A regularity result for shortest generalized billiard trajectories in convex bodies in $\mathbb{R}^n$
研究了$\mathbb{R}^n$中凸体上的长度最小化闭广义欧几里德台球轨迹，并研究了它们与包含这些轨迹的包含极小仿射截面之间的关系.我们表明，当通过这些部分，长度最小化封闭台球轨迹仍然是台球轨迹，但其长度最小性以及它们的规律性可以被破坏。有鉴于此，我们证明了什么较弱的规律性，实际上是保存下通过这些部分。在此基础上，我们发展了一个算法，以计算长度最小化闭规则台球轨迹在凸多胞体$\mathbb{R}^n$。
2022-09-21 math.DS
Non-periodic not everywhere dense trajectories in triangular billiards
利用诱导映射与区间交换变换，构造等腰三角形单参数族，其非周期轨迹非处处稠密，从而否定性解决三角台球中长期未决的稠密性问题。
2024-06-25 math.DS
Minimizing length of billiard trajectories in hyperbolic polygons
在双曲平面中的多边形中的闭合台球轨迹可以通过它们击中多边形的边的顺序来编码。本文考虑了理想双曲多边形中循环相关闭台球轨线的平均长度，证明了对于正双曲多边形，此平均长度最小的猜想。证明使用了Teichmüller空间中测地线长度函数关于Weil-Petersson度量的严格凸性，这是Wolpert建立的一个基本结果。
2016-07-25 math.DS
Degenerate billiards
在普通的台球系统中，哈密顿系统的轨迹在与超曲面（散射体）碰撞后被弹性反射。如果散射体是余维大于1的子流形，我们说台球是退化的。碰撞是罕见的。我们研究的轨迹退化台球有无限数量的碰撞与散射。简并台球在天体力学中表现为弹性反射系统的极限或奇点系统的极限。我们证明了存在的轨迹，这样的系统跟踪相应的退化台球的轨迹。证明是基于一个版本的方法的反可积的限制。
2016-06-22 math.DS
Periodic billiard trajectories in polyhedra
我们考虑多面体内的台球映射。我们给出了周期轨线稳定的条件。我们把这个结果应用于四面体的情形。我们导出了具有长度为4的周期轨道的四面体的开集的存在性（三角形的Fagnano轨道的推广），并且我们可以完全研究沿着这个编码的点的轨道.
2011-04-06 math.DS
Degenerate billiards in celestial mechanics
在普通台球中，哈密顿系统的轨迹在与超曲面（散射体）碰撞后被弹性反射。如果散射体是余维大于1的子流形，我们说台球是退化的。在天体力学中，退化台球作为奇点系统的极限出现。我们证明了存在的轨迹，这样的系统跟踪相应的退化台球的轨迹。本研究的动机是庞加莱的第二物种解决方案的问题。
2016-12-28 math.DS
Morse Theory and Stability of Periodic Billiard Trajectories
Norwich University（诺威奇大学）；Queen’s University at Kingston（金斯敦女王大学）
本文通过莫尔斯指标定理计算台球轨迹的莫尔斯指标，并利用该指标判断周期轨迹的线性稳定性，给出了稳定2周期轨迹存在的充分条件。
2026-06-16 math.DS
On non-periodic and non-dense billiard trajectories Part 1 and Part 2
本文证明了自1983年以来在文献中被广泛接受的构造三角形中非稠密非周期轨道的Galperin方法永远不可能成立。这是通过表明，所有可能的例子，可以产生的加尔佩林的方法，其中有无限多的所有产生一个周期性的轨迹。
2015-09-09 math.DS
Triangle tiling billiards and the exceptional family of their escaping trajectories: circumcenters and Rauzy gasket
考虑一个平面的周期性三角形镶嵌，它是由等边镶嵌通过线性变换得到的。我们研究了以下瓷砖台球：一个球遵循直线段和反弹的瓷砖的边界到相邻的瓷砖在这样一种方式，折射系数等于-1。我们表明，几乎所有的轨迹，这样的台球要么关闭或逃逸线性，并为关闭的轨迹，我们证明了他们的周期属于4 N +2。我们还给出了一个精确的描述的特殊家庭的轨迹（零措施）：这些轨迹逃逸非线性到无穷大，并接近分形集。我们表明，这个特殊的家庭是参数化的著名的Rauzy垫片。这证明了前面提到的三角形瓷砖台球的几个问题。在这项工作中，我们也给出了一个更精确的理解完全翻转的最小交换变换3和4的间隔，证明他们属于一个特殊的超曲面。我们的证明是基于研究的Rauzy图的区间交换变换翻转。
2019-02-05 math.DS
Star-shaped trajectories of certain billiards around a triangle
本研究在Beltrami-Klein模型框架下，基于已有研究考察双曲平面中三角形外台球映射旋转数为2/5的情况，给出充分条件并证明其对大等腰三角形的必要性，最后提出相关猜想。
2024-10-09 math.DS
Periodic Billiards in Isosceles Triangles
等腰三角形上的任何周期性轨迹都会产生通过识别原始三角形的两半而获得的直角三角形上的周期性轨迹。我们研究了在等腰三角形上的周期轨道和在直角三角形上的轨道之间的关系，以及这种关系对在等腰三角形上存在稳定轨道的影响和它们的轨道瓦片的性质。
2013-07-01 math.DS
Rotation Sets of Billiards with N Obstacles on a Torus
对于在环面上有$N$障碍物的台球，我们研究了其特定类型的轨迹\emph{the so called admissible trajectories}的行为。利用\cite{1}中的方法，证明了\emph{admissible rotation set}是凸的，且容许型周期轨线在容许旋转集中是稠密的.此外，我们还证明了容许旋转集是一般旋转集的一个真子集。
2016-03-11 math.DS
Hyperbolic Staircases: Periodic Paths on $2g+1$-gons
多边形台球的研究，特别是那些在正五边形，一直是最近的两篇论文的主题。其中一份文件的方法问题发现的周期性轨迹的五边形确定斜坡的周期性方向与点的庞加莱磁盘产生的双曲等距变换。另一种方法，来自另一篇论文，将双五边形转换成一个称为“黄金L”的直线平移曲面，其中周期方向由一组与此曲面相关的矩阵以特殊的方式生成。我们连接和统一这两种方法，并使用我们的统一这些结果推广到任意$2g+1$边正多边形。
2021-11-30 math.DS
Arnold Diffusion in Multi-Dimensional Convex Billiards
考虑严格凸域中的台球动力学，并考虑以与边界成小正角的速度矢量开始的轨迹。拉祖特金证明，在二维空间中，这个角度不可能沿着轨迹趋于零。我们证明了这样的轨迹可以存在于更高的维度。也就是说，使用几何技术的Arnold扩散，我们表明，在三维或更多维，假设测地流的边界上的域有一个双曲周期轨道和横同宿，存在的轨迹渐近接近台球边界是一个普遍的现象，在实解析拓扑。
2022-07-19 math.DS
Polygonal billiards with one side scattering
研究了正方形台球桌上单面垂直镜面散射的多边形台球。我们将这些台球的轨迹与双旋转相关联，并研究轨道行为和复杂性问题。
2014-09-10 math.DS
Closed billiard trajectories with prescribed bounces
本文给出了二维色散台球的原始周期轨迹数的渐近增长，当我们规定它们在障碍物上的反弹次数时。
2021-08-25 math.DG math.DS
On the multiplicity of non-iterated periodic billiard trajectories
本文介绍了欧几里得空间的紧致凸区域上周期台球轨迹的迭代理论，并应用它建立了非迭代轨迹的一个多重性结果。
2011-10-14 math.AT math.DS
Uniqueness of Billiard Coding in Polygons
我们考虑多边形台球，我们显示的唯一性的编码的非周期性台球轨迹的多边形的孔具有非零的最小直径，广义定理Galperin，Krüger和Troubetzkoy。
2021-04-09 math.DS
Billiards in a circle with trajectories circumscribing a triangle
本文在双曲几何的Klein-Beltrami模型中，以欧几里得几何方式重新表述了三角形被归类为“大”的条件，提出并评估了其欧几里得大小度量，并为等腰三角形给出显式公式。
2023-12-25 math.DS
Weak mixing directions in non-arithmetic Veech surfaces
我们表明，台球在正多边形是弱混合几乎在每一个不变的表面，除了在平凡的情况下，引起晶格在平面上（三角形，正方形和六边形）。更一般地，我们研究了任意非算术Veech曲面上方向流弱混合的普遍性问题，证明了非弱混合方向集的豪斯多夫维数是不满的.我们还提供了一个必要条件，验证了例如由维奇表面对应的台球在五边形，为一组非弱混合方向有积极的豪斯多夫维数。
2015-12-02 math.DS
Trace formula for billiard flow on surfaces with concave boundary
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究凹边界紧致曲面上台球流的擦碰闭轨迹，在非退化条件下计算正则化拉回的迹，推广了Atiyah-Bott-Guillemin迹公式。
2026-09-22 math.DS
Some remarks on periodic billiard orbits in rational polygons
一个多边形被称为有理的，如果每对边之间的角度是$π.$的有理倍数。我们要证明的主要定理是定理1：对于有理多边形，台球流的周期点在台球流的相空间中是稠密的。这是对Masur定理的加强，Masur定理证明了任何有理多边形都有“许多”周期性台球轨迹;更确切地说，周期性轨迹的方向集在速度方向集$§^1.$中是稠密的。我们还将证明定理1的一些改进：周期轨道在多边形中的"良好分布“和点$q \in Q$具有稠密周期方向集的剩余性。
1994-08-26 math.DS
Periodic billiard trajectories and Morse theory on loop spaces
本文将莫尔斯理论应用于流形的闭路空间上的拉格朗日作用泛函，研究了紧致黎曼流形上的周期台球轨线。基于Benci-Giannoni的近似方法，证明了某对闭路空间的相对同调的非零性蕴含着周期台球轨线的存在性.我们还证明了道路空间的一个平行结果。我们应用这些结果来证明短台球轨迹和短测地线环路的存在。我们还恢复了关于凸体上最短周期台球轨线长度的两个已知结果：Ghomi不等式和Artstein-Ostrover的Brunn-Minkowski型不等式.
2014-03-08 math.DS math.MG
Periodic orbits for square and rectangular billiards
本文研究方形与矩形数学台球，分类其周期轨道，证明碰撞数必为偶数，并将轨道类别数联系到 Euler 函数，同时分析给定碰撞数的构造及终止于角点的奇异轨迹。
2024-10-25 math.DS
Billiard trajectories inside Cones
本文研究凸锥内台球轨迹的反射次数问题，证明存在C²凸锥允许有限时间内无限多次反射，并利用两个首次积分估计了R³中椭圆锥内轨迹的反射次数。
2025-02-04 math.DG math.DS
On three-periodic trajectories of multi-dimensional dual billiards
研究线性2 m维辛空间中关于光滑严格凸闭超曲面的对偶台球映射，证明了它至少有2 m个不同的3-周期轨道。
2003-10-25 math.DS math.SG
Elementary approach to closed billiard trajectories in asymmetric normed spaces
我们应用Károly Bezdek和Daniel Bezdek的技术来研究凸体中的台球轨迹，当长度用（可能不对称的）范数测量时。我们证明了一个下界的长度最短的封闭台球轨迹，有关的非对称马勒问题。利用这种方法，我们能够给出一些已知结果的简短而初等的证明。
2015-12-27 math.DS math.MG
Correlations for pairs of periodic trajectories for open billiards
在本文中，我们证明了两个渐近估计对开放的台球类似于由Pollicott和夏普建立的闭测地线上的负弯曲的紧曲面上的封闭轨迹。这些估计中的第一个对任何维度的一般开放台球都成立。对于满足Dolgopyat型估计的开放台球，建立了更复杂的第二个估计。这类台球包括平面上所有的开台球和满足某些附加条件的$\R^N, N \geq 3$中的开台球。
2009-09-29 math-ph math.DS math.MP
Straightening Billiard Trajectories in Flat Disks and Katok-Zemlyakov Construction
我们提供了一种方法来拉直每个台球轨迹在一个扁平的磁盘。作为一个应用，我们表明，对于每个点的磁盘上，几乎所有的方向，相应的台球轨迹的封闭包含一个顶点。我们将Katok-Zemlyakov构造推广到具有有理角数据的平面圆盘：对于每个有理平面圆盘，我们得到一个平移曲面和一个到圆盘加倍的投影。我们计算了这种平移曲面的欧拉示性数。
2019-04-11 math.DS math.MG
Self-intersection Points of Billiard Trajectories in a Square with Small Pockets
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
该研究针对四角带小口袋的正方形台球轨迹，建立了自交点数量各阶矩的渐近公式及其分布，揭示了小口袋对轨迹自交行为的影响。
2026-09-25 math.DS math.NT
When different norms lead to same billiard trajectories?
本文推广了Milena Radnović和Serge Tabachnikov的工作，建立了两个不同的非对称范数定义同一个台球反射律的条件.
2019-12-29 math.DG math.DS math.MG
Negative refraction and tiling billiards
我们引入了一个新的动力系统，我们称之为“平铺台球”，其中的轨迹通过平面平铺。这个系统的动机是最近发现的物理物质具有负折射率。我们调查几个特殊的情况下，平面瓷砖是由线划分的平面创建的，我们描述的计算机实验的结果。
2017-09-20 math.DS
How to hear the shape of a billiard table
多边形台球桌的反弹谱是与台球桌上的台球轨迹相对应的边缘标签的所有双无穷序列的集合。我们给出了从多边形台球桌的反弹谱重建其边缘标签的循环排序和其角度的大小的方法。我们还表明，它是不可能的，以重建一个多边形台球桌的确切形状从任何有限的收集有限字从它的反弹谱。
2018-06-25 math.DS
On the Local Theory of Billiards in Polygons
多边形台球桌上的周期性轨迹是稳定的，如果它在任何足够小的扰动下持续存在。一个标准的结果是，$n$ -边形上的周期轨迹以自然的方式产生$n$ -穿孔球面上的闭路，并且该轨迹是稳定的当且仅当该路径是零同调的。我们提出了一个新的证明，这一结果的语言覆盖空间，它概括到一个多边形的邻域中的稳定轨迹的特征。利用这一点，我们分类的稳定周期轨道附近的30-60-90三角形，给出了一个新的证明施瓦茨的结果，没有邻居的三角形可以覆盖一个有限的联盟的轨道瓦片。推广了Hooper和Schwartz关于等腰Veech三角形$V_n$不允许$n=2^m,m\ge 2$有周期轨道的结果，并检验了他们关于$V_n$的邻域不可能被多个轨道瓦片覆盖的猜想.
2014-05-06 math.DS
Periodic billiard trajectories in smooth convex bodies
我们考虑台球轨迹在光滑凸体$\mathbb R^d$和估计的数量不同的周期性轨迹，使每周期的$p$反射在身体的边界。在素数$p$的情况下，我们得到了下界$(d-2)(p-1)+2$，这比以前的估计好得多。
2009-05-12 math.AT math.DG math.DS
Lower bounds on the number of closed trajectories of generalized billiards
给定一个区域，或者更一般地说，一个有边界的黎曼流形，台球是一个质点在没有力场的情况下的运动。这种运动的轨迹是域内的测地线;粒子从边界反射，使入射角等于反射角。当台球反弹k次，然后以与开始时相同的速度向量到达初始位置时，台球运动可以恰好是封闭的（或周期性的）运动。研究封闭台球轨迹是由于乔治伯克霍夫谁在1927年证明了较低的估计数封闭台球轨迹的一定时期k。我们考虑台球从欧几里得空间的任意子流形反射的最一般的情况。我们证明了Morse不等式在这种情况下，并应用它们找到一个较低的估计的数量封闭台球轨迹的任何素数时期的贝蒂数的给定的流形。
2006-04-11 math.AT math.DG math.DS
Counting Periodic Trajectories of Finsler Billiards
在具有可能不可逆Finsler度量的$d$维Finsler空间中，给出了二次凸光滑闭超曲面$M$内周期Finsler台球轨迹个数的下界.这种系统的一个例子是在足够弱的磁场中的台球。$r$ -周期芬斯勒台球轨迹对应于在$M$中内接的$r$ -周期，并且具有极值芬斯勒长度。循环群${\mathbb Z}_r$作用在这些极值多边形上，并计算${\mathbb Z}_r$ -轨道。利用Morse和Lusternik-Schnirelmann理论，证明了若$r\ge 3$是素数，则$r$周期Finsler台球轨迹的个数不小于$(r-1)(d-2)+1$ .当$M$处于一般位置时，我们也给出了更强的下界.从下面估计周期性台球轨迹数的问题可以追溯到伯克霍夫。我们的工作扩展到芬斯勒设置的结果以前得到的欧几里德台球巴本科，法伯，Tabachnikov，和Karasev。
2020-04-03 math.DG math.DS math.GT
Resonance of ellipsoidal billiard trajectories and extremal rational functions
本文研究了$d$维欧几里得空间中二次曲面的共振台球轨迹。我们将它们与逼近理论，特别是极值有理函数的系统上的$d$间隔的实数线。这种富有成效的联系，使我们能够证明台球动力学的基本性质，并提供了一个全面的研究一类非周期轨迹的可积台球。一个关键成分是广义佩尔型的函数多项式关系。将这些思想和技巧进一步应用于$s$ -弱台球轨迹，我们得到了同样广义Pell型的函数多项式关系。
2022-11-17 math.AG math.CA math.DS
Trees and flowers on a billiard table
在这项工作中，我们完全描述了三角形瓷砖台球的动力学。在第一部分中，我们提出了一种几何方法的动力学，通过引入自然叶理与它相关联。在第二部分中，我们利用三角形瓷砖台球和家庭的完全翻转$3$ -区间交换变换的圆。我们通过重整化给出了动力学的一种组合方法。将这两种方法结合起来，我们证明了三角形平铺台球的动力学的几个定理。首先证明了Baird-Smith，Davis，Fromm和Iyer关于周期轨线符号动力学的树猜想和4 n +2猜想。其次，我们研究了一类与极小Arnoux-Rauzy映射的轨道密切相关的例外轨线。我们证明，所有这些特殊的轨迹通过所有的瓷砖，这证实了我们自己的猜想与P.休伯特对他们的非线性逃逸。此外，我们使用平铺台球证明的收敛性，重新标度，算术轨道的Arnoux-Yoccoz映射的Rauzy分形，由Hooper和Weiss所示。在过去三年中，所有这些声明都已发表。
2019-09-22 math.DS
Periodic ellipsoidal billiard trajectories and extremal polynomials
本文研究了$d$维欧几里得空间中台球在椭球内的周期运动轨迹。该方法的新颖性是基于建立在周期性台球轨迹和极值多项式之间的关系上的系统的$d$间隔的实数线。通过利用广义切比雪夫多项式的Krein-Levin-Nudelman理论的深入但尚未广为人知的结果，证明了任何$d$的台球动力学的基本性质，即，卷绕数的序列是单调的。利用位势论证明了频率图的单射性。作为一个副产品，对于$d=2$的旋转数的单调性的一个新的证明。给出了小周期$T$、$d\le T\le 2d$轨道的个例研究。特别是，它被证明，所有的$d$ -周期性的轨迹包含在一个坐标超平面，对于一个给定的椭球，有一个独特的一组焦散产生$d+1$ -周期性的轨迹。为$d=3$提供了具有小周期的台球轨迹的完整目录。
2019-07-20 math.AG math.CA math.DS
Pseudo-Euclidean Billiards within Confocal Curves on the Hyperboloid of One Sheet
考虑Minkowski空间中单叶双曲面上共焦二次曲线所围紧区域的台球问题。我们发现，有两种类型的共焦家庭在这样的设置。利用代数几何积分技巧，我们证明了每种类型的广义椭圆内的台球是可积的刘维尔意义。此外，我们证明了一个推广的Poncelet定理，并推导出周期轨迹的凯莱型条件，并探讨几何后果。
2020-10-27 math.DS
Periodic trajectories of ellipsoidal billiards in the 3-dimensional Minkowski space
在本文中，我们给出了详细的分析和描述的周期轨迹的台球系统内的一个椭球在三维Minkowski空间，考虑到所有可能的焦散线。周期性的条件来自代数几何，解析和多项式的形式。
2019-09-18 math-ph math.DS math.MP
Classification of symmetric periodic trajectories in ellipsoidal billiards
我们对R^{n+1}中椭球内台球的非奇异对称周期轨线（SPT）进行了分类。SPT被定义为通过某个对称集的周期性轨迹。我们证明了这样的轨线恰好有2^{2n}（2^{n+1}-1）类。我们已经实现了一个算法，以找到2D情况下（R^2）的12个类中的每一个和3D情况下（R^3）的112个类中的每一个的最小SPT。它们在2D情况下具有周期3、4或6;在3D情况下具有周期4、5、6、8或10。我们显示一系列3D最小SPT。它们中的一些具有在2D情况下不能发生的特性。
2012-03-28 math.DS nlin.SI
Exponentially small asymptotic formulas for the length spectrum in some billiard tables
本文研究轴对称严格凸台球桌中(1,q)-周期轨迹长度差的渐近行为，以量化边界附近的混沌动力学。基于数值实验，提出长度差渐近于指数小因子乘以常数或振荡函数的猜想，并指出指数与周期轨迹长度渐近级数Borel变换收敛半径的关系。
2015-04-30 math.DS
A Brunn-Minkowski type inequality for extended symplectic capacities of convex domains and length estimate for a class of billiard trajectories
本文首先将Artstein-Avidan-Ostrover在2008年建立的关于有界凸区域的Ekeland-Hohnder-Zehnder辛容量的Brunn-Minkowski型不等式推广到作者最近基于一类Hamilton非周期边值问题构造的有界凸区域的推广辛容量.然后引入了一类凸区域上的非周期台球，并证明了与Artstein-Avidan-Ostrover在2012年关于凸区域上的周期台球的相应结果.
2023-02-23 math.DS math.SG
Outer Billiards on Regular Polygons
1973年，J. Moser提出他的扭曲定理可以用来证明一条足够光滑的闭曲线上的外台球映射的轨道总是有界的。五年后莫泽问同样的问题，一个凸多边形。1987年F. Vivaldi和A. Shaubeko表明，所有轨道的正多边形必须有界。R.施瓦茨最近表明，四边形称为彭罗斯风筝有无界轨道，他提出，“大多数”凸多边形支持无界轨道。除了少数特殊情况外，人们对正多边形上外台球映射的动力学知之甚少。在本文中，我们提出了一个统一的方法来分析的正多边形-使用正则的共振，这是共享的所有规则的N-π。在正五边形和正八边形的情况下，这些共振存在于所有尺度上，分形结构也有很好的记录，但这些是唯一被分析过的非平凡情况。我们提出了一个部分分析的规则七边形，但限制结构知之甚少，这并不预示着好的其余正多边形。正则N边形顶点的极小多项式的次数为Phi（N）/2，其中Phi是欧拉函数，因此N = 5、7和11分别是二次、三次和五次多项式。用R. Schwartz说：“像N = 11这样的情况似乎超出了当前技术的范围。“有些图形已经嵌入了高分辨率版本，所以这个文件的大小约为39 Mb。这个文件和一个较小的版本可以在dynamicsofpolygons. org下载。只需点击PDF。本文旨在纪念尤金·古特金（Eugene Gutkin，1946-2013），他对内外台球都做出了重要贡献。
2014-10-07 math.DS
Quantum states resembling classical periodic trajectories in mesoscopic elliptic billiards
通过叠加近简并本征态，在介观椭圆台球中实现量子态局域于经典周期轨道，并分析旋转与摆动模式的概率流、相位及涡旋分布。
2024-03-13 math.DS nlin.CD physics.class-ph
Remarks on interior transmission eigenvalues, Weyl formula and branching billiards
本文给出了内传递问题为参数椭圆时的计数函数的Weyl公式。构造了分支台球轨迹，并在一定条件下，在周期台球轨迹集上估计了Weyl渐近性的第二项。
2012-03-21 math-ph math.DS math.MP
Regular simplices and periodic billiard orbits
单纯形是$\mathbb{R}^{n}$中形成仿射基的$n+1$点的凸包。正则单形$Δ^n$是边长相等的单形。我们考虑$\mathbb{R}^n$的正则单形内的台球流。我们证明了两种类型的周期性轨迹的存在。一个有周期$n+1$，每个面打一次。另一个具有周期$2n$，并且击中其中一个面$n$次，同时击中任何其他面一次。在这两种情况下，我们确定的确切坐标点的轨迹击中边界的单纯形。
2012-10-21 math.DS
On Cayley conditions for billiards inside ellipsoids
在$\Rset^n$的椭球内的台球轨迹的所有段（或其延续）与由椭球确定的共焦二次曲面束的n-1个二次曲面相切。与周期性台球轨迹相关联的二次曲面验证了某些代数条件。凯莱在平面盒里找到的。Dragović和Radnović将其推广到任何层面。我们重写这些广义凯莱条件作为一个简单的多项式的原始矩阵制定。我们发现焦散参数和椭球参数之间的几个显着的代数关系，产生非奇异的周期轨迹。
2012-11-28 math.DS nlin.SI
Average diffusion rate of Ehrenfest Wind-tree billiards
本文针对埃伦费斯特风树台球及更一般的闭平移曲面$\u2124^d$覆叠上的平坦测地射线，证明其平均扩散速率与最大扩散速率一致，均由相关李雅普诺夫指数决定，填补了此前仅知最大扩散速率的研究空白。
2023-12-19 math.DS
Wind-tree tiling billiards and their trapping strips
研究风树瓷砖弹道系统，证明几乎所有配置中垂直初始方向的轨迹被无限平面带捕获，类比于Eaton透镜中的光传播。
2026-03-26 math.DS math.GT
Generic properties of planar symplectic billiards
Dipartimento di Matematica Tullio Levi–Civita, Università di Padova（帕多瓦大学数学系）；ISEG, Universidade de Lisboa（里斯本大学经济与管理学院）
研究平面辛台球的一般性质，证明对于\(C^\infty\)强凸域剩余集，周期轨迹相关性质，还证弗兰克斯引理等，得出\(C^\infty\)强凸辛台球一般有正拓扑熵的结论。
2026-07-24 math.DS
Quantitative error term in the counting problem on Veech wind-tree models
我们研究周期性风树模型，台球在平面上赋予$\mathbb{Z}^2$ -周期性位于相同的连接对称直角障碍。我们表现出有效的渐近公式的数量（合痕类）的周期台球轨迹（高达$\mathbb{Z}^2$ -翻译）的Veech风树台球，也就是说，风树台球的基础紧凑的翻译表面是Veech表面。我们表明，误差项取决于频谱特性的Veech组，并给出明确的估计的情况下，障碍物的边长平方$1/2$。
2018-03-27 math.DS
