Geometry of Compact Metric Space in Terms of Gromov-Hausdorff Distances to Regular Simplexes
本文研究了紧度量空间的几何特征，这些特征可以用单形的Gromov-Hausdorff距离来描述，即，到有限度量空间，使得它们的所有非零距离彼此相等。事实证明，这些Gromov-Hausdorff距离依赖于紧度量空间的有限划分的一些几何特征;其中一些特征可以被认为是最小生成树的边长的自然模拟。因此，我们构造了一个意想不到的例子，一个连续族的两两非等距有限度量空间具有相同的距离，所有的单形。
2016-07-22 math.MG
Is it possible to determine a point lying in a simplex if we know the distances from the vertices?
一个基本的事实是，如果我们固定$d+1$中的任意一组$d+1$仿射独立点$\{p_0,\dots p_d\}$，则欧氏距离$\{|x-p_j|\}_{j=0}^d$唯一地确定$\mathbb{R}^d$中的点$x$。在本文中，我们研究了一个类似的问题，在一般赋范空间，这是出于这一已知的事实。也就是说，我们的特点，至少$d$维，真正的赋范空间$(X, \|\cdot\|)$，使每一组$d+1$仿射独立点$\{p_0,\dots p_d\} \subset X$，距离$\{\|x-p_j\|\}_{j=0}^d$确定点$x$躺在单形$\mathrm{Conv}(p_0,\dots p_d)$唯一。令人惊讶的是，表征取决于$d$。
2016-04-02 math.FA math.MG
Angles of the Gaussian simplex
考虑一个$d$维单纯形，其顶点是根据$\mathbb R^d$上的标准高斯分布独立选择的随机点.证明了该随机单形的期望角和等于同维数正则单形的期望角和$d$。
2019-03-05 math.MG math.PR
Mean Width of a Regular Simplex
平均宽度是n维凸体上的测度。1997年，在电气工程文献中出现了一个正则n-单形平均宽度的积分公式。因此，当n<=6时，n+1个正态分布变量的样本的期望范围的表达式，延续到正则n-单形的宽度。作为另一个结果，当n->infty时，平均宽度的精确渐近性变得可用。
2016-03-12 math.MG math.PR
On Properties of a Regular Simplex Inscribed into a Ball
设$B$是${\mathbb R}^n$中的一个欧氏球，$C(B)$是具有一致范数$\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|.$的连续函数$f:B\to{\mathbb R}$的空间。$Π_1\left({\mathbb R}^n\right)$是指一组次数为$\leq 1$的多项式，即，在${\mathbb R}^n$上的一组线性函数。具有节点$x^{(j)}\in B$的插值投影器$P:C(B)\to Π_1({\mathbb R}^n)$由等式$Pf\left(x^{(j)}\right)= f\left(x^{(j)}\right)$、$j=1,$、$\ldots,$、$ n+1$定义。作为从$C(B)$到$C(B)$的算子的$P$的范数可以通过公式$\|P\|_B=\max_{x\in B}\sum |λ_j(x)|.$计算。这里$λ_j$是对应于具有顶点$x^{(j)}$的$n$维非退化单形$S$的基本拉格朗日多项式。设$P^\prime$是一个投影仪，其节点在一个正单形的顶点\linebreak中内接到球中。我们用性质$\|P^\prime\|_B=\sum |λ_j(y)|$描述点$y\in B$。我们还提出了一个几何猜想，它暗示$\|P^\prime\|_B$等于$B$中节点的插值投影的最小范数。我们证明，这一猜想成立至少$n=1,2,3…
2021-05-17 math.MG
Angle sums of random simplices in dimensions $3$ and $4$
考虑一个随机$d$维单形，其顶点是从$\mathbb R^d$中的单位球面独立均匀采样的$d+1$随机点.我们表明，该随机单形的顶点处的立体角的期望和等于$\frac 18$，如果$d=3$和$\frac{539}{288π^2}-\frac 16$，如果$d=4$。角度测量为标准化为$1$的全立体角的比例。当单形的顶点均匀分布在单位球上时，得到了类似的公式。这些结果是$3$和$4$维随机β单形的期望角和的一般公式的特殊情况。
2019-05-04 math.MG math.PR
Bounding minimal solid angles of polytopes
本文研究了$\mathbb{R}^d$中单形的最小立体角的测度是什么？我们表明，在三维它是不大于的立体角的正规单形。在四维空间中，对于足够接近于正则单形的单形，也是如此。我们还研究了一个类似的问题，三面角和二面角的多面体相比，那些正固体。
2016-04-06 math.MG
Polyhedral Embeddings and Immersions of Many Triangulated 2-Manifolds with Few Vertices
本文对Hougardy、Lutz和Zelke在2010年首次提出的启发式算法进行了改进和扩展，用于通过单形线性嵌入实现具有较少顶点的三角化可定向曲面。改进在于对非可定向曲面（单纯形线性浸入）以及对称实现的适用性。在我们的算法的帮助下，许多-往往是对称的-实现的非可定向曲面的最小数目或很少的顶点已被首次获得。这些例子包括具有一个或两个手柄的射影平面和具有一个或两个手柄的克莱因瓶。
2016-03-15 math.GT math.MG
Maximal $2$-distance sets containing the regular simplex
欧几里得空间的有限子集$X$称为$m$ -距离集，如果$X$中两个不同点之间的距离数等于$m$。如果在保持$m$ -距离条件的同时不能将任何向量添加到$X$，则称$m$ -距离集$X$为最大.本文研究了向量加到正则单纯形上使得集合只有$2$距离的一个充要条件。我们构造了几个包含$d$维正则单形的$d$维极大$2$ -距离集.特别是，存在无穷多个最大的非球形$2$ -距离集，其中既包含正则单纯形，又包含强可解设计的表示。最大$2$距离集的大小为$2s^2(s+1)$，维数为$d=(s-1)(s+1)^2-1$，其中$s$是素数幂.
2020-07-27 math.CO math.MG
Vertex maps between simplices, cubes, and crosspolytopes
我们研究了所有仿射映射的多面体的顶点（也称为顶点）。hom-polytopes）之间的高维单纯形，立方体，和crosspolytopes。对一般hom-polytopes的系统研究始于[3]。对这类顶点的研究是凸多胞体拓扑同调理论的经典方面。即使对于简单的源多边形和目标多边形，也会很快遇到开放问题。Hom（simplex_m，-）和Hom（-，cube_n）的顶点很容易理解。本文描述了Hom（box_m，simplex_n），Hom（diamond_m，simplex_n）和Hom（diamond_m，diamond_n）的顶点集.我们的论点中的涌现模式让人想起同调代数中的图追逐。
2014-03-02 math.AT math.CO math.MG
A Proof of the Simplex Mean Width Conjecture
本文针对单纯形平均宽度猜想（SMWC）这一长期未解问题，提出了一种基于球面 Voronoi 划分与质心对应关系的自包含证明方法，证明了 $d$ 维空间中具有最大平均宽度的单纯形必为正单纯形。
2023-06-27 cs.IT math.IT math.MG
Minimal central slices of the regular simplex
本文证明正单纯形过质心的最小体积超平面截面平行于一个面，通过变分与傅里叶分析得出临界法向量至多三值，并给出尖锐下界。
2026-09-23 math.CA math.FA math.MG
Polarization problem on a higher-dimensional sphere for a simplex
本文研究了由$S^{d-1}$上的$d+1$点构成的势在球面$S^{d-1}\subset \mathbb R^d$上的最小值的最大化问题（最大离散极化问题）。这些点通过由欧几里得距离平方的函数$f$给出的势相互作用，其中$f:[0,4]\to (-\infty,\infty]$是连续的（在扩展意义上），并且在$[0,4]$上是递减的，并且在$(0,4]$上是有限的和凸的，具有凹或凸导数$f'$。证明了内接于$S^{d-1}$的正则$d$ -单形的顶点的构型是最优的.这个结果对于$d>3$是新的（对于$d=2$和$d=3$的某些特殊情况也是新的）。作为一个副产品，我们发现一个更简单的证明已知的最佳覆盖性质的正则$d$ -单形的顶点在$S^{d-1}$。
2020-03-03 math-ph math.MG math.MP
Morley Simplices in Higher Dimensions: Regularity, Reflections, and Counterexamples
本文研究高维单纯形中莫利单纯形为正则的条件，证明正则单纯形为孤立解，并构造反例表明在六维及以上存在无反射对称性的正则莫利单纯形，四维给出非正则精确示例。
2026-10-02 math.CO math.MG
Strengthened inequalities for the mean width and the $\ell$-norm
本文加强了关于凸体均宽和ℓ-范数的不等式，证明了正则单纯形在特定条件下的极值性质，并研究了中心各向同性测度支撑集的凸包的相关稳定性结果。
2020-01-29 math.MG
A note concerning frames and geometric inequalities
该数学注记通过与多面体关联的顶点、边、面法向量等标架，推导了d维空间单纯形及低维含d+2个顶点多面体的几何不等式。
2025-09-06 math.MG
An extremal problem of regular simplices-The higher dimensional case
本文的新结果与下列问题有关：考虑正则单形的一个支撑超平面及其在该超平面上的反射像。这两个单形的凸包的体积在什么时候最大？我们证明了当维数小于或等于4时，当超平面通过顶点并在该顶点与单形的高度正交时，体积达到最大。更有趣的是，在高维的情况下，这个位置不是最佳的。我们还确定了5维情况下超平面的最佳位置。这纠正了我论文中的一个错误说法[3]。
2018-11-29 math.MG
Horoball packings to the totally asymptotic regular simplex in the hyperbolic $n$-space
在\cite{Sz11}中，我们推广了扩展双曲空间$\bar{\mathbf{H}}^n, ~(n \ge 2)$中的单密度函数的概念，其中我们允许{ \it不同类型的全等球}以全渐近四面体的各个顶点为中心。利用这一新的观点，本文研究了双曲型$n$ -空间$\bar{\mathbf{H}}^n$中关于全渐近正四面体的局部可解的方球填充排列及其密度，其中方球的理想中心产生全渐近正四面体的顶点.我们将证明，在这个意义上，{ \it众所周知的“全等球”填充$\bar{\mathbf{H}}^n$的Böröczky密度上界不保持有效的$n\ge4$，}但这些局部最优球安排没有扩展到整个$n$维双曲空间。此外，我们确定了上述局部最优horoball填充的密度的显式公式，允许horoball在不同的类型。
2011-12-08 math.MG math.SG
Large regular simplices contained in a hypercube with a common barycenter
已经证明，如果$n$足够大，则对于任意$c<1/2$，$n$维单位超立方体包含边长为$c\sqrt n$的$n$维正则单形（Maehara，Ruzsa and Tokushige，2009）.证明了对于某些$c>1/2$，即使在正则单形与单位超立方体具有相同重心的特殊情况下，同样的命题也成立。
2011-01-14 math.CO math.MG
Pre-kites: Simplices having a regular facet
对欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中任意一点到该空间中正则$n$ -单形顶点的距离之间关系的研究，引导我们研究具有正则小面的单形。将具有正则小面的$n$ -单形称为$n$ -pre-kite，本着[4]、[10]、[9]和[15]的精神，并使用线性代数的工具，我们研究了这种单形的任意两个经典中心重合所隐含的正则性程度。我们还证明了如果$n \ge 3$，则$n$ -pre-kites族与四个已知特殊族中的任何一个的交集是$n$ -kites族，从而推广了[18]中的结果.一个基本工具是在某个凯莱-门格尔行列式的背景下产生的行列式的封闭形式，并且概括了[9]、[15]和[16]中出现的几个行列式。从而进一步证明了线性代数在高维几何中所起的特殊作用。
2017-01-30 math.MG
A Proof of the Weak Simplex Conjecture
本文证明了弱单纯形猜想：在能量约束下，n维空间中n+1个码字的最优码本由单位球内接正单纯形的顶点构成，通过对称性和联合优化码本与决策区域的松弛方法给出自包含证明。
2023-11-13 cs.IT math.IT math.MG
Squared edge lengths of regular simplices with rational vertices
Harvard Business School（哈佛商学院）；Department of Economics and Center of Mathematical Sciences and Applications, Harvard University（哈佛大学经济系与数学科学及应用中心）；a16z crypto（a16z 加密）
研究正则d-单纯形在有理数空间中的平方边长，发现当n-d≥3时所有正有理数都出现，而余维数0、1、2需满足特定条件。
2026-05-12 math.MG math.NT
Lifting degenerate simplices with a single volume constraint
设$M^d$是维数为$d\ge n+1$的球面、欧几里得或双曲空间。给定具有非退化$n$ -面$F_i$的$M^d$中的任何退化$(n+1)$ -单纯形$\mathbf{A}$，存在将$n$ -面的集合自然划分成两个子集$X_1$和$X_2$的自然划分，使得除了其中$X_2$是空集并且代之以$\sum_{X_1}V_n(F_i)=V_n(\mathbb{S}^n)$的特殊球形情况之外，$\sum_{X_1}V_n(F_i)=\sum_{X_2}V_n(F_i)$是空集合。对于所有的情况下，如果在$M^d$与\emph{single}体积约束，$\sum_{X_1}V_n(F_i)-\sum_{X_2}V_n(F_i)$被保存为一个常数（0或$V_n(\mathbb{S}^n)$），我们证明，如果一个\emph{stress}不变的退化单纯形$c_{n-1}(α^{n-1})$是非零的，那么顶点将被限制到一个低维$M^n$任何足够小的运动。这回答了作者的一个问题，并且证明了在欧几里德情形下，$c_{n-1}(α^{n-1})=0$等价于$\mathbb{R}^n$中$(n-1)$ -球面上的\emph{dual}退化$(n+1)$ -单形的顶点.
2019-11-06 math.CO math.MG
Volumes of Regular Hyperbolic Simplices
本文推导了任意维数双曲空间中正则单形体积的显式公式，为相关几何研究提供了基础工具。
2025-11-17 math.MG math.PR
On Extremal Volume Projections of the Simplex and the Cube
University of Crete（克里特大学）
本文推导了正n-simplex和单位立方体的极值体积投影闭式公式，并在L_p投影体框架内进行了泛化。
2026-01-26 math.FA math.MG
Stochastic Domination of Gaussian Maxima by the Regular Simplex
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
本文证明正则单纯形在随机支配意义下最小化高斯最大值概率，并应用于等能量信号检测，证明其唯一最大化正确识别概率。
2026-09-29 cs.IT math.IT math.MG
Simplex slicing: an asymptotically-sharp lower bound
本研究针对正则n-单纯形的1-余维中心切片最小面积问题，结合概率分布转化、傅里叶分析与亚纯函数积分围道变换的新方法，证明平行于面的中心切片渐近取得最小面积，将已有最优下界提升约1.27倍。
2024-06-21 math.FA math.MG
Simplices in thin subsets of Euclidean spaces
本文研究欧几里得空间中高维薄子集包含给定非退化单形相似副本的维数阈值问题，证明了当 Hausdorff 维数不低于某个小于 $k$ 的 $s_k$ 时必然存在该副本。
2020-09-09 math.CA math.CO math.MG
On Steiner Trees of the Regular Simplex
本文重新研究高维欧几里得施泰纳树问题，建立其计算困难性与正则单纯形最优施泰纳树之间的联系，提出若干猜想，并首次给出正则单纯形最优拓扑的显式一般构造。
2023-12-03 cs.CC cs.CG math.CO
