Perfect tilings of 3-graphs with the generalised triangle
本文确定了3-一致超图被广义三角形完美铺砌的最佳最小共度条件，并给出了彩虹版本的渐近最优条件。
2025-05-08 math.CO
Tiling multipartite hypergraphs in Quasi-random Hypergraphs
给定$k\ge 2$和两个$k$ -图（$k$ -均匀超图）$F$和$H$，$H$中的一个\emph{$F$-factor}是$F$的顶点不相交副本的集合，它们一起覆盖$H$的顶点集. Lenz和Mubayi研究了具有最小度$Ω(n^{k-1})$的拟随机$k$ -图的$F$ -因子问题。特别地，他们构造了一系列的$1/8$ -稠密准随机$3$ -图$H(n)$，具有最小度$Ω(n^2)$和最小余度$Ω(n)$，但没有$K_{2,2,2}$ -因子。本文证明了：如果$p>1/8$和$F$是一个$3$ -部$3$ -图，且$f$是顶点，则对于足够大的$n$，所有具有最小余度$Ω(n)$和$f\mid n$的$p$ -稠密拟随机$3$ -图都有$F$ -因子.也就是说，$1/8$是密度阈值，以确保所有的$3$ -particular $3$ -graphs $F$ -factors在准随机$3$ -graphs给定的最小度条件$Ω(n)$。此外，我们还证明了不能用最小顶点度条件代替最小余度条件。事实上，我们发现对任何$p\in(0,1)$和$n\ge n_0$，存在$p$ -稠密的准随机$3$ -图，其序为$n$，最小度为$Ω(n^2)$，不含$K_{2,2,2}$ -因子.特别地，在给定最小余度条件$Ω(n)$的情况下，研究了拟随机$3$-图中每个$3$ -部$3$ -图$F$的$F…
2022-12-16 math.CO
On Perfect Matchings and tilings in uniform Hypergraphs
本文研究了超图中Dirac型问题的一些变形。首先，我们证明了对于$k\ge 3$，如果$H$是一个在$n\in k\mathbb N$顶点上的$k$ -图，其独立数至多为$n/p$，最小余度至少为$(1/p+o(1))n$，其中$p$是$k$的最小素因子，则$H$包含完美匹配.其次，证明了如果$H$是一个在$n\in 3\mathbb N$顶点上的$3$ -图，且不包含$K_4^-$的任何导出拷贝（唯一的$3$ -图，其顶点和边都是$4$），且最小度至少为$(1/3+o(1)))n$，则$H$包含完美匹配.此外，如果我们允许匹配在大多数$3$顶点错过，那么最小度条件可以减少到$(1/6+o(1)))n$。第三，我们证明了如果$H$是一个在$n\in 4\mathbb N$顶点上的$3$ -图，且不包含$K_4^-$的任何诱导拷贝，且最小余度至少为$(1/8+o(1)))n$，则$H$包含一个完美$Y$ -平铺，其中$Y$表示唯一的具有$4$顶点和$2$边的$3$ -图。我们还提供的例子表明，我们的最小余度条件是渐近最好的可能。我们的主要工具，寻找完美匹配是一个特征定理，其特征$k$ -图的最小度至少$n/k$包含一个完美匹配。
2018-02-16 math.CO
Tight bounds for rainbow partial $F$-tiling in edge-colored complete hypergraphs
本研究针对边着色完全超图的彩虹部分$F$-平铺问题，系统研究$t$较小时的反拉姆齐数$\mathrm{ar}(n,tF)$，通过规约方法和图兰数间隙确定了一大类超图的对应紧界，还可应用于图兰密度未知的超图。
2024-06-21 math.CO
The minimum vertex degree for an almost-spanning tight cycle in a $3$-uniform hypergraph
本文证明了最小顶点度至少为$\left(\frac{5}{9} + o(1) \right)\binom{n}{2}$的$3$-一致超图存在几乎生成紧圈，即不含$o(n)$顶点的紧圈.顶点度的界是渐近最佳可能的。我们的证明使用超图正则性方法，特别是最近版本的超图正则性引理证明艾伦，Böttcher，库利和麦考夫。
2016-06-17 math.CO
Tight paths in convex geometric hypergraphs
本文证明了关于凸几何超图中紧路的一个定理，该定理在无穷多种情况下是渐近尖锐的。我们的几何定理是Hopf和Pannwitz [12]，Sutherland [19]，Kupitz和Perles [16]关于凸几何图的早期结果以及经典的Erdens-Gallai定理[6]关于图的一般推广。作为结果，我们获得了第一个实质性的改进的图兰问题的紧路径一致超图。
2020-03-26 math.CO
Almost partitioning 2-coloured complete 3-uniform hypergraphs into two monochromatic tight or loose cycles
本文证明了：对每一个η > 0，存在一个整数n_0，使得n个\geq n_0顶点上的3-一致完全超图的每一个2-着色都包含两个不相交的不同颜色的单色紧圈，这两个紧圈一起覆盖除至多ηn个顶点之外的所有顶点.如果我们用松散的周期来代替紧密的周期，同样的结果也成立。
2018-09-22 math.CO
Tight Hamilton Cycles in Random Uniform Hypergraphs
本文证明了对于所有的$k\ge 4$，$e/n$是随机$k$ -一致超图中存在紧Hamilton圈的最佳阈值.当$k=3$，我们表明，$1/n$是一个渐近阈值。我们还确定了其他类型的Hamilton圈的存在的阈值。
2011-07-26 math.CO
The Tight Cut Decomposition of Matching Covered Uniformable Hypergraphs
完美匹配多面体，即图的完美匹配（的关联向量）的凸包，在许多组合算法中被使用。Kotzig，Lovász和Plummer发展了一个分解理论，用于具有完美匹配的图及其对应的多面体，称为紧切分解，它将每个图分解为许多不可分解的图，所谓的砖块。对于具有完美匹配的图的许多感兴趣的性质，包括完美匹配多面体的描述，考虑这些砖块就足够了。Lovász关于紧割分解的一个关键结果是，在紧割分解过程中，获得的砖列表是相同的，与紧割的选择无关。这意味着找到一个紧割分解是多项式时间等价于找到一个单一的紧割。我们推广的概念，紧切，紧切收缩和紧切分解超图。通过一个例子，我们证明了一般超图的紧割分解的结果不再是唯一的。然而，我们能够证明的唯一性的紧割分解保持轻微的推广均匀超图。此外，我们展示了如何紧割分解导致分解的完美匹配多面体的均匀超图和识别问题的紧割均匀超图是多项式时间可解的。
2019-02-28 math.CO
Spanning tight components in 4-uniform hypergraphs
London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本文证明了4-均匀超图在特定度数条件下存在紧spanning组件，并解决了相关猜想。
2026-02-26 math.CO
Minimum pair degree condition for tight Hamiltonian cycles in $4$-uniform hypergraphs
证明了每一个顶点数为$n$且最小度至少为$(5/9+o(1))n^2/2$的4-一致超图都包含一个紧哈密顿圈.这个度条件是渐近最优的。
2020-05-07 math.CO
Tight cycles and regular slices in dense hypergraphs
我们研究的随机子复合物的分区返回（一个合适的形式）的强超图正则引理，我们称之为定期切片。我们认为，这些subcomplex捕获许多重要的结构特性的原始超图。因此，我们主张使用它们的极值超图理论，并解释他们如何可以导致相当大的简化，在现有的证明在这一领域。我们还使用它们来建立以下两个新结果。首先，我们证明了Erdens-Gallai定理的一个超图推广：对于每个$δ>0$，每个至少有$(α+δ)\binom{n}{k}$边的充分大的$k$ -一致超图包含一个长度为$αn$的紧圈，其中每个$α\in[0,1]$都有一个长度为$αn$的紧圈.其次，我们（渐近地）找到了一个$k$ -一致$k$ -部超图的最小余度要求，对于每个$0<α<1$，该超图的每一部分都有$n$顶点，且包含一个长度为$αkn$的紧圈.
2014-11-18 math.CO
Hypergraphs with no tight cycles
证明了不含紧圈的$n$顶点上的$r$ -一致超图至多有$O(n^{r-1} (\log n)^5)$边.这是一个改进以前最有名的界限，$n^{r-1} e^{O(\sqrt{\log n})}$，由于Sudakov和Tomon，我们的证明建立在他们的工作。B. Janzer暗示我们的界紧到一个$O((\log n)^4 \log \log n)$因子。
2022-02-17 math.CO
Minimum vertex degree condition for tight Hamiltonian cycles in 3-uniform hypergraphs
证明了每一个顶点数为$n$且最小顶点度至少为$(5/9+o(1))\binom{n}2$的3-一致超图都包含一个紧哈密顿圈.已知的下界构造表明，这个度条件是渐近最优的。
2019-01-28 math.CO
On tight cycles in hypergraphs
一个紧$k$ -一致$\ell$ -圈，记作$TC_\ell^k$，是一个$k$ -一致超图，其顶点集是$v_0, \cdots, v_{\ell-1}$，所有的边都是$k$ -元组$\{v_i, v_{i+1}, \cdots, v_{i+k-1}\}$，下标模为$\ell$ .受图论中一个经典结果的启发，即每个$n$ -顶点无圈图最多有$n-1$边，Sós和Verstraëte独立地问，对于每个整数$k$，没有任何紧$k$ -均匀圈的$k$ -均匀$n$ -顶点超图是否最多有$\binom{n-1}{k-1}$边。在本文中，我们回答这个问题是否定的。
2017-12-11 math.CO
Large hypergraphs without tight cycles
一个$r$ -长度为$\ell>r$的均匀紧圈是一个超图，顶点为$v_1,\dots,v_\ell$，边为$\{v_i,v_{i+1},\dots,v_{i+r-1}\}$（对所有的$i$），索引取模为$\ell$。Sudakov和Tomon证明了对于每个固定的$r\geq 3$，一个不包含任何长度的紧圈的$r$ -一致超图在$n$顶点上至多有$n^{r-1+o(1)}$超边，但最著名的构造（具有最大边数）只给出$Ω(n^{r-1})$边.本文证明了对每个固定的$r\geq 3$，存在具有不含紧圈的$Ω(n^{r-1}\log n/\log\log n)$边的$r$ -一致超图，并证明了上界指数中的$o(1)$项是必要的.
2020-12-14 math.CO
Localised codegree conditions for tight Hamilton cycles in 3-uniform hypergraphs
研究了一致稠密$3$ -一致超图中Hamilton圈存在的充分条件。这种类型的问题首先被Lenz、Mubayi和Mycroft考虑为松散的Hamilton圈，而Aigner-Horev和Levy则考虑为紧致的Hamilton圈，并给出了一个相当强的一致稠密超图的概念。我们专注于紧圈，并获得最佳结果的一个较弱的概念一致稠密超图。本文证明了：如果$n$ -顶点$3$ -一致超图$H=(V,E)$具有这样的性质：对于任意顶点集$X$和任意顶点对的集合$P$，属于$P$的顶点对和来自$X$的顶点组成的超边的个数至少为$(1/4+o(1))|X||P| - o(|V|^3)$，且$H$的最小顶点度至少为$Ω(|V|^2)$，则$H$包含紧Hamilton圈.概率构造表明，常数$1/4$在这种情况下是最佳的。
2020-05-26 math.CO
Tight paths in convex geometric hypergraphs
本文证明凸几何超图中紧路径的渐近精确定理，推广了多个早期几何图结果及Erdős-Gallai定理，并首次大幅改进均匀超图紧路径的Turán问题。
2018-04-07 math.CO
Tight Hamilton cycles in random hypergraphs
本文给出了边概率p=n^{-1+eps}的随机r-一致超图中紧Hamilton圈存在性的算法证明。这部分地回答了Dudek和Frieze [Random Structures Algorithms]的一个问题，他们使用二阶矩方法证明了即使对于p=omega（n）/n（r>2），其中omega（n）缓慢地趋于无穷大，以及对于p=（e+o（1））/n（r>3），也存在紧的Hamilton环。我们开发的方法来证明我们的结果适用于相关的问题。
2013-01-24 math.CO
Packing tight Hamilton cycles in uniform hypergraphs
我们说$k$ -一致超图$C$是$\ell$型的Hamilton圈，对于某些$1\le \ell \le k$，如果存在$C$的顶点的循环序使得$k$中的每一条边都由$k$的连续顶点组成，并且对于$C$中的每一对连续边$E_{i-1},E_i$（按边的自然序），我们有$|E_{i-1}\setminus E_i|=\ell$ .定义了一类$(\e,p)$正则超图，它包含随机超图，我们可以证明这类超图的几乎所有边都可以分解为$\ell$型Hamilton圈，其中$\ell<k/2$ .
2011-02-08 math.CO
Partitioning edge-coloured hypergraphs into few monochromatic tight cycles
利用Gyárfás的一个猜想，证明了对所有自然数$k$和$r$，每个$r$ -边色完全$k$ -一致超图的顶点都可划分为有界数目的单色紧圈（与超图的大小无关）.进一步证明了对所有自然数$p$和$r$，每个$r$ -边着色完全图的顶点都可划分为有界个数的$p$ -次幂圈，从而解决了Elekes，Soukup，Soukup和Szentmiklóssy的问题.事实上，我们证明了这两个定理的一个共同的概括，进一步扩展这些结果的所有主机超图的有界独立数。
2020-07-09 math.CO
Hypergraphs not containing a tight tree with a bounded trunk
一个$r$ -一致超图是一个紧$r$ -树，如果它的边可以排序，使得每一条边$e$都包含一个不属于任何前面边的顶点$v$，并且集合$e-v$位于某个前面边中. Kalai [Kalai]的一个猜想，推广了树的Erdens-Sós猜想，断言如果$T$是一个有$t$边的紧$r$ -树，而$G$是一个不包含$T$副本的$n$ -顶点$r$ -一致超图，则$G$至多有$\frac{t-1}{r}\binom{n}{r-1}$边。紧$r$树$T$的主干$T'$是紧子树，使得$T-T'$的每条边在$T'$的某条边中具有$r-1$顶点，并且在$T'$外部具有顶点。对于$r\ge 3$，这个猜想已被证明的唯一非平凡紧$r$ -树族是树干长度为1的$r$ -树族.我们的主要结果是一个渐近版本的Kalai猜想的所有紧树$T$有界的树干大小。这是从我们关于无$T$的$r$ -均匀超图$G$的大小的上界根据其阴影的大小得出的。对于至多有四条边的紧$r$ -树，我们也给出了Kalai猜想的一个简短证明.特别地，对于$3$ -一致超图，我们关于长度为$4$的紧路的结果蕴涵了Katona [Katona]的交阴影定理。
2017-12-12 math.CO
On powers of tight Hamilton cycles in randomly perturbed hypergraphs
对整数$k \geq 3$和$r\geq 2$，证明了对每个$α> 0$，存在$\varepsilon > 0$使得$k$ -在$n$顶点上的最小余度至少为$αn$的一致超图和一个在同一顶点集上的$p\geq n^{-{\binom{k+r-2}{k-1}}^{-1}-\varepsilon}$的二项随机$k$ -一致超图$G^{(k)}(n,p)$的并集以高概率包含紧Hamilton圈的$r^{th}$幂.此外，一个构造表明，不能取$\varepsilon > Cα$，其中$C=C(k,r)$是常数。因此，$p$上的界是最优的，直到$\varepsilon$的值，这回答了Bedenknecht，Han，Kohayakawa和Mota的问题。
2022-11-04 math.CO
A Tight Bound for Hypergraph Regularity II
超图正则性引理--Szemerédi的图正则性引理在$k$ -一致超图上的推广--是过去十年中获得的最著名的组合结果之一。到目前为止，有几个（非常不同的）证明这个引理，获得高尔斯，由Nagle-Rödl-Schacht-Skokan和陶。不幸的是，所有这些证明的共同点是，它们产生的规则划分的顺序是由$k$ -th阿克曼函数。在最近的一篇论文中，我们证明了这些界限是不可避免的$3$ -一致超图。在本文中，我们扩展了这一结果表明，这样的阿克曼型界是不可避免的每$k \ge 2$，从而证实了陶的预测。
2018-04-16 math.CO
Tilings in quasi-random $k$-partite hypergraphs
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）
本文研究了准随机k-部超图中F-因子的存在性，证明了当p>1/2且满足部最小共度条件时，超图中存在F-因子，并展示了1/2是该阈值的最优界。
2026-01-30 math.CO
Packing tight Hamilton cycles in 3-uniform hypergraphs
设H是N个顶点的3-一致超图。紧Hamilton圈C \subset H是N条边的集合，其中顶点v_1，.，v_N，使得每个连续顶点的三元组{v_i，v_{i+1}，v_{i+2} }是C的边（索引被认为是模N）。我们开发了新的技术，使我们能够证明，在某些自然的伪随机条件下，几乎所有的边缘H可以覆盖的边缘不相交的紧Hamilton圈，N整除4。由此，我们得到了随机3-一致超图几乎完全可以被紧Hamilton圈w. h. p.填充的推论，N可以被4整除，而P不太小。在此过程中，我们发展了一个类似的结果包装汉密尔顿圈的伪随机有向图与偶数的顶点。
2010-06-08 math.CO
Cover 3-uniform hypergraphs by vertex-disjoint tight paths
设$H$是一个$n$ -顶点3-一致超图，使得每对顶点至少在$n/3+o(n)$边中.证明了$H$包含两条顶点不相交的紧路，它们的并集覆盖了$H$的顶点集.这里的量2是最佳可能的，度条件是渐近最佳可能的。这个结果也有一个解释为\emph{deficiency problems}，最近介绍了Nenadov，Sudakov和瓦格纳：每一个这样的$H$可以成为哈密尔顿添加最多两个顶点和所有三元组相交。
2022-05-04 math.CO
Paths, cycles and sprinkling in random hypergraphs
证明了对任意$2 \le j \le k-1$，$k$ -均匀二项随机超图中最长$j$ -紧圈长度的一个下界。我们首先证明了所需长度的$j$紧路径的存在性。标准的“喷洒”论证不足以表明这条路径可以闭合于一个$j$紧循环--因此我们证明了这条路径有许多扩展，这足以允许喷洒闭合循环。
2021-03-30 math.CO
Hypergraphs not containing a tight tree with a bounded trunk ~II: 3-trees with a trunk of size 2
一个紧$r$树$T$是一个$r$-均匀超图，它有一个边序$e_1, e_2, \dots, e_t$，使得对于每个$i\geq 2$，$e_i$有一个顶点$v_i$不属于任何先前的边，并且对于某些$j<i$，$e_i-v_i$包含在$e_j$中. Kalai在1984年证明了：每一个具有多于$\frac{t-1}{r}\binom{n}{r-1}$条边的$n$-顶点$r$-一致超图都包含每一个具有$t$条边的紧$r$-树$T$.紧$r$树$T$的主干$T'$是$T$的紧子树$T'$，使得$V(T)\setminus V(T')$中的顶点是$T$中的叶子。Kalai猜想在1987年被证明是紧$r$-树的树干尺寸为1。在以前的文件中，我们证明了一个渐近版本的卡莱猜想的所有紧$r$-树，有界大小的树干。在本文中，我们继续工作，以建立确切的形式卡莱猜想的所有紧$3$-树，至少$20$边缘，有一个树干的大小为2。
2019-02-01 math.CO
A Tight Bound for Hypergraph Regularity I
超图正则性引理--Szemerédi的图正则性引理在$k$ -一致超图上的推广--是过去十年中获得的最著名的组合结果之一。到目前为止，有几个（非常不同的）证明这个引理，获得高尔斯，由Nagle-Rödl-Schacht-Skokan和陶。不幸的是，所有这些证明的共同点是，它们产生的规则划分的顺序是由$k$ -th阿克曼函数。我们表明，这样的阿克曼型界限是不可避免的每一个$k \ge 2$，从而证实了陶的预测。在我们的工作之前，上述类型的唯一结果是Gowers著名的图的正则性的下界。在本文中，我们描述了关键的新思想，使我们能够克服几个障碍，站在这样的界限，更高的一致性超图的方式。其中之一是{ \em graph}正则引理的一个新的（非常弱的）版本的紧界。利用这个界，我们证明了满足一定温和条件的$3$ -一致超图的任何正则引理的一个下界。然后，我们展示了如何使用这个结果，以证明一个紧界的超图正则引理的Gowers和Frankl-Rödl。我们将在随后的论文中得到类似的结果，超图的任意均匀$k\geq 2$。
2019-07-18 math.CO
Counting tight Hamilton cycles in Dirac hypergraphs
Institut für Informatik, Universität Heidelberg（海德堡大学计算机科学研究所）
研究在Dirac超图中紧Hamilton环的数量，通过超图熵定义的完美分数匹配证明了数量下界，适用于近正则超图和二项随机超图。
2026-04-16 math.CO
Near Perfect Matchings in $k$-uniform Hypergraphs II
设$k\nmid n$和$H$是一个$n$ -点$k$ -一致超图. $H$中的接近完美匹配是大小为$\lfloor n/k\rfloor$的匹配。我们给出了一个整除障碍的结构，以防止在$H$中存在的近完美匹配。这推广了完美匹配的可分性障碍。我们给出了一个猜想的最小$d$度阈值迫使（近）完美匹配$H$，推广了一个著名的猜想完美匹配。我们还验证了我们的猜想在各种情况下。我们的证明利用了作者最近使用的基于格的吸收方法来解决超图的匹配和平铺的其他两个问题。
2016-11-01 math.CO
Independent sets in hypergraphs with a forbidden link
本文给出了一个关于$N$个顶点的$3$ -一致超图的概率构造，其中任意四个顶点中至多有两条边，且独立数为$O(\log N / \log \log N)$。这个界是紧的，解决了Erdals和Hajnal在拉姆齐理论中的一个长期存在的公开问题。我们进一步推广这一结果，以证明各种其他超图Ramsey数的紧界。
2021-03-18 math.CO
The threshold for powers of tight Hamilton cycles in random hypergraphs
本文确定了随机超图中紧哈密顿圈幂出现的精确阈值，将 Parczyk 和 Person 的渐近条件改进为常数因子条件，证明当边概率达到 $Cn^{-1/\binom{k+r-2}{r-1}}$ 时渐近几乎必然包含紧哈密顿圈的 $k$ 次幂。
2023-10-29 math.CO
Tight Hamilton cycles in cherry quasirandom $3$-uniform hypergraphs
本文利用吸收路径方法证明了两个关于{\em two-path}或{\em cherry}-拟随机$3$-图中紧Hamilton圈出现的结果。我们的第一个结果断言，对于任何固定的实际$α>0$，樱桃拟随机$3$-图足够大的顺序$n$具有最小$2$-度至少$α(n-2)$有一个紧的Hamilton圈。我们的第二个结果涉及的最小$1$-度足以使这样的$3$-图有一个紧的Hamilton圈。粗略地说，我们证明了对于每个满足$d + α>1$的$d,α>0$，任何足够大的$n$-顶点，例如密度为$d$且最小$1$-度至少为$α\binom{n-1}{2}$的$3$-图$H$，都具有紧汉密尔顿圈。
2019-11-30 math.CO
Powers of tight Hamilton cycles in randomly perturbed hypergraphs
对于$k\ge 2$和$r\ge 1$使得$k+r\ge 4$，我们证明了，对于任何$α>0$，存在$ε>0$使得在同一顶点集上的一个具有最小余度$\left(1-\binom{k+r-2}{k-1}^{-1}+α\right)n$的$n$ -顶点$k$ -图和一个具有$p\ge n^{-\binom{k+r-2}{k-1}^{-1}-ε}$的二项随机$k$ -图$\mathbb{G}^{(k)}(n,p)$的并集以高概率包含紧Hamilton圈的$r^{\text{th}}$幂.关于$r=1$的这一结果首先由McDowell和Mycroft证明。
2018-02-24 math.CO
Finding tight Hamilton cycles in random hypergraphs faster
在$n$顶点上的$r$ -一致超图中，紧Hamilton圈由$n$边组成，使得存在顶点的循环序，其中边对应于$r$顶点的连续段.我们提供了第一个确定性的多项式时间算法，它发现a.a.s.随机$r$ -一致超图中边概率至少为$C \log^3n/n$的紧Hamilton圈.我们的结果部分回答了Dudek和Frieze [Random Structures & Algorithms 42（2013），374-385]的问题，他们使用二阶矩论证证明了对于$r=3$的$p=ω(1/n)$和对于$r\ge 4$的$p=(e + o(1))/n$已经存在紧Hamilton环。此外，我们的算法在各种方面优于Allen，Böttcher，Kohayakawa和Person [Random Structures & Algorithms 46（2015），446-465]以及Nenadov和Škorić [arXiv：1601.04034]的先前结果：Allen等人的算法是用于边缘概率$p\ge n^{-1+\varepsilon}$的随机多项式时间算法，而Nenadov和Škorić的算法是用于边缘概率$p\ge C\log^8n/n$的随机准多项式时间算法。
2017-10-24 math.CO
Longest paths in random hypergraphs
给定整数$k,j$和$1\le j \le k-1$，研究了二项随机$k$ -一致超图$H^k(n,p)$中最长$j$ -紧路的长度.我们发现，这个长度经历了一个从对数长度的线性相变，并确定临界阈值，以及证明上界和下界的长度在亚临界和超临界范围内。特别是，对于超临界的情况下，我们引入了“探路者”算法，深度优先搜索算法，发现$j$紧路径的$k$ -均匀超图。我们证明，在超临界的情况下，该算法将找到一个很长的$j$紧路径的概率很高。
2021-05-12 math.CO
The Ramsey Number of Fano Plane Versus Tight Path
两个$3$ -均匀超图$G$和$H$的超图拉姆齐数，用$R(G,H)$表示，是最小整数$N$，使得完全$3$ -$N$顶点上的均匀超图的每个红蓝边着色都包含$G$的红色副本或$H$的蓝色副本。Fano平面$\mathbb{F}$是唯一的七点七边3-一致超图，其中每对顶点包含在唯一的一条边中.有一个简单的构造表明，等式成立的$R(H,\mathbb{F}) \ge 2(v(H)-1) + 1.$超图$H$称为$\mathbb{F}$ -good。Conlon要求确定所有$\mathbb{F}$ -良好的$H$。在这篇短文中，我们在这个问题上取得了进展，并证明了长度为$n$的紧路是$\mathbb{F}$ -好的。
2019-01-21 math.CO
How many random edges make a dense hypergraph non-2-colorable?
研究了随机一致超图的一个模型，其中一个随机实例是通过给一个给定密度的大型超图添加随机边得到的。我们得到一个紧的约束上的随机边缘的数量，以确保非2-着色。证明了对任意一个边数为Ω（n^{k-n}）的k-一致超图，增加Ω（n^{k-n/2}）条随机边使其几乎必然是非2-可染的.这本质上是紧的，因为存在一个具有Omega（n^{k-ε}）条边的2-可着色超图，即使添加了o（n^{k ε/ 2}）条随机边，它几乎肯定仍然是2-可着色的。
2007-07-02 math.CO
Hypergraph Ramsey numbers: tight cycles versus cliques
对于$s \ge 4$，3-均匀紧圈$C^3_s$具有对应于圆上的$s$不同点的顶点集和由三个连续点的$s$循环间隔给出的边集。对于固定的$s \ge 4$和$s \not\equiv 0$（mod 3），我们证明了在$$2^{at}<r(C^3_s, K^3_t)<2^{bt^2\log t}.$$的情况下，存在正的常数$a$和$b$。$s>5$的上界是通过使用过饱和度和已知的$r(K_4^{3}, K_t^3)$的上界来证明的，而$s=5$的上界是从我们开发的$r(K_5^{3-}, K_t^3)$的一个新的上界得出的。
2015-03-20 math.CO
Codegree conditions for tiling complete $k$-partite $k$-graphs and loose cycles
给定两个$k$ -图（$k$ -均匀超图）$F$和$H$，$H$中的完美$F$ -平铺（或$F$ -因子）是$F$的顶点不相交副本的集合，这些副本一起覆盖$H$的顶点集.对于所有的完全$k$ -部$k$ -图$K$，Mycroft证明了一个最小余度条件，该条件保证$n$ -顶点$k$ -图中存在$K$ -因子，并且紧到误差项$o(n)$ .当$K$的顶点类的大小差互质时，本文将Mycroft结果中的误差项改进为与$K$的Turán数有关的次线性项.此外，我们找到了一个结构，表明我们的改进的余度条件是渐近紧在无限多的情况下，从而反驳了Mycroft猜想。最后，我们确定了平铺$K^{(k)}(1, \dots, 1, 2)$和平铺松散圈的精确最小余度条件，从而推广了Czygrinow，DeBiasio，Nagle和Czygrinow的结果。
2019-03-13 math.CO
Some tight lower bounds for Turán problems via constructions of multi-hypergraphs
近年来，超图的若干Turán问题被强有力的随机代数方法所解决。然而，随机代数方法通常需要一些参数是非常大的，因此，我们关心的是这些图兰数如何依赖于这样的大参数的禁止超图。本文确定了几个超图Turán问题对这类大常数的依赖性。更具体地说，对于完全$r$ -participate $r$ -uniform超图，我们证明了，如果$s_{r}$是充分大于$s_{1},s_{2},\ldots,s_{r-1},$，那么$$\textup{ex}_{r}(n,K_{s_{1},s_{2},\ldots,s_{r}}^{(r)})=Θ(s_{r}^{\frac{1}{s_{1}s_{2}\cdots s_{r-1}}}n^{r-\frac{1}{s_{1}s_{2}\cdots s_{r-1}}}).$$对于完全二部$r$ -uniform超图，我们证明了，如果$s$是充分大于$t,$，我们有$$\textup{ex}_{r}(n,K_{s,t}^{(r)})=Θ(s^{\frac{1}{t}}n^{r-\frac{1}{t}}).$$特别是，我们的结果意味着，著名的Kravári-Sós-Turán的上限$\textup{ex}(n,K_{s,t})=O(t^{\frac{1}{s}}n^{2-\frac{1}{s}})$有正确的依赖于大$t$。其主要方法是通过随机代数方法的一种变体来构造随机…
2020-05-31 math.CO
Monochromatic paths in $2$-edge coloured graphs and hypergraphs
我们回答了Gyárfás和Sárközy在2013年提出的一个问题，证明了每一个2-边色完全3-一致超图都可以划分成两条不同颜色的单色紧路。我们还给出了划分任意2-边色完全r-部r-一致超图所需紧路数的一个下界。最后，我们证明了任何2-边着色的完全二部图都有一个划分为不同颜色的单色圈和单色路，除非着色是分裂着色。
2023-01-25 math.CO
The Hypergraph Turán Densities of Tight Cycles Minus an Edge
本文研究紧ℓ-循环删去一条边Cₗ⁻的超图Turán密度，证明ℓ≥5且不被3整除时极值数为1/24 n³+O(n ln n)，并确定了边编辑次数不超过O(n)的极值图。
2024-11-26 math.CO
On tight tree-complete hypergraph Ramsey numbers
本文扩展了Chvátal的树-完全图拉姆齐数结论，证明了对于3和4-一致非平凡紧树，其超图拉姆齐数满足 $R(T,n)=Θ(n^{r-1})$，主要贡献在于提出了受Cooper-Mubayi构造启发的4-一致构造。
2024-12-27 math.CO
Cycle decompositions in $k$-uniform hypergraphs
该研究证明满足平凡可分条件、共度至少为$(2/3 + o(1))n$的$n$顶点$k$-一致超图可分解为紧圈且含紧欧拉环游，还研究了紧路径分解，并提出构建任意$k$-一致超图边分解吸收子的替代条件，具有独立研究价值。
2024-03-06 math.CO
Ramsey numbers for multiple copies of hypergraphs
本文对充分大的$n$确定了Ramsey数$R(G,nH)$，其中$G$是一个$k$ -一致超图，其最大独立集与每条边相交于$k-1$顶点，$H$是一个$k$ -一致超图，其顶点使得包含该顶点的边所导出的超图是一个星.有几个这样的$G$和$H$的例子，其中有任何不相交的并的$k$ -一致超图涉及松散的道路，松散的循环，紧密的道路，紧循环与多个$k$边，星，Kneser超图和完全$k$ -一致$k$ -部超图的$G$和线性超图的$H$ .作为应用，确定$R(mG,nH)$，其中$m$或$n$是大的，并且$G$和$H$是松散路径、松散循环、紧密路径或星形。此外，当$G$是具有饱和其颜色类之一的匹配的二分图并且$H$是对于足够大的$n$的任意图时，确定$R(G,nH)$。当$m\geq n$和$G$和$H$，$(|V(G)|\geq |V(H)|)$是3-一致松弛路或圈，$k$ -至多4条边的一致松弛路或圈，以及$k$-3条边的一致星时，给出了$R(mG,nH)$的一些界.
2013-03-03 math.CO
A pair degree condition for Hamiltonian cycles in $3$-uniform hypergraphs
证明了$3$ -一致超图中紧哈密顿圈的一个新的充分对度条件，该条件（渐近地）改进了Rödl，Rucibrski和Szemerédi提出的最佳对度条件.对于图，Chvátal特征所有这些序列的整数，每一个逐点较大（或相等）的程度序列保证存在一个哈密顿圈。普萨向切瓦塔尔定理迈出了一步，他改进了狄拉克对哈密顿圈的最小度条件，证明了一个图的度序列上的某个较弱的条件已经产生了一个哈密顿圈。在这项工作中，我们采取了类似的一步对所有的度矩阵，确保存在的紧哈密顿圈在$3$ -一致超图的Pósa的结果证明了一个$3$ -一致模拟的充分表征。特别是，我们的结果加强了Rödl，Rucienski和Szemerédi的结果的渐近版本。
2021-02-03 math.CO
On the Number of Independent Sets in Uniform, Regular, Linear Hypergraphs
研究了无交叉边的$r$ -一致、$d$ -正则、$n$ -顶点线性超图的弱独立集和强独立集的个数的界问题.在弱独立集的情况下，我们提供了一个上界，是紧到一阶项的所有（固定）$r\ge 3$，与$d$和$n$走向无穷大。在强独立集的情况下，对于$r=3$，我们提供了一个紧到二阶项的上界，改进了Ordentlich-Roth（2004）的结果。强独立集情况下的紧密性是通过显式构造$3$（均匀）、$d$（规则、无交叉边、$n$顶点上的线性超图来建立的，这在其他上下文中可能会引起兴趣。一般情况下，我们先放一些说明。我们的证明使用Davies，Jenssen，Perkins和Roberts（2017）引入的占用方法。
2021-07-04 math.CO
Turán Numbers of Ordered Tight Hyperpaths
有序超图是顶点集$V(G)$是线性有序的超图$G$。当$r\le s < 2r$和$n$是偶数时，我们发现$r$ -均匀$s$ -顶点紧路径$P^{(r)}_s$（顶点按自然序排列）的图兰数;当$r\le s<2r$时，我们的结果意味着$\mathrm{ex}_{>}(n,P^{(r)}_s)=(1-\frac{1}{2^{s-r}} + o(1))\binom{n}{r}$.当$r\ge 2s$时，$\mathrm{ex}_{>}(n,P^{(r)}_s)$的渐近性保持开放。对于$r=3$，我们构造了一个不含$P^{(r)}_s$的$r$ -一致$n$ -顶点超图，我们猜想它是渐近极值的.
2022-12-28 math.CO
Powers of Hamilton cycles in random graphs and tight Hamilton cycles in random hypergraphs
我们证明了对每个$k \in \mathbb{N}$都存在$C > 0$，使得如果有$p^k \ge C \log^8 n / n$，则随机图$G_{n,p}$渐近几乎必然包含一个Hamilton圈的$k$ \textsuperscript{th}幂.这决定了汉密尔顿圈的平方出现的阈值达到对数因子，改进了库恩和奥斯托斯的结果。此外，我们的证明提供了一个随机化的准多项式算法找到这样的权力的周期。利用类似的思想，我们还给出了在随机$k$ -一致超图$G_{n,p}^{(k)}$中为$p \ge C \log^8 n/ n$寻找紧Hamilton圈的随机拟多项式算法。证明是基于吸收的方法，并遵循Kühn和Osthus，和Allen等人的策略。新的成分是一个一般的连接引理，它允许我们连接使用任意结构的顶点元组在一个接近最优值的$p$。连接引理及其基于Janson不等式和贪婪嵌入策略的证明可能是独立的。
2017-05-16 math.CO
Counting Hamilton cycles in Dirac hypergraphs
$k$ -均匀超图（$k$ -graph）$G$中的紧Hamilton圈是$G$的顶点的循环序，使得序中的每一个连续的$k$顶点集形成一条边. Rödl，Ruciski和Szemerédi证明了对于$k\geq 3$，每个$k$ -图在$n$顶点上的最小余度至少为$n/2+o(n)$，包含一个紧Hamilton圈.我们证明了在这样的$k$ -图中紧Hamilton圈的个数是$\exp(n\ln n-Θ(n))$ .作为推论，我们对所有的$\ell\in\{0,\dots,k-1\}$，得到了这类$k$ -图中Hamilton $\ell$ -圈数的类似估计，这一结果改进了Ferber，Krivelevich和Sudakov的一个问题.
2020-11-10 math.CO
The size of $3$-uniform hypergraphs with given matching number and codegree
确定具有给定图参数的$r$ -图的大小是一个有趣的问题。Chvátal和Hanson（JCTB，1976）给出了具有限制最大度和匹配数的2-图的大小的紧上界; Khare（DM，2014）研究了具有限制匹配数和最大度的线性$3$ -图的相同问题。本文给出了具有有界余度和匹配数的$3$ -图的大小的一个紧上界。
2017-09-21 math.CO
