负折射和平铺台球

On some Refraction Billiards

The aim of this work is to continue the analysis, started in arXiv:2105.02108, of the dynamics of a point-mass particle $P$ moving in a galaxy with an harmonic biaxial core, in whose center sits a Keplerian attractive center (e.g. a Black Hole). Accordingly, the plane $\mathbb R^2$ is divided into two complementary domains, depending on whether the gravitational effects of the galaxy's mass distribution or of the Black Hole prevail. Thus, solutions alternate arcs of Keplerian hyperbolae with harmonic ellipses; at the interface, the trajectory is refracted according to Snell's law. The model wa…

风树瓷砖弹道及其捕获带

Wind-tree tiling billiards and their trapping strips

研究风树瓷砖弹道系统，证明几乎所有配置中垂直初始方向的轨迹被无限平面带捕获，类比于Eaton透镜中的光传播。

树木和鲜花在台球桌上

Trees and flowers on a billiard table

在这项工作中，我们完全描述了三角形瓷砖台球的动力学。在第一部分中，我们提出了一种几何方法的动力学，通过引入自然叶理与它相关联。在第二部分中，我们利用三角形瓷砖台球和家庭的完全翻转$3$ -区间交换变换的圆。我们通过重整化给出了动力学的一种组合方法。将这两种方法结合起来，我们证明了三角形平铺台球的动力学的几个定理。首先证明了Baird-Smith，Davis，Fromm和Iyer关于周期轨线符号动力学的树猜想和4 n +2猜想。其次，我们研究了一类与极小Arnoux-Rauzy映射的轨道密切相关的例外轨线。我们证明，所有这些特殊的轨迹通过所有的瓷砖，这证实了我们自己的猜想与P.休伯特对他们的非线性逃逸。此外，我们使用平铺台球证明的收敛性，重新标度，算术轨道的Arnoux-Yoccoz映射的Rauzy分形，由Hooper和Weiss所示。在过去三年中，所有这些声明都已发表。

完全仿射环面上的辛铺层台球

Symplectic Tiling Billiards on Complete Affine Tori

本文研究环面上非欧几里得几何产生的平面铺层上的辛铺层台球动力系统，通过定义相关仿射结构的开子集，分析其动力学并证明发散轨迹的稳定性结果，引入适配非欧几里得仿射铺层的稀薄性概念。

多边形在双曲平面中弹道语言的复杂性

Complexity of Billiards in Polygons Associated to Hyperbolic $(p,q)$-Tilings

本文研究双曲平面中正多边形弹道语言的复杂性，计算当q为偶数时的指数增长速率，并在q为奇数时给出界。还为q偶数情况提供完整的语法规则，确定由p个字母组成的词是否由弹道路径实现。

具有反射和折射的托克推广

Toric Promotion with Reflections and Refractions

本文引入了折射的组合弹道概念，扩展了托克推广为具有反射和折射的动态系统，通过图G的边集划分，研究了森林和偶数折射边的环结构，发现新的轨道大小描述和循环筛现象实例。

三角形铺嵌上的台球轨迹与区间交换变换

Tiling Billards on Triangle Tilings, and Interval Exchange Transformations

本文研究透明且相邻折射率相反的三角形铺嵌中的光线动力学，发现轨迹行为由圆上反向定向三区间交换变换描述，且特定铺嵌下部分轨迹经重缩放趋近Rauzy分形。

风筝上的台球

Outer Billiards on Kites

外台球是一个简单的动力系统的基础上凸平面形状。莫泽-诺依曼问题，首先由B.H.诺依曼在1960年左右，问是否存在一个平面形状，其中外部台球有一个无界轨道。这本专著的前半部分证明了外台球有一个相对于任何无理风筝定义的无界轨道。下半年的专着给出了一个非常尖锐的描述一套无界轨道，无论是在动力学和豪斯多夫维数。两半的分析揭示了风筝上的外部台球和模群之间的密切联系，以及与自相似镶嵌、多面体交换映射、丢番图逼近和里程计的联系。

带有开普勒势的台球的探索

Exploration of billiards with Keplerian potential

本文研究了内部带开普勒势的椭圆台球的反射与折射情况，通过数值分析非聚焦反射及折射情形的可积性，并提出了同位平衡轨道线性稳定性的理论结果，揭示了可积框架中的分岔现象。

混沌透镜台球

Chaotic lensed billiards

本文提出带阶跃势的透镜台球模型，通过多族示例、Lyapunov 指数数值分析及双开放子系统切换刻画，研究势参数 C 对混沌动力学的影响。

天体力学中的分析方法：卫星稳定性与星系台球

Analytical methods in Celestial Mechanics: satellites' stability and galactic billiards

本文采用解析与数值技术，研究天体力学中两个模型：一是考虑地球非球形及日月引力的地球卫星哈密顿模型，用半解析法给出轨道稳定性估计；二是含中心核的椭圆星系折射台球模型，结合开普勒势与谐振子势，分析轨迹的周期、稳定与混沌特性。