Distribution of twin primes in repeating sequences of prime factors
John K Sellers
本文给出了连续较大的自然数序列中相对素数和孪生素数之间的确定性关系。这使得能够设置一个有限的下极限上出现的实际孪生素数在一个无界的选择域。
We present a deterministic relationship between relative primes and twin primes in successively larger sequences of the natural numbers. This enables setting a finite lower limit on the occurrence of actual twin primes in an unbounded selection of domains.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Probabilistic method of proving twin primes' infinitude
研究了等差数列中素数的统计分布。给出了素数的估计，并利用组合方法计算了可用区间上的孪生素数。得到了孪生素数行上素数个数的分布和估计。提出了一种新的孪生素数无穷大方法。
There are Infinitely Many Pairs of Twin Prime
我们证明了有无穷多对孪生素数。
Proof of the Twin Prime Conjecture (Together with the Proof of Polignac's Conjecture for Cousin Primes)
本文将给出孪生素数猜想的证明。最初非常困难的问题（在观测空间）已经转化为一个更简单的问题（在生成空间），可以解决。证明了孪生素数可以通过两级筛法得到，并证明了孪生素数的个数是无穷多的。同样的方法被用来证明波利尼亚克猜想的表亲素数。
Researches on the Twin Prime Problem
孪生素数问题主要是孪生素数的结构以及孪生孪生素数群是否存在无穷多个。本文通过构造一个特殊的簇数集（见文中公式（2.3）），证明了q的最小数的交集的前n列集合的集合数是孪生素数（q，q+2）的决定，且级数的最小数是发散的（见定理2），主要结果是定理2、定理3和定理4.孪生素数得到如此彻底的证明，必定有无穷多组孪生素数猜想。
Towards Proving the Twin Prime Conjecture using a Novel Method For Finding the Next Prime Number ${P_{N+1}}$ after a Given Prime Number ${P_{N}}$ and a Refinement on the Maximal Bounded Prime Gap ${G_{i}}$
本文介绍了一种求给定素数${P}$后的下一个素数的新方法。所提出的方法是用来推导出一个系统的不等式，作为约束，应满足的所有素数，其继任者是一个孪生素数。孪生素数是素数间隔为${2}$的素数。对${(5,7),(11,13),(41,43)}$等等都是孪生素数。本文设想，如果所提出的不等式组可以被证明有无穷多个解，孪生素数猜想将被证明是正确的。本文还导出了一个新的上界的素数差距，${G_{i}}$之间的${P_{i} \; and \; P_{i+1}}$，作为${P_{i}}$的函数。
Infinitely many twin primes
在提出的矩阵素数，通过它可以很容易地产生一个序列的素数。本文还提出了证明无穷多个素数孪生的若干定理
On the Distribution of Twin Primes
我们介绍了一个筛子计数孪生素数到一个给定的范围。我们的方法依赖于一个参数$λ_x$和估计的孪生素数的数量得到的结果，被称为孪生素数分布的基本结构。将后者与$λ_x$的渐近界相结合，建立场地，有利于发现部分结果，该部分结果可以被认为是素数定理的合适变体。此外，我们还得到了孪生素数个数小于$x$的一个渐近界。
A Possible Solution for Hilbert's Unsolved 8th Problem: Twin Prime Conjecture
我们根据埃拉托斯特尼筛子推断的素数来衡量是否存在许多对孪生素数（以下简称孪生素数对）。在这项研究中，我们发现至少有三个额外的孪生素数对随着n的增加而增加，同时设置（6n+5）**2作为估计孪生素数对的范围。从而证明了de Polignac在1849年提出的孪生素数猜想。也就是说，存在许多孪生素数对，通过对于k = 1的情况使p + 2k作为素数，表明对于每个自然数k存在许多素数p。
On existence of infinite primes and infinite twin primes
孪生素数猜想是一个非常古老的问题。默认它所处理的素数是有限的。在本文中，我们考虑三个问题，不涉及有限素数，但处理无限整数。我们研究的主要工具是最近提出的一个数字系统，它允许人们用有限数量的符号轻松地表示各种无穷大和无穷小。考虑的问题如下，并对所有这些问题给出肯定的答案：（i）是否存在无穷素数？(ii)无限孪生素数存在吗(ii)无限孪生素数的集合是无限的吗这三种对象的例子。
The Proof of Goldbach Conjecture, Twin Primes Conjecture and Other Two Propositions
通过创造一种新的方法，证明了世界著名的难题哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、命题（C）和命题$n^2+1$。
An equivalent problem to the Twin Prime Conjecture
在这篇简短的论文中，我们将展示，通过基本的论点，等价的孪生素数猜想的问题，这可能是更简单的证明。证明了孪生素数猜想等价于证明了不可能有无穷多个连续的自然数满足某些特定的方程.
The Classical Smarandache Function and a Formula for Twin Primes
本文利用经典的Smarandache函数给出了一个计算小于或等于x的孪生素数对的精确公式。本文还将该公式推广到素数对（p，p+2n）（n > 1）的计数.
Twin Primes In Quadratic Arithmetic Progressions
最近一个基于谱分析基本概念的启发式论证证明了孪生素数猜想和其他一些相关的素数计数问题是成立的。本文给出了谱方法的一个严格形式，并证明了存在无穷多个二次孪生素数$n^{2}+1$和$n^{2}+3$，即$n \geq 1$.
Twin Prime Sieve
构造了一个筛，用于形式为6 m +/-1的普通孪生素数，其特征在于它们的孪生秩m。它没有平价问题。使用奇素数p>=5来识别和计数非秩数。双秩和非秩构成正整数的集合。非秩的正则性允许收集关于它们的信息，以获得接近原始参数的双秩数的Legendre型公式。
Development of the matrix of primes and proof of an infinite number of primes-twins
本文主要研究素数的理论。本文首先引入了素数矩阵的概念。然后，为了研究所考虑的矩阵的各行中的素数的密度，我们提出了一些引理和定理，连同Dirichlet和Euler定理，使得有可能证明孪生素数的无穷大。
Cycles and Patterns in the Sieve of Eratosthenes, Potential Twin Primes
本文分析了潜在孪生素数的出现和分布，潜在孪生素数是指与前n个素数或给定的素数集合M都是互素的整数对，它们是真孪生素数的滋生地。它描述了它们在数线上的位置的周期性模式，并提供了一个计算它们的公式。
On the distribution of consecutive composite odd numbers and twin primes
我们通过一个简单的索引来研究连续奇数对。我们特别关注孪生素数及其分布。通过计数参数，我们计算了交替和等于1的极限，这意味着几乎没有孪生素数。最后，我们展示了如何找到这些素数的可能的同余。
Properties and applications of the prime detecting function: infinitude of twin primes, asymptotic law of distribution of prime pairs differing by an even number
素数检测函数（PDF）方法可以作为研究数的有效工具。PDF是由递归序列构造的-每个连续的素数以PDF的形式添加一个筛选因子。与内置的总理筛选功能和属性，如简单性，积分微分和可配置的能力，为各种各样的问题，PDF的应用导致新的有趣的结果。作为一个例子，在本博览会中，我们提出的证明的无限性的孪生素数和第一哈迪-利特尔伍德猜想的素数对（孪生素数定理）。在这个例子中，我们可以看到，PDF的应用是特别有效的渐近问题的调查结合所提出的方法的测试和探测功能。
The Set-Theoretic Form of Twin Prime Distribution and Its Odd-Even Imbalance
本文用初等数论方法建立无遗漏包含所有孪生素数对的集合，通过其精确通解公式与奇偶不平衡性判断孪生素数对是否有限，并推广至波利尼亚克猜想。
Some results in the exceptional set of Twin Prime Problem
本文给出了确定例外集中每个例外元的范围的新方法，基本上解决了孪生素数问题和哥德巴赫猜想问题。
The Hardy-Littlewood conjectures on the twin primes and the binary Goldbach problem are true
该研究通过有限Ramanujan展开，无条件证明了孪生素数计数函数的Hardy-Littlewood渐近公式，并以类似方法解决了任意偶数可表示为两素数之和的共轭猜想。
On a Proof of the Goldbach Conjecture and the Twin Prime Conjecture
本文利用纽结上的连通和运算证明了纽结与数之间存在一一对应的关系。在这个关系中，素数结被双射地分配有素数，使得素数2对应于三叶结。从这个关系，我们有一个分类表的结，其中结是一对一的编号分配。此外，用于编号$2^n$的第$n$诱导步骤的该分配由用于先前$n-1$步骤的该分配确定。从这个归纳法中，我们可以解决一些数论中的问题，如哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。
Proofs of the Twin Primes and Goldbach Conjectures
将称为模签名的唯一数字序列与每个正整数相关联，使用每个整数在素数下的模余数，并区分用于创建模签名的核心种子素数和非核心种子素数。将模签名分组到素数中。利用初等筛性质和组合原理证明孪生素数和哥德巴赫定理。
Theorems on twin primes-dual case
我们证明了作者在\cite {5}中证明的定理的对偶定理。从第10节开始，我们介绍并研究了所谓的“第二类孪生数”及其一个公设。我们给出了这些数的无穷大的两个证明和公设成立的一个充分条件，并给出了其他几个证明。最后，我们考虑了AiB型公理的概念。
Sieve methods and the twin prime conjecture
本文提出一个关于孪生素数计数函数的新猜想，并证明了其在 $a=1$ 时的特例，从而确立了孪生素数猜想。
Primes Distribution Linearity. Composite Numbers Cyclicity. Chaoticity of Primes. Twin Primes Occurrence
该研究提出素数分布的线性规律，证明所有素数位于96条半直线且满足对应线性关系，仅需1个线性方程和8个数即可判断合数，同时揭示自然数中合数出现的惊人周期性。
A Proof There Exists Infinitely Many Primes with a Gap of Exactly 2
这个文件试图证明有无限多个素数的差异是2，称为孪生素数对。这个证明的方法包括构造一个函数，它近似于小于已知孪生素数对的正整数的数量，通过乘法可以将其映射到大于已知孪生素数对的孪生素数对。该函数被证明是无界的，并且小于它试图近似大多数孪生素数对的整数的真实计数。此外，它表明，必须有无限多个整数映射一个孪生素数对一个大于本身，而不使用前面提到的近似。
The importance of finding the upper bounds for prime gaps in order to solve the twin primes conjecture and the Goldbach conjecture
摘要。在这篇文章中，我们提出了一个观点，突出的重要性，寻找上界的素数差距，以解决孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。为了这个目的，我们提出了一个程序，确定的上界的主要差距不同的最著名的和已知的方法。该方法利用相对数的集合来分析素数的分布。也使用负数，可以直观地理解，从-P到P的2P +1个连续数的排列是使具有相同基数D的绝对值的两个幂之间的距离最小化的唯一排列，其中|D| <= P。这种排列被认为是重要的，因为通过增加连续数范围内的素数的幂的数量，假定减少了所考虑的素数之间的重叠。因此，通过减少这些重叠，我们假设得到一种排列，其中小于且等于P的素数及其倍数在2P +1个连续数的范围内占据尽可能多的位置。如果这个结果能够得到证明，不仅意味着勒让德猜想的解决，而且意味着孪生素数猜想和哥德巴赫猜想的解决又向前迈进了一步。
On The Infinitude of the Twin Primes
本文基于 6x±1 素数表示定义孪生素数生成元，利用容许剩余类和改造的 Selberg 筛法划分自然数区间并估计候选生成元数量，指出奇偶性问题限制 Selberg 筛法，需寻求其他方法。
On Problems Related to Primes: Some Ideas
我们提出了一些新的想法有关的重要问题素数。我们讨论的题目是：素数、孪生素数、Sophie Germain素数、小于或等于预定数的素数元组及其无穷大的简单公式，建立自然数与出现在等差数列中的数之间的一种相似性，等差数列中素数和所谓广义孪生素数及其无穷大的相似公式; Bertrand公设的推广和一个Bertrand样的孪生素数公设;一个简单的素数测试的一些基本含义，在哥德巴赫猜想的可能证明中使用孙子剩余定理; Schinzel Sierpinski猜想;以及梅森素数和复合素数，费马素数和它们的无限性。最后，我们定义了其他孪生素数，并提供了一个简单的论点，以支持他们的无限。
A Constructive Heuristic Sieve for the Twin Prime Problem
本文提出一种基于筛法理论的构造性启发式模型，通过$f(t;z)$函数分析将筛密度乘积表示为无穷级数之比，为近似Hardy-Littlewood孪生素数常数提供新路径。
A proof of the strong twin prime conjecture
对于整数x和k，令T（x;2k）表示距离为2k ≤ 2x**0.5且p ≤ x（不是p+2k ≤ x）的孪生素数对（p，p+2k）的个数。令Tg（x;2x**0.5）表示对于所有2k<=2x**0.5的T（x;2k）的平均值。逻辑上，T（x;2k）应该是Tg（x;2x**0.5）的函数。首先，我们提出了一个滑动模型来估计Tg（x;2x**0.5）。其次，从分子筛结构出发，推导出T（x;2k）与Tg（x;2x**0.5）之间的关系。第三，解决因素数相关而引起的错误。
On a Stricter Twin Primes Conjecture, and on the Polignac's Conjecture in general
Polignac猜想，首先由Alphonse de Polignac在1849年提出，声称对于任何偶数M，存在无穷多对素数P，P+M。当M = 2时，这简化为孪生素数猜想。尽管有数字证据和许多理论进展，但该猜想一直拒绝正式证明。在本文的第一部分中，我们研究了一个更严格的猜想，表示如下：“设$p_{n}$是第n个素数。因此，在$(p_{n}-2)^{2}$和$p_{n}^{2}$“之间总是存在孪生素数。为了证明这一猜想，我们制定了一个预测（基于双筛法）在这个范围内的孪生素数对的数量，并比较预测值与实际结果的$p_{n}$高达6500000。我们还分析了$p_{n}$值较高时会发生什么。在第二部分中，我们研究了广义Polignac猜想的有效性。我们预测了任意M值的解的个数除以M = 2的解的个数的比值，并解释了这个比值如何依赖于M的因式分解。我们比较的预测与真实值M高达3000（和特殊情况30030）的范围内，从第1000000个素数到第21000000个素数。
Infinitely many pairs of primes $p$ and $p+2$
我们把预筛集取为所有自然数$N=\{1,2,3,\dots\}$，其筛系为：单筛，双筛，.用单筛法，即去掉一个素数的倍数，我们就能得到所有的素数。利用双重筛法，即同时去掉素数和$-2$的倍数和倍数，得到了所有的孪生素数，并证明了在适当的条件下存在无穷多个孪生素数.最后，利用特殊的4筛法，证明了无限制地存在无穷多个孪生素数.
Goldbach and Twin Prime Pairs: A Sieve Method to Connect the Two
本文提出并证明了一种基本方法的有效性，建立一个下界的基数选择集的孪生素数，并表明，使用的证明可以修改选择集的哥德巴赫对。我们的筛法集中在区间的限制性属性上，特别是关于可分性分布。我们隐式地使用孙子剩余定理，通过使用我们区间的中点，并考虑埃拉托色尼的筛选，以找到一组素数，其分布关于该中点镜像对称。通过使用与素数定理和Mertens定理密切相关的公式来建立边界。证明了当黎曼假设成立时，哥德巴赫猜想成立。
On the existence of twin prime in an interval
设$S_{(x,y]} = \left\{\frac{p_n}{p_{n+1}-2} :~ n\in I \right\}$，其中$I = \left\{n :~ x<p_n \le y \right\}$，$p_n$是第$n$素数，$x, y \in \mathbb{R}_{>0}$ .如果$M_α(x,y)$表示的$α$ -电源平均的$S_{(x,y]}$的元素，它表明，存在一个孪生素数对在$(x,y]$是暗示，如果$\displaystyle \lim_{α\rightarrow \infty}M_α(x,y) > 1 - 2/y + O(y^{-2})$为一个足够大的$y$。对于$y$的特殊选择，我们还找到了平均值的下限：$\displaystyle \lim_{α\rightarrow \infty}M_α(x,x^β)>1-c/x^β+O(x^{-β}\log^{-1} x)$，其中常数$c>0$和$β= 1+c/\log^2 x$或等价的$x^β=x+cx/\log x+O(x/\log^2 x)$。利用$c<2$，$\displaystyle \lim_{α\rightarrow \infty}M_α(x,x^β)$的下界满足关于在区间$(x,x^β]$中存在孪生素数的不等式。
Is it possible that the Goldbach's and Twins primes conjectures are true with an algebraic approach?
本文通过为每个大于2的m构造偏序集同构并赋予阿贝尔群运算，用代数方法刻画偶数并定位满足猜想的数对，从而论证哥德巴赫猜想与孪生素数猜想成立。
Matrix Online Characteristic Number and Its applications in Goldbach Conjecture,Polignac Conjecture,the Twin Prime Conjecture
本文共分三章，第一章由连续奇数决定，研究了一类矩阵序列的内在性质。通过建立矩阵在线数的概念、特征和列在线数的运用数学归纳法证明了这类矩阵在线数的一些性质特征（定理1）。最后，给出了哥德巴赫猜想的一个尝试证明（定理6）。这是作者在多年探索素数性质的过程中的研究和发现，并认为这一发现具有重要意义。在第二章中，定义了矩阵主示性数和矩阵主特征序列的概念（定义1）。首先证明了任意偶数至少在两个群上可表示为两个奇素数之差（定理4）。其次，我们证明了存在无穷多个被4隔开的奇素数（定理9）。最后，证明了如果对任意自然数m，S（3）与s（2 m +3）的交大于1，则存在无穷多个以2 m为间隔的奇素数（定理11）。在第三章中，主要是由于任意奇数自然数a，S（a）与s（a+2）的交集不是空集，且集合中的数远大于1，其中S（a）={k，若2k+a是素数，k是自然数}，P是素数集合，N是自然数集合。证明了孪生素数存在无穷多个，从而解决了数论中的孪生素数问题。
Structures in P based on Properties of Semigroup and Arithmetical Sequence H = (+-3*2; 1)
本文介绍的结果在P结构的基础上开发的工具，从小学数论的主题。主要结果是：等差数列H =（+-3 2; 1）是P \ {3，2}在Z中的最小超集. H是半群。P在Z中的独特完形。本文讨论了素数格填充H exp n.几何轨迹在HxH的家庭的解决方案：-集的孪生素数，-集的PRACHAR孪生素数，-在H exp 2，H exp 3家庭的解决方案的GOLDBACH连接。H在pexp 2-区间上的划分pexp 2-区间中的素数。孪生素数集合的无穷大性。验证GOLDBACH合。
A proof of the twin prime conjecture
本文通过开发通用方法证明了孪生素数猜想，展示了素数对的密度下界，并表明素数对的数目趋于无穷。
Prime-Generating Polynomial
本文提出了一个素数生成多项式$(1+2n)(p -2n) + 2$，其中$p>2$是一对小于$41$的孪生素数中的一个低元，整数$n$使得$\: \frac {1-p}{2} < n < p-1$ .
A General Theorem for the Characterization of N Prime Numbers Simultaneously
本文给出了二乘二互素的N个数同时为素数的一个充要定理。它推广了V.Popa定理，也推广了I. Cucurezeanu定理，Clement定理，S. Patrizio的定理等。特别是，这个一般定理提供了许多特征的孪生素数，四素数，等等。
On the prime distribution
本文利用素数分布性质，得到了给定区间内素数个数的估计公式。对于任何素数对$p>5$和$ q>5 $，构造一个不相交的无限集序列$A_1, A_2, \ldots, A_i. \ldots $，使得$A_i $中素数对（$p_i$和$q_i $，$p_i-q_i = p-q $）的数目逐渐增加，其中$i>0$。所以孪生素数猜想成立。证明了对任意偶数$m>2700$，存在10个以上的素数对$(p,q)$，使得$p+q=m$ .因此哥德巴赫猜想是正确的。
Dependencies of prime numbers in a tuple
本文研究了元组中素数之间的依赖关系，通过分析Hardy-Littlewood常数，发现对称元组长度越短，常数越小，素数依赖性越弱。
On the statistical distribution of prime numbers, a view from where the distribution of prime numbers is not erratic
目前还没有已知的素数有效公式。除此之外，素数在例如，信息技术，如公钥密码学，以及它们在自然数中的位置和可能或不可能的函数生成是一个古老的难题。介绍、分析和展示了自然数域中的函数2ab+a+b的性质，以说明这些函数如何从全部奇数集中选出所有的素数。奇素数与奇非素数的特征可以用奇自然数中的2ab+a+b来完成，作为实数中的无理数和有理数的另一种众所周知的基本特征。素数定理，孪生素数和不稳定的性质，也评论了关于选择，以及与费马和欧拉数作为例子。
A new enlightenment about gaps between primes
本文的出发点是通过互素数的集合序列生成素数的思想，最后证明了两个定理：存在无穷多个孪生素数和哥德巴赫猜想。我们的方法的主要思想是总结上的创建和分析序列的集合不同的co-primes与第一个$n$素数，$\left\{ p_i :\, i\leq n \right\}$，和重要的性质的模线性组合的co-prime集，$H=\left(1,p_{n+1},..., Π_{i=1}^n p_i-1\right) $，给出了集合的偶数$\{0,2,4,..., Π_{i=1}^n p_i -2 \}$。此外，通过推广我们的方法，Polignac猜想“存在无限多个表亲素数，$p_{n+1}-p_{n}=4$”，并声明“每个偶数可以表示为两个素数的差”，以及派生。
Some problems in additive number theory
本文给出了几类素数可加性问题的求解方法。该方法可用于哥德巴赫-欧拉猜想和孪生素数猜想。所提出的方法也使得有可能获得一些有趣的结果有关的序列的密度。该方法是基于直接构建的埃拉托斯特尼斯型双筛，不使用经验和启发式推理。
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