A simplified proof of Serre's Conjectures
Luis Victor Dieulefait, Ariel Martín Pacetti
这篇短文的目的是利用现有的强模块性提升结果给出Serre的模块性猜想的一个简化证明。这个第二个版本包括额外的细节定义和证明比前一个。
The purpose of this short note is to present a simplified proof of Serre's modularity conjecture using the strong modularity lifting results currently available. This second version includes extra details on definitions and proofs than the previous one.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On Serre's modularity conjecture for 2-dimensional mod p representations of G_Q unramified outside p
我们证明了Serre猜想的1级情形。
The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture
本文给出了Serre猜想的一些小权和小水平情形的证明。
The level 1 case of Serre's conjecture revisited
我们证明了共轭伽罗瓦表示的存在性，并利用它导出了一个简单的权约简方法。因此，塞尔猜想的一级情形的另一种证明如下。
Appendix to: The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture - a strategy for a proof
在本附录中，我们注意到我们3月份关于塞尔猜想的预印本确实是正确的：唯一的“缺失论证”自动地从Bockle和Ramakrishna的结果中得出。因此，我们得到了Serre猜想的1级权重2情况的证明（这一结果也已由Khare和Win滕伯格独立证明）。
The weight part of Serre's conjecture over CM fields
本文在特定全局技术假设下，对CM域上在p处驯分歧且充分一般的模p伽罗瓦表示证明了Serre猜想的权部分。
Crystalline liftings and weight part of Serre's conjecture
证明了酉群$U(d)$上模$p$伽罗瓦表示与自守表示相关联的Serre结构的权部分的一些新情况.该方法是Gee-Liu-Savitt工作的概括，即我们研究某些晶体表示的还原，以及这些还原的晶体升降机。
On Serre's Conjecture over Imaginary Quadratic Fields
研究了虚二次域上Serre猜想的一个类似结果.特别是，我们问是否Buzzard，Diamond和Jarvis的重量配方将在此设置中保持。使用作者编写的程序，我们提供的计算证据表明，这实际上是这样的。为了证明程序中使用的方法，我们证明了一个模块化的符号方法将适用于任意重量的虚二次域。
The weight part of Serre's conjecture for GL(2)
设p > 2为素数。我们使用纯粹的局部方法来确定某些二维晶体表示（我们称之为“伪Barsotti-Tate表示”）在p-adics的任意有限扩张上的可能约简。因此，我们（在通常的泰勒-怀尔斯假设下）建立了任意全实数域上GL（2）的Serre猜想的权部分。
Serre's Modularity Conjecture
这些是2012年2月在卢森堡大学举办的伽罗瓦论冬季学校的五小时迷你课程的讲义。他们的目的是给一个概述塞尔的模块性猜想和它的证明哈雷，温滕贝格和基辛，以及其他数学家的结果，发挥了重要作用的证明。在此过程中，我们评论了一些最近（截至2012年）关于猜想推广的工作。
Crystalline extensions and the weight part of Serre's conjecture
设p>2为素数。我们完成了Serre猜想的重量部分的证明秩二酉群模p表示在完全分歧的情况下，通过证明，任何发生的重量是一个预测的重量。我们的方法是一个混合物的本地和全球的技术，并在证明的过程中，我们建立了一些纯粹的本地结果晶体扩展类。
An analogue of Serre's conjecture for Galois representations and Hecke eigenclasses in the mod-p cohomology of GL(n,Z)
在标题中提到的猜想塞尔是一个关于模的奇伽罗瓦表示到GL（2，F），其中F是一个有限域的特征p。我们提出了一个类似的猜想GL（2）取代GL（n）。我们解释了"古怪"的类比。“然后，我们提出了一些理论和实验证据的猜想，主要是当n = 3。我们的猜想并不要求伽罗瓦表示是不可约的。我们最有趣的例子涉及一个不可约的偶数2维表示和一个1维表示的和。
Potentially crystalline deformation rings and Serre weight conjectures
我们证明了Serre猜想的重量部分在一般情况下的形式$U(3)$，这是紧凑的无穷大和分裂的地方划分$p$的Herzig。我们还证明了在三维自同构提升定理。关键的输入是一个明确的描述tamely潜在的结晶变形环与Hodge-Tate权重$(2,1,0)$的$K/\mathbb{Q}_p$ unramified结合修补技术。我们的结果表明，（几何）Breuil-Mézard拓扑对这些变形环是成立的.
General Serre weight conjectures
我们制定了一些相关的推广的重量部分的塞尔猜想的情况下GL（n）在任意数域上，由形式主义的Breuil-Mézard猜想的动机。我们给这些acquitures的证据，并讨论他们的关系，以前的工作。我们把其中一个定理推广到了连通的约化群在Q_p上是非分歧的情形，并且把第二作者以前关于GL（n）/Q的猜想推广到了这种情形，并且证明了这两个定理是一般一致的。
Remarks on Serre's modularity conjecture
本文给出了奇水平任意权情形下Serre猜想的一个证明。我们的证明不依赖于基辛的模提升结果到特征2的任何推广（此外，我们在证明的任何步骤都不会考虑特征2的表示）。在证明中的关键工具是一个非常普遍的模块化提升结果的Kisin，这是结合的方法和以前的文章中的塞尔猜想的Khare，Wintenberger，和作者，和模块化结果的Schoof半稳定的阿贝尔簇的小导体。假设GRH，偶数水平的无限多个情况也将被证明。
Weight elimination in Serre-type conjectures
我们证明的重量消除方向的塞尔重量矩阵制定的Herzig形式的$U(n)$是紧凑的无穷大和分裂的地方划分$p$在一般情况下。也就是说，我们表明，所有模块化的重量为模$p$伽罗瓦表示包含在一组预测的Herzig。在一些额外的假设下，我们还展示了所有“明显”权重的模块化。
The weight in a Serre-type conjecture for tame n-dimensional Galois representations
我们制定了一个Serre型猜想n维伽罗瓦表示是驯服分歧在p.的权重预测使用的表示理论的配方。对于n = 3，这些权重中的一些权重不是由Ash，Doud，Pollack和Sinnott的先前猜想预测的。Doud和Pollack的计算提供了这些额外权重的计算证据。我们得到的理论证据n = 4使用自守归纳Hecke字符。
On Serre's reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of the Galois group of Q
我们首先证明了在许多情况下，Q的绝对伽罗瓦群的2维mod p表示的极小分歧p进提升的存在性，这些表示是奇数的和不可约的。这是预测塞尔的猜想，这种表示产生于新形式的最佳水平和重量。使用这些最小的升降机，并使用兼容系统的参数，我们证明了一些情况下塞尔的apturtures在低水平和重量。例如，我们证明了有理数上不存在不可约（p，p）型群概型。我们证明了一个伽罗瓦表示的上述阿廷导体1和塞尔重量12产生的Ramanujan δ函数。在本文的最后一部分，我们提出的论点，减少塞尔猜想的模块性的伽罗瓦表示，如上述证明模块性提升定理的类型开创了怀尔斯。虽然这些模块提升的结果是不知道的，但他们可能是相对容易的，因为怀尔斯和泰勒-怀尔斯的基本方法和最近的发展，在p-adic Langlands programme发起的Breuil。
On Serre's modularity conjecture and Fermat's equation over quadratic imaginary fields of class number one
本文推广了作者以前的结果，证明了当$K$是任何类数为1的二次虚域时，Fermat方程$a^p+b^p+c^p=0$不存在整数互质解$a,b,c \in K \setminus \{ 0 \}$使得$2 \mid abc$和$p \geq 19$是素数.这些结果证明了Serre模猜想的自然推广的正确性。
Serre weights and the Breuil-Mézard conjecture for modular forms
塞尔的强猜想，现在是哈雷和温顿伯格的一个定理，指出每个二维连续的，奇数的，不可约模$p$伽罗瓦表示$ρ$产生于一个特定的最小权$k(ρ)$，水平$N(ρ)$和字符$ε(ρ)$的模形式。在这篇简短的论文中，我们表明，最小的重量$k(ρ)$是等于一个概念的最小重量的启发配方的重量介绍Buzzard，钻石和贾维斯。此外，使用Breuil-Mézard猜想，我们表明，这两个重量配方是等于最小的$k \geq 2$，使$ρ$有一个Hodge-Tate型$(0,k-1)$的结晶升降机。
On Serre's conjecture for mod l Galois representations over totally real fields
在1987年塞尔指出，任何模l（“ell”，而不是“1”）二维不可约奇表示的绝对伽罗瓦群的有理数来自一个模形式的精确方式。我们提出了一个推广这一猜想的2维表示的绝对伽罗瓦群的全实字段，其中l是unramified。困难的工作是在制定一个类似的“重量”的一部分塞尔的猜想。塞尔进一步问他的猜想是否可以重新措辞的“现代l朗兰兹哲学”。利用Emerton和Vigneras的思想，我们为群D^* 建立了一个模l局部-整体原理，其中D是一个全实数域上的四元数代数，在l以上和0或1无限处分裂，并展示了它是如何暗示这个猜想的。
Conjecture de l'inertie modérée de Serre
设K是一个混合特征的局部域。我们假设剩余域是完美的。设X_K是K上的真光滑概形，其中存在一个真半稳定的整数模型X.本文证明了一个周期同构，它将X Kbar的系数为Z/p^n的平展上同调与X的特殊纤维的对数结晶上同调联系起来.然而，我们对K的绝对分歧和上同调的度有一个限制。我们应用这一理论推导出了关于驯服惯性的Serre猜想的一个完整证明。
Serre weight conjectures for $\mathrm{GSp}_4$
本研究证明了满足明确一般性条件的驯分歧$\u200b\mathrm{GSp}_4\u200b$值伽罗瓦表示的Serre猜想权部分，改进了此前需非明确一般性假设的结果，并推导了相应的模性提升定理。
Conjecture de type de Serre et formes compagnons pour GSp_4
提出了四维辛模p伽罗瓦表示的模性的Serre型猜想.我们假设伽罗瓦表示是不可约的奇的（在辛意义上）。的模块化条件制定使用的etale和代数德拉姆上同调的西格尔模块化品种的水平素数p。我们集中的情况下，当伽罗瓦表示是普通的p，我们给出了相应的列表的塞尔权重。此外，当表示在p处是tamely分歧时，我们推测这个列表的所有权重都是模块化的，否则我们描述列表上应该是模块化的权重子集。我们提出了一个建设的德拉姆上同调类使用的双重BGG复杂，这应该实现这些权重。
Weights in Serre's conjecture for Hilbert modular forms: the ramified case
设F是全实域，p是奇素数.如果r是F的绝对伽罗瓦群的一个连续的、半单的、全奇模p表示，并且在F除p的所有地方都是tamely分歧的，那么我们给出了一个猜想，该猜想指定了r是模的权.这扩展了Diamond、Buzzard和Jarvis的猜想，他们假设p在F中是非分歧的。我们还证明了一个定理对猜想，并提供了一些计算证据。
A Serre weight conjecture for geometric Hilbert modular forms in characteristic p
设p是素数，F是全实域，其中p是非分歧的.我们认为模p希尔伯特模形式的F，定义为部分的自守线丛的希尔伯特模品种的水平素数p的特征p。对于模p希尔伯特模Hecke特征形的任意重量（没有奇偶性假设），我们相关联的二维表示的绝对伽罗瓦群的F，我们给出了一组的重量，它所产生的所有特征形的一个特征描述。这个猜想可以被看作是Buzzard-Diamond-Jarvis的“代数”Serre重量猜想的“几何”变体，在F = Q的情况下，这是Serre原始猜想的Edixhoven变体。我们开发的技术研究的一组权重产生一个固定的伽罗瓦表示，并证明结果支持的猜想，包括部分重量的情况下。
Serre's Uniformity Conjecture for Elliptic Curves with Rational Cyclic Isogenies
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，使得$\mathrm{End}_{\bar{\mathbb{Q}}}(E)=\mathbb{Z}$和允许非平凡循环$\mathbb{Q}$ -为零.我们证明了，对于$p>37$，剩余模$p$伽罗瓦表示$\barρ_{E,p}:G_{\mathbb{Q}}\rightarrow\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$是满射的。
How to facet a gemstone: from potential modularity to the proof of Serre's modularity conjecture
在这篇调查论文中，我们提出了最近的结果，哈雷，Wintenberger和作者，导致了一个证明塞尔的猜想，如存在兼容的家庭，模块化上界的普遍变形环和存在的最小升降机，素开关和模块化传播，重量减少（通过共轭的存在）和（迭代）杀死分歧。证明这些结果的主要工具是Wiles的模提升定理和R. Taylor.
Weight cycling and Serre-type conjectures for unitary groups
我们证明了U（3）的形式是紧凑的在无穷远和分裂的地方除了一个素数p，在一般情况下，一个模p的模块伽罗瓦表示的Serre重量是不可约时，限制到每个分解群以上的p正是那些先前预测的第三作者。我们这样做是通过结合明确的计算在p进霍奇理论，强可除模和Breuil模块的形式主义的基础上下降的数据，我们开发的文件，与一种技术，我们称之为“重量循环”。
Serre weights for rank two unitary groups
我们研究的重量部分（推广）塞尔猜想模l伽罗瓦表示与自守表示秩二酉群奇素数l。我们提出了一个结构集的塞尔重量，同意在文献中的所有结构，并在一个温和的假设下的形象的模伽罗瓦表示，我们能够证明，任何模表示是模块化的每一个结构重量。我们对l的分歧或惯性度不作任何假设。我们的主要创新是利用我们最近的论文中介绍的提升技术。
Serre weight conjectures for $p$-adic unitary groups of rank 2
我们证明了一个版本的重量部分Serre的猜想mod $p$伽罗瓦表示附加到自守形式的秩2酉群是不分裂的$p$。更准确地说，令$F/F^+$表示全实数域的CM扩张，使得$p$之上的$F^+$的每个位置在$F$中是非分歧的和惰性的，并且令$\overline{r}: \textrm{Gal}(\overline{F^+}/F^+) \longrightarrow {}^C\mathbf{U}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$是在附接到$F/F^+$的秩2酉群的$C$ -群中取值的伽罗瓦参数。我们假设$\overline{r}$在$p$之上的所有地方都是半简单的和足够通用的。使用基地的变化技术和（加强版）的泰勒-怀尔斯-Kisin条件，我们证明了一组的Serre重量，其中$\overline{r}$是模块同意的一组的Serre重量Gee-Herzig-Savitt预测。
On the level p weight 2 case of Serre's conjecture
本文仅作了一点小小的贡献：修正了Khare的预印本“On Serre's modularity conceptual for 2-dimensional mod p representations of G_Q unramified outside p”中关于Serre猜想的素数级权为2情形的证明中的一些不准确之处。更确切地说，在关键步骤所需的模块性提升结果是对应于附着到半稳定阿贝尔簇的$p$ -adic半稳定（在Fontaine意义上）伽罗瓦表示的变形的情况，但在Khare的预印本中，它被应用了一个仅对潜在结晶表示有效的引理。完成很容易：在Khare的预印本中应用的模块提升结果（一个用于具有潜在好约化的阿贝尔簇的情况）和我们需要的模块提升结果（一个用于具有坏半稳定约化的阿贝尔簇的模块提升结果）都可以在我的论文“Modularity of abelian surfaces with Quaternionic Multiplication”（2002）中找到：它们很容易地从Wiles和其他论点的模块提升结果的组合中得出。
On a conjecture of Serre on abelian threefolds
本文给出了Howe，Leprevost和Poonen关于三维交换三重线族的一个结果的一个新的表述。我们还链接到他们的结果的猜想塞尔的一个精确形式的Torelli定理属3曲线。
Explicit Serre weights for two-dimensional Galois representations
我们证明了由Diamond-Dembélé-Roberts提出的Buzzard-Diamond-Jarvis猜想的显式版本。更确切地说，我们证明，它是相当于原来的Buzzard-Diamond-Jarvis猜想，这是证明了奇素数（下一个温和的泰勒-怀尔斯假设）在早期的工作的第三作者和合著者。
The Buzzard-Diamond-Jarvis conjecture for unitary groups
设p > 2为素数。我们证明的重量部分Serre的猜想秩二酉群mod p表示在unramified的情况下（即Buzzard-Diamond-Jarvis猜想的酉群），通过证明任何Serre重量发生的是一个预测的重量。这完成了在[BLGG 11]中开始的分析，证明了所有预测的Serre权重都发生了。我们的方法是纯粹的本地，使用理论的（φ，Ghat）-模块，以确定某些二维晶体表示的可能减少。
Almost all primes satisfy the Atkin-Serre conjecture and are not extremal
设$f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} a_f(n)e^{2πi n z}$是平凡Neumanypus和偶整水平$k\geq 2$的非CM全纯杯体新形式. Deligne对Weil定理的证明表明，对于所有素数$p$，$|a_f(p)|\leq 2p^{\frac{k-1}{2}}$.我们证明了100%的素数$p$，$2p^{\frac{k-1}{2}}\frac{\log\log p}{\sqrt{\log p}}<|a_f(p)|<\lfloor 2p^{\frac{k-1}{2}}\rfloor$。我们的证明给出了例外集的大小的一个有效的上界。下界表明Atkin-Serre猜想对于100%的素数是满足的，而上界表明$|a_f(p)|$是尽可能大的（即，$p$对于$f$是极值的）对于0%的素数。我们的证明使用了第二作者证明的Sato-Tate猜想的有效形式，该猜想依赖于Newton和Thorne最近证明的$f$对称幂的自同构。
An Improved Bound Towards a Conjecture of Serre on Surjective Galois Representations
假设$E$是定义在$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线，没有复数乘法并且具有导体$N$。对于每个正整数$m$，绝对伽罗瓦群$G_{\mathbb{Q}}=\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$对$\bar{\mathbb{Q}}$上扭点的作用产生$G_\mathbb{Q}$的表示。一个著名的文件塞尔表明，这种表示是满射的所有足够大的素数;其他素数被称为\emph{exceptional}。证明了$\mathbb{Q}$上的任何非CM椭圆曲线都不存在例外素数$\ell>37$.在这个方向上的最佳结果是由于Cojocaru，谁证明了最大的特殊素数$\ell_0\ll_ε N^{1+ε}$。在本文中，我们降低指数的界限，以获得$\ell_0\ll_ε N_0^{1/4}+ε}$，其中$N_0$是不良约简素数的乘积。如果$E$没有乘法归约的地方，那么我们有$\ell_0\ll_εN^{1/8}+ε}$。假设Frey-Szpiro猜想，我们就有了一般的$\ell_0\ll_εN^{1/8}+ε}$。我们的主要方法包括Rankin-Selberg方法和关于二次剩余分布的经典工作。
Mod $\ell$ representations of arithmetic fundamental groups: Part I (An analog of Serre's conjecture for function fields)
本文对函数域给出了关于Q的绝对伽罗瓦群的2维不可约模表示的模性的Serre猜想的一个类比：我们的类比不限于2维表示. Serre猜想的原猜想目前还没有定论，本文仅在表示的象的极大性和表示的分歧的一些假设（如模l表示是非分歧的且有全象，l是奇数，表示的维数和特征互素）的条件下，证明了Serre猜想的函数域模拟.
Mod pq Galois representations and Serre's conjecture
算术类型的动机和自守形式产生了出现在{ \it兼容族}中的伽罗瓦表示。这些相容族是p-进表示，其中p是变化的。通过减少这样的家庭模p得到兼容的家庭模p表示。虽然出现在这样一个p-adic或mod p家族中的表征是强相关的，但在某种意义上，家族中的每个成员都揭示了动机的新面貌。在怀尔斯最近的著名著作中，利用一对不同特性的伽罗瓦表示是至关重要的。本文研究数域K的绝对伽罗瓦群的一对mod p和mod q表示何时同时由{ \it自守动机}产生：我们在1维（第2节）和2维（第3节：这次假设$K={\mathbb Q}$）情况下这样做。在第3节中，我们制定了一个mod pq版本的塞尔猜想，部分精炼巴里马祖尔和肯里贝特的问题。
Serre conjecture II for pseudo-reductive groups
该研究将II型塞雷猜想推广到伪简约群，并证明了其等价性，展示了在特定域上伪简约群torsor总是存在有理点。
Special groups, versality and the Grothendieck-Serre conjecture
设$k$是基域，$G$是$k$上的代数群。J. - P. Serre定义$G$是特殊的，如果每个$G$ -torsor $T \to X$是局部平凡的Zerkiki拓扑中的每个约化代数簇$X$定义在$k$。在最近的论文中使用了一个先验较弱的条件：$G$被称为特殊的，如果每个$G$ -torsor $T \to Spec(K)$是分裂的每个字段$K$包含$k$。我们证明了这两个定义是等价的。我们还推广了这一事实，并提出了一个加强版本的Grothendieck-Serre猜想的基础上的概念的本质尺寸。
Demostración simplificada de la Conjetura de Modularidad de Serre (carta)
本文说明了如何利用Lue Pan最近证明的模提升定理，大大简化了Khare-Wintemberger和作者给出的$\mathbb{Q}$上Serre模猜想的证明.与以前的证明的主要区别是，既不需要Khare在他的1级情况证明中开发的“重量减少”过程，也不需要作者开发的“通过伽罗瓦共轭减少重量”的替代方法：现在可以通过两个应用Pan的结果来获得重量减少，连同一个引理，保证在最后两个步骤中的剩余表示不是坏二面角的情况。
On the Serre conjecture for Artin characters in the geometric case
本文研究几何情形下的Serre猜想，针对有限群作用的正则局部环，在等特征条件下证明了Serre定义的类Artin特征函数对应群的ℚ_ℓ-有理表示的猜想。
Remarks on methods of Fontaine and Faltings
本文证明了绝对伽罗瓦群的某些不可约二维表示的不存在性。这样的结果是预测塞尔的猜想，我们使用Fontaine的方法来验证这些预测在少数情况下。我们还利用Faltings方法研究了伽罗瓦表示的有限性问题。关键词：塞尔猜想，方丹-马祖尔图，伽罗瓦表示。
Transfer principles for Galois cohomology and Serre's conjecture II
本文证明域的上同调维数的转移原理，构造低维扩张，并应用于Serre猜想II，证明特征0情形蕴含正特征情形。
Serre weights and Breuil's lattice conjecture in dimension three
我们证明了在一般情况下，由$U(3)$ -算术流形的完全上同调诱导的驯服型格是纯局部的，即，仅取决于在$p$之上的伽罗瓦表示。这是Breuil格猜想到$\mathrm{GL}_3$的推广.在此过程中，我们还证明了非分歧域上具有Hodge-Tate权$(0,1,2)$和Serre权的（tamely）潜在结晶形变环的几何Breuil-Mézard猜想，推广了我们以前的结果.我们还证明了结果在模表示理论的格Deligne-Luzstig表示的组$\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_q)$。
Motivic Serre group, algebraic Sato-Tate group and Sato-Tate conjecture
我们明确塞尔的推广Sato-Tate猜想的动机，通过表达纤维函子的建设从动机范畴的绝对霍奇周期到一个合适的范畴霍奇结构的奇重量。这扩展了阿贝尔变分的情况，我们在以前的文件中处理。这一描述是由菲特-Kedlaya-罗特尔-萨瑟兰分类Sato-Tate组的阿贝尔表面;本说明书是由菲特-Kedlaya-萨瑟兰作出类似的分类某些动机的重量3。我们还给出了证明Sato-Tate猜想的条件，证明条件是证明Sato-Tate猜想的条件是证明相应的Sato-Tate群的单位连通分支。
On Serre's uniformity conjecture for semistable elliptic curves over totally real fields
设$K$是一个全实数域，$S$是$K$的非阿基米德位置的有限集.从Merel、Momose和David的工作中可以看出，存在一个常数$B_{K,S}$，因此如果$E$是定义在$K$上的椭圆曲线，在$S$之外是半稳定的，那么对于所有的$p>B_{K,S}$，表示$\barρ_{E,p}$是不可约的。我们结合这与模块化和水平降低，以显示一个有效的可计算常数$C_{K,S}$的存在，和一个有效的可计算的椭圆曲线的集合在$K$与CM $E_1,\dotsc,E_n$，使以下成立。若$E$是$K$上的椭圆曲线，且$p>C_{K,S}$是素数，则要么$\barρ_{E,p}$是满射，要么对于某些$i=1,\dots,n$是$\barρ_{E,p} \sim \barρ_{E_i,p}$。
Motivic Serre group and Sato--Tate conjecture
本文涉及代数佐藤-泰特和佐藤-泰特代数，根据塞尔的原始motivic制定，着眼于明确的计算佐藤-泰特集团。我们建立在代数框架的佐藤-泰特猜想在以前的论文中介绍，其中使用德利涅的动机类别的绝对霍奇周期，并限于动机的奇数重量。在这里，我们允许一般的重量和其他一些动机范畴，特别是安德烈的动机范畴的动机循环，此外，一些结果也是新的奇重量的情况下。本文由两个部分组成，在第一部分中，我们的工作在强兼容的家庭的$l$ -进表示与纯，理性，极化霍奇结构的框架，而在第二部分中，我们使用的语言的动机。
Combinatorics of Serre weights in the potentially Barsotti-Tate setting
设$F$是$\mathbb Q\_p$的有限非分歧扩张，$\barρ$是$F$的绝对伽罗瓦群的绝对不可约模$p$ $2$ -维表示.设$t$是$F$的一个驯服惯性类型。我们猜想，变形空间parametrizing潜在的Barsotti-泰特提升$\barρ$具有类型$t$只依赖于Kisin品种连接的情况下，丰富的典型嵌入到$(\mathbb P^1)^f$和它的形状分层。通过证明Kisin簇决定了公共Serre权$D(t,\barρ) = D(t) \cap D(\barρ)$集合的基数，给出了这一猜想的证据.此外，我们还证明了这种依赖关系是非减的（Kisin簇越小，公共Serre权的个数越小），并且与乘积相容（如果Kisin簇分裂为乘积，则权的个数也是如此）.
Emerton--Gee stacks, Serre weights, and Breuil--Mézard conjectures for $\mathrm{GSp}_4$
本研究构造了秩4辛射影平展 $(φ,Γ)$-模的模栈并研究其几何性质，证明了局部模型的单分支性，进而在一般性条件下建立了 $\rm{GSp}_4$ 情形下的Breuil–Mézard猜想、Serre猜想权部分及模性提升结果。
Serre's conjecture over F_9
本文证明了在3和5处满足一定局部条件的奇伽罗瓦表示rhobar：Gal（Qbar/Q）--> GL_2（F_9）是模的.我们的主要工具是泰勒的想法，它减少了问题的希尔伯特模块化表面上定义的一个可解的扩展Q，并满足一定的减少性能的展示点。作为一个推论，我们表明，希尔伯特-布卢门撒尔阿贝尔曲面在Q与良好的普通减少在3和5是模块化的。
Serre weights and wild ramification in two-dimensional Galois representations
塞尔猜想的一个推广断言，如果$F$是一个全实数域，那么$F$上伽罗瓦群的某些特征$p$表示来自希尔伯特模形式。此外，它预测的局部行为的伽罗瓦表示在素数在$p$的这种形式的权重。使用$p$ -adic Hodge理论制定的权重的这种表征在温和的技术假设下是已知的，如果$p > 2$。本文在假定$p$在$F$中是非分歧的情况下，给出了权集的一种几何上的替代描述.我们的方法是使用的Artin-Hasse指数和局部类域论来构建基地的局部伽罗瓦上同调空间，我们确定的子空间，应对应于使用$p$ -adic霍奇理论定义的。由此产生的猜想相当于一个明确的描述野生分歧减少某些结晶伽罗瓦表示。它使直接计算的一组塞尔权重的伽罗瓦表示，我们用数值例子说明。Calegari、Emerton、Gee和Mavrides已经证明了这个猜想。
On the Grothendieck-Serre Conjecture for Classical Groups
我们证明了典型群的Grothendieck-Serre猜想的一些新情况。这是基于一个新的建设的Gersten-Witt复杂的维特群Azumaya代数与对合的正规半局部环，明确的第二个剩余的地图;复杂的证明是准确的环时，尺寸$\le 2$（或$\le 4$，与额外的假设代数与对合）。请注意，我们并不假设环包含一个域。
On the geometric Serre weight conjecture for Hilbert modular forms
本文证明了 Diamond 和 Sasaki 提出的几何 Serre 权重猜想，在无奇偶性假设下适用于 $p \geq 5$ 惰性的实二次域和 $p \geq \min\{5, [F:\mathbb{Q}]\}$ 完全分裂的全实域。
Serre Weights for U(n)
我们研究的重量部分（推广）塞尔猜想模l伽罗瓦表示与自守表示上的酉群秩n奇素数l。给定一个模伽罗瓦表示，我们利用自同构提升定理证明了它在许多其他权重下是模的。我们对l的分歧或惯性度不作任何假设。当n = 3且l在CM场中完全分裂时，我们给出了一个明确的加强结果.
Connectedness of Hecke Algebras and the Rayuela conjecture: a path to functoriality and modularity
设$ρ_1$和$ρ_2$是全实数域$F$的一对剩余的、奇的、绝对不可约的二维伽罗瓦表示.在这篇文章中，我们提出了一个猜想断言存在的“安全”链的兼容系统的伽罗瓦表示连接$ρ_1$到$ρ_2$。这样的猜想意味着广义塞尔猜想，并相当于塞尔猜想下的一个模块化版本it.We证明了一个弱版本的模块化变体使用某些Hecke代数的连通性，我们评论这些结果可能的应用，以建立一些情况下的Langlands函。
A_6-extensions of Q and the mod p cohomology of GL(3,Z)
我们提出了六个例子的3维模p伽罗瓦表示的A_6型，我们能够获得计算证据的推广Serre的猜想提出的灰，杜德，波拉克，和Sinnott。我们还提出了一个进一步完善的猜想对应的“peu与tr`es ramifi'ee”区别的塞尔。
Serre weights, Galois deformation rings, and local models
我们调查的一些最近的进展，推广的Serre关于算术群的上同调，主要集中在“重量”方面。这与Breuil和Mézard的一个猜想密切相关，该猜想将潜在半稳定变形环的几何形状与模表示理论联系起来。最近，B。Levin，S. Morra等人在一般情况下通过构造混合特征的投影簇（局部模型）建立了这些拓扑结构，在一般情况下，这些投影簇的奇点模型是$\mathbb{Q}_p$具有小的正则Hodge-Tate权的非分歧扩张的Tamely潜在结晶Galois变形环的奇点模型。
Explicit determination of the images of the Galois representations attached to abelian surfaces with End(A)=\Z
我们给出了一个有效的版本的结果报告塞尔断言，图像的伽罗瓦表示附加到一个阿贝尔表面与$\End(A)= \mathbb{Z}$是尽可能大的几乎每一个素数。我们的算法依赖于Serre猜想对二维奇不可约伽罗瓦表示的真实性。在这个猜想的假设下，我们确定了具有例外象的素数的有限集。
Arithmetic properties of the Frobenius traces defined by a rational abelian variety (with two appendices by J-P. Serre)
令$A$是$\mathbb{Q}$上维数为$g$的阿贝尔簇，使得其相关联的绝对伽罗瓦表示$ρ_A$的像在$\operatorname{GSp}_{2g}(\hat{\mathbb{Z}})$中是开的。本文研究了在$ρ_A$下，在$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$中的Frobenius在$p$上的迹$a_{1, p}$的算法，模变素数$p$ .特别是，我们得到的计数函数$\#\{p \leq x: a_{1, p} = t\}$的上界，我们证明了一个Erdös-Kac型定理的数量的素因子的$a_{1, p}$。我们还提出了一个关于$\#\{p \leq x: a_{1, p} = t\}$的渐近行为的猜想，它推广了S. Lang和H. Trotter从1976年开始研究椭圆曲线。
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