Bilinear Strichartz's type estimates in Besov spaces with application to inhomogeneous nonlinear biharmonic Schrödinger equation
本文研究了具有空间非齐性系数的非齐次非线性双调和薛定谔方程的适定性，$K(x)$对于$0<b<\min \left\{\frac{N}{2},4\right\} $表现出类似于$\left|x\right|^{-b}$的性质.我们使用$0<s\le2$证明了整个$H^s$ -亚临界情况下的局部适定性。该问题的难点在于$K(x)$的奇异性和非线性项的不可微性。为了解决这个问题，我们在Besov空间中得到了非线性双调和薛定谔方程的双线性Schehartz型估计.
2021-03-15 math.AP
An inverse problem for a nonlinear biharmonic operator
本文研究非线性双调和算子的反问题，证明一般非线性项 Q(x,u,∇u,Δu) 可由局部 Cauchy 数据集唯一恢复，方法结合一阶线性化、Runge 逼近与线性化反问题唯一性。
2025-04-09 math.AP
Radial sign-changing solutions to biharmonic nonlinear Schrödinger equations
本文得到了双调和定常薛定谔方程的三个径向解，一个为正，一个为负，一个为变号。为了应用适当的变分方法，我们采用对偶分解法来分裂所考虑的自然二阶索伯列夫空间。
2017-04-11 math.AP
Global solutions for $H^s$-critical nonlinear biharmonic Schrödinger equation
考虑临界Sobolev空间$H^s(\R^N)$中的非线性双调和薛定谔方程$$i\partial_tu+(Δ^2+μΔ)u+f(u)=0,\qquad (\text{BNLS})$$，其中$N\ge1$，$μ=0$或$-1$，$0<s<\min\{\fc N2,8\}$和$f(u)$是一个非线性函数，其行为类似于具有$λ\in\mathbb{C},α=\frac{8}{N-2s}$的$λ\left|u\right|^αu$.在小初值条件下，证明了（BNLS）问题整体解的存在唯一性。
2021-03-07 math.AP
Stability and intersection properties of solutions to the nonlinear biharmonic equation
研究了非线性双调和方程$Δ^2 ϕ= ϕ^p$的正的、正则的、径向对称的解.首先，我们证明了存在一个临界值$p_c$，依赖于空间维数，这样的解决方案是线性不稳定的，如果$p<p_c$和线性稳定，如果$p\geq p_c$。然后，我们专注于超临界情况下$p\geq p_c$，我们表明，没有两个解决方案的图形相交。
2007-07-23 math.AP
Biharmonic nonlinear vector field equations in $\mathbb{R}^4$
National and Kapodistrian University of Athens（雅典国立卡波迪斯特里安大学）
本文在四维空间中证明了双调和非线性向量场方程的基态解存在性，并扩展了双调和对数Sobolev不等式。
2026-01-24 math.AP
Existence and instability of standing waves for the biharmonic nonlinear Schroedinger equation with combined nonlinearities
该研究针对带组合非线性项的双调和薛定谔方程，用新方法证明了归一化基态解的存在性、基态对应限制能量泛函的局部极小值，且驻波会因爆破强不稳定，结果涵盖临界情形。
2023-04-29 math.AP
Ring-type singular solutions of the biharmonic nonlinear Schrodinger equation
给出了d维非线性指数为2σ +1的双调和非线性Schrodinger方程新的奇异解.这些解以准自相似环的轮廓坍塌，环的宽度L（t）在奇点处为零，半径与L^α成比例，其中α=（4-σ）/（σ（d-1））。当4/d \le σ<4时，这些解的爆破速率为1/（3+α），当σ=4时，爆破速率略快于1/4.这些解类似于非线性薛定谔方程的环型解。
2010-01-26 math.AP
On the inhomogeneous biharmonic nonlinear Schrödinger equation: local, global and stability results
考虑非齐次双调和非线性薛定谔方程（IBNLS）$$ i u_t +Δ^2 u+λ|x|^{-b}|u|^αu = 0, $$，其中$λ=\pm 1$和$α$，$b>0$.我们在$H^s(\mathbb{R}^N)$的$H^s$-亚临界的情况下，与$s=0,2$显示本地和全球的适定性。此外，我们证明了在$H^2(\mathbb{R}^N)$的稳定性结果，在质量超临界和能量亚临界的情况下。证明这些结果的基本工具是与线性问题相关的标准的Eschenhartz估计。
2019-10-09 math.AP
Singular solutions to a semilinear biharmonic equation with a general critical nonlinearity
本文考虑半线性双调和方程$Δ^2 u = |x|^{-\frac{n+4}{2}} g(|x|^\frac{n-4}{2} u)$在原点具有非可去奇点的$\mathbb R^n \setminus \{0\}$中的正解$u$.在自然的非线性$g$的假设下，我们证明了$|x|^\frac{n-4}{2} u$是$\ln |x|$的周期函数，并对所有这样的解进行了分类。
2019-07-04 math.AP
Normalized ground states of nonlinear biharmonic Schrödinger equations with Sobolev critical growth and combined nonlinearities
本文研究了具有组合幂型非线性项\begin{equation*} \begin{aligned} Δ^{2}u-λu=μ|u|^{q-2}u+|u|^{4^*-2}u\quad\mathrm{in}\ \mathbb{R}^{N}, \end{aligned} \end{equation*}的非线性双调和薛定谔方程，其中$N\geq5$，$μ>0$，$2<q<2+\frac{8}{N}$，$4^*=\frac{2N}{N-4}$是$H^2$ -临界Sobolev指数，$λ$是Lagrange乘子.通过分析基态能量相对于给定质量的行为，我们建立了归一化基态解的存在性。此外，所有的基态被证明是相关的能量泛函的局部极小值。
2022-09-14 math.AP
Long-time reduction for the biharmonic nonlinear Schrödinger equation
Chung-Ang University（中央大学）
本文证明在一维高阶色散消失极限下，双调和非线性薛定谔方程在中间正则性区间可长时约化为三次非线性薛定谔方程，并给出指数型逼近界，方法基于正则性保持。
2026-09-28 math.AP
Asymptotic behavior of positive solutions to a nonlinear biharmonic equation near isolated singularities
本文研究了具有孤立奇点的双调和方程$$ Δ^2 u = u^p~~~~~~~in ~ B_1 \backslash \{0\}$$正解的渐近性态，其中穿孔球$B_1 \backslash \{0\} \subset \mathbb{R}^n$具有$n\geq 5$和$\frac{n}{n-4} < p < \frac{n+4}{n-4}$ .该方程与共形几何中的$Q$ -曲率问题有关。我们对正解的孤立奇点进行了分类，并在没有符号假设的情况下描述了$-Δu$正奇异解的渐近行为.给出了高阶非线性方程可去奇点定理的一种新的证明方法。
2020-05-28 math.AP
Lower regularity solutions of the biharmonic Schrödinger equation in a quarter plane
研究了四分之一平面上三次双调和非线性薛定谔方程的初边值问题，该方程具有非齐次Dirichlet-Neumann边界.在低正则性索伯列夫空间中，通过引入Duhamel边界强迫算子构造线性方程在整条直线上的解，证明了局部适定性。有了这些，能量和非线性估计允许我们应用J. Bourgain介绍的Fourier限制方法，得到本文的主要结果。此外，还讨论了该方法在星图上的双调和三次非线性薛定谔方程的应用。
2020-08-10 math.AP
Weighted biharmonic equations involving continous potentiel under exponential nonlinear growth
本文研究四维单位球中含对数权重与连续正势的临界指数增长双调和方程，利用集中紧性与渐近条件克服紧性缺失，并通过山路定理证明非平凡正弱解的存在性。
2022-11-21 math.AP
Blowing up Solutions for a Biharmonic Equation with Critical Nonlinearity
本文考虑了具有临界指数$P_ε$的双调和方程：$Ω$上的$Δ^2 u= Ku^{(n+4)/(n-4)-ε}, u>0$和$\partialΩ$上的$u=Δu=0$，其中$Ω$是$R^n$中的区域，$n\geq 5$，$ε$是小正参数，$K$是光滑正函数.我们构造了$P_ε$的解，这些解在$Ω$的边界或内部爆破并集中于$K$的严格局部极大值.我们还构造了$P_ε$的解集中在$K$的内部严格局部极小值。最后，我们证明了相应的超临界问题，这是在鲜明的对比，发生了什么$P_ε$的一个非紧张的结果。
2004-08-25 math.AP
The Gel'fand problem for the biharmonic operator
研究了一类四阶非线性椭圆型方程在整个空间和有界区域上的稳定解。
2012-07-18 math.AP
Existence and convergence of solutions for nonlinear biharmonic equations on graphs
本文首先证明了定义在局部有限图$G=(V,E)$上的Sobolev空间的一些命题，这些命题在变分框架下处理图上的方程时是基本的.然后考虑了$G=(V,E)$上的非线性双调和方程$$ Δ^{2} u -Δu+(λa+1)u= |u|^{p-2}u $$.在适当的假设下，我们证明了对任何$λ>1$和$p>2$，方程都存在基态解$u_λ$ .此外，我们还证明了作为$λ\rightarrow +\infty$，解$u_λ$收敛于方程\begin{align*} \begin{cases} Δ^{2}u -Δu+u = |u|^{p-2}u, &\text{in}\ \ Ω, u=0, &\text{on}\ \ \partialΩ, \end{cases} \end{align*}的解，其中$Ω=\{x\in V: a(x)=0\}$是势阱，$\partialΩ$是$Ω$的边界.
2019-08-12 math.AP
Some remarks on biharmonic elliptic problems with a singular nonlinearity
研究了半线性双调和方程$$ \left\{\begin{array}{lllllll} Δ^{2}u=\fracλ{1-u}, &\quad \mbox{in}\quad \B, u=\frac{\partial u}{\partial n}=0, &\quad \mbox{on}\quad \partial\B, \end{array} \right. %\eqno(M_λ) $$，其中$\B$是$\R^{n}$中的单位球，$n$是外单位法向量.我们证明了$λ^{*}>0$的存在性，使得对于$λ\in (0,λ^{*})$存在最小（经典）解$\underline{u}_λ$，它满足$0<\underline{u}_λ<1$。在极值情形$λ=λ^{*}$，我们证明了弱解的存在性，即使在很弱的意义下，弱解也是唯一解。此外，还出现了一些新的困难，许多问题仍有待解决。我们在最后一节中列出了特别感兴趣的问题。
2011-01-20 math.AP
Nonexistence of Positive Supersolutions of Nonlinear Biharmonic Equations without the Maximum Principle
研究了双调和不等式$-Δ^2 v \geq f(v)$在$\mathbb{R}^n$的外部区域上的经典正解，其中$f:(0,\infty)\to (0,\infty)$是连续函数.我们给出了$f(s)$在$s=0$和/或$s=\infty$上的增长下界，使得该不等式在$\mathbb R^n$的任何外部区域上都没有$C^4$正解. Armstrong和Sirakov [ Nonexistence of positive supersolutions of elliptical equations via the最大值原理，Comm. Partial Differential Equations 36（2011）2011-2047]使用仅取决于与最大值原理相关的性质的方法为$-Δv\ge f(v)$获得了类似的结果。由于双调和算子的最大值原理不成立，我们采用了一种不同的方法，它依赖于一个新的表示公式和先验逐点界的非负解的$-Δ^2u \ge 0$在一个穿孔的邻域中的起源$\mathbb{R}^n$。
2014-07-16 math.AP
Biharmonic equation with singular nonlinearity
我们考虑如下问题：\begin{eqnarray*} ( P)\qquad \displaystyle\left\{\begin{array} {ll} & Δ^2 u = K(x)u^{-α} \quad \mbox{ in }\,Ω, \\ &u> 0\quad \mbox{ in }\,Ω, \;\;u\vert_{\partialΩ}=0, \,Δu\vert_{\partialΩ} = 0. \end{array}\right. \end{eqnarray*}我们证明了主要的存在性结果：假设$α+β<2$。则存在唯一解$u$到$(P)$。此外，存在$c_1, c_2>0$，使得\begin{eqnarray}\label{behaviour-bound} c_1 ρ(x)\leq u(x)\leq c_2 ρ(x) \end{eqnarray}，其中$ρ(x)=d(x,\partialΩ)$。这个结果是尖锐的：假设$α+β\geq 2$。因此，没有解决$(P)$的方案。
2015-11-12 math.AP
Local well-posedness for the inhomogeneous biharmonic nonlinear Schrödinger equation in Sobolev spaces
本文研究了非齐次双调和非线性薛定谔（IBNLS）方程\[iu_{t} +Δ^{2} u=λ|x|^{-b}|u|^σu,~u(0)=u_{0} \in H^{s} (\mathbb R^{d}),\]的Cauchy问题，其中$d\in \mathbb N$，$s\ge 0$，$0<b<4$，$σ>0$和$λ\in \mathbb R$ .在非线性项的正则性假设下，证明了当$d\in \mathbb N$，$0\le s <\min \{2+\frac{d}{2},\frac{3}{2}d\}$，$0<b<\min\{4,d,\frac{3}{2}d-s,\frac{d}{2}+2-s\}$和$0<σ< σ_{c}(s)$满足时，IBNLS方程在$H^{s}(\mathbb R^{d})$中是局部适定的.这里，如果$s<\frac{d}{2}$为$σ_{c}(s)=\frac{8-2b}{d-2s}$，如果$s\ge \frac{d}{2}$为$σ_{c}(s)=\infty$。我们的局部适定性结果改进了Guzmán-Pastor [Nonlinear Anal. Real World Appl.56（2020）103174]和Liu-Zhang [J. Differential Equations 296（2021）335-368]通过扩展$s$和$b$的有效性来实现。
2022-06-14 math.AP
Nonlinear eigenvalue problems for a biharmonic operator in Orlicz-Sobolev spaces
本文在Orlicz-Sobolev空间中提出推广的双调和g-拉普拉斯算子Δ_g²，建立其泛函性质，研究依赖归一化条件的特征值及相关非线性问题的谱分布特性。
2024-11-02 math.AP
Asymptotic expansion of radial solutions for supercritical biharmonic equations
考虑非线性双调和方程$Δ^2 u = u^p$的正径向解。存在一个临界幂$p_c$使得解是线性稳定的当且仅当$p\geq p_c$。在$p\geq p_c$ .
2011-05-13 math.AP
Symmetry Breaking in Biharmonic Equations with Weighted Exponential Nonlinearities
Università degli Studi di Milano（米兰大学）
本文研究了四阶方程中带加权指数非线性项的对称破坏问题，通过建立加权Adams不等式并证明当权重指数较大时极值点的径向对称性被破坏，扩展了经典结果到四阶PDEs领域。
2025-12-19 math.AP
Energy scattering for a class of inhomogeneous biharmonic nonlinear Schrödinger equations in low dimensions
考虑一类具有聚焦非齐次幂型非线性项\[ i\partial_t u -Δ^2 u+μΔu +|x|^{-b} |u|^αu=0, \quad \left. u\right|_{t=0}=u_0 \in H^2(\mathbb{R}^d) \]的双调和非线性薛定谔方程，其中$d\geq 1, μ\geq 0$，$0<b<\min\{d,4\}$，$α>0$，和$α<\frac{8-2b}{d-4}$，如果$d\geq 5$ .我们首先确定一个区域，在该区域中，方程的解在时间上全局存在。然后，我们表明，这些全球的时间解决方案分散在$H^2(\mathbb{R}^d)$在三维和更高的维度。在没有谐波扰动的情况下，即，$μ=0$，推广了Saanouni [Calc.变种60（2021），art. no. 113] and Campos and Guzmán [Calc.变种61（2022），第156条]，以三维和四维。我们的能量散射是新的存在下的排斥谐波微扰$μ>0$。证明依赖于洛伦兹空间中的估计，这些估计适合于处理权重$|x|^{-b}$。
2022-11-24 math.AP
Picone's Identity for $p$-biharmonic operator and Its Applications
本文证明了$p-$双调和算子的Picone恒等式的非线性模拟。作为结果的一个应用，我们证明了一类$p-$双调和边值问题零解的Morse指数为$0$ .我们还证明了一个Hardy型不等式和Sturmian比较原理。我们还证明了奇异$p$ -双调和系统的主特征值的严格单调性和解之间的线性关系。
2015-04-02 math.AP
A note on semilinear elliptic equation with biharmonic operator and multiple critical nonlinearities
研究了方程$$ {Δ^2u-μ\frac{u}{|x|^{4}} = \frac{|u|^{q_β-2}u}{|x|^β}+|u|^{q-2}u\quad\textrm{in ${\mathbb R}^N$,}} $$非平凡弱解的存在性和不存在性，其中$N\geq 5$，$q_β=\frac{2(N-β)}{N-4}$，$0<β<4$，$1<q\leq 2^{**}$和$μ<μ_1:=\big(\frac{N(N-4)}{4}\big)^2$ .利用Pohozaev型恒等式证明了当$1<q< 2^{**}$ .另一方面，当方程具有多个临界非线性项，即$q=2^{**}$和$-(N-2)^2\leqμ<μ_1$时，利用Ambrosetti和Rabinowitz的山路定理和变分方法，证明了非平凡解的存在性.
2014-10-15 math.AP
Local well-posedness for the biharmonic nonlinear Schrödinger equation in low dimensions
Florida International University（佛罗里达国际大学）；Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
本文证明了低维（1、2、3维）四阶双调和非线性薛定谔方程在加权Sobolev子集及H^s空间中的局部适定性，为光学中四次孤子的数学理论奠定基础。
2026-10-06 math.AP
Singularity of the extremal solution for supercritical biharmonic equations with power-type nonlinearity
令$λ^{*}>0$表示$λ$的最大可能值，使得$$ \{{array}{lllllll} Δ^{2}u=λ(1+u)^{p} & {in}\ \ \B, %0<u\leq 1 & {in}\ \ \B, u=\frac{\partial u}{\partial n} =0 & {on}\ \ \partial \B {array}. $$有解，其中$\B$是$R^{n}$中以原点为中心的单位球，$p>\frac{n+4}{n-4}$和$n$是外部单位法向量。我们证明了对于$λ=λ^{*}$这个问题具有唯一的弱解$u^{*}$，称为极值解。我们证明了当$n\geq 13$对于$p$足够大时，$u^{*}$是奇异的，在这种情况下$u^{*}(x)\leq r^{-\frac{4}{p-1}}-1$在单位球上。
2011-07-21 math.AP
Singular solutions of the biharmonic Nonlinear Schrodinger equation
我们考虑双调和NLS的奇异解。在L^2-临界情形下，爆破速率受四次方根幂律约束，解接近自相似轮廓，且有限量的L^2-范数（不小于小于临界幂）集中于奇点（“强坍缩”）。在L^2-临界和超临界情形下，我们利用渐近分析和数值模拟来刻画具有峰值型自相似坍缩核的奇异解。在临界情况下，爆破速率略快于四次根，并且自相似轮廓由驻波基态给出。在超临界情况下，爆破速率是一个四次根，自相似轮廓是一个非线性本征值问题的零Hamilton解。使用自适应网格方法对这些发现进行了数值验证（直到10^8的聚焦水平）。我们还计算了二维和三维驻波方程的基态和临界崩溃功率。
2009-12-07 math.AP
Local well-posedness and global existence for the biharmonic heat equation with exponential nonlinearity
本文证明了双调和热方程$\partial_{t} u+ Δ^2 u=f(u),\;t>0,\;x\in\R^N,$在Orlicz空间中的局部适定性，其中对于大的$u.$有$f(u)\sim \mbox{e}^{u^2}$.在初始值很小的条件下，对于指数非线性$f$，使得$f(u)\sim u^m$为$u\to 0,$ $m$整数且$N(m-1)/4\geq 2$，我们证明了解是整体的.此外，我们得到了非线性双调和热方程和非线性热方程的大时间衰减估计。我们的结果推广到非线性多调和热方程。
2017-04-02 math.AP math.FA
On the initial value problem for a class of nonlinear biharmonic equation with time-fractional derivative
本文研究了一类具有非线性源项的时间分数阶四阶方程的拟线性变分问题。更具体地说，我们考虑了具有指数非线性的时间分数阶双调和方程和时间分数阶Cahn-Hilliard方程。利用傅里叶变换的概念，证明了该问题的一般化的温和解公式以及预解算子的光滑效应。对于第一个IVP，利用Orlicz空间和函数$ Ξ(z)=e^{|z|^p}-1$以及它与通常的Lebesgue空间之间的一些嵌入，证明了解是时间整体解，或者如果初值是正则的，解将在有限时间内爆破.在奇异初始数据的情况下，局部时间/整体时间的存在性和唯一性。同时，研究了温和解的正则性.对于与第二类相关联的IVP，对广义公式作了一些修正，以处理非线性项。我们还对预解算子的导数建立了一些重要的估计，它们是利用Picard序列证明解的局部时间存在性的基础。
2021-07-28 math.AP
Combined effects for non-autonomous singular biharmonic problems
研究了一类具有奇异非线性项和Navier边界条件的广义$p(x)$ -双调和方程非平凡弱解的存在性.证明结合了变分和拓扑论点。本文提出的方法可以处理应用科学中出现的几类具有变量增长的奇异双调和问题，包括毛细作用方程和中曲率问题。
2020-04-29 math.AP
Normalized solutions to the biharmonic nonlinear Schrödinger equation with combined nonlinearities
本文研究具有组合非线性项的双调和非线性薛定谔方程在给定质量约束下归一化基态解的存在性，利用Sobolev次临界逼近方法证明了临界情形下第二山路型临界点的存在，并讨论了参数μ的不同符号情形。
2023-05-26 math.AP
The initial-boundary value problem for the biharmonic Schrödinger equation on the half-line
研究了双调和薛定谔方程在射线上的初边值问题的局部和整体适定性.首先，我们利用Fokas方法（也称为\emph{unified transform method}）得到了线性非齐次问题解的表示公式。利用这个表示公式，我们利用傅里叶分析证明了分数索伯列夫空间中线性模型解的空间和时间估计。其次，我们考虑了具有幂型非线性项的非线性模型，并利用经典的压缩论证证明了局部适定性。在Fokas方法给出的表示公式上，直接利用振荡积分理论，得到了处理低正则性情形的Lahartz估计.利用乘子技巧和隐迹定理证明了离焦模型在三次非线性下的整体适定性。
2019-02-07 math.AP
Scattering for the non-radial inhomogenous biharmonic NLS equation
本文考虑$H^2(\mathbb{R}^N)$，\begin{equation} iu_t + Δ^2 u - |x|^{-b}|u|^αu=0 \end{equation}中的聚焦非齐次双调和非线性薛定谔方程，当$b > 0$和$N \geq 5$ .我们首先得到一个小数据的全局结果在$H^2$，其中，在五维的情况下，改进了以前的结果从牧师和第二作者。在续集中，我们显示的主要结果，散射低于质能阈值的临界情况下，即$\frac{8-2b}{N} < α<\frac{8-2b}{N-4}$，没有假设的初始数据的径向。该证明结合了非线性的衰减与维里亚尔-莫拉韦茨型估计，以避免径向假设，允许一个比凯尼格-梅尔路线图简单得多的证明。
2021-07-26 math.AP
Positive radial ground states for nonlinear biharmonic equations: maximum principles and expanding-domain approximation
Università degli Studi dell’Insubria（因苏布里亚大学）；RISM-Riemann International School of Mathematics（RISM黎曼国际数学学院）；China University of Geosciences（中国地质大学）；Università degli Studi di Udine（乌迪内大学）；Università di Pisa（比萨大学）
本文通过扩张区域逼近和极大值原理，证明了一类非线性双调和方程正径向基态的存在性，并给出反例否定非齐次边界情形的推广。
2026-09-14 math.AP
Density results of biharmonic functions on symmetric tensor fields and their applications to inverse problems
本文证明在边界小部分消失的双调和函数乘积可生成直至三阶光滑对称张量场的稠密子集，并据此解决了二维及以上具有非线性各向异性扰动的双调和算子部分数据反问题。
2025-01-19 math.AP
On biharmonic equations with $p$-Laplacian and indefinite potentials or critical nonlinearity
Florida Institute of Technology（佛罗里达理工学院）
本文针对具p-拉普拉斯算子与不定势或临界非线性项的双调和方程，利用局部环绕和莫尔斯理论得到非平凡解，对奇非线性项得大能量解，对有界正势与临界/次临界指数非线性项得多个解。
2026-08-20 math.AP
Existence of solutions to a perturbed critical biharmonic equation with Hardy potential
本文考虑了如下双调和椭圆问题\begin{eqnarray*} \begin{cases} Δ^2u-λ\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}=|u|^{2^{**}-2}u+ f(x,u), &x\inΩ,\\ u=\dfrac{\partial u}{\partial n}=0, &x\in\partialΩ\end{cases} \end{eqnarray*}.该方程的主要特点是包含一个Hardy项和一个具有临界Sobolev指数的非线性项。通过结合仔细分析的能量泛函与山路引理的映射问题，它表明，对于一些积极的参数$λ$依赖于$s$和$q$，该问题承认至少有一个山路型解在适当的增长条件下的非线性$f(x,u)$。
2022-11-24 math.AP
Biharmonic non-linear Schrödinger equation with an unbounded inhomogeneous term
Qassim University（卡西姆大学）
本文研究了具有无界增长不均匀项的双调和非线性薛定谔方程，推导了非均匀Gagliardo-Nirenberg不等式，并揭示了解的全局存在与有限时间爆炸的二元性。
2025-11-11 math.AP
Small data global well-posedness for the inhomogeneous biharmonic NLS in Sobolev spaces
本文研究非齐次双调和非线性薛定谔方程（IBNLS）\[iu_{t} +Δ^{2} u=λ|x|^{-b}|u|^σu,u(0)=u_{0} \in H^{s} (\mathbb R^{d}),\]的Cauchy问题，其中$λ\in \mathbb R$，$d\in \mathbb N$，$0<s<\min \{2+\frac{d}{2},\frac{3}{2}d\}$和$0<b<\min\{4,d,\frac{3}{2}d-s,\frac{d}{2}+2-s\}$ .在非线性项的正则性假设下，我们证明了当初始数据足够小且$\frac{8-2b}{d}<σ< σ_{c}(s)$满足条件时，IBNLS方程在$H^{s}(\mathbb R^{d})$中是整体适定的，其中当$s<\frac{d}{2}$满足条件时为$σ_{c}(s)=\frac{8-2b}{d-2s}$，当$s\ge \frac{d}{2}$满足条件时为$σ_{c}(s)=\infty$.
2022-07-12 math.AP
Double Criticality for a Hardy-Rellich Biharmonic Heat Equation in an Exterior Domain
King Saud University（沙特国王大学）
研究外域上含奇异Hardy-Rellich势、加权非线性和正源项的双调和热方程弱解的存在性与非存在性，识别两种不同临界情形，提出Fujita型临界指数及源项衰减指数的第二临界指数，扩展了Tobakhanov近期工作。
2026-05-09 math.AP
Singular standing-ring solutions of nonlinear partial differential equations
我们提出了一个一般的框架来构造奇异解的非线性发展方程，成为奇异的d维球，其中d>1。这些解的渐近分布和爆破速率与相应的一维方程在一点处变为奇异的解的渐近分布和爆破速率相同。我们对下列方程的这些新的奇异解进行了详细的数值研究：非线性薛定谔方程，双调和非线性薛定谔方程，非线性热方程和非线性双调和热方程.
2009-07-12 math.AP
Solving the nonlinear biharmonic equation by the Laplace-Adomian and Adomian Decomposition Methods
双调和方程及其非线性和非齐次推广在工程和物理中起着重要的作用。特别是聚焦双调和非线性薛定谔方程及其驻波解，得到了深入的研究。本文考虑Laplace-Adomian和Adomian分解方法在获得$Δ^{2}y+αΔy+ωy+b^{2}+g\left( y\right) =f$型广义双调和方程半解析解中的应用，其中$α$、$ω$和$b$是常数，$g$和$f$分别是$y$和独立变量的任意函数。在介绍了求解双调和方程的一般算法之后，作为应用，我们考虑了一维径向对称双调和驻波方程$Δ^{2}R+R-R^{2σ+1}=0$的解，并利用$σ= {\rm constant}$ .一维的情况下进行了分析，分别使用Laplace-Adomian和Adomian分解方法，并截断级数解与精确数值解进行了比较。得到了径向双谐驻波方程的幂级数解，并与数值解进行了比较。
2018-10-19 math-ph math.AP math.CA
Classification of positive solutions to a nonlinear biharmonic equation with critical exponent
对于$n \geq 5$，我们考虑了原点具有不可可去奇点的双调和方程\[ Δ^2 u = u^\frac{n+4}{n-4} \qquad \text{on}\ \mathbb R^n \setminus \{0\} \]的正解$u$.我们证明了$|x|^{\frac{n-4}{2}} u$是$\ln |x|$的周期函数，并对用这种方法得到的所有周期函数进行了分类。这一结果是相关的描述的渐近行为附近的奇点和$Q$ -曲率问题的共形几何。
2017-11-02 math.AP math.CA math.DG
Global Well-posedness for the Biharmonic Quintic Nonlinear Schrödinger Equation on $\mathbb{R}^2$
本研究证明了二维五次散焦双调和薛定谔方程的柯西问题在特定索伯列夫空间中全局适定，核心采用$I$-方法构造几乎守恒的修正能量泛函。
2023-04-29 math-ph math.AP math.MP
Time analyticity of the biharmonic heat equation, the heat equation with potentials and some nonlinear heat equations
本文研究了三个微分方程的点态时间解析性。它们是双调和热方程、带位势的热方程和一类具有$p$阶幂非线性项的非线性热方程。势包括所有的非负势。对于前两个方程，我们证明了如果$u$满足$(x,t)\in \mathrm{M}\times [0,1]$中的某些增长条件，则$u$是时间解析的。这里$\mathrm{M}$是$R^d$或一个完全的非紧流形，其Ricci曲率由一个常数下有界。然后得到了$u(x,t)$在$t=0$上依时间解析的充要条件.应用这种方法，我们还得到了倒向方程可解的一个充分必要条件，该条件在一般情况下是不适定的。对于具有$p$阶幂非线性项的非线性热方程，证明了解在时间$t\in (0,1]$上是解析的，如果它在$\mathrm{M}\times[0,1]$中有界且$p$是正整数.此外，我们调查的情况下，$p$是一个有理数与更强的假设$0<C_3 \leq |u(x,t)| \leq C_4$。它也表明，解决方案可能不会在时间上分析，如果它被允许是$0$。作为引理，我们得到了$\partial_t^k Γ(x,t;y)$的估计，其中$Γ(x,t;y)$是流形上的热核，并给出了系数的显式估计。一个有趣的观点是，一个解在时间上可能是解析的，即使它在空间变量$x$中是不光滑的，这意味着空间和时间的解析性可以是独立的。此外，对于一般流形，空间解析性可能不成立，因为它需要曲率及其导…
2021-01-27 math.AP
Positivity of solutions to the Cauchy problem for linear and semilinear biharmonic heat equations
研究了以双调和算子为四阶椭圆主部的线性和非线性抛物型方程Cauchy问题解的正性.一般情况下，四阶抛物型方程的柯西问题由于基本解的符号改变而不具有保正性。对于正的初始数据，最终具有局部正性，但是在短的时间尺度上，通常也会具有负性区域。本文的第一个目的是在初值上找到线性双调和热方程Cauchy问题解的存在性的充分条件，使其解在整个空间和所有时间都是正的。第二个目标是应用这些结果证明一类半线性双调和抛物型方程Cauchy问题整体正解的存在性。
2020-05-22 math.AP
Supercritical biharmonic equations with power-type nonlinearity
研究了双调和超临界方程$Δ^2u=|u|^{p-1}u$，其中$n>4$和$p>(n+4)/(n-4)$，在整个空间$\mathbb{R}^n$中，以及在单位球中以$λ(1+u)^p$为右手边并附加特征值参数$λ>0$的修正形式，在后一种情况下与Dirichlet边界条件一起.至于整个正规径向解决方案，我们证明振荡行为周围的明确已知的径向{ \it奇异}的解决方案，提供$p\in((n+4)/(n-4),p_c)$，其中$p_c\in ((n+4)/(n-4),\infty]$是一个进一步的临界指数，这是介绍了在最近的工作由Gazzola和第二作者。第三作者已经证明，这些振荡不发生在互补的情况下，其中$p\ge p_c$。关于Dirichlet问题，我们证明了至少存在一个具有相应特征参数的奇异解。此外，对于这个非线性双调和特征值问题的分支图中的极值解，我们证明了只要$p\in((n+4)/(n-4),p_c)$就光滑。
2007-11-14 math.AP math.CA
Concentration Phenomena of Normalized Solutions of Critical Biharmonic Equations with Combined Nonlinearities in $\mathbb{R}^{N}$
College of Mathematics, Changchun Normal University（长春师范大学数学学院）；Faculty of Education, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学教育学院）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学、物理与力学研究所）
本文研究了临界双调和方程在ℝ^N中带有混合非线性项的归一化解的多重性和集中现象，通过极小化技术和集中-紧致性原理，证明了归一化解数量与势函数极小点的关系。
2026-02-27 math.AP math.FA
Critical p-biharmonic problems and applications to Hamiltonian systems
研究涉及p-双调和算子的四阶椭圆问题，通过反演步骤将哈密顿系统简化为单个p-双调和方程，结合集中紧致性与上同调指标方法证明非平凡解的存在性，扩展并改进了经典结果。
2025-09-16 math.AP
Some remarks on the inhomogeneous biharmonic NLS equation
考虑非齐次双调和非线性薛定谔方程$$ i u_t +Δ^2 u+λ|x|^{-b}|u|^αu = 0, $$，其中$λ=\pm 1$和$α$，$b>0$ .在亚临界情形下，我们改进了在Sobolev空间$H^2(\mathbb{R}^N)$中\cite{GUZPAS}对$N=5,6,7$维的整体适定性结果.建立我们结果的基本工具是与线性问题和Hardy-Littlewood不等式相关的标准的Hardyhartz估计。关于能量临界的情况下，即，$α=\frac{8-2b}{N-4}$的结果也有报道。更准确地说，我们显示了适定性和稳定性的结果与初始数据在临界空间$\dot{H}^2$。
2021-05-04 math.AP
