Berenstein-Kazhdan装饰函数的一种算法及极小表示的试验
An algorithm for Berenstein-Kazhdan decoration functions and trails for minuscule representations
摘要：
对于单连通单代数群$G$，胞元$B_{w_0}^-=B^-\cap U\overline{w_0}U$是具有正结构$θ_{\textbf{i}}^-:(\mathbb{C}^{\times})^{l(w_0)}\rightarrow B_{w_0}^-$的几何晶体。对$B_{w_0}^-$上的半装饰有理函数$Φ^h_{BK}=\sum_{i\in I}Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}$应用热带化函子，可以在$\mathbb{Z}^{l(w_0)}$中实现$B(\infty)$晶体.通过对$Φ^h_{BK}$的计算，我们得到了$\mathbb{Z}^{l(w_0)}$中$B(\infty)$的一种显式形式.在本文中，我们给出了一个算法来计算$Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}\circ θ_{\textbf{i}}^-$明确$i\in I$，使$V(Λ_i)$是一个极小的表示$\mathfrak{g}={\rm Lie}(G)$。特别地，如果$\mathfrak{g}$是类型${\rm A}_n$，则算法对所有$i\in I$起作用。该算法计算一个有向图$DG$，称为装饰图，其顶点由$Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}\circ θ_{\textbf{i}}^-(t_1,\cdots,t_{l(w_0)})$中的所有单项式标记。装饰图有一些性质类似于极小表示的晶体图。我们还验证了该算法在其他一些情况下的工作，例如，情况$\mathfrak{g}$是${\rm G}_2$类型，虽然$V(Λ_i)$是非极小的。
英文摘要：
For a simply connected connected simple algebraic group $G$, a cell $B_{w_0}^-=B^-\cap U\overline{w_0}U$ is a geometric crystal with a positive structure $θ_{\textbf{i}}^-:(\mathbb{C}^{\times})^{l(w_0)}\rightarrow B_{w_0}^-$. Applying the tropicalization functor to a rational function $Φ^h_{BK}=\sum_{i\in I}Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}$ called the half decoration on $B_{w_0}^-$, one can realize the crystal $B(\infty)$ in $\mathbb{Z}^{l(w_0)}$. By computing $Φ^h_{BK}$, we get an explicit form of $B(\infty)$ in $\mathbb{Z}^{l(w_0)}$. In this paper, we give an algorithm to compute $Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}\circ θ_{\textbf{i}}^-$ explicitly for $i\in I$ such that $V(Λ_i)$ is a minuscule representation of $\mathfrak{g}={\rm Lie}(G)$. In particular, the algorithm works for all $i\in I$ if $\mathfrak{g}$ is of type ${\rm A}_n$. The algorithm computes a directed graph $DG$, called a decoration graph, whose vertices are labelled by all monomials in $Δ_{w_0Λ_i,s_iΛ_i}\circ θ_{\textbf{i}}^-(t_1,\cdots,t_{l(w_0)})$. The decoration graph has some properties similar to crystal graphs of minuscule representations. We also verify that the algorithm works in some other cases, for example, the case $\mathfrak{g}$ is of type ${\rm G}_2$ though $V(Λ_i)$ is non-minuscule.
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