On generators of $k$-PSD closures of the positive semidefinite cone
本文研究半正定锥的 $k$-PSD 闭包近似，针对其几何理论讨论不足的问题，刻画了该类锥近似的一族生成元。
2024-05-02 math.OC
A predictor-corrector algorithm for semidefinite programming that uses the factor width cone
提出了一种求解半定规划问题的内点方法。用于求解SDP的标准内点算法在正半定矩阵空间中工作。与此相反，所提出的算法工作在常数\emph{factor width}的矩阵锥。这种适应性使得所提出的方法比标准IPM更适合并行化。我们证明了整体收敛，并提供了一个复杂性分析。我们的工作受到Ahmadi，Dash，Majumdar和Hall的一系列论文的启发，并建立在Roig-Solvas和Sznaier最近的预印本上[arXiv：2202.12374，2022]。
2023-01-16 math.OC
The cone of Z-transformations on the second order cone
本文利用二阶锥及其边界诱导的半定锥和余正/完全正锥，刻画了二阶锥上$\mathcal{Z}$ -变换的锥的结构性质.特别地，我们将其对偶描述为半定锥的切片以及二阶锥的完全正锥的切片。这提供了一个例子，其中一个圆锥线性规划的一个完全正锥减少到一个问题的半定锥。
2021-10-12 math.OC
Generating Linear, Semidefinite, and Second-order Cone Optimization Problems for Numerical Experiments
算法的数值性能可以使用测试集或生成此类问题的程序来研究。本文提出了生成线性、半定和二阶锥最优化问题的各种方法。具体来说，我们感兴趣的问题的情况下，需要一个已知的最优解，一个已知的最优分区，一个特定的内部解决方案，或所有这些在一起。在所提出的问题生成器中，可以选择最优化问题的不同特征，包括维数、大小、条件数、退化、最优划分和稀疏性，以便于进行全面的计算实验。我们还开发了程序，以生成具有预定的最佳分区的最大互补最优解的实例，以生成具有挑战性的半定和二阶锥最优化问题。生成的实例使我们能够评估有效的边界点方法的圆锥曲线最优化问题。
2023-02-01 math.OC
Evaluating approximations of the semidefinite cone with trace normalized distance
我们评估对角占优矩阵集合的对偶锥（分别为，缩放的对角占优矩阵），即${\cal DD}_n^*$（分别，${\cal SDD}_n^*$）作为半定锥的近似。我们证明了Blekherman等人（2022）提出的集${\cal S}$与半定锥之间的范数归一化距离在${\cal SDD}_n^* \subseteq {\cal S} \subseteq {\cal DD}_n^*$时具有相同的值。这意味着范数归一化距离不是评估这些近似的充分度量。作为一个新的措施，以弥补该距离的弱点，我们提出了一个新的距离，称为跟踪归一化距离。我们证明了${\cal DD}_n^*$和${\cal S}^n_+$之间的迹归一化距离与${\cal SDD}_n^*$和${\cal S}^n_+$之间的迹归一化距离具有不同的值，并给出了这些距离的精确值.
2022-07-17 math.OC
A spectrahedral representation of the first derivative relaxation of the positive semidefinite cone
如果$X$是$n\times n$对称矩阵，则$X \mapsto \det(X)$在$I$方向上的方向导数是$X$的特征值中的$n-1$次的初等对称多项式。这是$X$的项中的多项式，具有相对于方向$I$为双曲线的性质。相应的双曲性锥是半正定（PSD）锥的松弛，称为PSD锥的一阶导数松弛（或Renegar导数）。谱面锥是一个凸锥，其表示为子空间与PSD矩阵锥在某个维度上的交集。我们证明了PSD锥的一阶导数松弛是一个谱面体锥，并给出了尺寸$\binom{n+1}{2}-1$的显式谱面体描述。该构造提供了双曲锥也是谱面体的一个新的显式例子。这与广义的拉克斯猜想一致，拉克斯猜想认为每个双曲锥都是一个谱面体。
2018-01-08 math.OC
An Optimality Gap Test for a Semidefinite Relaxation of a Quadratic Program with Two Quadratic Constraints
我们提出了一个必要和充分的测试，以确定是否可以计算出一个解决方案的一般二次规划与两个二次约束（QC 2 QP）从一个特定的凸半定松弛，在这种情况下，我们说，没有最优性差距。最初打算解决一个非凸的最优控制问题，我们考虑的情况下，成本和两个约束的QC 2 QP可能是非凸的。我们得到了我们的测试，这也证明了强对偶成立时，通过推广一个密切相关的方法艾和张。一个扩展是必要的，因为虽然艾和张提出的方法也允许两个二次约束，它要求至少有一个是严格凸的。为了说明我们的测试的有用性，我们将其应用到两个不满足先前方法所需假设的例子。我们的测试保证了第一个例子没有最优性缺口--一个解决方案也是从松弛中计算出来的--我们用它来确定第二个例子中存在最优性缺口。
2020-12-20 math.OC
Polyhedral approximations of the semidefinite cone and their application
我们开发的技术来构建一系列的稀疏多面体近似的半定锥。受Tanaka和Yoshise（2018）提出的半定（SD）基的启发，我们提出了SD基的一个简单扩展，以保持组成它的矩阵的稀疏性。我们证明了使用我们扩展的SD基的多面体逼近包含所有对角占优矩阵的集合，并且包含在所有缩放对角占优矩阵的集合中。我们还证明了所有的缩放对角占优矩阵的集合可以表示使用无限数量的扩展SD基地。我们使用我们的近似作为初始近似的割平面法解决半定松弛的最大独立集问题。结果发现，所提出的方法与扩展SD基是显着更有效的方法，使用其他现有的近似或直接解决半定松弛问题。
2020-12-09 math.OC
Second-order optimality conditions for SDCMPCC and application to rank optimization problems
研究了半定锥补约束数学规划（SDCMPCC）的二阶最优性条件，首先利用投影算子在SDCC集上的二阶方向导数给出了SDCC集的二阶切集的一个精确刻画，然后在适当的次正则约束规格条件下，利用SDCC集的二阶正切集得到SDCMPCC的二阶充要条件.最后给出了半定秩正则化问题二阶最优性必要条件最优性条件的一个应用。
2019-11-24 math.OC
Second-order sequential optimality conditions for nonlinear semidefinite optimization problems
Graduate School of Informatics, Kyoto University（京都大学研究生院情报科学）；Graduate School of Management, Tokyo Metropolitan University（东京都立大学大学院经营学研究科）
针对非线性半定优化问题，提出二阶近似Karush-Kuhn-Tucker条件（AKKT2）及其强变体CAKKT2，证明其无假设下为局部极小必要条件，且在特定条件下蕴含弱二阶必要条件，还提出生成满足该条件聚点的惩罚算法。
2026-10-30 math.OC
Generalizations of doubly nonnegative cones and their comparison
本研究针对广义完全正规划的紧松弛需求，基于广义共正锥内逼近层级推导两种广义双非负锥，结合已有同类锥开展理论与数值比较，验证其能提供比半正定锥显著更紧的界。
2023-12-18 math.OC
On the weak second-order optimality condition for nonlinear semidefinite and second-order cone programming
对于依赖于单个Lagrange乘子的非线性锥规划问题，二阶最优性必要条件最优性条件通常建立在非退化和严格互补条件下.本文对两类非线性锥规划问题，即半定锥规划和二阶锥规划，建立了一个这样的条件，假定Robinson的约束规格和弱的常秩型性质严格弱于非退化性.我们的方法是通过一个基于惩罚的策略，这是为了提供强大的整体收敛的结果，一阶和二阶算法。由于我们没有假设严格互补，临界锥不减少到一个子空间，因此，我们得到的二阶条件是根据临界锥的线性空间定义的。在非线性规划的情况下，该条件简化为在算法实践中广泛用作二阶平稳性度量的标准二阶条件。
2022-08-05 math.OC
Positive semidefinite approximations to the cone of copositive kernels
研究表明，某些无限图的最大独立集问题，特别是接吻数问题，可归结为一个共正核锥上的极小化问题。在这个无限维锥上进行优化是不容易的，并且在文献中几乎没有考虑过这个锥的近似。我们提出了两个收敛层次的子集的共正核，在非负和正定核。我们使用这些层次结构和表现定理不变的正定核上的球构建新的基于SDP的界的接吻数。这导致快速计算位于当前现有LP和SDP边界之间的吻接数的上界。
2018-12-01 math.OC
Sparse Cuts for the Positive Semidefinite Cone
Georgia Tech（佐治亚理工学院）；Cornell Tech（康奈尔科技）；U. Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文提出了一种基于稀疏线性不等式的LP松弛方法，用于解决非凸优化问题，通过结构化SDP投影识别不等式，从而加速全局求解过程。
2026-09-01 math.OC
LP-based Tractable Subcones of the Semidefinite Plus Nonnegative Cone
作者在以前的文件中设计了某些子锥的半定加非负锥，并表明，满足要求的成员资格，这些子锥可以检测到通过解决线性最优化问题（LP）与$O(n)$变量和$O(n^2)$约束。他们还设计了基于LP的算法，用于使用子锥来测试共正性。在本文中，他们调查的子锥的属性更详细，并探讨较大的子锥的半正定加非负锥的满足要求的成员可以检测到解决LP。他们引入了{ \em半定基（SD基）}，它是由$n(n+1)/2$对称半定矩阵组成的$n \times n$对称矩阵空间的基.使用SD的基础上，他们设计了两个新的子锥检测可以通过解决LP与$O(n^2)$变量和$O(n^2)$约束。新的子锥比上一篇文章中的子锥更大，并继承了它们的优良性质。作者还研究了这些子锥的效率在数值实验中。结果表明，作为一个有用的应用，子锥是有希望的测试共正性。
2017-10-03 math.OC
Intrinsic volumes of symmetric cones
利用与Mehta积分有关的积分，计算了实数、复数和四元数上正半定矩阵锥的内蕴体积.给出了半定规划概率分析的几个应用。
2012-05-09 math.OC
Analytic Formulas for Alternating Projection Sequences for the Positive Semidefinite Cone and an Application to Convergence Analysis
该研究推导了半正定矩阵锥与仿射子空间上交替投影序列的参数递推解析公式，并用其证明了奇点度为2的3维半正定锥交集场景下交替投影法收敛上界的紧性。
2025-01-15 math.OC
Naive constant rank-type constraint qualifications for multifold second-order cone programming and semidefinite programming
常秩约束规格是Janin在1984年为非线性规划引入的，它已被广泛地用于灵敏度分析、一阶和二阶算法的整体收敛以及计算值函数的导数。本文基于近似Karush Kuhn-Tucker最优性最优性条件和约简方法的应用，讨论了二阶锥规划和半定规划的常秩型约束规格的朴素推广.我们的定义严格弱于Robinson的约束规格，并应用于增广拉格朗日算法的整体收敛。
2020-09-12 math.OC
Factorization-free Orthogonal Projection onto the Positive Semidefinite Cone with Composite Polynomial Filtering
Harvard University（哈佛大学）；NVIDIA Corporation（英伟达公司）
提出一种无分解的正交投影到半正定锥方法，利用复合多项式滤波通过矩阵乘法近似投影算子，在GPU上实现低精度高效计算，相比cuSOLVER加速约10倍。
2026-06-29 math.OC
A Polynomial-Time Affine-Scaling Method for Semidefinite and Hyperbolic Programming
我们开发了一个自然的变种Dikin的仿射尺度法，首先半定规划，然后双曲规划一般。我们匹配的最佳复杂性边界已知的邻点方法。所有以前的多项式时间仿射缩放算法已经为锥最优化问题，其中的基础锥是对称的。然而，双曲锥不需要是对称的。我们的算法是第一个多项式时间仿射尺度方法不依赖于对称性。
2014-10-24 math.OC
Dimension reduction for semidefinite programs via Jordan algebras
我们提出了一种新的方法来简化半定规划（SDP）的启发对称约简。具体来说，我们表明，如果一个正交投影映射满足一定的不变性条件，限制到其范围内产生一个等价的原始对偶对低维对称锥-即，锥的平方约当子代数的对称矩阵。我们提出了一个简单的算法，使这个投影的秩最小化，从而使这个子代数的维数最小。我们还表明，最小化秩优化的直和分解的代数成简单的理想，产生一个最佳的“块对角化”的SDP。最后，我们给出了我们的算法的组合版本，以降低计算成本，并说明了实施的例子的有效性。通过约旦代数的理论，所提出的方法很容易扩展到线性和二阶锥规划，更一般地说，对称锥优化。
2019-03-01 math.OC
DC Semidefinite Programming and Cone Constrained DC Optimization: Theory and Local Search Methods
本文扩展DC优化理论至锥约束问题，提出DC分解与精确罚DCA方法，并分析其收敛性，应用于压缩模态和球堆积问题。
2023-05-17 math.OC
On the quality of the $k-$PSD closure approximation
半正定（PSD）锥是正半定矩阵的锥，是半定规划（SDP）的研究对象。PSD锥的计算有效近似是$k$闭包，$1 \leq k < n$，$n\times n$实对称矩阵的锥，使得它们的所有$k\times k$主子矩阵是半正定的。对于$k=1$，得到多面体近似，而$k=2$得到PSD锥的二阶圆锥（SOC）近似。PSD锥的这些近似已被广泛用于诸如AC最优潮流（ACOPF）的现实世界应用中，以解决其中SDP松弛用于凸化非凸性的计算效率低下。在最近的一系列文章中，Blekharman等人提供了这些近似的质量界限。在这项工作中，我们重新审视他们的一些结果，并提出了一个新的主导界的质量的$k$ PSD封闭近似的PSD锥。此外，我们还对$2$ -PSD闭包的极值射线进行了表征。
2021-06-04 math.OC
A Unified Study of Necessary and Sufficient Optimality Conditions for Minimax and Chebyshev Problems with Cone Constraints
本文给出了锥约束下极大极小和切比雪夫优化问题的一阶和二阶最优性充分必要最优性条件的统一研究。这些问题的一阶最优性条件可以用几种不同的形式来表述：线性化问题、拉格朗日乘子（KKT点）、次微分和正规锥、非光滑罚函数、具有正干部乘子的干部以及交替形式。我们描述了所有这些形式的必要和充分的最优性条件之间的相互联系，并证明了看似不同的条件实际上是等价的。我们还演示了如何一阶最优性条件可以重新制定在一个更方便的形式，为特定类别的锥约束优化问题和扩展经典的二阶最优性条件光滑锥约束问题的情况下，极大极小和切比雪夫问题的锥约束。本文得到的最优性条件为发展求解锥约束极大极小和切比雪夫问题的新的有效的结构开发方法开辟了一条道路。
2020-07-15 math.OC
Projections onto Spectral Matrix Cones
本文研究利用谱矩阵锥投影增强一阶锥求解器，证明矩阵投影可简化为特征值或奇异值投影，并在SCS求解器中实现高达一个数量级的加速。
2025-11-02 math.OC
Second-order cone representable slices of the positive semidefinite cone of size three
为了证明二阶锥与半定规划之间的差异，Hamza Fawzi证明了大小为3的对称正半定矩阵的锥S_+^3不是二阶锥可表示的（socr）。S_+^3的一个切片是S_+^3与3个\times 3个对称矩阵的空间S^3的一个线性子空间的交。已知S_+^3的某些切片是socr，而另一些切片则不是。我们对S_+^3的socr切片进行了分类，证明了S_+^3的一个切片是socr的充要条件是它的维数至多为4或与一个非零奇异矩阵正交（其中正交性是关于标准迹标积考虑的）.
2019-09-19 math.AG math.MG math.OC
On Optimality Conditions for Multi-objective Problems with a Euclidean Cone of Preferences
本文提出了一个新的-据作者所知-最优决策的多目标最优化问题关于一个确定的真偏好锥，一个具有给定角半径的欧氏锥的特征。其主要思想是利用单位向量与效用空间点之间的角距离。导出了一个以方程形式表示的最优性的充要条件。并得到了一阶最优性必要条件最优性条件。
2014-01-09 math.OC
Conic approach to quantum graph parameters using linear optimization over the completely positive semidefinite cone
本文研究了完全半正定锥$\mathcal{CS}_+^n$，这是一个新的矩阵锥，它由所有的$n\times n$矩阵组成，且这些矩阵可以用正半定矩阵（任意大小）表示.特别地，我们研究了这个锥与完全正锥和双非负锥之间的关系，以及它的对偶锥与迹正非交换多项式之间的关系。我们使用这个新的锥模型的经典的独立性和色图参数$α(G)$和$χ(G)$，这是通过允许变量正半定矩阵，而不是$0/1$标量在程序中定义的经典参数的量子类似物。我们可以将这些量子参数表示为锥$\mathcal{CS}_+^n$上的锥线性规划。使用这种二次曲线的方法，我们可以恢复的theta数的界限，并定义进一步的近似，利用链接跟踪正多项式。
2015-10-05 math.OA math.OC quant-ph
Semidefinite approximations of conical hulls of measured sets
设$C$是由紧集生成的真凸锥，紧集支持测度$μ$ . A.Barvinok、E.Veomett和J.B. Lasserre使用$μ$产生嵌套谱面体锥的序列$(P_k)_{k\in \mathbb{N}}$，其包含与$C$对偶的锥$C^*$。我们证明了这样的序列的光谱面体的收敛结果，并提供工具，用于界定$P_k$和$C^*$之间的距离。这些工具在具有足够对称性的圆锥上特别有用，并允许我们确定几个感兴趣的圆锥的边界。我们计算这样的上界半定近似的旅行商多面体和锥的非负三元六次曲线和四元四次曲线。
2014-10-10 math.CO math.OC
The Cone Generated by Positive Semidefinite Mean Polynomials
University of Saskatchewan（萨斯喀彻温大学）；University of Konstanz（康斯坦茨大学）
该研究定义了半正定均值多项式生成的锥，证明其相关预素强生成性，构造了分离实例，并提出基于该锥的多项式优化收敛下界层级。
2026-08-25 math.OC
Tight-and-cheap conic relaxation for the AC optimal power flow problem
经典的交流最优潮流问题是高度非凸的，一般难以求解。凸松弛，特别是半定，二阶锥，凸二次和线性松弛，最近吸引了显着的兴趣。其中半定松弛是最强的，并且在许多情况下是精确的。然而，求解大规模半定优化的计算效率低于二阶锥优化。我们提出了一个圆锥松弛通过半定优化与重构线性化技术相结合，通常被称为RLT。所提出的松弛比二阶锥松弛更强，几乎与标准半定松弛一样紧。使用标准测试用例与多达6515个总线的计算实验表明，解决新的圆锥松弛的时间是一个数量级低于弦松弛，半定松弛技术，利用电力网络的稀疏性。
2019-08-06 math.OC
On the closure of the completely positive semidefinite cone and linear approximations to quantum colorings
研究了完全半正定锥$\mathcal{CS}_+^n$的结构性质，该锥由所有的$n \times n$对称矩阵组成，这些对称矩阵可以用任意大小的正半定矩阵表示.该锥已被引入到模型量子图参数作为锥最优化问题。最近它也被用来刻画二分量子关联集$\mathcal Q$，作为它的仿射截面的投影.关于完全半正定锥的结构，我们有两个主要结果，即关于它的内部和关于它的闭包.一方面，我们构建了一个覆盖$\mathcal{CS}_+^n$内部的多面体锥的层次，我们使用它来计算量子色数的一些变体的线性规划的方式。另一方面，我们给出了一个明确的描述的封闭的完全正半定锥，通过显示，它包括所有的矩阵承认一个革兰氏表示的矩阵代数的迹超积。
2015-02-10 math.OA math.OC quant-ph
Rank Restricted Semidefinite Matrices and Image Closedness
研究秩限制正半定矩阵的（非凸）锥在其元素子集上投影的闭包。这定义了可行集的半定完成问题的限制的行列。应用程序包括使用核范数启发式低秩完成的条件。
2016-10-31 math.OC
First and Second Order Necessary and Sufficient Optimality Conditions of Fritz John Type for Vector Problems over Cones
该研究利用Kakutani不动点定理和Hadamard方向导数，给出锥上向量问题Fritz John型一阶、二阶最优性必要条件的新证法，并提供了广义凸函数下弱全局有效性与局部有效性的充分条件。
2024-05-19 math.OC
Inner Approximations of the Positive-Semidefinite Cone via Grassmannian Packings
研究了半正定锥的内逼近问题。我们发展了一个新的分解框架的PSD锥means锥的组合更小的维度。在这个框架下，可以归纳出许多内逼近技术，包括（缩放）对角占优矩阵集、因子宽度矩阵和弦稀疏矩阵。此外，我们提供了一个更灵活的家庭的内部近似的PSD锥，其中我们的目标是安排子锥，使他们最大限度地相互分离。在这样做时，这些approximationtend占据PSD cone的体积的大部分。所提出的方法是连接到一个经典的packingproblem在黎曼几何。更确切地说，我们证明了在PSD锥中寻找最大距离子锥的问题等价于在Grassmannian流形中填充子空间的问题。我们进一步改进了现有的Grassmannian流形中填充的计算方法，建立了PSD锥的更紧密的近似。数值实验表明，该框架可以平衡精度和计算复杂度，有效地解决半正定规划。
2021-09-30 cs.SY eess.SY math.OC
Limitations on the expressive power of convex cones without long chains of faces
锥形式的凸优化问题涉及在凸锥和仿射子空间的交点上最小化线性泛函。在某些情况下，可以用使用另一个更高维但在某种意义上更简单的圆锥的“提升”圆锥公式来替换使用某个圆锥的圆锥公式。这在计算上是有利的一种情况是当高维锥是许多“低复杂度”锥（例如二阶锥或小的半正定锥）的笛卡儿积时。本文研究了具有这种乘积结构的提升表示的凸锥的障碍。主要结果表明，只要一个凸锥具有一定的邻属性，那么它就不具有使用锥的有限乘积的提升表示，其中每个锥只有短链的面。这是Averkov最近工作的推广（“半定方法中多项式优化的线性矩阵不等式的最佳大小”，SIAM J. Appl. Alg. Geom.，第3卷，第1期，128- 151，2019），只考虑使用有界大小的半正定锥的乘积的提升表示。其中的后果的主要结果是，各种锥相关的非负多项式没有解除表示使用产品的“低复杂性”锥，如光滑锥，指数锥，锥定义的双曲多项式的低程度。
2019-08-05 math.OC
On AKKT optimality conditions for cone-constrained vector optimization problems
本文对光滑锥约束向量最优化问题引入了一种近似Karush-Kuhn-Tucker条件（AKKT）。我们表明，没有任何约束规格，AKKT条件是必要的局部弱有效解的考虑问题。对于凸问题，我们证明了AKKT条件是全局弱有效解的最优性条件。我们还介绍了一些严格的约束规格与AKKT条件。
2019-02-20 math.OC
Error Bounds and Singularity Degree in Semidefinite Programming
在半定规划中，尽管在最优性条件中有足够小的残差，但所提出的最优解可能相当差。这个问题可以用前向误差（不可测量的"真误差"）和后向误差（可测量的违反最优性条件）之间的差异来界定。在他的开创性的工作中，Sturm提供了一个上界的向后误差和奇异度方面的前向误差。在本文中，我们提供了一个方法来界定所有的解决方案的最大秩，并利用这个结果得到了一个下界的前向误差的一类收敛序列。这个下界补充了Sturm的上界。Sturm的结果暗示了收敛慢的半定规划必然具有大的奇异度。在这里，我们表明，大的奇异度，在某种意义上说，也是一个充分条件的缓慢收敛的家庭外部型"中心"的道路。我们的结果得到了数值观测的支持。
2019-08-12 math.OC
Max-Min Bilinear Completely Positive Programs: A Semidefinite Relaxation with Tightness Guarantees
Lee Kong Chian School of Business, Singapore Management University（新加坡管理大学李光前商学院）；Department of Mathematics, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学数学系）；Institute for Research and Continuing Education, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学持续教育学院）；Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学应用数学系）
本文提出了一种针对最大-最小双线性完全正规划问题的半定松弛方法，通过紧性保证解决混合二进制二次最大-最小问题，并应用于循环Colonel Blotto游戏。
2026-02-16 math.OC
Second-order cone representation for convex subsets of the plane
半定规划（SDP）是在多个线性矩阵不等式（LMI）的公共解集上优化一个线性函数的任务。对于SDP求解器的运行时间，这些LMI的最大矩阵大小通常比它们的数量更关键。凸集$K\subseteq\mathbb R^n$的半定扩张度$\text{sxdeg}(K)$是最小数$d$，使得$K$是有限交集$S_1\cap\dots\cap S_N$的线性像，其中每个$S_i$是由大小为$\le d$的线性矩阵不等式定义的谱面体。因此，$\text{sxdeg}(K)$可以被看作是在集合$K$上执行半定程序的复杂性的度量。给出了$\text{sxdeg}(K)$的几个等价刻画，并利用它们证明了我们的主要结果：$\text{sxdeg}(K)\le2$对任何闭凸半代数集$K\subseteq\mathbb R^2$成立.换句话说，这种$K$可以使用二阶锥来表示。
2021-01-28 math.OC
Normal Cones Intersection Rule and Optimality Analysis for Low-Rank Matrix Optimization with Affine Manifolds
仿射流形上的低秩矩阵优化（rank-MOA）的目标是极小化与仿射流形相交的低秩集上的连续可微函数。本文主要研究秩次MOA的最优性分析。作为基础，在一些温和的线性独立性假设下，建立了Fréchet法锥与秩MOA可行集的相交规则。借助于所得到的法锥的显式公式，研究了秩MOA的F-稳定点和α-稳定点，并以一阶最优性条件的形式揭示了它们与局部/全局极小的关系.基于模型的二阶微分信息，给出了二阶最优性分析的必要条件和充分条件。这些结果将丰富低秩矩阵优化理论，并为设计求解低秩矩阵优化问题的有效数值算法提供潜在的线索。同时，两个具体的应用程序的秩MOA进行了讨论，以说明我们提出的最优性分析。
2022-02-17 math.OC
Inner approximating the completely positive cone via the cone of scaled diagonally dominant matrices
由于完全正规划在编码困难最优化问题方面的表现力，许多完全正锥的近似方案被提出并成功应用。大多数方案都是基于外部近似，只有内部近似是基于线性规划的方法，由Bundfuss和Dür以及Yıldırım提出，以及Lasserre提出的基于半定规划的方法。在本文中，我们提出了使用的锥的非负规模对角占优矩阵作为一个自然的内部逼近的完全正锥。利用这个锥的投影，我们得到新的基于图的二阶锥逼近计划完全正规划，导致统一和问题相关的层次结构。这提供了半定规划的表达能力和基于线性规划的方法的速度之间的折衷。随机问题，标准二次规划和独立集问题的数值结果表明，我们的方法的有效性。
2019-10-04 math.OC
A Globally Convergent LP and SOCP-based algorithm for Semidefinite Programming
半定规划（SDP）是数值优化中最通用的框架之一，作为许多圆锥规划的推广和NP-难组合问题的松弛。它们的主要缺点是它们的计算和内存复杂性，这对现成的SDP求解器可解决的问题的大小设置了实际限制。为了规避这一事实，已经提出了许多算法来利用特定问题的结构，并增加这些问题实例的SDP的可扩展性。然而，一般情况下的服务提供点的进展并不那么陡峭。在本文中，由Ahmadi和霍尔的早期结果的动机，我们表明，一般SDP可以解决$ε$ -最优性，在多项式时间内，通过执行一系列计算要求较低的线性或二阶锥程序。此外，我们提供了一个界上的迭代次数需要达到$ε$ -最优。这些结果使用随机SDPs和来自SDPLib数据集的众所周知的问题来说明。
2022-02-24 math.OC
Tilt stability of a class of nonlinear semidefinite programs
本文研究一类非线性半定规划局部最优解的倾斜稳定性，利用广义目标函数二阶次导数和乘子限制，推导出基于点的充分与必要刻画，首次在无约束非退化条件下解决了该问题。
2024-12-22 math.OC
Semidefinite geometry of the numerical range
LAAS-CNRS, University of Toulouse（图卢兹大学 LAAS-CNRS）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
通过半定锥的仿射截面与投影，研究矩阵数值范围的几何对偶性，并揭示其与代数曲线凸包及半定规划对偶的联系。
2010-03-25 cs.NA math.AG math.NA
Semidefinite geometry of the numerical range
LAAS-CNRS, University of Toulouse, France（图卢兹大学 LAAS-CNRS）；Faculty of Electrical Engineering, Czech Technical University in Prague, Czech Republic（布拉格捷克理工大学电气工程学院）
通过半定锥的仿射截面与投影，建立数值域与线性矩阵不等式可行集的对偶关系，并利用代数曲线刻画凸包，揭示半定规划对偶性。
2008-12-09 cs.NA math.AG math.NA
Block Factor-Width-Two Matrices in Semidefinite Programming
Department of Engineering Science, University of Oxford（牛津大学工程科学系）
本文提出了一种块因子宽度-2矩阵，它是因子宽度-2矩阵的推广，也是正定矩阵的子集。这些块因子宽度-2矩阵构成一个proper cone，并计算了其对偶锥的闭式表达式。我们利用这些锥体构建了正定矩阵锥的内近似和外近似层次结构。这些锥体的主要特点是能够将大规模半正定约束分解为若干较小的半正定约束。作为这些矩阵类的主要应用，我们设想了包含平方和（SOS）程序在内的大规模半正定可行性优化程序。我们展示了SOS优化中的数值示例，展示了这种分解的性质。
2019-03-12 cs.SY eess.SY math.OC
Decomposition in conic optimization with partially separable structure
线性规划的分解技术很难推广到具有一般非多面体凸锥的锥最优化问题，因为锥不等式在变量之间引入了额外的非线性耦合。然而，在许多应用中，凸锥具有部分可分离的结构，这允许它们以更简单的低维锥来表征。最重要的例子是弦稀疏模式的稀疏半定规划。在这里，部分可分性来自于团分解定理，该定理描述了具有弦稀疏模式的半正定和半正定可完备矩阵。本文描述了一种利用部分分离性的二次曲线线性最优化的分解方法。该方法基于Spingarn的等式约束凸优化方法，结合一种快速的邻近点方法来计算邻近算子。
2013-06-01 math.OC
Second-Order Optimality Conditions in Cone-Constrained Vector Optimization with Arbitrary Nondifferentiable Functions
本文对任意不可微函数引入了一个新的二阶方向导数和Hadamard型二阶次微分。本文给出了无约束最优化问题的局部最优性条件、全局极小值性条件和孤立局部极小值性条件。特别地，我们得到了广义凸函数的两类结果。我们还将我们的条件与最近发表的论文[Bednavrik，D.，牧师，K.：无约束最优化中的二阶条件。数学课程。Ser A，{ \bf 113}，283- 291（2008）]和许多发表在高水平期刊上的其他作品，并证明它们是我们的必要和充分条件的特例。证明了最优性必要条件最优性条件涉及的函数不仅限于下Dini方向导数，甚至包括最后一阶导数在内的最优性条件最优性条件也适用于不属于某个特殊类的函数.最后，我们应用无约束问题的最优性准则，得到了锥约束向量问题的最优性的充分必要最优性条件。
2014-11-17 math.OC
Optimality conditions with cone-generalized convex vector functions
Technical University of Varna（瓦尔纳理工大学）
本文针对带锥约束的广义凸向量非线性规划问题，推广了标量及多目标Paretian情形的最优性条件，引入两类新概念并证明了相关等价刻画。
2026-10-14 math.OC
A survey of semidefinite programming approaches to the generalized problem of moments and their error analysis
广义矩问题是正Borel测度的凸锥上的锥线性最优化问题。它有着广泛的应用，包括多项式和有理函数的全局优化、金融期权定价、构造数值积分的求积格式以及分布鲁棒优化。一种常见的解决方案，由于J. B. Lasserre的方法是用有限维外锥和内锥逼近正Borel测度的凸锥。我们将审查这些近似的一些结果，特别关注的收敛速度的层次的上限和下界的一般问题的时刻，从这些内部和外部近似。
2018-11-13 math.OC
Optimality of spherical codes via exact semidefinite programming bounds
本文通过三点半定规划界和改进的近似解精确舍入技术，证明了多种已知无三角形强正则图谱嵌入和Kerdock码构造的互无偏基排列为最优球码，并确立了特定Kerdock二进制码的最优性与唯一性及16维中288个点的普遍最优性。
2024-03-25 cs.IT math.IT math.MG
Tight SDP relaxations for cardinality-constrained problems
本文用半定规划松弛基数约束投资组合问题，实验证明该松弛产生紧下界且常达最优，凸显半定规划对混合整数二次问题的建模能力。
2024-02-07 math.OC
Sufficient Conditions for Exact Semidefinite Relaxation of Optimal Power Flow in Unbalanced Multiphase Radial Networks
本文证明了在树形拓扑的不平衡多相网络中，当临界节点不相邻时，最优潮流问题的半定规划松弛是精确的。这里，关键总线直接贡献于费用函数，或者是注入约束在最优性时是紧的地方。我们的结果推广了单相树型网络中精确松弛的一个充分条件到任意相数的树型网络。
2020-09-12 math.OC
