Decorations on Geometric Crystals and Monomial Realizations of Crystal Bases for Classical Groups
Toshiki Nakashima
我们将明确地描述某些装饰几何晶体的典型群的装饰功能，我们将表明，他们表示的单名实现的晶体基地。
We shall describe explicitly the decoration functions for certain decorated geometric crystals of classical groups and we shall show that they are represented in terms of monomial realizations of crystal bases.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Decorated Geometric Crystals, Polyhedral and Monomial Realizations of Crystal Bases
我们将证明，对于$A_n$型，从Berenstein和Kazhdan介绍的装饰几何晶体得到的晶体基的实现与我们的晶体基的多面体实现是一致的。我们还观察到一定的关系的装饰和monomial实现的晶体基地。
Decomposition Theorem for Product of Fundamental Crystals in Monomial Realization
我们考虑基本晶体在A型单项实现中的乘积。然后，我们将表明，该产品保持晶体结构，并描述它是如何分解成不可约的晶体，这是，在一般情况下，不同的分解为张量积的基本晶体。
Crystal bases and monomials for $U_q(G_2)$-modules
本文给出了$U_q(G_2)$上不可约最高权模的一种新的用单项式表示的晶基实现。我们还讨论了单项实现和表实现之间的自然联系。
Nakajima monomials and crystals for special linear Lie algebras
本文用\emph{extended Nakajima monomials}语言给出了特殊线性李代数上晶体$\mathcal{B}(\infty)$和$\mathcal{B}(λ)$的显式描述。单项式描述与Young表实现有着天然的对应关系，Young表实现是晶体$\mathcal{B}(\infty)$和$\mathcal{B}(λ)$的另一种实现。
Monomial realizations and LS paths of fundamental representations for rank $2$ Kac-Moody algebras
本文针对秩 $2$ Kac-Moody 代数，显式构造了基本权的 Lakshmibai-Seshadri 路径集合与单项式实现之间的同构，并基于 Weyl 群给出了单项式实现的显式形式。
An algorithm for Berenstein-Kazhdan decoration functions and trails for minuscule representations
对于单连通单代数群$G$，胞元$B_{w_0}^-=B^-\cap U\overline{w_0}U$是具有正结构$θ_{\textbf{i}}^-:(\mathbb{C}^{\times})^{l(w_0)}\rightarrow B_{w_0}^-$的几何晶体。对$B_{w_0}^-$上的半装饰有理函数$Φ^h_{BK}=\sum_{i\in I}Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}$应用热带化函子，可以在$\mathbb{Z}^{l(w_0)}$中实现$B(\infty)$晶体.通过对$Φ^h_{BK}$的计算，我们得到了$\mathbb{Z}^{l(w_0)}$中$B(\infty)$的一种显式形式.在本文中，我们给出了一个算法来计算$Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}\circ θ_{\textbf{i}}^-$明确$i\in I$，使$V(Λ_i)$是一个极小的表示$\mathfrak{g}={\rm Lie}(G)$。特别地，如果$\mathfrak{g}$是类型${\rm A}_n$，则算法对所有$i\in I$起作用。该算法计算一个有向图$DG$，称为装饰图，其顶点由$Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}\circ θ_{\textbf{i}}^-(t_1,\cdots,t_{l(w_0)})$中的所有单项式标记。装饰图有一些性质类似于极小表示的晶体图。我们还验证了该…
A conjecture on monomial realizations and polyhedral realizations for crystal bases
本文提出并部分证明了一个猜想，该猜想建立了可对称化 Kac-Moody 代数晶体基的多面体锥显式形式与单项式实现之间的联系，并在经典李代数、秩2 Kac-Moody 代数及经典仿射李代数情形下验证了其正确性。
Monomial Crystals and Partition Crystals
最近Fayers介绍了一个大家庭的组合实现的基本晶体的仿射sl（n），其中的顶点索引的某些分区。他表明，这种结构的特殊情况下同意米斯拉-米瓦实现和伯格的阶梯晶体。在这里，我们表明，另一种特殊的情况下，自然同构的实现使用Nakajima的单项晶体。
Cluster Variables on Certain Double Bruhat Cells of Type $(u,e)$ and Monomial Realizations of Crystal Bases of Type A
设$G$是$\mathbb{C}$上的单连通单代数群，$B$和$B_-$是$G$中两个相反的Borel子群，$W$是Weyl群.对于$u$，$v\in W$，已知双Bruhat单元$G^{u,v}=BuB\cap B_-vB_-$的坐标环${\mathbb C}[G^{u,v}]$同构于上簇代数$\bar{\mathcal A}({\bf i})_{\mathbb C}$，并且广义子式$\{Δ(k;{\bf i})\}$是属于${\mathbb C}[G^{u,v}]$中给定初始种子的簇变量[Berenstein A.，Fomin S.，Zelevinsky A.，126（2005），1-52，math.RT/0305434]。在$G={\rm SL}_{r+1}({\mathbb C})$、$v=e$和某些特殊的$u\in W$的情况下，我们将把广义子式$\{Δ(k;{\bf i})\}$描述为某些Demazure晶体的单项实现的和。
Quantum extremal loop weight modules and monomial crystals
本文构造了一类新的$A_n$型量子环面代数的表示族，它们是Hernandez意义下的$\ell$ -极值.当$n=2r+1$为奇数时，我们构造了与0级基本权重$\varpi_\ell$相关的极值循环权重模块，并构造了$\ell=1, r+1$或$n$ .要做到这一点，我们涉及到的单项实现的0级极值基本重量晶体与可积表示的$\mathcal{U}_q(sl_{n+1}^{tor})$，我们引入促进运营商的0级极值基本重量晶体。通过对量子参数的特殊化，得到了量子环面代数在单位根上的有限维模。在一般情况下，我们给出了一个自然的过程，构造极值循环重量模块从单项式实现的晶体。
An elementary construction of monomial bases of modified quantum affine $\mathfrak{gl}_n$
1990年Beilinson，Lusztig和MacPherson给出了修正量子$\mathfrak{gl}_n$的几何实现及其正则基。他们工作的一个关键步骤是构造一个单项基。最近，Du和Fu给出了修正量子仿射$\mathfrak{gl}_n$的正则基的代数构造，其中使用了早期使用循环代数的Ringel-Hall代数构造单项式基的结果。本文给出了仿射Schur代数和修正的量子仿射$\mathfrak{gl}_n$的单项式基的初等代数构造。
Cluster Variables on Double Bruhat Cells $G^{u,e}$ of Classical Groups and Monomial Realizations of Demazure Crystals
令$G$是$\mathbb{C}$上的单连通单代数群，$B$和$B_-$是其两个相反的Borel子群，$W$是相关的Weyl群。证明了双Bruhat胞元$G^{u,v}=BuB\cap B_-vB_-$的坐标环${\mathbb C}[G^{u,v}]$（$u$，$v\in W$）同构于簇代数${\mathcal{A}}(\textbf{i})_{\mathbb C}$，且${\mathbb C}[G^{u,v}]$的初始簇变量是Berenstein，Fomin，Zelevinsky，Goodearl和Yakimov的广义子式$Δ(k;\textbf{i})$.在经典群$G$的类型为${\rm B}_r$、${\rm C}_r$或${\rm D}_r$的情况下，我们将用Demazure晶体的单项式实现来描述簇代数$\mathbb{C}[L^{u,e}]$的非平凡最后一个$r$初始簇变量$\{Δ(k;\textbf{i})\}_{(m-2)r<k\leq (m-1)r}$（$m$是某个正整数），其中$L^{u,e}$是$(u,e)$类型的约化双Bruhat胞.还描述了$G^{u,e}$和$L^{u,e}$上的$Δ(k;\textbf{i})$之间的关系。虽然我们已经得到了所有初始簇变量的结果，但我们也给出了${\rm A}_r$型的相应结果。
An algorithm for Berenstein-Kazhdan decoration functions and trails for classical Lie algebras
对于单连通单代数群$G$，已知一个簇$B_{w_0}^-:=B^-\cap U\overline{w_0}U$对Weyl群的最长元$w_0$的每一个约化字$\mathbf{i}$都具有正结构$θ^-_{\mathbf{i}}:(\mathbb{C}^{\times})^{l(w_0)}\rightarrow B_{w_0}^-$的几何晶体结构. $B_{w_0}^-$上的有理函数$Φ^h_{BK}=\sum_{i\in I}Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}$称为半势，其中$Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}$是广义子式。通过显式计算$Φ^h_{BK}\circ θ^-_{\mathbf{i}}$，得到了有限维单李代数$\mathfrak{g}={\rm Lie}(G)$的$B(\infty)$的弦锥或多面体实现的显式形式.本文对任意约简字$\mathbf{i}$，给出了一个计算$Φ^h_{BK}\circ θ^-_{\mathbf{i}}$的和项$Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}\circ θ^-_{\mathbf{i}}$的算法，条件是$i\in I$满足对$V(-w_0Λ_i)$和$t\in I$的任意权$μ$，它保持$\langle h_t,μ\rangle\in\{2,1,0,-1,-2\}$ .特别地，如果$\mathfrak{g}$是${\rm A}_n$、${\r…
Geometric Realization of the Segal--Sugawara Construction
我们将顶点代数的局部化技术应用于Virasoro代数在仿射Kac-Moody代数上的“内部”作用的Segal-Sugawara构造。其结果是将扭曲的微分算子从曲线的模提升到具有丛的曲线的模，具有任意的装饰和复杂的扭曲。这种构造给出了一种统一的方法来处理描述变化曲线上丛的模空间几何的一系列现象：非阿贝尔θ函数上的KZB方程和热核，它们的临界能级极限给出了希钦系统的Beilinson-Drinfeld量子化的二次部分，而它们的无限能级极限给出了同构方程的汉密尔顿描述。
Descriptions of the crystal $B(\infty)$ for $G_2$
研究了量子群负部分的晶体基。给出了$G_2$型晶体$B(\infty)$的两种明确描述。第一个是在延长Nakajima单项式和第二个实现如下的其他有限型克利夫给出类似的结果。
Cluster algebras of finite type via a Coxeter element and Demazure Crystals of type B,C,D
对于经典群$G$和Weyl群的Coxeter元$c$，已知双Bruhat胞$G^{e,c^2}:=B\cap B_-c^2B_-$的坐标环$\mathbb{C}[G^{e,c^2}]$具有有限型的簇代数结构，其中$B$和$B_-$是相反的Borel子群.在这篇文章中，我们考虑的情况下，$G$是${\rm B}_r$，${\rm C}_r$或${\rm D}_r$类型和描述所有的簇变量在$\mathbb{C}[G^{e,c^2}]$作为单名实现某些Demazure晶体。
Combinatorial realizations of crystals via torus actions on quiver varieties
考虑与对称Kac-Moody代数的最高权表示相关联的Kashiwara晶体。有一个几何实现这个对象使用Nakajima's numerous品种，但在许多特定情况下，它也可以实现的初等组合方法。在这里，我们提出了一个框架，从几何图片提取组合实现：我们构造某些环面行动上的环面品种，并使用莫尔斯理论索引的不可约组件的连通组件的环面不动点的子品种。然后我们讨论仿射sl（n）的情况。在那里，不动点分量只是点，并且自然地由多分区索引。在我们的结构中有一些选择，导致每个最高权晶体的组合模型的家庭。应用这种结构的晶体的基本表示恢复家庭的组合实现最近建造的Fayers。这对Fayers的结果给出了更概念化的证明，并推广到更高的层次.我们还讨论了与Nakajima的单项晶体的关系。
PBW bases and marginally large tableaux in type D
本文刻画D型$B(\infty)$的边缘大表实现与基于最长词良好约化表达式的PBW单项式实现之间的唯一晶体同构。
A cluster realization of $U_q(\mathfrak{sl_n})$ from quantum character varieties
我们构造了量子群$U_q(\mathfrak{sl}_{n+1})$到量子簇代数$\mathbf{L}_n$的一个内射代数同态，该代数与标记穿孔圆盘上的框架$PGL_{n+1}$ -局域系统的模空间相关联。我们得到了$U_q(\mathfrak{sl}_{n+1})$的余积的描述在相应的量子簇代数相关联的标记两次穿刺磁盘，并表示行动的$R$ -矩阵的映射类群元素对应的半Dehn扭曲旋转一个穿刺其他。因此，我们实现了$U_q(\mathfrak{sl}_{n+1})^{\otimes 2}$的代数自同构作为一个显式的簇突变序列的$R$ -矩阵的共轭给出，并导出了一个精细的分解的$R$ -矩阵成簇单项式的量子双态。
Geometric Schur duality of classical type
这是对贝林森、卢斯蒂格和麦克弗森的经典著作的概括。本文（及附录）证明了在$B/C$型的部分旗簇的设定下，通过BLM型稳定化过程得到的量子代数是量子一般线性李代数的两个（修正的）共理想子代数：$\dot{\mathbf U}^{\jmath}$和$\dot{\mathbf U}^{\imath}$ .我们给出了这样一个余理想代数与$B$型Iwahori-Hecke代数之间Bao-Wang的Schur型对偶的几何实现.构造了Schur代数和修正的余理想代数$\dot{\mathbf U}^{\jmath}$的单项基和标准基.在三位作者的附录中，我们发展了一个更精细的$2$ -步稳定化过程，从而得到了$\dot{\mathbf U}^{\imath}$，然后构造了$\dot{\mathbf U}^{\imath}$的单式基和典范基。证明了$\dot{\mathbf U}^{\imath}$是$\dot{\mathbf U}^{\jmath}$的具有相容标准基的子商.此外，还建立了修正余理想代数的标准基与Schur代数的标准基之间的相容性.
Cluster algebras of finite type via a Coxeter element and Demazure Crystals of type A
设$G$是$\mathbb{C}$上的单连通单代数群，$B$和$B_-$是它的两个相反的Borel子群.对于Weyl群$W$的两个元素$u$，$v$，已知双Bruhat胞元$G^{u,v}=BuB\cap B_-vB_-$的坐标环${\mathbb C}[G^{u,v}]$同构于簇代数$\mathcal{A}(\textbf{i})_{\mathbb C}$ [arXiv：math/0305434，arXiv：1602.00498].在$u=e$，$v=c^2$（$c$是Coxeter元素）的情况下，代数${\mathbb C}[G^{e,c^2}]$只有100个簇变量。对于$G={\rm SL}_{r+1}(\mathbb{C})$，通过预投射代数的加性分类，得到了$\mathbb{C}[G^{e,c^2}]$中所有簇变量的显式形式，并用Demazure晶体的单项式实现描述了它们.
Semi-infinite construction for the double Yangian of type $A_1^{(1)}$
本文研究基于Iohara-Kohno实现的double Yangian DY(gl_2)的level 1无穷维模，证明其具有由满足差二条件的稳定可积算子半无穷单项式表示的Feigin-Stoyanovsky型拓扑基，并给出该基在相应量子仿射顶点代数表示理论中的应用。
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