Affine Type $A$ Geometric Crystal on the Grassmannian
我们构造了一个$A_{n-1}^{(1)}$型几何晶体的变种${\rm Gr}(k,n) \times \mathbb{C}^\times$，并表明，它tropicalizes到Kirillov-Reshetikhin晶体的不相交工会对应的矩形tableaux与$n-k$行。在我们的建设中的一个关键成分是$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$对称的格拉斯曼来自循环移位的基础向量空间。我们表明，这种对称性的扭曲版本tropicalizes组合推广。此外，我们使用循环群${\rm GL}_n(\mathbb{C}(λ))$来定义一个单幂次晶体，从而导出我们的几何晶体。我们使用这种单能晶体来研究两个对称的矩形tableaux的几何类似物。
2017-06-09 math.CO math.QA math.RT
Geometric Crystals on Schubert Varieties
我们定义了任意Kac-Moody群的几何晶体和幂幺晶体，并描述了Schubert簇上的几何晶体和幂幺晶体结构。
2003-03-07 math.QA math.RT
Tropical R maps and Affine Geometric Crystals
通过改进[KNO]中的方法，在基本表示$W(\varpi_1)_l$的仿射化中实现了某些仿射几何晶体，并明确地描述了仿射几何晶体的热带R图。我们还定义了预均匀几何晶体，并证明了对于正几何晶体，超离散晶体的连通性是其预均匀性的充分条件.此外，还讨论了热带R映射的唯一性。
2008-08-18 math.QA math.RT
Decorations on Geometric Crystals and Monomial Realizations of Crystal Bases for Classical Groups
我们将明确地描述某些装饰几何晶体的典型群的装饰功能，我们将表明，他们表示的单名实现的晶体基地。
2013-01-30 math.QA math.RT
Decorated Geometric Crystals, Polyhedral and Monomial Realizations of Crystal Bases
我们将证明，对于$A_n$型，从Berenstein和Kazhdan介绍的装饰几何晶体得到的晶体基的实现与我们的晶体基的多面体实现是一致的。我们还观察到一定的关系的装饰和monomial实现的晶体基地。
2012-03-09 math.QA math.RT
Affine Geometric Crystals and Limit of Perfect Crystals
对于每一个非例外仿射李代数，我们明确地构造了一个正几何晶体与一个基本表示。我们还证明了它的超离散化同构于Langlands对偶仿射李代数的某些完美晶体的极限。
2005-12-30 math.QA math.RT
Geometric Crystals on Unipotent Groups and Generalized Young Tableaux
在半单代数群的幂幺子群上定义了几何/幂幺晶体结构。我们将证明，在$A_n$ -情况下，它们的超离散化与通过推广Young tableaux得到的晶体相一致。
2004-03-15 math.QA math.RT
Crystal invariant theory II: Pseudo-energies
几何晶体算子和几何$R$ -矩阵（或几何Weyl群作用）给出了$mn$变量的有理函数域上的交换作用。我们研究这些行动的各种组合的不变量，我们认为作为“晶体类似物”的不变量的$S_m$，${\rm SL}_m$，$S_n \times S_m$，${\rm SL}_n \times \, S_m$，和${\rm SL}_n \times {\rm SL}_m$作用于多项式环中的$m \times n$矩阵的变量。由${\rm GL}_m$ -几何$R$ -矩阵生成的$S_m$ -作用的多项式不变量被Lam和第三名作者描述为循环对称函数环。在作者的前一篇论文中，${\rm GL}_m$ -几何晶体算子的多项式不变量被描述为循环对称函数环的子环。本文给出了其余情形下有理不变量域的代数生成元集，并给出了用这些代数生成元表示一大类圈对称函数的公式。我们的结果包括新的正公式的中心电荷和能量函数的产品的单排几何晶体，和一个新的推导Kirillov和Berenstein的分段线性公式cocharge。这些公式表明了这些函数所具有的对称性。
2022-05-25 math.CO math.QA math.RT
Lecture notes on Geometric Crystals and their combinatorial analogues
这是对几何晶体和相关柏原晶体基地的结果的阐述（由第一作者在RIMS，2004年8月）
2006-10-18 math.QA math.RT
Half Potential on Geometric Crystals and Connectedness of Cellular Crystals
对于任何简单的复代数群，我们定义了上/下半装饰几何晶体，并表明其热带化将是上/下正常柏原的晶体。特别地，我们证明了大Bruhat胞元（= $B^-_{w_0}:=B^-\cap U\bar w_0 U$）上的半装饰几何晶体的热带化同构于量子群$U_q^-(\mathfrak g)$的幂零子代数的晶体$B(\infty)$.作为一个应用，我们将表明，任何细胞晶体与一个减少字连接在一个晶体图的意义。
2022-07-14 math.QA math.RT
Affine Geometric Crystal of type $G^{(1)}_2$
我们将在基本表示$W(\varpi_1)$中明确地实现某种$G^{(1)}_2$型仿射几何晶体。它的外显形式比较复杂，但仍然保持着积极的结构。
2006-12-29 math.QA math.RT
Ultra-discretization of the G^(1)_2-Geometric Crystals to the D^(3)_4-Perfect Crystals
我们对文[15]中的猜想得到了肯定的回答。更精确地说，设X是[15]中G^（1）_2型仿射几何晶体，UD（X，T，θ）是X关于某个正结构θ的超离散化。然后我们证明了UD（X，T，θ）同构于文[7]中D^（3）_4型理想晶体相干族的极限。
2007-12-23 math.QA math.RT
Affine Geometric Crystal of type $D_4^{(3)}$
我们将明确地实现与基本表示$W(π_1)$相关联的$D_4^{(3)}$类型的某些仿射几何晶体。通过它的明确形式，我们看到它有一个积极的结构。
2009-11-18 math.QA math.RT
Geometric construction of crystal bases for quantum generalized Kac-Moody algebras
利用量子广义Kac-Moody代数的表示空间中某些Lagrange子簇的不可约分支，给出了量子广义Kac-Moody代数的晶体$B(\infty)$的几何实现.
2008-10-30 math.QA math.RT
Geometric Crystals on Flag Varieties and Unipotent Subgroups of Classical Groups
对于经典单代数群$G$，我们肯定地回答了[8]中关于旗簇上的几何晶体与幂幺子群$U^-$上的几何晶体之间存在同构的猜想.
2010-03-03 math.QA math.RT
Epsilon Systems on Geometric Crystals of Type $A_n$
我们在$A_n$型几何晶体上引入了一个双曲系统，它是一组具有良好性质的有理函数。我们将证明它具有乘积结构，并且在热带R映射的作用下是不变的。
2010-03-19 math.QA math.RT
Affine Geometric Crystal of $A^{(1)}_n$ and Limit of Kirillov-Reshetikhin Perfect Crystals
设$\mathfrak g$是一个具有指标集$I = \{0, 1, 2, \cdots , n\}$的仿射李代数，${\mathfrak g}^L$是它的Langlands对偶.这是由Kashiwara et al.（[16]）证明了对每个$k \in I \setminus \{0\}$，仿射李代数$\mathfrak g$都有一个正几何晶体，其超离散化同构于${\mathfrak g}^L$的某些相干完美晶体族的极限.出于这个猜想，我们构造一个积极的几何晶体的仿射李代数${\mathfrak g}= A^{(1)}_n$为每个Dynkin指数$k\in I\setminus\{0\}$，并表明其超离散化是同构的一个连贯的家庭的完美晶体的$A^{(1)}_n$ Okado等人的极限。（[29]）。在这个过程中，我们开发和使用一些格路组合。
2016-08-22 math.QA math.RT
Crystals and total positivity on orientable surfaces
建立了可定向曲面上网络的组合模型，研究了这类网络中路和圈的权和同调母函数。保持这些生成函数的网络变换进行了研究。我们用我们的模型描述了A型对称幂和对偶对称幂乘积的仿射几何晶体的晶体结构和R-矩阵。利用R-矩阵的局部实现和晶体作用构造了环面上的双仿射几何晶体，推广了Kajiwara-Noumi-Yamada的对易结果和Berenstein-Kazhdan的观察.我们证明了我们的圆柱模型给出了GL_n的有理幂幺环群的完全非负部分的分解和参数化。
2010-08-11 math.CO math.QA math.RT
Geometric crystals and Cluster ensembles in Kac-Moody setting
对于Kac-Moody群$G$，双Bruhat胞$G^{u,e}$（$u$是外尔群元素）具有正几何晶体结构。在arXiv：1210.2533中，我们证明了在“簇环面”$\mathcal{X}_Σ$之间存在双有理映射（分别为. $\mathcal{A}_Σ$）和$G_{\rm Ad}^{u,e}$（分别$G^{u,e}$），并将它们从簇$\mathcal{X}$（resp. $\mathcal{A}$）-$G_{\rm Ad}^{u,e}$的变种（分别$G^{u,e}$）。本文的目的是通过给出簇环$\mathcal{X}_Σ$和$\mathcal{A}_Σ$的显式公式，在簇环上构造某些正几何晶体结构.特别地，通过应用扭曲图获得环面$\mathcal{A}_Σ$上的几何晶体结构。作为推论，我们看到簇的$\mathbb{Z}^T$值点集具有晶体的复数结构。
2018-07-31 math.QA math.RT
Geometric and unipotent crystals
本文介绍几何晶体和幂幺晶体，它们是柏原晶体基的代数几何类似物。给定一个约化群G，设I是G的Dynkin图的顶点集，T是G的极大环面。代数簇X上的几何G-晶体的结构由一个有理态射γ：X-->T和一个相容族e_i：G_m \times X-->X，i \in I组成，其中G_m是满足辫子关系的乘法群的有理作用。这样的结构导致W对X的理性作用。相当令人惊讶的是，群W的许多有趣的理性作用都来自几何晶体。此外，在最近的工作中出现在γ-函数的构造中的W的作用的所有已知的例子的表示^LG在A。Braverman和D. Kazhdan来自几何晶体。在（G_m）^l上有许多正几何晶体的例子，即，这些几何晶体的作用量ei和态射γ均由正有理表达式给出。对于每个正几何晶体X，我们将对应于朗兰兹对偶群^LG的柏原晶体联系起来。卢斯蒂格几何晶体的另一个应用是平凡化的构造，它是对任何几何SL_n-晶体的W-等变同构X-->γ^{-1}（e）\times T。单能晶体是正常柏原晶体的几何类似物。它们构成一个严格的幺半范畴。对于任何建立在一个变量X上的幂幺晶体，我们将其与一个几何晶体联系起来。
2006-03-29 math.AG math.QA math.RT
The geometric $R$-matrix for affine crystals of type $A$
在[Frieden，arXiv：1706.02844]中，我们在变体$\mathbb{X}_{k} := {\rm Gr}(k,n) \times \mathbb{C}^\times$上构建了几何晶体，该变体在具有$n-k$行的矩形表上热带化为仿射晶体结构。本文定义并研究了几何$R$ -矩阵，它是一个双有理映射$R : \mathbb{X}_{k_1} \times \mathbb{X}_{k_2} \rightarrow \mathbb{X}_{k_2} \times \mathbb{X}_{k_1}$，它在矩形表对上热带化为组合$R$ -矩阵.我们证明了$R$是几何晶体的同构，并且满足杨-巴克斯特关系。在这两个表有一行的情况下，我们恢复的对称群，已出现在文献中的一些上下文中的双有理行动。我们还定义了一个有理函数$E : \mathbb{X}_{k_1} \times \mathbb{X}_{k_2} \rightarrow \mathbb{C}$，它可以热带化为仿射晶体理论中的共能函数。几何$R$ -矩阵的大部分性质来自于它给出循环群${\rm GL}_n(\mathbb{C}(λ))$中矩阵的某个方程的唯一解的事实。
2018-07-14 math.CO math.QA
Lectures on geometric realizations of crystals
这些是2009年6月在渥太华大学举行的菲尔兹研究所几何表示论和扩展仿射李代数暑期学校的系列讲座的笔记。本文介绍了通过Lusztig和Nakajima的两个簇来实现晶体图的几何实现。重点是通过具体的例子来激发构式。本文还讨论了晶体的尺规作图法与利用Young表实现组合实现之间的关系。
2010-03-25 math.AG math.QA math.RT
Geometric and Combinatorial Realizations of Crystals of Enveloping Algebras
Kashiwara和Saito定义了Lusztig的X变种的不可约成分的集合上的晶体结构。这给出了一个与简单花边Kac-Moody代数相关联的量子群下半部分的晶体图的几何实现。使用一个枚举的不可约组件Lusztig的numerous品种在有限的和仿射型A的组合数据，我们计算几何定义的晶体结构，在此组合。我们的结论是比较组合实现的晶体图，从而获得与其他组合模型，涉及杨tableaux和杨墙。
2006-01-20 math.AG math.QA math.RT
A geometric construction of crystal graphs using quiver varieties: Extension to the non-simply laced case
我们考虑了Lusztig和Nakajima的Kac簇到所有可对称化的Kac-Moody李代数的推广。为了处理非简单的花边的情况下，人们认为可容许的自同构的一个和不可约的组件的固定的品种，这一自同构。我们定义了一个晶体结构上的这些不可约的组件，并表明，所获得的晶体是同构的那些相关的晶体基地的下半部分的泛包络代数和不可约的最高权表示的非简单的花边卡茨-穆迪李代数。作为应用，我们实现了晶体的旋量表示的so_{2n+1}上的自共轭杨图，适合内的n × n盒。
2004-07-07 math.QA math.RT
Crystal bases and quiver varieties (Geometric construction of crystal bases II)
我们给出了一个晶体结构的集合上的所有不可约的组成部分的拉格朗日子簇的拉格朗日簇。一个证明表明，作为晶体，它同构于量子化泛包络代数的不可约最高权表示的晶体基。
2001-11-21 math.QA
Ultra-discretization of the D_4^3-Geometric Crystals to the G_2^1-Perfect Crystals
设g是仿射李代数，g^L是它的Langlands对偶.证明了g有一个正几何晶体，它的超离散化同构于g^L的某个相干完美晶体族的极限。证明了Igarashi和Nakashima给出的g = D_4^3的正几何晶体的超离散化与Misra，Mohamad和Okado最近构造的g^L= G_2^1的理想晶体的相干族的极限同构.
2010-03-05 math.QA
Geometric and combinatorial realizations of crystal graphs
对于A型和D型有限和仿射李代数的不可约可积最高权模，我们定义了Nakajima李代数簇的不可约分量的晶体图的几何实现与Young tableaux和Young walls的组合实现之间的同构.对于仿射型A，我们扩展的杨壁建设到任意水平，描述了一个组合实现的晶体方面的新的对象，我们称之为杨金字塔。
2005-01-22 math.AG math.QA math.RT
Geometric and unipotent crystals II: From unipotent bicrystals to crystal bases
对于每个约化代数群G，我们引入并研究幂单双晶体，它们作为作者之前引入的双有理几何和幂单晶体的常规版本。幂单双晶的框架一方面允许系统地研究G中的Bruhat胞及其卷积积等变种，另一方面，允许给出许多正常Kashiwara晶体的新构造，包括G^ \vee -模的晶体，其中G^ \vee是Langlands对偶群。事实上，我们的晶体碱基类似物（我们称之为与G^ \vee -模块缔合的晶体）直接与G^ \vee -模块缔合，即，没有量子变形。本文的主要结果之一是在开Bruhat盒上的正幂幺双晶体的基础上，构造了（Langlands对偶）旗簇坐标环的晶体B_0。我们的一般热带化过程指定给每个强正幂幺双晶体一个正常的柏原晶体B，它具有多重擦除同态B-> B_0和组合中心电荷B-> Z，在所有晶体算符下都是不变的。
2007-03-09 math.AG math.QA math.RT
Geometric Construction of Highest Weight Crystals for Quantum Generalized Kac-Moody Algebras
给出了量子广义Kac-Moody代数的最高权晶体的尺规作图法.它是在不可约的组成部分的某些拉格朗日子品种的Nakajima's numerous品种与箭袋的边缘循环。
2009-08-08 math.QA
$D_5^{(1)}$- Geometric Crystal corresponding to the Dynkin spin node $i=5$ and its ultra-discretization
设$g$是一个具有指标集$I = \{0, 1, 2, \cdots , n\}$的仿射李代数，$g^L$是它的Langlands对偶.证明了对于每个Dynkin节点$i \in I \setminus \{0\}$，仿射李代数$g$都有一个正几何晶体，其超离散化同构于$g^L$的某个相干完美晶体族的极限.本文在零级基本自旋$D_5^{(1)}$-模$W(\varpi_5)$中构造了正几何晶体$V(D_5^{(1)})$.然后，我们定义明确的$0$-行动的水平$l$已知的$D_5^{(1)}$-完美的晶体$B^{5, l}$，并表明，$\{B^{5, l}\}_{l \geq 1}$是一个连贯的家庭完美的晶体与限制$B^{5, \infty}$。最后，我们证明了超离散化的$V(D_5^{(1)})$是同构的$B^{5, \infty}$的晶体，证明了在这种情况下的猜想。
2018-12-04 math.QA
$A_n^{(1)}$-Geometric Crystal corresponding to Dynkin index $i=2$ and its ultra-discretization
设$g$是一个具有指标集$I = \{0, 1, 2,..., n\}$的仿射李代数，$g^L$是它的Langlands对偶.证明了对每个$i \in I \setminus \{0\}$，仿射李代数$g$都有一个正几何晶体，其超离散化同构于$g^L$的某个相干完美晶体族的极限.我们证明了这个猜想$i=2$和$g = A_n^{(1)}$。
2012-09-20 math.QA
Geometric Crystal and Tropical R for D^(1)_n
构造了仿射李代数D^{（1）}_n在Berenstein和Kazhdan意义下的几何晶体.基于一个包含谱参数的矩阵实现，我们证明了几何晶体乘积的双有理映射热带R的唯一性和显式形式。热带R与几何Kashiwara算子可交换，满足杨-巴克斯特方程。它是减法免费的，并产生一个分段的线性公式的组合R的晶体超离散化。
2002-08-30 math-ph math.MP math.QA
Geometric Construction of Crystal Bases
我们实现的晶体与量子化包络代数与对称广义Cartan矩阵作为一组拉格朗日子簇的余切丛的。作为一个副产品，我们给出了一个反例的猜想Kazhdan-Lusztig的不可约的特征品种的交叉上同调层与舒伯特细胞的A型，也到类似的问题，要求Lusztig的特征品种的反常层对应的典型基地。
1996-06-08 math.QA q-alg
Geometric crystals and set-theoretical solutions to the quantum Yang-Baxter equation
几何晶体的概念是由A.Berenstein和D.Kazhdan引入的，其动机是p-adic群的表示论的需要。A.Braverman、A.Berenstein和D.Kazhdan证明，某些特殊的几何晶体会产生n维环面的笛卡尔平方的有趣的双有理自同构R，它满足量子杨-巴克斯特方程和么正性条件。另一方面，Schedler、Soloviev和作者研究了量子杨-巴克斯特方程的酉集合论解。结果表明，该理论是特别好，如果解决方案满足一个额外的非退化条件。特别地，在这种情况下，可以定义所谓的简化结构群，其复杂性表征解的复杂性。本文证明了映射R是非退化的，并给出了它满足量子杨-巴克斯特方程和么正性条件的新证明。然后计算了R的约化结构群，证明了它是“loop群”PGL（n，C（t））的子群。本文还给出了Braverman和Kazhdan关于矩阵空间上两个对称群作用的交换性定理的一个新的直接证明。
2001-12-26 math.QA
