On semidefinite programming characterizations of the numerical radius and its dual norm
本文证明矩阵数值半径及其对偶范数的半定规划刻画，确立其多项式时间可计算性，并据此给出 2×n×m 实张量谱范数与核范数的公式。
2024-01-24 cs.NA math.NA math.OC
A semidefinite programming hierarchy for covering problems in discrete geometry
UiT The Arctic University of Norway（挪威阿尔塔大学）；Linköping University（林雪平大学）；Universität zu Köln（科隆大学）
本文提出了一种新的半定规划层次结构，用于解决紧致度量空间中的覆盖问题，并展示了该结构在有限步内收敛的性质。
2025-05-23 math.MG math.OC
Real Algebraic Geometry and its Applications
这是一篇关于实代数和几何的综述文章，特别是它在优化和凸性方面的最新应用。我们首先介绍经典理论的基本概念和结果。然后，我们解释这些如何与优化，主要是通过半定规划。我们介绍了有趣的几何问题所产生的半定规划的可行集的分类。我们关闭的角度非常活跃的领域的非交换实代数和几何。
2016-06-23 math.AG math.OC
Riemannian Metric and Geometric Mean for Positive Semidefinite Matrices of Fixed Rank
University of Liège（列日大学）
本文针对固定秩半正定矩阵集合，提出一种基于黎曼商几何的新度量与均值，该度量具有测地完备性和不变性，并给出基于SVD的高效距离近似与保持秩的几何平均。
2009-10-21 cs.NA math.NA math.OC
An exact duality theory for semidefinite programming based on sums of squares
Farkas引理是线性规划的一个基本结果，为线性不等式系统的不可行性提供了线性证明。在半定规划中，这种线性证明只存在于强不可行的线性矩阵不等式中。我们提供了非线性代数证明所有不可行的线性矩阵不等式的精神，真正的代数几何：一个线性矩阵不等式是不可行的，当且仅当-1在于与它相关联的二次模。我们还提出了一个新的精确对偶理论的半定规划，激发实根和平方和证书从真正的代数几何。
2012-11-11 math.OC
On semidefinite programming characterizations of the numerical radius and its dual norm for quaternionic matrices
本文给出了四元数矩阵数值半径及其对偶范数的半定规划刻画，并证明了利用短步长原始内点法可在多项式时间内完成给定精度下的计算。
2024-02-19 math.OC
Dualities in Convex Algebraic Geometry
凸代数几何关注最优化理论和实代数几何之间的相互作用。它的研究对象包括凸半代数集，出现在半定规划和平方和。本文比较了三个概念的对偶性是相关的，在这些情况下：对偶性的凸体，对偶性的投射品种，和Karush-Kuhn-Tucker条件来自拉格朗日对偶。证明了多项式规划的最优值是一个代数函数，其极小多项式由与约束集投影对偶的超曲面表示。我们给出了一个阐述最近的结果上的边界结构的凸包的一个紧凑的品种，我们对比这拉塞尔的表示作为一个spectrahedral阴影，我们探索的几何基础的半定规划对偶。
2010-06-25 math.AG math.OC
Generating Linear, Semidefinite, and Second-order Cone Optimization Problems for Numerical Experiments
算法的数值性能可以使用测试集或生成此类问题的程序来研究。本文提出了生成线性、半定和二阶锥最优化问题的各种方法。具体来说，我们感兴趣的问题的情况下，需要一个已知的最优解，一个已知的最优分区，一个特定的内部解决方案，或所有这些在一起。在所提出的问题生成器中，可以选择最优化问题的不同特征，包括维数、大小、条件数、退化、最优划分和稀疏性，以便于进行全面的计算实验。我们还开发了程序，以生成具有预定的最佳分区的最大互补最优解的实例，以生成具有挑战性的半定和二阶锥最优化问题。生成的实例使我们能够评估有效的边界点方法的圆锥曲线最优化问题。
2023-02-01 math.OC
On computing the nonlinearity interval in parametric semidefinite optimization
本文重新讨论了半定最优化问题中目标函数沿固定方向扰动的参数分析。我们回顾了不变集，非线性区间，最优划分的过渡点的概念，我们研究他们的特征。我们证明了转移点的集合是有限的，并且基于Painlevé-Kuratowski集收敛的最优集映射的连续性可能在非线性区间上失效。在局部非奇异性条件下，我们开发了一种方法，源于数值代数几何，有效地计算非线性区间和过渡点的最佳分区。最后，我们支持我们的程序应用到一些数值例子的理论结果。
2021-12-29 math.AG math.OC
Positive semidefinite rank
设M是一个p × q矩阵，其元素为非负。M的半正定秩（psd秩）是存在大小为$k \times k$的正半定矩阵$A_i, B_j$使得$M_{ij} = \text{trace}(A_i B_j)$的最小整数k。psd秩有许多吸引人的几何解释，包括多面体的半定表示和信息论应用。在本文中，我们发展和调查psd秩的主要数学性质，包括它的几何形状，与其他秩概念的关系，以及计算和算法方面。
2014-07-15 cs.DM math.CO math.OC
Decomposition of arrow type positive semidefinite matrices with application to topology optimization
Kojima等人最近使用了弦稀疏图矩阵的大型矩阵不等式分解。\cite{kim2011exploiting}用于减小大规模半定优化（SDO）问题的问题大小，从而提高标准SDO软件的效率。这种分解的副产品是引入新的密集小尺寸矩阵变量。我们将证明，对于满足适当假设的箭型矩阵，附加的矩阵变量具有秩1，因此可以用相同维数的向量变量代替。这导致了标准SDO软件效率的显著提高。我们将把这种思想应用到拓扑优化问题中，将其表述为一个大规模线性半定最优化问题。数值算例表明，与原大规模问题相比，分解问题的求解速度有了很大的提高。在我们的数值例子中，分解的问题表现出线性增长的复杂性相比，超过立方增长的原始问题制定。我们还将给出一个连接我们的方法的标准理论的区域分解，并表明，额外的向量变量的结果，相应的离散Steklov-Poincaré运营商。
2019-11-21 cs.NA math.NA math.OC
Post-Processing with Projection and Rescaling Algorithms for Semidefinite Programming
本文提出一种迭代调用投影与重缩放方法的SCP求解算法，并作为内点法求解器的后处理步骤，在半定锥直积实例上稳定获得更准确的近似最优解。
2024-01-19 cs.NA math.NA math.OC
Generalized low rank approximation to the symmetric positive semidefinite matrix
本文研究对称正半定矩阵在Frobenius范数下的广义低秩逼近：$$\underset{ rank(X)\leq k}{\min} \sum^m_{i=1}\left \Vert A_i - B_i XB_i^T \right \Vert^2_F,$$，其中$X$是未知对称正半定矩阵，$k$是正整数.首先利用正半定矩阵$Y$的性质，将广义低秩逼近问题转化为无约束广义最优化问题.然后应用非线性共轭梯度法求解广义最优化问题。最后给出了数值算例，说明了数值算法的可行性.
2019-12-20 math.OC
Approximate Projections onto the Positive Semidefinite Cone Using Randomization
School of Electrical and Electronic Engineering, The University of Sheffield（谢菲尔德大学电气与电子工程学院）；Department of Electrical Engineering, Columbia University（哥伦比亚大学电气工程系）
本文提出两种基于随机数值线性代数的算法，通过构造低秩矩阵近似将正半定锥投影的计算复杂度从O(n³)降至O(kn²)，经大规模矩阵实验验证可有效近似该投影。
2026-08-19 cs.NA math.NA math.OC
Bilevel Polynomial Programs and Semidefinite Relaxation Methods
二层规划是一个最优化问题，其约束涉及另一个最优化问题。本文研究二层多项式规划（BPP），即，所有的函数都是多项式。我们重新制定BPPs相当于半无限多项式程序（SIPPs），使用弗里茨约翰条件和雅可比表示。结合交换技术和Lasserre型半定松弛，我们提出了求解简单和一般BPP的数值方法。对于简单的BPP，我们证明了全局最优解的收敛性。数值实验表明了算法的有效性。
2016-11-03 math.OC
Local convergence analysis of augmented Lagrangian method for nonlinear semidefinite programming
自1969年Hestenes和Powell提出增广拉格朗日方法以来，增广拉格朗日方法以其优美的理论和令人印象深刻的数值性能得到了广泛的应用。它已被广泛应用于许多高效的求解器，以提高数值性能，解决许多问题。在不要求乘子唯一性的条件下，通过假设Karush-Kuhn-Tucker（KKT）解的二阶充分条件和半孤立镇定性，在较弱的条件下，得到了非线性半定规划（NLSDP）的ALM生成的原对偶序列的局部（渐近Q-超线性）Q-线性收敛速率.
2022-08-08 math.OC
Semidefinite Programming For Chance Constrained Optimization Over Semialgebraic Sets
在本文中，“机会优化”的问题，其中一个目的是最大化的概率由多项式不等式定义的集合。这些问题，在一般情况下，非凸和计算困难。与发展系统的数值程序来解决这些问题的目的，凸松弛序列的措施和矩的理论的基础上，其序列的最优值收敛到原问题的最优值。事实上，我们提供了一个序列的半定方案的增加的维度，可以任意近似的解决方案的原始问题。为了能够有效地解决由此产生的大规模半定松弛，一阶增广拉格朗日算法实现。数值例子来说明所提出的方法的计算性能。
2015-05-09 math.OC
Iterative Inner/outer Approximations for Scalable Semidefinite Programs using Block Factor-width-two Matrices
在本文中，我们提出了迭代内/外近似的基础上最近的概念块因子宽度2矩阵求解半定规划（SDP）。我们的内/外近似算法生成一系列的上/下界的最佳SDP成本的精度不断增加。在我们的算法中的块划分提供了灵活性的数值效率和解决方案的质量，其中包括作为特殊情况的缩放对角优势（SDD）近似的方法。我们讨论的理论结果和数值实现的细节。我们的主要定理保证所提出的迭代算法产生单调递减的上（下）界。大量的数值结果证实了我们的发现。
2022-09-29 cs.SY eess.SY math.OC
Certifying solutions of degenerate semidefinite programs
针对半定规划可行性认证问题，提出无需有理可行解假设的混合符号-数值方法，通过构造多项式方程组保证孤立正确解，实验表明优于纯符号方法。
2025-04-25 cs.SC math.AG math.OC
Local convergence of alternating low-rank optimization methods with overrelaxation
研究了低秩矩阵和张量问题的超松弛交替最优化方法的局部收敛性。分析是基于线性化的方法，它采取的形式SOR迭代的半正定海森，并可以在相应的商几何等价低秩表示进行研究。在矩阵情况下，加速局部收敛的最佳松弛因子可以由标准方法的收敛速度确定。这个结果依赖于半正定$2 \times 2$块系统的Young SOR定理的一个版本。
2022-06-28 cs.NA math.NA math.OC
A finite-termination algorithm for testing copositivity over the positive semidefinite cone
University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Hefei Normal University（合肥师范学院）
本文提出一种有限终止算法，用于检验多项式在正半定锥上的正定性，并通过数值实验验证其有效性。
2026-01-10 math.OC
Using a Factored Dual in Augmented Lagrangian Methods for Semidefinite Programming
在求解半定规划问题的增广拉格朗日方法的背景下，我们研究了通过采用因子分解消除对偶矩阵上的半正定约束的可能性。提示如何处理由此产生的无约束最大化的增广拉格朗日。我们进一步使用增广拉格朗日函数的近似最大值，目的是提高交替方向增广拉格朗日框架的收敛速度。数值结果的报告，显示该方法的好处。
2018-09-10 math.OC
On the $p$-order Semismoothness of the Metric Projection onto Slices of the Positive Semidefinite Cone
本文研究半正定锥仿射切片上度量投影的$p$阶半光滑性，通过构造性示例证明该性质不成立，揭示了二阶锥与半正定锥的几何差异，为线性半定规划的分析与算法设计提出新要求。
2025-09-04 math.OC
Worst-Case Results For Positive Semidefinite Rank
本文主要在多面体的背景下，给出了非负矩阵半正定秩的各种最坏情况结果。本文证明了具有v个顶点的一般n维多胞形的psd秩至少比以前的下界提高了（n）^（1/4）。对于顶点数为v的多边形，我们证明了psd秩不能超过4ceil（v/6），这反过来又证明了秩为3的p × q矩阵的psd秩至多为4ceil（min{p，q}/6）。一般来说，秩为（k+1选2）的非负矩阵的psd秩至少为k，我们提出了一个问题，即psd秩是否正好为k。使用几何和限制量词消除，我们表明，这一决定可以在多项式时间时，k是固定的。
2014-05-30 math.CO math.OC
On generators of $k$-PSD closures of the positive semidefinite cone
本文研究半正定锥的 $k$-PSD 闭包近似，针对其几何理论讨论不足的问题，刻画了该类锥近似的一族生成元。
2024-05-02 math.OC
Sum-of-square-of-rational-function based representations of positive semidefinite polynomial matrices
Quy Nhon University（归仁大学）；Paris-Sud University（巴黎第十一大学）
本文证明了在某些特殊集合上半正定的多项式矩阵的基于有理函数平方和的表示（简称为基于sosrf的表示）：$\mathbb{R}^n;$ $\mathbb{R}$及其区间$[a,b]$、$[0,\infty)$ ;以及条带$[a,b] \times \mathbb{R} \subset \mathbb{R}^2.$还提供了数值计算此类表示的方法。该方法分为两个阶段：（S1）基于Schmüdgen的过程\cite{Schmudgen09}对角化初始多项式矩阵;（S2）对于所得矩阵的每个对角元素，找到满足解决Hilbert第17问题的Artin定理的低秩sosrf表示。对于每一类多项式矩阵，本文还用\textsf{OCTAVE}进行了数值试验和举例说明。
2019-03-28 cs.CL math.OC
Fast implementation for semidefinite programs with positive matrix completion
在短时间内求解半定规划是解决各种数学最优化问题的关键。矩阵完备原对偶邻接点法（MC-PDIPM）通过分解变量矩阵来提取输入SDP的稀疏结构。在本文中，我们提出了一种新的因式分解的基础上的变量矩阵的逆，以提高MC-PDIPM的性能。我们还使用多线程并行计算来处理MC-PDIPM中的主要瓶颈。数值结果表明，新的因子分解和多线程计算减少了具有结构稀疏性的SDP的计算时间。
2014-05-26 math.OC
Lagrangian Duality for Mixed-Integer Semidefinite Programming: Theory and Algorithms
本文提出混合整数半定规划的拉格朗日对偶理论，推导对偶问题并证明其对偶界优于连续松弛界，提出三种算法及界层次，数值实验显示在最大k割问题上界更强。
2025-07-09 math.OC
T-semidefinite programming relaxation with third-order tensors for constrained polynomial optimization
针对带多项式不等式约束的多项式优化问题，提出基于三阶张量的T-半定规划松弛方法，证明其可转化为块对角标准半定规划松弛，在适度假设下收敛于最优值，且数值效率更优。
2024-05-14 math.OC
Geometry of exactness of moment-SOS relaxations for polynomial optimization
本文研究多项式优化中矩-SOS松弛的精确锥几何，证明精确锥是半定可表示锥的并集，并随松弛阶数增加单调嵌入，推广了实簇上二次优化的既有结果。
2025-07-07 math.OC
Inner Approximations of the Positive-Semidefinite Cone via Grassmannian Packings
研究了半正定锥的内逼近问题。我们发展了一个新的分解框架的PSD锥means锥的组合更小的维度。在这个框架下，可以归纳出许多内逼近技术，包括（缩放）对角占优矩阵集、因子宽度矩阵和弦稀疏矩阵。此外，我们提供了一个更灵活的家庭的内部近似的PSD锥，其中我们的目标是安排子锥，使他们最大限度地相互分离。在这样做时，这些approximationtend占据PSD cone的体积的大部分。所提出的方法是连接到一个经典的packingproblem在黎曼几何。更确切地说，我们证明了在PSD锥中寻找最大距离子锥的问题等价于在Grassmannian流形中填充子空间的问题。我们进一步改进了现有的Grassmannian流形中填充的计算方法，建立了PSD锥的更紧密的近似。数值实验表明，该框架可以平衡精度和计算复杂度，有效地解决半正定规划。
2021-09-30 cs.SY eess.SY math.OC
HDSDP: Software for Semidefinite Programming
本研究开发了半定规划数值软件HDSDP，采用基于简化齐次自对偶嵌入的对偶方法提升稳定性与收敛速度，实验验证其在低秩稀疏SDP算例上的鲁棒性与效率，软件已开源。
2023-11-09 cs.MS math.OC
An echelon form of weakly infeasible semidefinite programs and bad projections of the psd cone
弱不可行半定规划（SDP）没有可行解，但它有约束违反任意小的近似解。这些SDP是不适定的，并且在数值上通常是不可解的。它们也与将正半定矩阵的锥映射到非闭集的“坏”线性投影密切相关。我们描述了一个简单的梯队形式的弱不可行的SDP具有以下性质：（i）它是由小学行运算和同余变换，（ii）它使弱不可行明显，（iii）它允许我们构造任何弱不可行的SDP或坏的线性投影的一个小学组合算法。基于我们的梯队形式，我们生成了一个具有挑战性的弱不可行的SDPs库。最后，我们证明了文献中的一些SDP是我们的梯队形式，例如，SDP的平方和松弛最小化著名的Motzkin多项式。
2022-07-07 cs.SC math.AG math.OC
Semidefinite programming in matrix unknowns which are dimension free
半定规划的主要应用之一是在线性系和控制理论中。这门学科中的许多问题，当然是教科书中的经典问题，都以矩阵为变量，公式中自然包含矩阵中的非交换多项式。这些多项式只依赖于系统的布局，不随矩阵的大小而变化，因此这些问题被称为“无量纲”问题。分析无量纲问题导致了最近的发展的非交换（NC）真正的代数几何（RAG），当结合凸性，产生无量纲半定规划。本文调查什么是已知的凸性在非交换设置和数控SDP，包括一个简短的调查数控RAG。典型地，非对易情形的定性性质比它们的标量对应物（R^g中的变量）的定性性质清晰得多。事实上，我们描述了如何放松标量变量的矩阵变量在几个自然的情况下，结果在一个美丽的结构。
2011-12-29 math.FA math.OA math.OC
Testing the Nullspace Property using Semidefinite Programming
压缩感知的最新研究结果表明，在一定条件下，欠定线性方程的稀疏解可以通过求解线性规划来恢复。这些结果要么依赖于计算设计矩阵的稀疏特征值，要么依赖于其零空间的性质。到目前为止，还没有一个易于处理的算法来测试这些条件，目前的大多数结果依赖于随机矩阵的渐近性质。给定一个矩阵A，我们使用半定松弛技术来测试零空间属性的A和一些数值例子表明，这些松弛界可以证明具有相对较高的基数稀疏解决方案的完美恢复。
2010-11-01 math.OC
Local Linear Convergence of the Primal-Dual Hybrid Gradient Method for Semidefinite Programming
University of Houston（休斯顿大学）
研究半定规划中原始对偶混合梯度法的局部收敛性，证明满足特定条件时该方法最终线性收敛，通过特定方法结合不等式及误差界证明，给出反例说明不满足条件时次线性收敛，实验支持理论并找出困难实例。
2026-07-10 math.OC
Positive Maps and Separable Matrices
如果所有的正半定矩阵都映射到正半定矩阵，则实对称矩阵空间之间的线性映射是正的。一个实对称矩阵是可分的，如果它可以表示为正半定矩阵的克罗内克积之和。本文研究了线性映射的正性检验和矩阵的可分性检验。我们提出了数值算法，Lasserre型半定松弛的基础上，解决这些问题。为了检验线性映射的正性，我们构造了一个半定松弛族来极小化单位球面上的双二次型。我们发现，可以通过解决有限数量的这种半定松弛检测的积极性。为了检验矩阵的可分性，我们构造了一个半定松弛族。如果它不可分，我们可以得到一个数学证明;如果它是，我们可以得到一个分解的可分性。
2016-03-26 math.OC
Block Factor-Width-Two Matrices in Semidefinite Programming
Department of Engineering Science, University of Oxford（牛津大学工程科学系）
本文提出了一种块因子宽度-2矩阵，它是因子宽度-2矩阵的推广，也是正定矩阵的子集。这些块因子宽度-2矩阵构成一个proper cone，并计算了其对偶锥的闭式表达式。我们利用这些锥体构建了正定矩阵锥的内近似和外近似层次结构。这些锥体的主要特点是能够将大规模半正定约束分解为若干较小的半正定约束。作为这些矩阵类的主要应用，我们设想了包含平方和（SOS）程序在内的大规模半正定可行性优化程序。我们展示了SOS优化中的数值示例，展示了这种分解的性质。
2019-03-12 cs.SY eess.SY math.OC
Minimizing Polynomial Functions
我们比较了多变量多项式函数的全局优化算法。它表明，现有的代数方法（Gröbner基地，结式，同伦方法）显着优于松弛技术，由于N.Z.肖尔和第一作者，其中涉及平方和半定规划。这开辟了使用半定规划松弛所产生的Positivstellenetrance广泛的计算问题，在真正的代数几何的可能性。这篇论文是在2001年3月12日至16日在罗格斯大学DIMACS举行的数学和计算机科学中的实代数几何的数学和定量方面的研讨会上提出的。
2001-03-26 math.AC math.AG math.OC
A Tuning-Free Primal-Dual Splitting Algorithm for Large-Scale Semidefinite Programming
本研究提出一种免调参的原始-对偶混合梯度算法，结合PDHG与DRS的等价性及非平稳DRS的渐近收敛性构建统一收敛分析框架，在大规模半定规划问题上展现出更优的收敛速度与鲁棒性。
2024-02-01 math.OC
LP-based Tractable Subcones of the Semidefinite Plus Nonnegative Cone
作者在以前的文件中设计了某些子锥的半定加非负锥，并表明，满足要求的成员资格，这些子锥可以检测到通过解决线性最优化问题（LP）与$O(n)$变量和$O(n^2)$约束。他们还设计了基于LP的算法，用于使用子锥来测试共正性。在本文中，他们调查的子锥的属性更详细，并探讨较大的子锥的半正定加非负锥的满足要求的成员可以检测到解决LP。他们引入了{ \em半定基（SD基）}，它是由$n(n+1)/2$对称半定矩阵组成的$n \times n$对称矩阵空间的基.使用SD的基础上，他们设计了两个新的子锥检测可以通过解决LP与$O(n^2)$变量和$O(n^2)$约束。新的子锥比上一篇文章中的子锥更大，并继承了它们的优良性质。作者还研究了这些子锥的效率在数值实验中。结果表明，作为一个有用的应用，子锥是有希望的测试共正性。
2017-10-03 math.OC
SDPNAL$+$: A Majorized Semismooth Newton-CG Augmented Lagrangian Method for Semidefinite Programming with Nonnegative Constraints
在本文中，我们提出了一个优化的半光滑Newton-CG增广拉格朗日方法，称为SDPNAL $+$，半定规划（SDP）的部分或全部非负约束的矩阵变量。SDPNAL $+$是由Zhao、Sun和Toh [SIAM Journal on Optimization，20（2010），pp.~ 1737--1765]来求解一般的SDP。SDPNAL工程非常有效的非退化的SDPs，但可能会遇到数值困难退化的。在这里，我们通过采用优化的半光滑牛顿-CG增广拉格朗日方法结合Sun，Toh和Yang最近引入的收敛的3块交替方向乘数方法来解决这个数值困难[arXiv预印本arXiv：1404.5378，（2014）]。对各种有无非负约束的大规模SDP的数值结果表明，所提出的方法不仅速度快，而且在获得精确解方面具有鲁棒性。它的性能明显优于其他两种基于竞争性公开可用的一阶方法的代码：（1）基于乘数的交替方向方法求解器，由Wen，Goldfarb和Yin [Mathematical Programming Computation，2（2010），pp.~ 203 - 230]和（2）Monteiro，Ortiz和Svaiter的称为2 EBD-HPE的两个简单块分解混合近端外梯度方法[数学编程计算，（2013），pp. 1 - 48]。与这两个代码相比，我们能够有效地解决SDPNAL中测试的二次分配问题的松…
2014-06-04 math.OC
Affine Facial Reduction for Semidefinite Relaxations of Binary and Mixed-Binary Optimization Problems
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出仿射 facial 归约（affine FR）方法，用于二元与混合二元优化问题的 SDP 松弛，可降低矩阵阶数，在 MIPLIB 2017 实例上表现优于部分 FR 变体，还能改善 SAT 松弛的求解效果。
2026-09-04 math.OC
A survey of semidefinite programming approaches to the generalized problem of moments and their error analysis
广义矩问题是正Borel测度的凸锥上的锥线性最优化问题。它有着广泛的应用，包括多项式和有理函数的全局优化、金融期权定价、构造数值积分的求积格式以及分布鲁棒优化。一种常见的解决方案，由于J. B. Lasserre的方法是用有限维外锥和内锥逼近正Borel测度的凸锥。我们将审查这些近似的一些结果，特别关注的收敛速度的层次的上限和下界的一般问题的时刻，从这些内部和外部近似。
2018-11-13 math.OC
Lower bounds on matrix factorization ranks via noncommutative polynomial optimization
我们使用的技术（跟踪非交换）多项式优化，制定层次的半定规划下界矩阵分解秩。特别地，我们考虑非负秩，半正定秩，以及它们的对称类似物：完全正秩和完全半正定秩。我们研究了层次结构的收敛性，将它们与已知的下界进行了广泛的比较，并提供了一些（数值）示例。
2018-11-05 math.OC
Dual Spectral Projected Gradient Method for Generalized Log-det Semidefinite Programming
本文将 Nakagaki 等人提出的对偶谱投影梯度法扩展至含附加项的广义对数行列式半定规划，统一覆盖更多高斯图模型结构，并证明其收敛性且通过数值实验验证了效率。
2024-09-29 math.OC
Complexity analysis of interior-point methods for second-order stationary points of nonlinear semidefinite optimization problems
针对现有非线性半定优化算法仅保证一阶平稳且无迭代复杂度的问题，提出带负曲率方向的原对偶内点法，可收敛到二阶平稳点并具备最坏情况迭代复杂度，实验验证了方法有效性。
2023-06-16 math.OC
Semidefinite Programming Approximation for a Matrix Optimization Problem over an Uncertain Linear System
本文针对不确定线性系统矩阵优化问题（MOPUL）的 NP 难特性，提出基于参考输出的多项式时间半定规划近似模型，并给出累积误差上界及可行性与最优性分析，通过数值实验验证扰动噪声对近似性能的影响。
2023-10-30 math.OC
Sparse Semidefinite Programs with Guaranteed Near-Linear Time Complexity via Dualized Clique Tree Conversion
团树转换通过将一个$n\times n$矩阵变量分裂成最多为$n$的更小的矩阵变量来求解大规模半定规划，每个矩阵变量表示最多为$ω\timesω$的主子矩阵。它的根本弱点是需要引入重叠约束，以加强不同矩阵变量之间的一致性，因为这些约束可能导致密集耦合。在本文中，我们表明，通过对偶的团树转换，由于重叠约束的耦合保证是稀疏的密集块，与块稀疏模式，符合树的邻接矩阵。我们考虑两类半定方案具有良好的稀疏模式，包括MAXCUT和MAX $k$ -CUT松弛，Lovasz Theta问题，和AC最优潮流松弛。在假设$ω\ll n$的条件下，我们证明了一个边界点方法的每次迭代代价是线性的$O(n)$时间和内存，因此在近似线性的$O(n^{1.5}\log(1/ε))$时间内进行$O(\sqrt{n}\log(1/ε))$迭代后，得到了一个$ε$ -精确和$ε$ -可行的边界点.我们证实了我们的理论见解与半定程序的数值结果大$n=13659$。（支持代码在https://github.com/ryz-codes/dual_ctc）
2020-04-27 math.OC
