A Convex Body Associated to the Busemann Random Simplex Inequality and the Petty conjecture
本文定义凸体$N_p L$，证明其极体的等周不等式等价于$L_p$-Busemann随机单纯形不等式，并由此给出函数版本简单证明、对偶理论及Petty猜想与$L_1$-Sharp仿射Sobolev不等式的等价性。
2020-01-10 math.DG math.MG
Stochastic Domination of Gaussian Maxima by the Regular Simplex
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
本文证明正则单纯形在随机支配意义下最小化高斯最大值概率，并应用于等能量信号检测，证明其唯一最大化正确识别概率。
2026-09-29 cs.IT math.IT math.MG
Euclidean Partitions Optimizing Noise Stability
Isaksson和Mossel的标准单纯形猜想要求将$\mathbb{R}^{n}$的$\{A_{i}\}_{i=1}^{k}$划分为$k\leq n+1$片的最佳噪声稳定性的相等高斯测度。也就是说，对于$ρ>0$，我们最大化$$ \sum_{i=1}^{k}\int_{\mathbb{R}^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}1_{A_{i}}(x)1_{A_{i}}(xρ+y\sqrt{1-ρ^{2}}) e^{-(x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})/2}e^{-(y_{1}^{2}+\cdots+y_{n}^{2})/2}dxdy. $$ Isaksson和Mossel猜测这个问题的最佳划分，并证明了他们的猜想的一些应用。例如，标准单纯形猜想意味着复数是最稳定的猜想。对于$k=3,n\geq2$和$0<ρ<ρ_{0}(k,n)$，我们证明了标准单纯形猜想。这个完整的猜想在理论计算机科学和几何多泡问题（在Isaksson和Mossel之后）上有应用。
2014-05-26 cs.CC math.FA math.MG
Empty simplices of large width
本文研究空单纯形，通过引入分圆单纯形并穷举计算维数10的实例，以及利用特定循环矩阵构造任意维数的方法，首次得到了宽度大于其维数的空单纯形。
2024-10-27 math.CO math.MG
Counterexamples to the topological Tverberg conjecture
Bárány、Shlosman和Szlovcs（1981）的“拓扑Tverberg猜想”指出，维数为$(r-1)(d+1)$到$\mathbb{R}^d$的单形的任何连续映射都将单形的$r$不相交面的点映射到$\mathbb{R}^d$中的同一点。这是由Tverberg（1966）针对仿射映射建立的，对于$r$是素数的情况，由Bárány等人建立，以及Özaydin（1987）的素数幂$r$。我们将Mabillard和Wagner（2014）宣布的广义van Kampen定理与Blagojević，Ziegler和作者（2014）的约束方法相结合，从而证明了拓扑Tverberg猜想的反例的存在性，对于任何数量的非素数幂的面$r$。然而，这些反例要求上域的维数$d$足够高：我们得到的最小反例是$100$维单形到$\mathbb{R}^{19}$的映射，对于$r=6$。
2015-11-13 math.AT math.CO math.MG
A four-dimensional body of constant width
Centro de Ciencias Matemáticas, UNAM（UNAM数学科学中心）；ENES, UNAM（UNAM国家工程学院）
本文提出了一种在R^4中构造常宽体的新几何方法，通过修改四维Reuleaux单纯形得到具有四面体对称性的第二Meissner体的自然类比，并分析了其三维投影的性质。
2026-05-26 math.MG
On Properties of a Regular Simplex Inscribed into a Ball
设$B$是${\mathbb R}^n$中的一个欧氏球，$C(B)$是具有一致范数$\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|.$的连续函数$f:B\to{\mathbb R}$的空间。$Π_1\left({\mathbb R}^n\right)$是指一组次数为$\leq 1$的多项式，即，在${\mathbb R}^n$上的一组线性函数。具有节点$x^{(j)}\in B$的插值投影器$P:C(B)\to Π_1({\mathbb R}^n)$由等式$Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right)$、$j=1,$、$\ldots,$、$ n+1$定义。作为从$C(B)$到$C(B)$的算子的$P$的范数可以通过公式$\|P\|_B=\max_{x\in B}\sum |λ_j(x)|.$计算。这里$λ_j$是对应于具有顶点$x^{(j)}$的$n$维非退化单形$S$的基本拉格朗日多项式。设$P^\prime$是一个投影仪，其节点在一个正单形的顶点\linebreak中内接到球中。我们用性质$\|P^\prime\|_B=\sum |λ_j(y)|$描述点$y\in B$。我们还提出了一个几何猜想，它暗示$\|P^\prime\|_B$等于$B$中节点的插值投影的最小范数。我们证明，这一猜想成立至少$n=1,2,3…
2021-05-17 math.MG
Mean width of regular polytopes and expected maxima of correlated Gaussian variables
一个古老的猜想指出，在所有的单形内接在单位球的规则有最大的平均宽度。一个等价的公式是，对于任何满足$\mathbb Eξ_1^2= \dots =\mathbb Eξ_n^2=1$的中心高斯向量$(ξ_1,\dots,ξ_n)$，有$$ \mathbb E\,\max\{ξ_1,\dots,ξ_n\}\leq\sqrt{\frac{n}{n-1}}\, \mathbb E\,\max\{η_1,\dots,η_n\}, $$，其中$η_1,η_2,\dots,$是独立的标准高斯变量。使用这种概率解释，我们推导出一个渐近版本的猜想。我们还证明了具有$2n$顶点的正则单形的平均宽度非常接近于具有相同顶点数的正则交叉单形的平均宽度。从概率上解释，我们的结果表明，$$ 1\leq\frac{\mathbb E\,\max\{|η_1|,\dots,|η_n|\}}{\mathbb E\,\max\{η_1,\dots,η_{2n}\}} \leq\min\left\{\sqrt{\frac{2n}{2n-1}}, \, 1+\frac{C}{n\, \log n} \right\}, $$，其中$C>0$是一个绝对常数。本文还计算了正立方体、单形和交叉多面体在任意方向直线上的投影长度$W$的高阶矩，从而证明了S.芬奇最后，我们证明了随机投影长度的分布极限定理的维数去$\infty$。在$n…
2016-04-06 math.MG math.PR
Mean Width of a Regular Cross-Polytope
已知n+1个正态分布变量的样本的期望范围与正则n-单形的平均宽度有关。我们证明了n个半正态分布变量的样本的期望最大mu_n与规则n-交叉电解质的平均宽度有关。这两种关系都有对应的均方。发现了mu_5的一个表达式，并认为这是一个新的表达式。
2016-03-12 math.MG math.PR
Hollow polytopes of large width
我们构造了一个空格多面体（分别为）。空晶格单形）的尺寸为$14$（分别为$~404$）和宽度$15$（分别$~408$）。它们是第一个已知的宽度大于维度的中空晶格多面体。我们还构造了一个宽度为$2+\sqrt2$的中空（非格子）四面体，并推测这是$3$维中空凸体中的最大宽度。我们发现，最大晶格宽度的增长（至少）与$d$。特别地，上述构造暗示了中空晶格多面体的存在（分别为：空心单形）的任意大尺寸$d$和宽度$\simeq 1.14 d$（分别$~\simeq 1.01 d$）。
2019-06-06 math.CO math.MG
Egan conjecture holds
该研究证明了维数不小于2的欧几里得单形满足Egan猜想，确立了其外接球半径、内切球半径与两球心距离间的不等式关系。
2023-11-04 math.MG
Extemizers in Soprunov and Zvavitch's Bezout inequalities for mixed volumes
本文研究了凸体满足Soprunov和Zvavitch提出的混合体积Bezout不等式的边界结构必要条件，并给出了三维情形的新解。
2023-04-01 math.FA math.MG
Morley Simplices in Higher Dimensions: Regularity, Reflections, and Counterexamples
本文研究高维单纯形中莫利单纯形为正则的条件，证明正则单纯形为孤立解，并构造反例表明在六维及以上存在无反射对称性的正则莫利单纯形，四维给出非正则精确示例。
2026-10-02 math.CO math.MG
The equality case in Godbersen's inequality and its generalizations
本文完成了 Kotrbatý-Mouamine 不等式中等式情形的刻画，证明若凸体满足该等式，则必为单纯形。
2026-10-08 math.FA math.MG
On the X-ray number of almost smooth convex bodies and of convex bodies of constant width
研究了几类凸体的X射线数。特别地，我们给出了X射线猜想的证明，以及对任意维数的几乎光滑凸体和对维数为3，4，5，6的等宽凸体的照明猜想的证明。
2009-03-27 math.MG
Continuity of volumes -- on a generalization of a conjecture of J. W. Milnor
在他的论文“论Schlafli微分等式”中，J. Milnor指出n维双曲和球面单形的体积作为二面角的函数，连续地延伸到允许角空间的闭合。最近F. Luo（参见math.GT/0412208）。本文给出了这个猜想的一个简单的证明，证明了更尖锐的正则性结果，然后将这个方法推广到一大类凸多胞体。单形论证在大于3的维数中（以及在所有维数中的球面单形）没有变化，因此本文的大部分内容都与三维论证有关。与多面体的直径和极多面体的收缩期的长度相关的估计是独立感兴趣的。
2005-03-22 math.GT math.MG
Optimal mean width and metric entropy estimates for convex bodies
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Cornell University（康奈尔大学）
该研究针对凸体，证明了球面平均宽度与体积半径比值的最优界，以及欧氏覆盖数对数的最大值由单纯形和交叉多面体取得，证明采用了 Eldan 的随机局部化方法。
2026-10-06 math.FA math.MG math.PR
A note on the affine plank conjecture
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Technion-IIT（以色列理工学院）
本文针对仿射板猜想，证明了总相对宽度的下界为$2/(1+\sqrt{d})$，改进了此前的最佳下界$2/(1+d)$。
2026-08-25 math.MG
Proof of László Fejes Tóth's zone conjecture
单位球面上宽度为$ω$的区域是在给定大圆的球面距离$ω/2$内的点的集合。我们证明了覆盖单位球面的任何区域集合的总宽度至少是$π$，回答了Fejes Tóth在1973年提出的一个问题。
2017-11-01 math.CO math.MG
On Steiner Trees of the Regular Simplex
本文重新研究高维欧几里得施泰纳树问题，建立其计算困难性与正则单纯形最优施泰纳树之间的联系，提出若干猜想，并首次给出正则单纯形最优拓扑的显式一般构造。
2023-12-03 cs.CC cs.CG math.CO
