目等于0、1或-1。
2009-04-30 math.CO
Inverting the Kasteleyn matrix for holey hexagons
考虑三角形晶格上的半正六边形（即，由单位等边三角形组成的晶格，绘制时使一族直线垂直）。这个区域的菱形（或菱形）镶嵌可以至少以两种非常不同的方式表示：作为非相交的晶格路径的族;或者作为六边形晶格的某个子图的完美匹配。在这篇文章中，我们将展示如何利用平铺的格路径表示，以计算逆Kasteleyn矩阵的条目，所产生的解释平铺完美匹配。我们的主要结果给出了精确的逆Kasteleyn矩阵（到一个可能的变化的符号）的半正六边形的边长$a,b,c,a,b,c$（顺时针从西南侧）。这一定理不仅概括了一些已知的结果关于平铺的六边形，包含穿刺，但它也提供了一个新的提法，通过它，我们可以攻击问题的统计物理学，如Ciucu的静电猜想。
2017-01-27 math-ph math.CO math.MP
Quantitative Tiling Stability From Quadratic Discrepancy In Hamming Spaces
Tel-Hai University of Kiryat Shmona and the Galilee（泰尔海基里亚特谢莫纳和加利利大学）；MIGAL – Galilee Research Institute（MIGAL-加利利研究所）
该研究在汉明空间中证明了二次球偏差相关的铺砌缺陷稳定性，推导了不同参数下的系数，为非平凡完美码提供了稳定性保证，关联了偏差与球噪声的多种均匀性度量。
2026-11-06 cs.IT math.CO math.IT
Channels, Billiards, and Perfect Matching 2-Divisibility
令$m_G$表示图$G$的完美匹配的数量。我们介绍了一些组合工具，用于确定$m_G$的奇偶校验，并给出了一个下界的2的幂除$m_G$。特别是，我们引入某些顶点集称为通道，对应于$G$模$2$的邻接矩阵的内核中的元素。Lovász的一个结果表明，存在一个非平凡的通道等价于$m_G$是偶数。我们给出了一个新的组合证明这一结果，并加强它的通道数给出了一个下界的权力$2$划分$m_G$时，$G$是平面的。我们描述了一些局部图操作，保持通道的数量。我们还建立了一个令人惊讶的连接之间的2-整除的$m_G$和动力系统显示通道和台球路径之间的等价性。我们利用这种关系表明，$2^{\frac{\gcd(m+1,n+1)-1}{2}}$划分的$m\times n$矩形的多米诺骨牌平铺的数量。我们还使用台球路径给出一个快速算法，用于计数通道（从而确定多米诺骨牌的数量的奇偶校验）在简单连接的区域的正方形网格。
2021-06-02 math.CO
An asymptotic multipartite Kühn-Osthus theorem
本文证明了Kühn和Osthus的一个著名定理的一个渐近多部版本，对任何具有色数$r$的图$H$，建立了一个渐近多部最小度阈值，该阈值确保一个大的$r$ -部图$G$允许一个完美的$H$ -平铺.我们还给出了阈值的$H$ -平铺覆盖所有，但线性数量的顶点的$G$，在一个多部模拟的结果Komlós和Shokoufandeh和赵。
2017-07-13 math.CO
Spanning $H$-subdivisions and perfect $H$-subdivision tilings in dense digraphs
本文研究了稠密有向图中H-子图的覆盖与完美铺砌问题，改进了Lee的结果，并给出了最佳的半度数下界。
2026-04-01 math.CO
Correlation of a macroscopic dent in a wedge with mixed boundary conditions
作为我们正在进行的工作的菱形镶嵌的六边形与某些四叶结构从他们的中心删除的对称类的枚举的一部分，我们考虑的情况下的镶嵌是垂直和水平对称。为了处理这个问题，我们需要一个扩展郭的图形凝聚方法，它的工作在存在自由边界。我们的结果使我们能够精确地计算在二聚体的海洋中的宏观凹痕在一个90度的楔形混合边界条件的相关性。我们使用以前的结果来计算相应的对称化系统的相关性，没有边界，并表明其第四根具有相同的对数渐近的相关性的凹痕在90度的楔形。这是这类涉及宏观缺陷的第一个结果。这表明，二聚体系统与间隙和二维静电之间的联系可能比以前认为的更深。
2019-06-05 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Perfect domination in regular grid graphs
我们证明了在$\R^2$的整数格图$Λ$中存在无数个并行全完美码。相比之下，只有一个1-完美的代码在$Λ$和一个完全完美的代码在$Λ$限制到完全完美的代码的矩形网格图（产生一个不对称的，彭罗斯，平铺的平面）。我们刻画了$C_m\times C_n$的所有圈积与并行全完美码，以及$Λ$和$C_m\times C_n$的$d$ -完美和全完美码划分，前者以生成集$\{1,2d^2\}$为$\Z_{2d^2+2d+1}$的无向Cayley图作为商图.对于$r>1$，在$\R^r$的整数格和$r$圈的乘积中给出了1-完全码的推广，其中分块商图$K_{2r+1}$被看作是$\Z_{2r+1}$与生成元集$\{1,...,r\}$的无向Cayley图.
2010-06-11 math.CO
Grid graphs, Gorenstein polytopes, and domino stackings
我们研究多米诺骨牌平铺矩形板，这是在自然双射与完美匹配的网格图。这导致了他们相关的完美匹配多面体的研究，我们提出了他们的一些属性，特别是，当这些多面体Gorenstein。我们还介绍了多米诺骨牌堆叠的概念，并给出了一些结果和几个悬而未决的问题。我们的技术使用的结果从图论，多面体几何，枚举组合。
2009-04-28 math.CO
On subgroup perfect codes in Cayley graphs
图$Γ= (V, E)$中的完美码是$V$的子集$C$，使得$C$中没有两个顶点是相邻的，并且$V \setminus C$中的每个顶点都恰好与$C$中的一个顶点相邻。若存在$G$的Cayley图，且该图允许$H$为完美码，则称群$G$的子群$H$为$G$的子群完美码.等价地，$H$是$G$的子群完全码，如果存在包含单位元的$G$的逆闭子集$A$，使得$(A, H)$是$G$的平铺，在这个意义上，$G$的每个元素可以唯一地表示为$A$的元素和$H$的元素的乘积。本文得到了有限群的子群完美码的若干结果，包括有限群的子群是子群完美码的几个充要条件，子群完美码研究中涉及$2$ -子群的几个结果，亚交换群、广义二面体群、幂零群和$2$ -群的子群完美码的几个结果.
2021-02-20 math.CO
A degree sequence strengthening of the vertex degree threshold for a perfect matching in 3-uniform hypergraphs
本文改进了3-均匀超图中完美匹配的顶点度阈值结果，提出一族度序列条件，允许部分顶点度低于阈值，并证明其紧性。
2023-08-31 math.CO
On the non-existence of linear perfect Lee codes: The Zhang-Ge condition and a new polynomial criterion
Golomb-Welch猜想（1968）指出，对于$n\geq 3$和$e\geq 2$，在$\mathbb{Z}^n$中不存在$e$ -完美Lee码。这个猜想甚至对线性码也是开放的。Zhang和Ge最近的一个结果证明了对于无限多维$n$，对于$e=3$和$4$，在$\mathbb{Z}^n$中不存在线性$e$ -完美Lee码.在本文中，我们推广这一结果在两个方面。首先，利用Zhang和Ge的不存在性判据以及Lucas定理的推广形式，我们将上述结果推广到几乎所有的$e$（即具有密度$1$的正整数子集）.也就是说，如果$e$在它的基- $3$表示中包含一个不在单位位上的数字$1$（例如$e=3,4$），则对于无限多个维度$n$，在$\mathbb{Z}^n$中不存在线性$e$ -完美Lee码.接下来，基于一族多项式（$Q$ -多项式），我们提出了一个新的准则，某些格平铺不存在。该标准取决于主$p$和平铺$B$。对于$p=3$和$B$是Lee球的情形，我们恢复了Zhang和Ge的判据.
2018-09-24 cs.DM cs.IT math.CO
A Ramsey-Turán theory for tilings in graphs
School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology（北京理工大学数学与统计学院）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Berlin Mathematical School（柏林数学学院）；School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究院）
研究在最小度和独立数条件下保证图存在最优F-平铺的Ramsey-Turán型定理，给出了团、树和圈的情形，并讨论了随机扰动图的应用。
2026-06-23 math.CO
