Application of the Enhanced Semidefinite Relaxation Method to Construction of the Optimal Anisotropy Function
本文提出并应用增强半定松弛技术求解一类非凸二次最优化问题。该方法是基于增强的半定松弛方法补充线性等式约束的二次线性约束。我们给出了保证原始和增强半定松弛问题的最优值重合的充分条件。我们应用这种方法来解决最佳各向异性函数的问题。我们的想法是构造一个最佳的各向异性函数作为最小的各向异性界面能功能的一个给定的约旦曲线在平面上。我们提出了解决最佳各向异性函数的计算实例。示例包括真实雪花的边界。
2015-04-18 math.OC
Calculating Entanglement Eigenvalues for Non-Symmetric Quantum Pure States Based on the Jacobian Semidefinite Programming Relaxation Method
纠缠的几何度量是量子纯态的一种广泛应用的纠缠度量。计算几何测度的关键问题是计算纠缠本征值，这等价于计算对应复张量的最大酉本征值。本文提出了一种计算复张量最大酉特征值的雅可比半定规划松弛法。为此，首先介绍了等式约束多项式优化问题的雅可比半定规划松弛法，然后将求最大酉特征值的问题转化为一个实等式约束多项式最优化问题，用雅可比半定规划松弛法求解.数值算例表明了该方法的有效性。
2019-01-03 math.OC
Tight-and-cheap conic relaxation for the AC optimal power flow problem
经典的交流最优潮流问题是高度非凸的，一般难以求解。凸松弛，特别是半定，二阶锥，凸二次和线性松弛，最近吸引了显着的兴趣。其中半定松弛是最强的，并且在许多情况下是精确的。然而，求解大规模半定优化的计算效率低于二阶锥优化。我们提出了一个圆锥松弛通过半定优化与重构线性化技术相结合，通常被称为RLT。所提出的松弛比二阶锥松弛更强，几乎与标准半定松弛一样紧。使用标准测试用例与多达6515个总线的计算实验表明，解决新的圆锥松弛的时间是一个数量级低于弦松弛，半定松弛技术，利用电力网络的稀疏性。
2019-08-06 math.OC
Sufficient Conditions for Exact Semidefinite Relaxation of Optimal Power Flow in Unbalanced Multiphase Radial Networks
本文证明了在树形拓扑的不平衡多相网络中，当临界节点不相邻时，最优潮流问题的半定规划松弛是精确的。这里，关键总线直接贡献于费用函数，或者是注入约束在最优性时是紧的地方。我们的结果推广了单相树型网络中精确松弛的一个充分条件到任意相数的树型网络。
2020-09-12 math.OC
Semidefinite programming relaxations for linear semi-infinite polynomial programming
研究了一类线性半无限多项式规划问题。它是线性半无限规划问题的一个子类，其约束函数是关于参数的多项式，指标集是基本半代数集。我们提出了一个层次的半定规划（SDP）松弛的LSIPP问题。在已有结果的基础上，建立了SDP弛豫的收敛速度分析.我们展示了如何验证LSIPP问题的可行集的紧性。最后，我们将SDP松弛法推广到更一般的半无限规划问题。
2019-10-24 math.OC
Instance-specific linear relaxations of semidefinite optimization problems
Tepper School of Business, Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学泰珀商学院）；UNM（新墨西哥大学）
本文提出一种通用技术，通过约束和目标矩阵的可交换性获得半定规划的线性松弛，并证明其有效性，应用于max cut问题和Lovasz theta数，提供更优的近似方法。
2024-02-20 math.OC
Tightness of the semidefinite relaxation for orthogonal trace-sum maximization
本文研究了$m$正交矩阵上矩阵二次型迹和的最优化问题，它可以看作是旋转同步问题的推广.当问题是非凸的时，本文证明了在加性噪声模型下，当噪声为$O(-m^{1/4})$阶时，它的半定规划松弛可以精确地求解原非凸问题，其中$m$是正交矩阵的个数.这一结果可以被认为是现有的相位同步结果的推广。
2019-11-20 math.OC
Bilevel Polynomial Programs and Semidefinite Relaxation Methods
二层规划是一个最优化问题，其约束涉及另一个最优化问题。本文研究二层多项式规划（BPP），即，所有的函数都是多项式。我们重新制定BPPs相当于半无限多项式程序（SIPPs），使用弗里茨约翰条件和雅可比表示。结合交换技术和Lasserre型半定松弛，我们提出了求解简单和一般BPP的数值方法。对于简单的BPP，我们证明了全局最优解的收敛性。数值实验表明了算法的有效性。
2016-11-03 math.OC
The equivalence between doubly nonnegative relaxation and semidefinite relaxation for binary quadratic programming problems
最近已经表明（Burer，Math. Program Ser.A120：479-495，2009），可以将一大类NP难的非凸二次规划问题建模为所谓的完全正规划问题，其是凸的但通常仍然是NP难的。通过双重非负松弛得到一个基本的易处理松弛，从而得到一个双重非负规划。本文证明了二元二次规划（BQP）问题的双重非负松弛等价于它的一个紧半正定松弛，当问题（BQP）化为最大割（MC）问题时，它的双重非负松弛等价于标准半正定松弛.此外，一些比较的数值结果报告。
2012-11-23 math.OC
T-semidefinite programming relaxation with third-order tensors for constrained polynomial optimization
针对带多项式不等式约束的多项式优化问题，提出基于三阶张量的T-半定规划松弛方法，证明其可转化为块对角标准半定规划松弛，在适度假设下收敛于最优值，且数值效率更优。
2024-05-14 math.OC
Convergent Semidefinite Programming Relaxations for Global Bilevel Polynomial Optimization Problems
本文考虑一个两层多项式最优化问题，其中上下层问题的目标函数和约束函数都是多项式。我们提出了使用一系列半定规划（SDP）松弛来寻找其全局极小值和全局极小值的方法，并给出了这些方法的收敛结果。我们的方案的问题与凸低级别的问题涉及到解决一个转换的等价单级问题的SDP松弛序列，而我们的方法一般问题，涉及一个非凸多项式低级别的问题，解决了一个序列的近似问题，通过另一个序列的SDP松弛。
2016-01-13 math.OC
Nondegeneracy and Inexactness of Semidefinite Relaxations of Optimal Power Flow
最优潮流问题可以转化为一个非凸的二次约束二次规划问题。有越来越多的工作使用半定规划松弛来解决最优潮流。松弛是精确的当且仅当相应的最优解集包含秩1矩阵。本文给出了该最优解集中秩为1的矩阵不存在的充分条件。特别是，我们表明，在温和的假设下，问题的非退化，任何半定松弛的最优解将有秩大于1，如果平等和积极的不等式约束的数量至少是两倍的网络中的巴士。该充分条件适用于任意网络拓扑（包括树形网络）。我们从经验上评估这些结果的实际影响，从文献中的几个测试案例。
2014-11-17 math.OC
A Lagrangian relaxation view of linear and semidefinite hierarchies
考虑一般多项式最优化问题$P: f^*=\min \{f(x)\,:\,x\in K\}$，其中$K$是一个紧的基本半代数集.我们首先表明，标准的拉格朗日松弛产生一个下界，如所需的全局最优值$f^*$，只要它被施加到一个问题$\tilde{P}$相当于$P$，其中足够多的冗余约束（产品的初始）被添加到初始描述的$P$。接下来，我们证明了$P$的LP松弛的标准层次（在Sherali-Adams的RLT的精神中）可以被解释为上述拉格朗日松弛的强力简化，其中非负多项式（系数待定）被替换为等于零的常数多项式。受这种解释的启发，我们提供了一个系统的LP-层次结构的改进，做了一个不那么残酷的简化，结果成一个参数化的层次结构的半定程序（而不是线性程序）。对于每个半定程序的参数化层次结构中，半定约束有一个固定的大小$O(n^k)$，独立的等级在层次结构中，与标准层次的半定松弛。参数$k$由用户决定。当应用到一个非平凡的一类凸问题，参数化的层次的第一松弛是准确的，在LP-层次的收敛不能是有限的。当应用于0/1程序时，它至少和半定松弛层次中的第一个一样好。然而，准确性的障碍仍然存在，并简要分析。最后，标准的半定层次也可以被看作是一个扩展的拉格朗日松弛的简化，但不同的精神，因为平方和（而不是标量）乘数是允许的。
2012-10-17 math.OC
Solution to the Inverse Wulff Problem by Means of the Enhanced Semidefinite Relaxation Method
提出了一种求解最优各向异性函数的新方法。我们的想法是构造最佳的各向异性函数作为逆Wulff问题的解决方案，即作为一个最小的不等周比为一个给定的约旦曲线在平面上。它导致一个非凸的二次最优化问题与线性矩阵不等式。为了解决这个问题，我们提出了所谓的增强半定松弛法，它是基于一个凸半定问题的解决方案，通过二次线性约束增强的原问题的半定松弛。我们表明，序列的有限维近似的最佳不等周比收敛到最佳不等周比，这是一个解决方案的逆Wulff问题。文中还给出了几个计算实例，包括对应于真实雪花边界的计算实例，并对数值方法的收敛速率进行了讨论。
2014-03-17 math.OC
Exactness Conditions for Semidefinite Relaxations of the Quadratic Assignment Problem
本文研究了二次指派问题半正定松弛的强度，提出了基于输入矩阵线性不等式的确定性精确性条件，并证明在微小扰动模型下松弛仍精确，克服了对偶可行解集非闭合的技术难点。
2024-10-15 math.OC
Multi-objective convex polynomial optimization and semidefinite programming relaxations
针对一类具有凸多项式数据的多目标最优化问题，给出了有效解。为此，一个混合方法，它允许我们转换问题（MP）到一个标量凸多项式最优化问题（P $_z$），并不破坏凸性的性质，被认为是。首先，我们在一些温和的假设下证明了问题（MP）的有效解的存在性。然后，对于问题（P $_z$），建立了凸半代数集上凸多项式的两种非负性表示，并在适当的假设下，给出了问题（P $_z$）的Lasserre型半定规划松弛族的两种有限收敛性结果.最后，我们发现，找到有效解的问题（MP）可以成功地实现解决层次的半定规划松弛和检查一个平坦的截断条件。
2020-11-02 math.OC
Tight SDP relaxations for cardinality-constrained problems
本文用半定规划松弛基数约束投资组合问题，实验证明该松弛产生紧下界且常达最优，凸显半定规划对混合整数二次问题的建模能力。
2024-02-07 math.OC
A certificate for semidefinite relaxations in computing positive dimensional real varieties
对于具有正维实簇的理想I，基于矩松弛，研究了如何计算一个Pommaret基，它同时也是一个理想J的Groebner基，该理想J是由截断矩矩阵的核和I与其实根理想之间的嵌套生成的.我们提供了一个证书，包括一个条件的矩矩阵coranks终止算法。对于一般的δ-正则坐标系，我们证明了该条件在足够大的矩松弛阶下是可满足的。
2012-12-20 math.OC
A Low-Rank Coordinate-Descent Algorithm for Semidefinite Programming Relaxations of Optimal Power Flow
交流最优潮流（ACOPF）是最著名的非凸非线性优化问题之一。我们提出了一种新的重新制定的ACOPF，这是基于提升的矩形功率电压等级约束的制定，并使之有可能获得替代SDP松弛。针对这些问题，我们提出了一种基于平行坐标下降的一阶方法，该方法具有基于三次多项式根的新的封闭形式步骤。
2016-10-16 math.OC
Inexactness of the Hydro-Thermal Coordination Semidefinite Relaxation
水热协调是确定水、火电厂随时间变化的最优经济调度问题。水力发电的物理过程通常在文献中被简化，以解释其基本的非线性性质。在凸松弛理论的进步已经允许出现的肖尔的半定规划（SDP）松弛的二次模型的问题。本文展示了最近发表的SDP松弛如何仅在观察到关于涡轮机效率的非常严格的条件时才是准确的，否则失败。它进一步提出了使用一组凸包络作为一种策略，成功地获得一个更严格的下界的最优解。该策略与一个标准的迭代凹凸过程相结合，以恢复原来的非凸问题的一个稳定点。
2017-11-10 math.OC
Sparse Sub-gaussian Random Projections for Semidefinite Programming Relaxations
本研究提出用稀疏次高斯随机投影缩减半定规划的矩阵变量规模，给出依赖稀疏性参数的理论界，在MAXCUT等组合优化半定松弛上验证了效果，为低计算量近似求解约束不多的此类问题提供了方法。
2024-06-20 math.OC
A Low-Rank Rounding Heuristic for Semidefinite Relaxation of Hydro Unit Commitment Problems
水电机组组合是指在满足短期水库运行约束和长期目标的前提下，在多个水电站的日常运行中，使水资源利用效率最大化，同时使启动成本最小化的问题。一个低秩舍入启发式半定松弛的混合整数二次约束制定这个问题。除了水库和发电机运行的限制，传输约束表示的近似交流潮流模型。在我们提出的方法中，数学规划等价地制定为QCQP问题解决的凸松弛的基础上半定规划，其次是MILP解决方案的未定义的机组承诺时间表。最后，一个降秩过程。所提出的启发式的有效性进行比较，分支定界的解决方案，不同大小的发电和输电系统的数值案例研究。
2017-11-16 math.OC
Tight semidefinite programming relaxations for sparse box-constrained quadratic programs
Lehigh University（利哈伊大学）
本文提出了一种基于重构线性化技术的紧半正定规划松弛方法，用于解决稀疏盒约束二次规划问题，并给出了多项式规模的可构造性证明。
2026-10-14 math.OC
Enhancing low-rank solutions in semidefinite relaxations of Boolean quadratic problems
布尔二次最优化问题出现在许多应用中。它们的混合整数连续性质是具有挑战性的，因为它本质上是NP难的。为此，文献中提出了半定规划松弛（SDR）来近似解，将问题转化为凸优化问题。然而，SDR不能保证提取正确的二进制最小值。在本文中，我们提出了一种新的方法来提高二元溶液的回收率。所提出的方法的关键是利用已知的信息的特征值所需的解决方案。由于所提出的方法产生一个非凸规划，我们开发和分析的迭代下降策略，其实际有效性通过数值结果显示。
2020-03-19 math.OC
Lebesgue decomposition in action via semidefinite relaxations
给定$\R^n$上两个测度$μ$和$λ$的所有（有限）矩，我们给出了一个用$ν\llλ$和$ψ\perpλ$得到Lebesgue分解$μ=ν+ψ$的数值格式.当$ν$在$L\_\infty(λ)$中有密度时，我们得到两个大小（矩数）增加的有限矩向量序列，随着矩数的增加，它们分别收敛到$ν$和$ψ$的矩.重要的是，需要关于$μ, ν$和$ψ$的支持的{ \it no}先验知识。
2016-01-26 math.OC
Completely positive and completely positive semidefinite tensor relaxations for polynomial optimization
完全正（CP）张量对应于CP矩阵的推广，允许用CP张量的锥上的圆锥最优化问题来重新表达或近似一般多项式最优化问题（POP）。类似地，完全半正定（CPSD）张量，这对应于一个推广的半正定（PSD）矩阵，可以用来近似一般的持久性有机污染物与锥上的CPSD张量的圆锥最优化问题。在本文中，我们研究CP和CPSD张量松弛一般持久性有机污染物，并通过拉格朗日松弛的持久性有机污染物得到的界限进行比较。这表明，在这一方向上针对二次持久性有机污染物的现有结果可扩展到一般持久性有机污染物。此外，我们提供了一些易于处理的近似策略CP和CPSD张量松弛。这些近似策略表明，具有类似的计算工作，从他们获得的一般持久性有机污染物的界限可以更紧比这些问题的界限通过重新制定的POP作为二次POP，随后可以近似使用CP和PSD矩阵。为了说明我们的研究结果，我们数值比较小规模的四阶度持久性有机污染物从这些放松的方法得到的界限。
2016-10-10 math.OC
Orthogonal Trace-Sum Maximization: Tightness of the Semidefinite Relaxation and Guarantee of Locally Optimal Solutions
本文研究了$m$半正交矩阵中矩阵二次型迹和的最优化问题，它可以看作是旋转同步问题的推广.当问题为非凸时，在噪声为$O(m^{1/4})$阶的加性噪声模型下，证明了其半定规划松弛解以高概率精确地解决了原非凸问题.此外，它表明，在Won，Zhou和Lange [SIAM J. Matrix Anal.应用程序、2（2021），pp. 859-882]也是它在类似条件下的高概率全局解。这些结果可以被认为是现有的结果相同步的推广。
2021-10-12 math.OC
Semidefinite Relaxations for Stochastic Optimal Control Policies
对Hamilton Jacobi Bellman（HJB）方程研究的最新结果，发现了随机非线性系统的值函数可以表述为一个对扰动有轻度约束的线性偏微分方程（PDE）。这为非线性系统的规划和控制研究提供了有前途的方向。本文提出了一种求解线性随机最优控制（SOC）问题近似解的新方法。提出了一种变系数的候选多项式作为SOC问题的解决方案。一个平方和（SOS）松弛，然后采取偏微分约束，导致一个层次的半定松弛改善次优间隙。所得到的近似解被证明是保证过和下近似的最优值函数。
2014-02-12 math.OC
A Method for Quickly Bounding the Optimal Objective Value of an OPF Problem using a Semidefinite Relaxation and a Local Solution
最优潮流是电力系统运行中的一个重要问题。由于最优潮流问题的非凸性，可能存在多个局部最优解。证明获得整体解对于OPF问题的某些应用是重要的。许多全局优化技术计算最优性间隙，该最优性间隙将对应于来自局部解算法的可行点的可实现目标值与来自凸松弛技术的目标值界限进行比较。而不是传统的做法，完全分离的局部解和凸松弛计算，本文提出了一种方法，利用局部解的信息，使用半定规划（SDP）松弛的目标值界的计算速度。计算易处理性的改善伴随着所得客观值界的紧密性降低的权衡。数值实验说明了这种权衡，与所提出的方法是更快，但比SDP松弛和更慢，但更紧比二阶锥规划（SOCP）和二次凸（QC）松弛许多大型测试用例。
2019-06-14 math.OC
Benders' decomposition of the unit commitment problem with semidefinite relaxation of AC power flow constraints
在本文中，我们提出了一个公式的机组组合问题的交流潮流约束。它是通过Benders分解，其中的机组组合主问题制定为一个混合整数问题与线性化的发电约束，以提高收敛性。在子问题中采用了矩形交流最优潮流的半定规划松弛法，提供了一定程度的保守性。数值算例研究，包括6节点和IEEE 118节点网络，提供了我们的建议来测试的有效性。我们表明，在我们的数值实验中，使用这种策略提高了质量的可行性和最优性削减所产生的解决方案的凸松弛的子问题，从而减少了算法收敛所需的迭代次数。
2020-11-23 math.OC
Positive Maps and Separable Matrices
如果所有的正半定矩阵都映射到正半定矩阵，则实对称矩阵空间之间的线性映射是正的。一个实对称矩阵是可分的，如果它可以表示为正半定矩阵的克罗内克积之和。本文研究了线性映射的正性检验和矩阵的可分性检验。我们提出了数值算法，Lasserre型半定松弛的基础上，解决这些问题。为了检验线性映射的正性，我们构造了一个半定松弛族来极小化单位球面上的双二次型。我们发现，可以通过解决有限数量的这种半定松弛检测的积极性。为了检验矩阵的可分性，我们构造了一个半定松弛族。如果它不可分，我们可以得到一个数学证明;如果它是，我们可以得到一个分解的可分性。
2016-03-26 math.OC
A coordinate ascent method for solving semidefinite relaxations of non-convex quadratic integer programs
针对一类非凸二次整数优化中的半定规划问题，提出了一种坐标上升法。这些半定规划的特点是积极约束和低秩约束矩阵的总数少。我们利用这种特殊的结构，通过解决对偶问题，使用障碍的方法结合坐标明智的精确线搜索。我们的算法的主要成分是计算成本低的更新在每次迭代和一个简单的计算的确切步长。与内点方法相比，该方法在获得强对偶界方面要快得多。此外，即使原始约束的集合很大，也不需要显式分离和重新优化，因为在我们的对偶方法中，在选择下一个坐标时，隐式地考虑所有原始约束。
2016-03-08 math.OC
Exact Semidefinite Formulations for a Class of (Random and Non-Random) Nonconvex Quadratic Programs
研究了一类二次约束二次规划（QCQP），称为{ \em对角QCQP\/}，其中不含非对角项$x_j x_k$（对于$j \ne k$），并给出了保证基本Shor半定松弛是精确的一个充分条件.我们的条件补充和完善那些已经存在于文献中，可以在多项式时间内检查。然后，我们将我们的分析从对角QCQP扩展到一般QCQP，即，没有特殊结构的。通过将一般的QCQP转化为对角形式，我们建立了一般QCQP的半定松弛是精确的新的多项式时间可检验的充分条件。最后，这些想法被扩展到表明，一类随机一般QCQP具有精确的半定松弛与高概率，只要约束的数量增长不快于一个固定的多项式的变量的数量。据我们所知，这是第一个结果，建立随机一般QCQP的半定松弛的精确性。
2018-11-07 math.OC
Sparse Cuts for the Positive Semidefinite Cone
Georgia Tech（佐治亚理工学院）；Cornell Tech（康奈尔科技）；U. Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文提出了一种基于稀疏线性不等式的LP松弛方法，用于解决非凸优化问题，通过结构化SDP投影识别不等式，从而加速全局求解过程。
2026-09-01 math.OC
Polynomial-sized Semidefinite Representations of Derivative Relaxations of Spectrahedral Cones
我们给出了明确的多项式大小（在$n$和$k$）半定表示的双曲锥与$n$变量的初等对称多项式的程度$k$。这些凸锥形成非负正交的非多面体外近似的家庭，保持低维的面，而连续丢弃高维的面。更一般地，我们构造与$p(x) = \det(\sum_{i=1}^{n}A_i x_i)$形式的多项式的$k$次方向导数相关联的双曲性锥的显式半定表示（$k,m$和$n$中的多项式大小），其中$A_i$是$m\times m$对称矩阵。这些凸锥形成了一个类似于任何谱面体锥的外近似族。我们的表示允许我们使用半定规划来解决与这些凸锥以及它们的（不太好理解的）对偶锥相关的线性锥规划。
2014-08-11 math.OC
Semidefinite Relaxation for Two Mixed Binary Quadratically Constrained Quadratic Programs: Algorithms and Approximation Bounds
针对两类混合二元二次约束二次规划（MBQCQP）提出了新的半定规划（SDP）松弛技术，并分析了它们的逼近性能。第一类问题是在$N$维实或复欧几里得空间中求两个最小范数向量，使得满足$2M$凹二次函数中的$M$。通过采用一个特殊的随机舍入过程，我们证明了该模型的最优解的范数与其SDP松弛之间的比率在真实情况下由$\frac{54M^2}π$上界，在复杂情况下由$\frac{24M}{\sqrtπ}$上界。第二类问题找到一系列的最小范数向量的二次约束和基数约束的二元和连续变量。我们表明，在这种情况下的逼近比也是有界的，独立的问题的真实和复杂的情况下的尺寸。
2014-03-17 math.OC
A spectrahedral representation of the first derivative relaxation of the positive semidefinite cone
如果$X$是$n\times n$对称矩阵，则$X \mapsto \det(X)$在$I$方向上的方向导数是$X$的特征值中的$n-1$次的初等对称多项式。这是$X$的项中的多项式，具有相对于方向$I$为双曲线的性质。相应的双曲性锥是半正定（PSD）锥的松弛，称为PSD锥的一阶导数松弛（或Renegar导数）。谱面锥是一个凸锥，其表示为子空间与PSD矩阵锥在某个维度上的交集。我们证明了PSD锥的一阶导数松弛是一个谱面体锥，并给出了尺寸$\binom{n+1}{2}-1$的显式谱面体描述。该构造提供了双曲锥也是谱面体的一个新的显式例子。这与广义的拉克斯猜想一致，拉克斯猜想认为每个双曲锥都是一个谱面体。
2018-01-08 math.OC
Face Structure in Partial Facial Reduction of Semidefinite Relaxations of Binary Programs
School of Mathematical and Statistical Sciences, Clemson University（克莱姆森大学数学与统计科学学院）
研究二元规划半定松弛中基于半正定锥内逼近的部分面约简，证明SDD部分面约简确定的终端面结构，给出多面体内逼近刻画方法，构造奇异性为二的族说明限制，刻画了约简结构及搜索代价。
2026-07-29 math.OC
Affine Facial Reduction for Semidefinite Relaxations of Binary and Mixed-Binary Optimization Problems
Clemson University（克莱姆森大学）
本文提出仿射 facial 归约（affine FR）方法，用于二元与混合二元优化问题的 SDP 松弛，可降低矩阵阶数，在 MIPLIB 2017 实例上表现优于部分 FR 变体，还能改善 SAT 松弛的求解效果。
2026-09-04 math.OC
Economic Dispatch in Unbalanced Distribution Networks via Semidefinite Relaxation
研究了具有不可延迟负荷和弹性负荷的三相不平衡配电网和分布式发电机组的经济调度问题。其目标是在给定的时间范围内，最大限度地减少从主电网汲取的电力和由DG单元提供的电力的成本，同时满足总体负荷需求并实现电压调节。与平衡系统的最优潮流类似，所得到的最优化问题是非凸的。然而，一个半定规划（SDP）松弛技术主张获得（放松）凸问题可解的多项式时间复杂度。为了促进一个可靠而有效的馈线操作，SDP兼容的约束线和中性点电流大小容纳在制定的优化，以及在变电站和节点配备电容器组的功率因数的约束。IEEE 13节点径向馈线的测试表明，所提出的方法能够获得全局最优解的原始非凸问题。
2012-11-26 math.OC
An Optimality Gap Test for a Semidefinite Relaxation of a Quadratic Program with Two Quadratic Constraints
我们提出了一个必要和充分的测试，以确定是否可以计算出一个解决方案的一般二次规划与两个二次约束（QC 2 QP）从一个特定的凸半定松弛，在这种情况下，我们说，没有最优性差距。最初打算解决一个非凸的最优控制问题，我们考虑的情况下，成本和两个约束的QC 2 QP可能是非凸的。我们得到了我们的测试，这也证明了强对偶成立时，通过推广一个密切相关的方法艾和张。一个扩展是必要的，因为虽然艾和张提出的方法也允许两个二次约束，它要求至少有一个是严格凸的。为了说明我们的测试的有用性，我们将其应用到两个不满足先前方法所需假设的例子。我们的测试保证了第一个例子没有最优性缺口--一个解决方案也是从松弛中计算出来的--我们用它来确定第二个例子中存在最优性缺口。
2020-12-20 math.OC
Optimal Cuts and Optimal Faces of Exact Max-Cut Semidefinite Relaxations
Indian Institute of Technology Bombay（印度理工学院孟买分校）；The Ohio State University（俄亥俄州立大学）
本文研究Max-Cut半定松弛精确时最优割符号向量张成对偶松弛核的条件，证明双非负矩阵经偶数复制可作证书，并刻画有理核障碍与张成亏缺。
2026-10-14 math.OC
On the integrality gap of the maximum-cut semidefinite programming relaxation in fixed dimension
我们描述了一个最大割半定规划松弛的完整性间隙的因子揭示凸优化问题：对于每个$n \geq 2$，我们提出了一个凸优化问题，其最优值是最大可能的最佳秩- $n$解决方案的松弛和最佳割的值之间的比率。这个问题，然后用来计算完整性差距的下界。
2020-08-05 cs.DS math.OC
Tight Relaxations for Polynomial Optimization and Lagrange Multiplier Expressions
本文提出了多项式优化的紧半定松弛。研究了最优性条件最优性条件。我们证明了一般情况下拉格朗日乘子可以表示为临界点集合上决策变量的多项式函数。多项式表达式可以由线性方程确定。在此基础上，构造了求解多项式最优化问题的新的Lasserre型半定松弛。我们证明了新的弛豫族具有有限收敛性，或者等价地，新的弛豫族对于有限的弛豫阶是紧的。
2018-04-06 math.OC
Semidefinite Programming Approach for the Quadratic Assignment Problem with a Sparse Graph
两个邻接矩阵之间的匹配问题可以表示为NP难的二次指派问题（QAP）。以前的工作半定规划（SDP）放宽到QAP产生的解决方案，往往是紧在实践中，但这样的SDP通常规模差，涉及矩阵变量的尺寸$n^2$，其中n是节点的数量。为了实现加速，我们提出了一个进一步放宽的SDP涉及的维数$\mathcal{O}(n)$没有大于的边缘的数量在一个图形的正半定矩阵。松弛可以通过考虑图中的团而不是边来进一步加强。这种新的松弛的对偶问题具有自然的三块结构，可以通过收敛的增广方向乘法（ADMM）以分布式方式解决，其中每次迭代最昂贵的步骤是计算维度$\mathcal{O}(n)$的矩阵的特征分解。新的SDP松弛产生强界的二次指派问题，其中一个图是稀疏的，减少了计算复杂性和运行时间，并可以用于在核磁共振光谱（NMR）的上下文中，以解决分配问题。
2017-03-27 math.OC
Tightness of the maximum likelihood semidefinite relaxation for angular synchronization
极大似然估计问题通常是一个棘手的最优化问题。因此，通常使用凸松弛来近似最大似然估计（MLE）。在某些情况下，松弛是紧的：它恢复了真正的MLE。大多数密封性证明仅适用于MLE准确回收种植溶液（分析师已知）的情况。然后，足以确定最优性条件在种植信号处成立。在本文中，我们研究的估计问题（角同步）的最大似然估计不是一个简单的函数的种植解决方案，但其中凸松弛是紧的。为了在这种情况下建立紧密性，证明不太直接，因为验证最优性条件的点并不明确。角同步包括估计$n$相位的集合，给出成对相对相位的噪声测量。角同步的极大似然估计是复数上的（硬）非二分Grothendieck问题的解。我们考虑数据的随机模型：植入信号（即相位的地面真值集）被非对抗性随机噪声破坏。即使最大似然估计不符合种植信号，我们表明，经典的半定松弛，它是紧的，具有很高的概率。这甚至适用于高水平的噪音。
2016-05-19 math.OC
On the Semidefinite Representability of Continuous Quadratic Submodular Minimization With Applications to Pricing and Moment Problems
University of Iowa（爱荷华大学）；Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）
本文研究了带约束的连续二次子模最小化问题，提出了一种多项式规模的半定松弛方法，证明在维度n≤3时严格紧，更大维度时经验紧，并应用于分布鲁棒优化中的两个矩问题。
2026-09-01 math.OC
A hierarchy of spectral relaxations for polynomial optimization
我们证明了（i）任何约束多项式最优化问题（POP）在欧氏球面中的一个簇上都有一个等价的公式;（ii）所得到的矩SOS族中的半定松弛对所涉及的矩阵具有恒迹性质（CTP）.然后，我们利用CTP，以避免解决半定松弛通过邻点方法，而是使用特设谱方法，最大限度地减少矩阵束的最大特征值。保证收敛到半定松弛的最优值。因此，我们得到了一个层次的非光滑的“光谱松弛”的初始POP。效率和鲁棒性的光谱层次进行测试，对几个平等约束的POP球以及随机生成的二次约束二次问题（QCQP）的样本。
2020-07-17 math.OC
On semidefinite programming relaxations of the traveling salesman problem
我们考虑一个新的半定规划（SDP）松弛的对称流动推销员问题（TSP），可以通过一个SDP松弛的更一般的二次指派问题（QAP）。我们证明了新的弛豫优于[D. Cvetkovic，M. Cangalovic和V. Kovacevic-Vujcic，对称流动推销员问题的半定规划方法，第7届国际IPCO会议，Springer，伦敦，1999年，第100页。126- 136]。与Cvetkovic等人的边界不同，新的SDP界不受Held-Karp线性规划界的支配，反之亦然。
2009-02-11 math.CO math.OC
Centering ADMM for the Semidefinite Relaxation of the QAP
提出Centering ADMM方法求解QAP的半定松弛，结合内点法中心化步骤与标准ADMM，证明其全局收敛性且数值实验验证了对部分实例的有效性。
2020-04-24 math.OC
Exact Convex Reformulations of Binary Quadratic Programs from Facially Reduced Semidefinite Relaxations
Clemson University（克莱姆森大学）
该研究开发了MIQCR-FR框架，通过面部约化半定松弛实现二元二次规划的精确凸重构，在431个实例上验证其最优解数量优于MIQCR-CB和直接Gurobi。
2026-10-09 math.OC
Facial Reduction for Symmetry Reduced Semidefinite Doubly Nonnegative Programs
我们考虑面约简\FRp和对称约简\SRp，半定规划技术\SDPp。我们发现，这两个在一起适合令人惊讶的交替方向的方法的乘数，\ADMMp，方法。事实上，这种方法允许简单地添加非负约束，并解决双重非负，\DNN，放松许多类的困难组合问题。我们还表明，奇异度保持不变后\SRp，和这里考虑的\DNN松弛奇异度为1，即减少到零后，\FRp。\FR和\SR的结合导致了显着的改善，无论是\ADMM和内点方法的数值稳定性和运行时间。我们测试我们的方法对各种\DNN松弛的硬组合问题，包括二次分配问题的大小超过$n=500$。在应用约简技术之前，这转化为阶$250,000$和$625\times 10^8$非负约束变量的半定约束。
2022-02-03 math.OC
The Constant Trace Property in Noncommutative Optimization
本文证明了球约束非交换多项式最优化问题的每一个半定松弛都可以转化为一个迹矩阵变量为常数的半定规划。然后，我们展示了如何利用这个恒定的跟踪属性，通过一阶数值方法有效地解决半定松弛的非交换问题。
2021-02-03 math.OC
Semidefinite relaxations for nonlinear elasticity with energies convex in the Cauchy-Green strain tensor
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Institute of Information Sciences and Automation, Czech Academy of Sciences（捷克科学院信息科学与自动化研究所）
本文研究了在Cauchy-Green应变张量上凸的非线性弹性问题，证明了原始非凸变分问题与基于占据测度的线性矩形式之间无松弛间隙，提供了高效的无网格数值方法。
2026-09-21 math.OC
