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arXiv 2107.11005math.GT
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SU(2) 表示与大手术公式

SU(2) representations and a large surgery formula

Department of Mathematics, Harvard University（哈佛大学数学系）

Zhenkun Li, Fan Ye

备注：
v2, 67 pages, we fix typos and add references; comments are welcome
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AI总结：

该研究通过大手术公式，证明非SU(2)-丰富的结必须为素结且Alexander多项式系数受限，同时揭示Berge结和交替结在瞬子同调中的维度关系。

摘要：

一个结 $K\subset S^3$ 被称为 SU(2)-丰富，如果满足两个条件：首先，对于所有但有限多个 $r\in\mathbb{Q}\backslash\{0\}$，存在一个不可约表示 $π_1(S^3_r(K))\to SU(2)$；其次，任何斜率 $r=u/v\neq 0$，如果 $S^3_r(K)$ 没有不可约 SU(2) 表示，则必须满足 $Δ_K(ζ^2)= 0$ 对于某个 $u$-th 根为 unity $ζ$。我们证明，如果一个非平凡结 $K\subset S^3$ 不是 SU(2)-丰富，则它是一个素结，其 Alexander 多项式 $Δ_K(t)$ 的系数受限于 $\{-1,0,1\}$。这特别意味着，所有双曲交替结都是 SU(2)-丰富的。我们的证明依赖于一个大手术公式，将瞬子结同调 $KHI(S^3,K)$ 和带框架的瞬子同调 $I^\sharp(S^3_n(K))$ 对于整数 $n$ 满足 $|n|\ge 2g(K)+1$ 相连。使用这种技术，我们推导出瞬子 Floer 同调中的几个有趣结果：对于任何 Berge 结 $K$，空间 $KHI(S^3,K)$ 和 $\widehat{HFK}(S^3,K)$ 有相同的维度；对于任何 Berge 结 $K$ 的 dual 结 $K_r\subset S^3_r(K)$，我们证明 $\dim_\mathbb{C}KHI(S^3_r(K),K_r)=|H_1(S^3_r(K);\mathbb{Z})|$；并且对于任何 genus-一交替结 $K$ 和任何 $r\in\mathbb{Q}\backslash\{0\}$，空间 $I^\sharp(S^3_r(K))$ 和 $\widehat{HF}(S_r^3(K))$ 有相等的维度。

英文摘要：

A knot $K\subset S^3$ is called $SU(2)$-abundant if it satisfies two conditions: first, for all but finitely many $r\in\mathbb{Q}\backslash\{0\}$, there exists an irreducible representation $π_1(S^3_r(K))\to SU(2)$; second, any slope $r=u/v\neq 0$ for which $S^3_r(K)$ admits no irreducible $SU(2)$ representation must satisfy $Δ_K(ζ^2)= 0$ for some $u$-th root of unity $ζ$. We show that if a nontrivial knot $K\subset S^3$ is not $SU(2)$-abundant then it is a prime knot whose Alexander polynomial $Δ_K(t)$ has coefficients restricted to $\{-1,0,1\}$. This implies, in particular, that all hyperbolic alternating knots are $SU(2)$-abundant. Our proof hinges on a large surgery formula connecting instanton knot homology $KHI(S^3,K)$ and framed instanton homology $I^\sharp(S^3_n(K))$ for integers $n$ satisfying $|n|\ge 2g(K)+1$. Using this technique, we derive several interesting results in instanton Floer homology: for any Berge knot $K$, the spaces $KHI(S^3,K)$ and $\widehat{HFK}(S^3,K)$ have identical dimension; for any dual knot $K_r\subset S^3_r(K)$ of a Berge knot $K$ with $r> 2g(K)-1$, we prove $\dim_\mathbb{C}KHI(S^3_r(K),K_r)=|H_1(S^3_r(K);\mathbb{Z})|$; and for any genus-one alternating knot $K$ and any $r\in\mathbb{Q}\backslash\{0\}$, the spaces $I^\sharp(S^3_r(K))$ and $\widehat{HF}(S_r^3(K))$ have equal dimension.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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