A note on the Lovasz-Schrijver Semidefinite Programming Relaxation for Binary Integer Programs
二进制整数规划（BIP）问题之所以引起人们的兴趣，部分是因为它们所造成的困难，以及因为它们的各种应用，包括在图论、组合优化和网络优化中的应用。在本文中，我们明确地陈述了BIP问题的Lovasz-Schrijver半定规划（SDP）松弛（原始标准式），该松弛产生比规范线性规划松弛更紧的上界。
2012-08-18 math.OC
Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming
研究了一类线性半无限多项式规划问题。它是线性半无限规划问题的一个子类，其约束函数是关于参数的多项式，指标集是基本半代数集。我们提出了一个层次的半定规划（SDP）松弛的LSIPP问题。在已有结果的基础上，建立了SDP弛豫的收敛速度分析.我们展示了如何验证LSIPP问题的可行集的紧性。最后，我们将SDP松弛法推广到更一般的半无限规划问题。
2019-10-24 math.OC
Convergence rate analysis of randomized and cyclic coordinate descent for convex optimization through semidefinite programming
本文研究了凸无约束最优化问题的随机坐标下降和循环坐标下降。利用数值半定规划的性能估计方法，在某些情况下改进了已知的收敛速度。作为一个副产品，我们提供了一种方法来分析最坏情况下的性能的高斯-赛德尔迭代法的线性系的系数矩阵是半正定的正对角。
2022-12-23 math.OC
T-positive semidefiniteness of third-order symmetric tensors and T-semidefinite programming
三阶张量的T-积在文献中得到了广泛的应用。本文首先引入了具有张量积的多向量实值函数的一阶和二阶T-导数，并受二次连续T-可微多向量实值函数凸性的一个等价刻画的启发，给出了三阶对称张量的T-半正定性的定义.然后，我们将正半定矩阵的许多性质推广到三阶对称张量的情形。特别地，类似于广泛使用的半定规划（简称SDP），我们引入了三阶对称张量空间上的半定规划（简称T-semidefinite programming，简称TSDP），并将TSDP问题转化为复域上的半定规划问题来求解.此外，我们给出了几个例子，可以制定（或放松）的TSDP问题，并报告两个无约束多项式最优化问题的初步数值结果。实验结果表明，通过TSDP松弛算法寻找多项式的全局极小值的性能优于传统的SDP松弛算法。
2020-06-19 math.OC
A stabilized sequential quadratic semidefinite programming method for degenerate nonlinear semidefinite programs
本文提出了一种求解退化非线性半定规划的序列二次半定规划（SQSDP）方法，该方法通过求解一系列稳定的二次半定规划（QSDP）子问题来产生迭代点，这些子问题是由与NSDP相关的极大极小问题衍生而来的.与现有的SQSDP方法不同，该方法允许我们不精确地求解这些QSDP子问题，并且每个QSDP都是可行的。该方法的另一个显著特点是在整体收敛分析中不需要约束规格或Lagrange乘子序列的有界性。具体地说，没有假设这样的条件下，我们证明了整体收敛到一个点满足以下任何一个：稳定条件的可行性问题，近似Karush-Kuhn-Tucker（AKKT）条件，和跟踪AKKT条件。最后，我们进行了一些数值实验来检验所提出的方法的效率。
2021-04-22 math.OC
Block-diagonal semidefinite programming hierarchies for 0/1 programming
Lovasz和Schrijver，以及后来的Lasserre，提出了一般0/1线性规划问题的半定规划松弛的层次。在本文中，这两个结构重新审视，并提出了两个新的，块对角层次结构。它们的优点是计算成本较低，同时至少与Lovasz-Schrijver层次结构一样强大。我们的建设适用于独立集问题和实验结果的Paley图。
2008-08-19 math.OC
Semidefinite relaxations for semi-infinite polynomial programming
研究了半无限多项式规划问题的半定松弛法。本文首先介绍了求解多约束多项式最优化问题的两种SDP松弛法。然后，我们提出了一个交换算法与SDP松弛解决SIPP问题的紧凑指标集。最后，我们通过均匀化方法将所提出的方法推广到具有非紧指标集的SIPP问题。数值结果表明该算法是有效的。
2013-06-08 math.OC
Sum-of-squares optimization without semidefinite programming
将非对称锥优化技术与多项式插值相结合，提出了一种求解平方和最优化问题的齐次原始-对偶邻点法。该方法直接优化的平方和锥和它的对偶，绕过半定规划（SDP）的重新制定，需要大量的辅助变量。因此，它具有比传统的基于SDP的方法低得多的理论时间和空间复杂度。虽然我们的方法避免了半定规划的重新制定，一个最优解的半定规划可以恢复很少的额外努力。计算结果表明，对于涉及高次多项式的问题，所提出的方法比半定规划快几个数量级。
2018-12-20 math.OC
On the Robustness and Scalability of Semidefinite Relaxation for Optimal Power Flow Problems
半定松弛技术在求解非凸最优潮流问题中有着广阔的应用前景。然而，一些独立的数值实验已经导致了对现有SDP求解器的可扩展性和鲁棒性的关注。为了解决这些问题，我们调查了一些数值方面的问题，并比较不同的国家的最先进的解决方案。我们的研究结果表明，半定松弛的大型问题的例子，在10,000总线的顺序可以可靠地解决，并在几分钟内合理的精度。此外，半定松弛的测试用例与25,000总线可以在半小时内可靠地解决;最大的测试用例与82,000总线在8小时内解决。我们还比较了通过半定松弛得到的下界与用非线性最优化方法得到的局部最优解，并计算了最优性间隙。
2019-03-04 math.OC
A Polynomial-Time Affine-Scaling Method for Semidefinite and Hyperbolic Programming
我们开发了一个自然的变种Dikin的仿射尺度法，首先半定规划，然后双曲规划一般。我们匹配的最佳复杂性边界已知的邻点方法。所有以前的多项式时间仿射缩放算法已经为锥最优化问题，其中的基础锥是对称的。然而，双曲锥不需要是对称的。我们的算法是第一个多项式时间仿射尺度方法不依赖于对称性。
2014-10-24 math.OC
Polynomial mathematical programs with equilibrium constraints and semidefinite programming relaxations
本文研究了一个带有平衡约束的数学规划问题，其中目标函数和约束函数都是多项式。给出了一种利用半定规划（SDP）松弛族求其全局极小值和全局极小值的方法，并证明了该方法的收敛性。数值实验表明了该算法的有效性。
2019-03-22 math.OC
A class of nonconvex semidefinite programming in which every KKT point is globally optimal
Institute of Science Tokyo（东京科学大学）；The University of Tokyo（东京大学）
研究一类特殊非凸半定规划问题，证明每个KKT点都是全局最优，并应用于鲁棒分式规划和广义特征值优化。
2026-07-02 math.OC
Calculating Entanglement Eigenvalues for Non-Symmetric Quantum Pure States Based on the Jacobian Semidefinite Programming Relaxation Method
纠缠的几何度量是量子纯态的一种广泛应用的纠缠度量。计算几何测度的关键问题是计算纠缠本征值，这等价于计算对应复张量的最大酉本征值。本文提出了一种计算复张量最大酉特征值的雅可比半定规划松弛法。为此，首先介绍了等式约束多项式优化问题的雅可比半定规划松弛法，然后将求最大酉特征值的问题转化为一个实等式约束多项式最优化问题，用雅可比半定规划松弛法求解.数值算例表明了该方法的有效性。
2019-01-03 math.OC
An exact duality theory for semidefinite programming based on sums of squares
Farkas引理是线性规划的一个基本结果，为线性不等式系统的不可行性提供了线性证明。在半定规划中，这种线性证明只存在于强不可行的线性矩阵不等式中。我们提供了非线性代数证明所有不可行的线性矩阵不等式的精神，真正的代数几何：一个线性矩阵不等式是不可行的，当且仅当-1在于与它相关联的二次模。我们还提出了一个新的精确对偶理论的半定规划，激发实根和平方和证书从真正的代数几何。
2012-11-11 math.OC
On semidefinite programming characterizations of the numerical radius and its dual norm for quaternionic matrices
本文给出了四元数矩阵数值半径及其对偶范数的半定规划刻画，并证明了利用短步长原始内点法可在多项式时间内完成给定精度下的计算。
2024-02-19 math.OC
A new semidefinite relaxation for $\ell_{1}$-constrained quadratic optimization and extensions
本文通过改进变量分裂方法，对$\ell_1$单位球（QPL 1）上的非凸二次最优化问题提出了一种新的半定规划（SDP）松弛方法。它主导了最先进的基于SDP的（QPL 1）边界。作为扩展，我们将新方法应用于稀疏主成分分析的松弛问题和$\ell_p$（$1< p<2$）单位球上的非凸二次最优化问题，并证明了新松弛方法的优势.
2013-12-31 math.OC
Application of the Enhanced Semidefinite Relaxation Method to Construction of the Optimal Anisotropy Function
本文提出并应用增强半定松弛技术求解一类非凸二次最优化问题。该方法是基于增强的半定松弛方法补充线性等式约束的二次线性约束。我们给出了保证原始和增强半定松弛问题的最优值重合的充分条件。我们应用这种方法来解决最佳各向异性函数的问题。我们的想法是构造一个最佳的各向异性函数作为最小的各向异性界面能功能的一个给定的约旦曲线在平面上。我们提出了解决最佳各向异性函数的计算实例。示例包括真实雪花的边界。
2015-04-18 math.OC
Using a Factored Dual in Augmented Lagrangian Methods for Semidefinite Programming
在求解半定规划问题的增广拉格朗日方法的背景下，我们研究了通过采用因子分解消除对偶矩阵上的半正定约束的可能性。提示如何处理由此产生的无约束最大化的增广拉格朗日。我们进一步使用增广拉格朗日函数的近似最大值，目的是提高交替方向增广拉格朗日框架的收敛速度。数值结果的报告，显示该方法的好处。
2018-09-10 math.OC
Tight-and-cheap conic relaxation for the AC optimal power flow problem
经典的交流最优潮流问题是高度非凸的，一般难以求解。凸松弛，特别是半定，二阶锥，凸二次和线性松弛，最近吸引了显着的兴趣。其中半定松弛是最强的，并且在许多情况下是精确的。然而，求解大规模半定优化的计算效率低于二阶锥优化。我们提出了一个圆锥松弛通过半定优化与重构线性化技术相结合，通常被称为RLT。所提出的松弛比二阶锥松弛更强，几乎与标准半定松弛一样紧。使用标准测试用例与多达6515个总线的计算实验表明，解决新的圆锥松弛的时间是一个数量级低于弦松弛，半定松弛技术，利用电力网络的稀疏性。
2019-08-06 math.OC
Primal-dual interior-point Methods for Semidefinite Programming from an algebraic point of view, or: Using Noncommutativity for Optimization
三十多年来，内点方法被证明对优化非常有用，从半定线性规划到圆锥规划（部分超越非凸）;尽管事实上已经在半定情况下（即使强对偶成立）“困难”问题是已知的。我们阴影的光在非交换世界（半定规划），即“交换”路径，而令人惊讶的限制，并提出了一个新的家庭的求解器，能够使用充分丰富的“非交换”搜索方向：（原始）可行的内点方法。除了详细的基本讨论，我们说明了一些变种的“非交换”路径，并提供了一个简单的实现进一步（具体问题）的调查。
2020-02-24 math.OC
Lagrangian Duality for Mixed-Integer Semidefinite Programming: Theory and Algorithms
本文提出混合整数半定规划的拉格朗日对偶理论，推导对偶问题并证明其对偶界优于连续松弛界，提出三种算法及界层次，数值实验显示在最大k割问题上界更强。
2025-07-09 math.OC
A simple preprocessing algorithm for semidefinite programming
我们提出了一个非常简单的半定规划预处理算法。我们的算法检查了问题的约束条件，删除了约束条件中多余的行和列，并减少了变量矩阵的大小。它经常检测不可行性。我们的算法不依赖于任何优化求解器：它唯一需要的子程序是Cholesky因式分解，因此它可以用几行代码以机器精度实现。我们提出了一组主要由多项式优化问题的计算结果。
2016-08-08 math.OC
Exact duality in semidefinite programming based on elementary reformulations
与线性规划不同，在半定规划中，Farkas引理可能无法证明不可行性。在这里，我们通过一种基本的方法得到了SDP中不可行性的一个精确的、简短的证明：我们重新公式化任何形式为Ai*X = bi（i=1，...，m）（P）X >= 0，仅使用基本行运算和旋转。当（P）不可行时，重构系统是平凡不可行的。当（P）可行时，重构系统对所有目标函数都具有Lagrange对偶，具有强对偶性.作为推论，我们得到的算法，以产生的约束{ \em all}不可行的SDP和约束{ \em all}可行的SDP与一个固定的秩的最大解。
2015-04-02 math.OC
A revised sequential quadratic semidefinite programming method for nonlinear semidefinite optimization
2020年，Yamakawa和Okuno提出了一种稳定的序列二次半定规划（SQSDP）方法，用于解决退化非线性半定最优化问题。该算法被证明是全局收敛的，没有约束规格，它有一些很好的性质，包括可行的子问题，和他们可能的不精确计算。特别地，证明了非线性圆锥曲线的近似Karush KuhnTucker（AKKT）条件和迹AKKT条件的收敛性，这两个条件是连续的最优性条件.然而，最近，互补AKKT（CAKKT）条件也被考虑，作为上述条件的替代，这是更实用的。由于很少有方法收敛到CAKKT点，至少在锥优化中，并完成与SQSDP相关的研究，在这里，我们提出了一个修改后的版本的方法，保持良好的性能。我们对已有的算法进行了改进，证明了算法在CAKKT意义下的整体收敛，并给出了初步的数值实验。
2022-04-01 math.OC
Semi-infinite programming using high-degree polynomial interpolants and semidefinite programming
在半无限规划的一个常见公式中，无限约束集是一个要求，即由决策变量参数化的函数在一个区间上是非负的。如果这个函数可以用一个多项式或一个有理函数充分逼近，那么这个半无限规划就可以转化为一个等价的半定规划。解决这个半定规划是具有挑战性的，如果所涉及的多项式是高的程度，由于数值困难和不良缩放所产生的多项式逼近和事实，即半定规划约束来自非负多项式的平方和表示是不良缩放。我们结合有理函数逼近技术和多项式编程来克服这些数值困难，使用平方和插值。具体而言，它示出的条件下，使用平方和插值的重新不恶化，随着程度的增加，和问题涉及的平方和插值的数百度可以处理没有困难。所提出的重新公式是足够好的规模，他们可以很容易地解决每一个常用的半定规划求解器，如SeDuMi，SDPT 3和CSDP。令人鼓舞的应用包括半无限约束和半定圆锥不等式的凸优化问题，如实验的最优设计中出现的问题。数值结果与理论预测一致;在所考虑的问题中，可用内存是限制多项式次数的唯一因素，约为1000。
2017-03-22 math.OC
Sufficient Conditions for Exact Semidefinite Relaxation of Optimal Power Flow in Unbalanced Multiphase Radial Networks
本文证明了在树形拓扑的不平衡多相网络中，当临界节点不相邻时，最优潮流问题的半定规划松弛是精确的。这里，关键总线直接贡献于费用函数，或者是注入约束在最优性时是紧的地方。我们的结果推广了单相树型网络中精确松弛的一个充分条件到任意相数的树型网络。
2020-09-12 math.OC
Exploiting Low-Rank Structure in Semidefinite Programming by Approximate Operator Splitting
与许多其他凸优化类相比，最先进的半定规划求解器还不能有效地解决大规模的情况。这项工作的目的是减少这种可扩展性的差距，提出了一种新的近似算法解决一般半定规划问题。所提出的方法，基于原始-对偶混合梯度法，允许存在的线性不等式，而不需要添加额外的松弛变量，并避免在每次迭代求解一个线性系。更重要的是，它同时计算与线性约束相关的对偶变量。这项工作的主要贡献是通过有效地调整所提出的算法，以利用几个半定规划问题固有的低秩属性，以实现大幅加速。这种修改是允许算子分裂方法有效地扩展到更大实例的关键因素。收敛性的保证，以及一个直观的解释算法。此外，一个开源的半定规划求解器，称为ProxSDP，提供和实施细节进行了讨论。案例研究，以评估所提出的方法的性能。
2018-12-19 math.OC
Instance-specific linear relaxations of semidefinite optimization problems
Tepper School of Business, Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学泰珀商学院）；UNM（新墨西哥大学）
本文提出一种通用技术，通过约束和目标矩阵的可交换性获得半定规划的线性松弛，并证明其有效性，应用于max cut问题和Lovasz theta数，提供更优的近似方法。
2024-02-20 math.OC
A predictor-corrector algorithm for semidefinite programming that uses the factor width cone
提出了一种求解半定规划问题的内点方法。用于求解SDP的标准内点算法在正半定矩阵空间中工作。与此相反，所提出的算法工作在常数\emph{factor width}的矩阵锥。这种适应性使得所提出的方法比标准IPM更适合并行化。我们证明了整体收敛，并提供了一个复杂性分析。我们的工作受到Ahmadi，Dash，Majumdar和Hall的一系列论文的启发，并建立在Roig-Solvas和Sznaier最近的预印本上[arXiv：2202.12374，2022]。
2023-01-16 math.OC
Sequential constant rank constraint qualifications for nonlinear semidefinite programming with applications
对非线性半定规划提出了新的约束规格条件，推广了非线性规划中的常秩型条件。作为这些条件的应用，我们在不假设Lagrange乘子唯一性和Lagrange乘子集有界的情况下，给出了一类算法到平稳点的整体收敛的统一证明.这类算法包括，例如，一般形式的增广拉格朗日，序列二次规划，和内点方法。我们还比较了这些新的条件与一些现有的，包括非退化条件，罗宾逊的约束规格，和度量次正则性约束规格。
2021-06-07 math.OC
Subsampling Algorithms for Semidefinite Programming
利用随机化技术，我们得到了半定优化的一个随机梯度算法。该算法使用二次采样来减少每次迭代的计算成本，并且二次采样率显式地控制粒度，即每次迭代的成本和总迭代次数之间的权衡。此外，总计算成本与解决方案的复杂性（即秩）成正比。我们研究了统计学习中出现的一些大规模问题的数值性能。
2011-08-29 math.OC
Tightness of the semidefinite relaxation for orthogonal trace-sum maximization
本文研究了$m$正交矩阵上矩阵二次型迹和的最优化问题，它可以看作是旋转同步问题的推广.当问题是非凸的时，本文证明了在加性噪声模型下，当噪声为$O(-m^{1/4})$阶时，它的半定规划松弛可以精确地求解原非凸问题，其中$m$是正交矩阵的个数.这一结果可以被认为是现有的相位同步结果的推广。
2019-11-20 math.OC
Bilevel Polynomial Programs and Semidefinite Relaxation Methods
二层规划是一个最优化问题，其约束涉及另一个最优化问题。本文研究二层多项式规划（BPP），即，所有的函数都是多项式。我们重新制定BPPs相当于半无限多项式程序（SIPPs），使用弗里茨约翰条件和雅可比表示。结合交换技术和Lasserre型半定松弛，我们提出了求解简单和一般BPP的数值方法。对于简单的BPP，我们证明了全局最优解的收敛性。数值实验表明了算法的有效性。
2016-11-03 math.OC
Optimality Conditions for Nonlinear Semidefinite Programming via Squared Slack Variables
在这项工作中，我们得到了二阶最优性条件的非线性半定规划（NSDP）问题，通过将其转化为一个普通的非线性规划问题，使用平方松弛变量。我们首先考虑Karush-Kuhn-Tucker点与一般NSDP及其通过松弛变量重构的正则性条件之间的对应关系。然后，我们得到了一对“无间隙”的二阶最优性条件，它们与文献中已经考虑过的条件是等价的。最后，我们分析了NSDP平方松弛变量方法的一些计算前景。
2015-12-17 math.OC
Stability analysis of delay differential equations via Semidefinite programming
本文研究一类参数化时滞微分方程（DDE见方程（0.1））的稳定性问题.在离散化DDE（0.1）之后，我们证明了该问题可以等价地转换为半定规划（SDP）（见（3.2）），可以通过一些流行的算法有效地求解，例如，内点法[1]。
2017-01-02 math.OC
Naive constant rank-type constraint qualifications for multifold second-order cone programming and semidefinite programming
常秩约束规格是Janin在1984年为非线性规划引入的，它已被广泛地用于灵敏度分析、一阶和二阶算法的整体收敛以及计算值函数的导数。本文基于近似Karush Kuhn-Tucker最优性最优性条件和约简方法的应用，讨论了二阶锥规划和半定规划的常秩型约束规格的朴素推广.我们的定义严格弱于Robinson的约束规格，并应用于增广拉格朗日算法的整体收敛。
2020-09-12 math.OC
The equivalence between doubly nonnegative relaxation and semidefinite relaxation for binary quadratic programming problems
最近已经表明（Burer，Math. Program Ser.A120：479-495，2009），可以将一大类NP难的非凸二次规划问题建模为所谓的完全正规划问题，其是凸的但通常仍然是NP难的。通过双重非负松弛得到一个基本的易处理松弛，从而得到一个双重非负规划。本文证明了二元二次规划（BQP）问题的双重非负松弛等价于它的一个紧半正定松弛，当问题（BQP）化为最大割（MC）问题时，它的双重非负松弛等价于标准半正定松弛.此外，一些比较的数值结果报告。
2012-11-23 math.OC
Convergent Semidefinite Programming Relaxations for Global Bilevel Polynomial Optimization Problems
本文考虑一个两层多项式最优化问题，其中上下层问题的目标函数和约束函数都是多项式。我们提出了使用一系列半定规划（SDP）松弛来寻找其全局极小值和全局极小值的方法，并给出了这些方法的收敛结果。我们的方案的问题与凸低级别的问题涉及到解决一个转换的等价单级问题的SDP松弛序列，而我们的方法一般问题，涉及一个非凸多项式低级别的问题，解决了一个序列的近似问题，通过另一个序列的SDP松弛。
2016-01-13 math.OC
Exact augmented Lagrangian functions for nonlinear semidefinite programming
本文研究了非线性半定规划（NSDP）问题的增广拉格朗日函数，并给出了增广拉格朗日函数的精确性质。术语精确的意义上使用的罚参数可以采取适当的，所以一个单一的最小化的增广拉格朗日恢复原来的问题的解决方案。这导致NSDP问题转化为无约束非线性规划问题。在这里，我们首先建立了一个统一的框架来构造这些精确的功能，推广迪Pillo和Lucidi的工作，从1996年，这是旨在解决非线性规划问题。然后，通过我们的框架，我们提出了一个实用的增广拉格朗日函数的NSDP，证明了它是连续可微的和精确的所谓的非退化条件。我们还提出了一些初步的数值实验。
2018-06-26 math.OC
Nondegeneracy and Inexactness of Semidefinite Relaxations of Optimal Power Flow
最优潮流问题可以转化为一个非凸的二次约束二次规划问题。有越来越多的工作使用半定规划松弛来解决最优潮流。松弛是精确的当且仅当相应的最优解集包含秩1矩阵。本文给出了该最优解集中秩为1的矩阵不存在的充分条件。特别是，我们表明，在温和的假设下，问题的非退化，任何半定松弛的最优解将有秩大于1，如果平等和积极的不等式约束的数量至少是两倍的网络中的巴士。该充分条件适用于任意网络拓扑（包括树形网络）。我们从经验上评估这些结果的实际影响，从文献中的几个测试案例。
2014-11-17 math.OC
Third-Order Newton Methods with Semidefinite Programming
UC Riverside（加州大学河滨分校）
本文提出一种基于半定规划子问题的三阶牛顿法，利用高阶泰勒展开捕捉局部几何，在强凸与良好初始化下实现三次收敛，并给出处理子问题不可行性的正则化等实用改进。
2026-09-14 math.OC
Multi-objective convex polynomial optimization and semidefinite programming relaxations
针对一类具有凸多项式数据的多目标最优化问题，给出了有效解。为此，一个混合方法，它允许我们转换问题（MP）到一个标量凸多项式最优化问题（P $_z$），并不破坏凸性的性质，被认为是。首先，我们在一些温和的假设下证明了问题（MP）的有效解的存在性。然后，对于问题（P $_z$），建立了凸半代数集上凸多项式的两种非负性表示，并在适当的假设下，给出了问题（P $_z$）的Lasserre型半定规划松弛族的两种有限收敛性结果.最后，我们发现，找到有效解的问题（MP）可以成功地实现解决层次的半定规划松弛和检查一个平坦的截断条件。
2020-11-02 math.OC
Local convergence analysis of augmented Lagrangian method for nonlinear semidefinite programming
自1969年Hestenes和Powell提出增广拉格朗日方法以来，增广拉格朗日方法以其优美的理论和令人印象深刻的数值性能得到了广泛的应用。它已被广泛应用于许多高效的求解器，以提高数值性能，解决许多问题。在不要求乘子唯一性的条件下，通过假设Karush-Kuhn-Tucker（KKT）解的二阶充分条件和半孤立镇定性，在较弱的条件下，得到了非线性半定规划（NLSDP）的ALM生成的原对偶序列的局部（渐近Q-超线性）Q-线性收敛速率.
2022-08-08 math.OC
A Lagrangian relaxation view of linear and semidefinite hierarchies
考虑一般多项式最优化问题$P: f^*=\min \{f(x)\,:\,x\in K\}$，其中$K$是一个紧的基本半代数集.我们首先表明，标准的拉格朗日松弛产生一个下界，如所需的全局最优值$f^*$，只要它被施加到一个问题$\tilde{P}$相当于$P$，其中足够多的冗余约束（产品的初始）被添加到初始描述的$P$。接下来，我们证明了$P$的LP松弛的标准层次（在Sherali-Adams的RLT的精神中）可以被解释为上述拉格朗日松弛的强力简化，其中非负多项式（系数待定）被替换为等于零的常数多项式。受这种解释的启发，我们提供了一个系统的LP-层次结构的改进，做了一个不那么残酷的简化，结果成一个参数化的层次结构的半定程序（而不是线性程序）。对于每个半定程序的参数化层次结构中，半定约束有一个固定的大小$O(n^k)$，独立的等级在层次结构中，与标准层次的半定松弛。参数$k$由用户决定。当应用到一个非平凡的一类凸问题，参数化的层次的第一松弛是准确的，在LP-层次的收敛不能是有限的。当应用于0/1程序时，它至少和半定松弛层次中的第一个一样好。然而，准确性的障碍仍然存在，并简要分析。最后，标准的半定层次也可以被看作是一个扩展的拉格朗日松弛的简化，但不同的精神，因为平方和（而不是标量）乘数是允许的。
2012-10-17 math.OC
Accurate Semidefinite Programming Models for Optimal Power Flow in Distribution Systems
在本文中，我们开发的半定规划（SDP）模型，旨在解决配电系统的最优潮流（OPF）问题。我们提出了两个模型：对称SDP模型，它修改了现有的BFM-SDP模型。在对称SDP模型的基础上，提出了一种求解电压约束最优潮流问题的电压调节模型。为了评估我们提出的OPF模型的准确性，我们依靠OpenDSS，潮流求解器，生成潮流解决方案作为基准。综合的案例研究表明，我们的SDP模型具有更好的数值稳定性，并产生更准确的结果比现有的方法
2017-12-23 math.OC
Solution to the Inverse Wulff Problem by Means of the Enhanced Semidefinite Relaxation Method
提出了一种求解最优各向异性函数的新方法。我们的想法是构造最佳的各向异性函数作为逆Wulff问题的解决方案，即作为一个最小的不等周比为一个给定的约旦曲线在平面上。它导致一个非凸的二次最优化问题与线性矩阵不等式。为了解决这个问题，我们提出了所谓的增强半定松弛法，它是基于一个凸半定问题的解决方案，通过二次线性约束增强的原问题的半定松弛。我们表明，序列的有限维近似的最佳不等周比收敛到最佳不等周比，这是一个解决方案的逆Wulff问题。文中还给出了几个计算实例，包括对应于真实雪花边界的计算实例，并对数值方法的收敛速率进行了讨论。
2014-03-17 math.OC
Penalized Semidefinite Programming for Quadratically-Constrained Quadratic Optimization
本文对非凸二次约束二次规划给出了一种新的惩罚半定规划方法。我们将惩罚条款的凸松弛的目标，以检索可行的和近最优解的非凸QCQP。引入广义线性无关约束规格（GLICQ）准则，证明了任意充分接近可行集的GLICQ正则点都可以用来构造适当的惩罚项，从而得到可行解.受这些结果的启发，我们开发了一个启发式的顺序程序，保留可行性，旨在提高在每次迭代的目标值。对大规模系统辨识问题以及二次规划（QPLIB）库中的基准实例进行的数值实验表明，所提出的惩罚半定规划能够找到非凸QCQP的近最优解.
2020-04-29 math.OC
Exactness Conditions for Semidefinite Relaxations of the Quadratic Assignment Problem
本文研究了二次指派问题半正定松弛的强度，提出了基于输入矩阵线性不等式的确定性精确性条件，并证明在微小扰动模型下松弛仍精确，克服了对偶可行解集非闭合的技术难点。
2024-10-15 math.OC
On Integrality in Semidefinite Programming for Discrete Optimization
该研究针对多种离散优化问题，基于离散半正定矩阵研究提出通用及问题特定方法，推导其更紧凑的混合整数半定规划表述，还结合结合方案得到结构化问题的新颖紧凑表述，为相关求解方法开辟新视角。
2023-11-08 math.OC
Tight SDP relaxations for cardinality-constrained problems
本文用半定规划松弛基数约束投资组合问题，实验证明该松弛产生紧下界且常达最优，凸显半定规划对混合整数二次问题的建模能力。
2024-02-07 math.OC
A certificate for semidefinite relaxations in computing positive dimensional real varieties
对于具有正维实簇的理想I，基于矩松弛，研究了如何计算一个Pommaret基，它同时也是一个理想J的Groebner基，该理想J是由截断矩矩阵的核和I与其实根理想之间的嵌套生成的.我们提供了一个证书，包括一个条件的矩矩阵coranks终止算法。对于一般的δ-正则坐标系，我们证明了该条件在足够大的矩松弛阶下是可满足的。
2012-12-20 math.OC
A Decomposition Augmented Lagrangian Method for Low-rank Semidefinite Programming
我们开发了一种基于增广拉格朗日框架的分解方法来解决广泛的半定规划问题，可能与非线性目标函数，非光滑正则化，一般线性等式/不等式约束。特别地，半正定变量和一组线性约束可以通过矩阵分解转化为光滑流形上的变量。非光滑正则化和其他一般的线性约束由增广拉格朗日方法处理。因此，每个子问题都可以用流形上的半光滑牛顿法求解。理论上，我们证明了在一定条件下，分解子问题的一阶和二阶最优性必要条件最优性条件对于原子问题也是充分的。对黎曼子问题和增广拉格朗日方法进行了收敛性分析。大规模半定规划问题，如最大割，最近的相关估计，聚类和稀疏主成分分析广泛的数值实验表明，我们提出的方法相比，其他国家的最先进的方法的强度。
2023-03-07 math.OC
Stochastic optimal control using semidefinite programming for moment dynamics
本文提出了一种近似求解费用函数和系统动力学均为多项式的随机最优控制问题的方法。对于具有多项式动力学的随机系统，状态的矩可以表示为确定性线性常微分方程的可能无限大的系统。通过将该问题转化为矩空间中的确定性控制问题，利用半定规划方法求出了最优解的下界。半定规划中的约束条件由力矩动力学的常微分方程和力矩外积的半定性所施加。从半定规划的解出发，用最小二乘法构造近似的最优控制策略。在线性二次型情形下，该方法给出了最优控制问题的精确解。在更复杂的问题中，计算最优控制律需要无穷多个力矩微分方程。在这种情况下，我们给出了一个程序，以增加半定程序的大小，导致越来越准确的逼近真正的最优控制策略。
2016-03-21 math.OC
A Low-Rank Coordinate-Descent Algorithm for Semidefinite Programming Relaxations of Optimal Power Flow
交流最优潮流（ACOPF）是最著名的非凸非线性优化问题之一。我们提出了一种新的重新制定的ACOPF，这是基于提升的矩形功率电压等级约束的制定，并使之有可能获得替代SDP松弛。针对这些问题，我们提出了一种基于平行坐标下降的一阶方法，该方法具有基于三次多项式根的新的封闭形式步骤。
2016-10-16 math.OC
