Strengthened inequalities for the mean width and the $\ell$-norm
本文加强了关于凸体均宽和ℓ-范数的不等式，证明了正则单纯形在特定条件下的极值性质，并研究了中心各向同性测度支撑集的凸包的相关稳定性结果。
2020-01-29 math.MG
Density upper bound for congruent and non-congruent hyperball packings generated by truncated regular simplex tilings
本文研究了截断正四面体镶嵌的全等和非全等超球（超球）填充。这些是从$3$和$5$维双曲空间中的Coxeter单纯形镶嵌$\{p,3,3\}$ $(7\le p \in \mathbb{N})$和$\{5,3,3,3,3\}$导出的。我们确定了与上述镶嵌相关的密度超球填充安排。我们利用全等超球求出了堆积密度，并确定了由上述拼接生成的非全等超球堆积的最小密度上界。
2015-10-12 math.MG
Distances from the vertices of a regular simplex
如果$S$是$d$维欧几里得空间$\mathcal{E}$中边长为$a$的给定正则$d$ -单形，则距离$t_1$，$\cdots$，$\mathcal{E}$中任意一点的$t_{d+1}$与$S$的顶点之间的关系是优雅关系$$(d+1)\left( a^4+t_1^4+\cdots+t_{d+1}^4\right)=\left( a^2+t_1^2+\cdots+t_{d+1}^2\right)^2.$$。本文的目的是证明这是$t_1,\cdots,t_{d+1}.$之间唯一的关系。分析代数和几何
2016-09-21 math.MG
Mean width of regular polytopes and expected maxima of correlated Gaussian variables
一个古老的猜想指出，在所有的单形内接在单位球的规则有最大的平均宽度。一个等价的公式是，对于任何满足$\mathbb Eξ_1^2= \dots =\mathbb Eξ_n^2=1$的中心高斯向量$(ξ_1,\dots,ξ_n)$，有$$ \mathbb E\,\max\{ξ_1,\dots,ξ_n\}\leq\sqrt{\frac{n}{n-1}}\, \mathbb E\,\max\{η_1,\dots,η_n\}, $$，其中$η_1,η_2,\dots,$是独立的标准高斯变量。使用这种概率解释，我们推导出一个渐近版本的猜想。我们还证明了具有$2n$顶点的正则单形的平均宽度非常接近于具有相同顶点数的正则交叉单形的平均宽度。从概率上解释，我们的结果表明，$$ 1\leq\frac{\mathbb E\,\max\{|η_1|,\dots,|η_n|\}}{\mathbb E\,\max\{η_1,\dots,η_{2n}\}} \leq\min\left\{\sqrt{\frac{2n}{2n-1}}, \, 1+\frac{C}{n\, \log n} \right\}, $$，其中$C>0$是一个绝对常数。本文还计算了正立方体、单形和交叉多面体在任意方向直线上的投影长度$W$的高阶矩，从而证明了S.芬奇最后，我们证明了随机投影长度的分布极限定理的维数去$\infty$。在$n…
2016-04-06 math.MG math.PR
Mean Width of a Regular Cross-Polytope
已知n+1个正态分布变量的样本的期望范围与正则n-单形的平均宽度有关。我们证明了n个半正态分布变量的样本的期望最大mu_n与规则n-交叉电解质的平均宽度有关。这两种关系都有对应的均方。发现了mu_5的一个表达式，并认为这是一个新的表达式。
2016-03-12 math.MG math.PR
Maximal $2$-distance sets containing the regular simplex
欧几里得空间的有限子集$X$称为$m$ -距离集，如果$X$中两个不同点之间的距离数等于$m$。如果在保持$m$ -距离条件的同时不能将任何向量添加到$X$，则称$m$ -距离集$X$为最大.本文研究了向量加到正则单纯形上使得集合只有$2$距离的一个充要条件。我们构造了几个包含$d$维正则单形的$d$维极大$2$ -距离集.特别是，存在无穷多个最大的非球形$2$ -距离集，其中既包含正则单纯形，又包含强可解设计的表示。最大$2$距离集的大小为$2s^2(s+1)$，维数为$d=(s-1)(s+1)^2-1$，其中$s$是素数幂.
2020-07-27 math.CO math.MG
Sections of the regular simplex - Volume formulas and estimates
给出了正则$n$ -单形与某些$k$ -维子空间相交体积的一般计算公式。已知对于中心超平面，通过包含$n-1$顶点的质心的超平面给出最大体积。我们表明，对于固定的超平面的质心的小距离，超平面包含$n-1$顶点仍然是体积最大化。证明也产生了一个新的和简短的论点的结果，中心部分。用同样的技巧，我们给出了极小中心超平面截面的一个部分结果。最后，我们得到了$k$维截面的一个界。
2016-03-01 math.MG
Volumes of Regular Hyperbolic Simplices
本文推导了任意维数双曲空间中正则单形体积的显式公式，为相关几何研究提供了基础工具。
2025-11-17 math.MG math.PR
On Properties of a Regular Simplex Inscribed into a Ball
设$B$是${\mathbb R}^n$中的一个欧氏球，$C(B)$是具有一致范数$\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|.$的连续函数$f:B\to{\mathbb R}$的空间。$Π_1\left({\mathbb R}^n\right)$是指一组次数为$\leq 1$的多项式，即，在${\mathbb R}^n$上的一组线性函数。具有节点$x^{(j)}\in B$的插值投影器$P:C(B)\to Π_1({\mathbb R}^n)$由等式$Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right)$、$j=1,$、$\ldots,$、$ n+1$定义。作为从$C(B)$到$C(B)$的算子的$P$的范数可以通过公式$\|P\|_B=\max_{x\in B}\sum |λ_j(x)|.$计算。这里$λ_j$是对应于具有顶点$x^{(j)}$的$n$维非退化单形$S$的基本拉格朗日多项式。设$P^\prime$是一个投影仪，其节点在一个正单形的顶点\linebreak中内接到球中。我们用性质$\|P^\prime\|_B=\sum |λ_j(y)|$描述点$y\in B$。我们还提出了一个几何猜想，它暗示$\|P^\prime\|_B$等于$B$中节点的插值投影的最小范数。我们证明，这一猜想成立至少$n=1,2,3…
2021-05-17 math.MG
Bounding minimal solid angles of polytopes
本文研究了$\mathbb{R}^d$中单形的最小立体角的测度是什么？我们表明，在三维它是不大于的立体角的正规单形。在四维空间中，对于足够接近于正则单形的单形，也是如此。我们还研究了一个类似的问题，三面角和二面角的多面体相比，那些正固体。
2016-04-06 math.MG
Morley Simplices in Higher Dimensions: Regularity, Reflections, and Counterexamples
本文研究高维单纯形中莫利单纯形为正则的条件，证明正则单纯形为孤立解，并构造反例表明在六维及以上存在无反射对称性的正则莫利单纯形，四维给出非正则精确示例。
2026-10-02 math.CO math.MG
Empty simplices of large width
本文研究空单纯形，通过引入分圆单纯形并穷举计算维数10的实例，以及利用特定循环矩阵构造任意维数的方法，首次得到了宽度大于其维数的空单纯形。
2024-10-27 math.CO math.MG
Stochastic Domination of Gaussian Maxima by the Regular Simplex
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
本文证明正则单纯形在随机支配意义下最小化高斯最大值概率，并应用于等能量信号检测，证明其唯一最大化正确识别概率。
2026-09-29 cs.IT math.IT math.MG
A four-dimensional body of constant width
Centro de Ciencias Matemáticas, UNAM（UNAM数学科学中心）；ENES, UNAM（UNAM国家工程学院）
本文提出了一种在R^4中构造常宽体的新几何方法，通过修改四维Reuleaux单纯形得到具有四面体对称性的第二Meissner体的自然类比，并分析了其三维投影的性质。
2026-05-26 math.MG
Large regular simplices contained in a hypercube with a common barycenter
已经证明，如果$n$足够大，则对于任意$c<1/2$，$n$维单位超立方体包含边长为$c\sqrt n$的$n$维正则单形（Maehara，Ruzsa and Tokushige，2009）.证明了对于某些$c>1/2$，即使在正则单形与单位超立方体具有相同重心的特殊情况下，同样的命题也成立。
2011-01-14 math.CO math.MG
Horoball packings to the totally asymptotic regular simplex in the hyperbolic $n$-space
在\cite{Sz11}中，我们推广了扩展双曲空间$\bar{\mathbf{H}}^n, ~(n \ge 2)$中的单密度函数的概念，其中我们允许{ \it不同类型的全等球}以全渐近四面体的各个顶点为中心。利用这一新的观点，本文研究了双曲型$n$ -空间$\bar{\mathbf{H}}^n$中关于全渐近正四面体的局部可解的方球填充排列及其密度，其中方球的理想中心产生全渐近正四面体的顶点.我们将证明，在这个意义上，{ \it众所周知的“全等球”填充$\bar{\mathbf{H}}^n$的Böröczky密度上界不保持有效的$n\ge4$，}但这些局部最优球安排没有扩展到整个$n$维双曲空间。此外，我们确定了上述局部最优horoball填充的密度的显式公式，允许horoball在不同的类型。
2011-12-08 math.MG math.SG
Is a complete, reduced set necessarily of constant width?
完备的凸体$K$相对于某个规范体$C$约化了，它是否必然具有恒定的宽度，即对于某个$ρ>0$满足$K-K=ρ(C-C)$？我们证明了几种情况下，包括以下情况：如果$K$是一个单纯形和或如果$K$具有一个光滑的极值点，则蕴涵保持。此外，我们还得到了一些关于完全范数的新结果。
2016-02-25 math.MG
A Proof of the Weak Simplex Conjecture
本文证明了弱单纯形猜想：在能量约束下，n维空间中n+1个码字的最优码本由单位球内接正单纯形的顶点构成，通过对称性和联合优化码本与决策区域的松弛方法给出自包含证明。
2023-11-13 cs.IT math.IT math.MG
Width Distributions for Convex Regular Polyhedra
平均宽度是三维凸体上的一个度量，与体积和表面积[Rota]具有同等地位。正如这个短语所暗示的，它是概率密度f的平均值。我们验证了正四面体和立方体的平均宽度公式。f_tetra和f_cube的高阶矩至今尚未得到研究。假设每个多面体都有单位长度的边。我们推导出正四面体的均方宽为1/3+（3+sqrt（3））/（3*pi），立方体的均方宽为1+4/pi。
2016-03-12 math.MG math.PR
An extremal problem of regular simplices-The higher dimensional case
本文的新结果与下列问题有关：考虑正则单形的一个支撑超平面及其在该超平面上的反射像。这两个单形的凸包的体积在什么时候最大？我们证明了当维数小于或等于4时，当超平面通过顶点并在该顶点与单形的高度正交时，体积达到最大。更有趣的是，在高维的情况下，这个位置不是最佳的。我们还确定了5维情况下超平面的最佳位置。这纠正了我论文中的一个错误说法[3]。
2018-11-29 math.MG
Polarization problem on a higher-dimensional sphere for a simplex
本文研究了由$S^{d-1}$上的$d+1$点构成的势在球面$S^{d-1}\subset \mathbb R^d$上的最小值的最大化问题（最大离散极化问题）。这些点通过由欧几里得距离平方的函数$f$给出的势相互作用，其中$f:[0,4]\to (-\infty,\infty]$是连续的（在扩展意义上），并且在$[0,4]$上是递减的，并且在$(0,4]$上是有限的和凸的，具有凹或凸导数$f'$。证明了内接于$S^{d-1}$的正则$d$ -单形的顶点的构型是最优的.这个结果对于$d>3$是新的（对于$d=2$和$d=3$的某些特殊情况也是新的）。作为一个副产品，我们发现一个更简单的证明已知的最佳覆盖性质的正则$d$ -单形的顶点在$S^{d-1}$。
2020-03-03 math-ph math.MG math.MP
Circumscribing constant-width bodies with polytopes
Makeev证明了每一个等宽体都内接于正则单形的对偶差体中。我们证明，同调，有一个奇数这样的外接机构在3维，因此几何上至少有一个。我们表明，同调的答案是零，在更高的维度，结果是不确定的几何问题。我们还给出了一个涉及严格凸体仿射外接的部分推广。
1999-06-17 math.MG
On Extremal Volume Projections of the Simplex and the Cube
University of Crete（克里特大学）
本文推导了正n-simplex和单位立方体的极值体积投影闭式公式，并在L_p投影体框架内进行了泛化。
2026-01-26 math.FA math.MG
Pre-kites: Simplices having a regular facet
对欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中任意一点到该空间中正则$n$ -单形顶点的距离之间关系的研究，引导我们研究具有正则小面的单形。将具有正则小面的$n$ -单形称为$n$ -pre-kite，本着[4]、[10]、[9]和[15]的精神，并使用线性代数的工具，我们研究了这种单形的任意两个经典中心重合所隐含的正则性程度。我们还证明了如果$n \ge 3$，则$n$ -pre-kites族与四个已知特殊族中的任何一个的交集是$n$ -kites族，从而推广了[18]中的结果.一个基本工具是在某个凯莱-门格尔行列式的背景下产生的行列式的封闭形式，并且概括了[9]、[15]和[16]中出现的几个行列式。从而进一步证明了线性代数在高维几何中所起的特殊作用。
2017-01-30 math.MG
Simplex slicing: an asymptotically-sharp lower bound
本研究针对正则n-单纯形的1-余维中心切片最小面积问题，结合概率分布转化、傅里叶分析与亚纯函数积分围道变换的新方法，证明平行于面的中心切片渐近取得最小面积，将已有最优下界提升约1.27倍。
2024-06-21 math.FA math.MG
Small Volume Bodies of Constant Width with Tetrahedral Symmetries
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；Norwegian University of Science and Technology（挪威科技大学）
本文构造了具有四面体对称性的常宽小体积体，其中U_3的体积比其他类似体更小，且比梅斯纳体稍大。
2025-12-21 math.MG
Grassmann angles and absorption probabilities of Gaussian convex hulls
令$M$是$\mathbb R^n$中具有圆锥（或正）壳$C$的任意子集。考虑其高斯图像$AM$，其中$A$是$k\times n$ -矩阵，其条目是独立的标准高斯随机变量。我们证明了$AM$的凸包在其内部包含原点的概率与$C$的$k$次格拉斯曼角一致。此外，我们证明了预期的格拉斯曼角的$AC$与相应的格拉斯曼角的$C$。使用后者的结果，我们表明，预期的总和$j$ -th格拉斯曼角在$\ell$维面的高斯单形等于类似的角度和相同尺寸的正规单形。
2020-01-30 math.MG math.PR
Optimal mean width and metric entropy estimates for convex bodies
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Cornell University（康奈尔大学）
该研究针对凸体，证明了球面平均宽度与体积半径比值的最优界，以及欧氏覆盖数对数的最大值由单纯形和交叉多面体取得，证明采用了 Eldan 的随机局部化方法。
2026-10-06 math.FA math.MG math.PR
On Steiner Trees of the Regular Simplex
本文重新研究高维欧几里得施泰纳树问题，建立其计算困难性与正则单纯形最优施泰纳树之间的联系，提出若干猜想，并首次给出正则单纯形最优拓扑的显式一般构造。
2023-12-03 cs.CC cs.CG math.CO
Lattice-free simplices with lattice width $2d - o(d)$
平坦性定理指出$d$维无格凸集的最大格宽${\rm Flt}(d)$是有限的。它是求解定维整数规划的Lenstra算法的关键组成部分，人们对${\rm Flt}(d)$的界进行了大量的研究。虽然大多数结果都与上界有关，但只有少数技术已知可获得下界。事实上，以前最著名的下界${\rm Flt}(d) \ge 1.138d$产生于一个$3$维无格单纯形的直接和。在这项工作中，我们建立了下限${\rm Flt}(d) \ge 2d - O(\sqrt{d})$，达到了一个家庭的无格单形。我们的结构是基于一个微分方程，自然出现在这种情况下。此外，我们提供了$4$ -和$5$ -维无格凸体的晶格宽度的第一个局部最大化。
2022-03-09 math.AG math.CO math.MG
Sections of convex bodies in John's and minimal surface area position
我们证明了几个估计的体积，平均宽度，和价值的威尔斯功能的部分凸体在约翰的位置，以及他们的极体。这些估计推广了一些著名的结果凸体在约翰的位置的情况下，低维部分，这主要是研究了立方体和正则单形。对中心对称凸体在极小曲面面积位置也给出了一些估计。
2020-12-18 math.FA math.MG
