An SDP-Based Approach for Computing the Stability Number of a Graph
求图的稳定数，即，没有两个相邻顶点的最大数目是众所周知的NP-难组合最优化问题。由于该问题在现实生活中有多种应用，因此需要找到有效的算法来解决该问题。最近，Gaar和Rendl增强了半定规划方法，以收紧Lovász θ函数给出的上界。这是通过仔细选择一些所谓的精确子图约束（ESC）并将其添加到计算Lovász θ函数的半定程序中来完成的。首先，我们提供了两个新的松弛，允许计算的边界更快，而没有实质性的损失的质量的界限。这两种松弛方法中的一种是基于包含表示ESC的多面体的违反小平面，另一种是为该多面体添加分离超平面。此外，我们实现了一个分支定界（B&B）算法，使用这些收紧松弛在我们的边界例程。我们比较我们的B&B算法的效率使用不同的上界。事实证明，Gaar和Rendl的边界已经大大减少了B&B树中要探索的节点数量，与Lovász theta边界相比。然而，这带来了很高的计算成本。我们的新松弛提高了整个B&B算法的运行时间，同时保持B&B树中的节点数量较少。
2021-12-07 math.OC
On Upper Bounding Shannon Capacity of Graph Through Generalized Conic Programming
图的Shannon容量是信息论中一个重要的图不变量，它的计算非常困难。基于半定规划松弛的Lovasz数是Shannon容量的一个著名的上界。为了提高这个上界，以前的研究试图推广的Lovasz数的思想，从平方和优化。在本文中，我们考虑的可能性，发展一般圆锥规划上界的香农容量，其中包括以前的尝试作为特殊情况下，并表明，这是不可能找到更好的上界的香农容量沿这条路。
2019-01-23 math.OC
Efficient Convex Optimization with Membership Oracles
我们考虑的问题，最小化凸函数在一个凸集只访问一个评估预言的功能和一个成员预言集。我们给出了一个简单的算法，解决了这个问题的$\tilde{O}(n^2)$ oracle调用和$\tilde{O}(n^3)$额外的算术运算。利用这一结果，我们获得了更有效的约简中的五个基本神谕的凸集和函数定义的Grötschel，Lovasz和Schrijver。
2017-06-22 cs.CG cs.DS math.OC
Sparse Semidefinite Programs with Guaranteed Near-Linear Time Complexity via Dualized Clique Tree Conversion
团树转换通过将一个$n\times n$矩阵变量分裂成最多为$n$的更小的矩阵变量来求解大规模半定规划，每个矩阵变量表示最多为$ω\timesω$的主子矩阵。它的根本弱点是需要引入重叠约束，以加强不同矩阵变量之间的一致性，因为这些约束可能导致密集耦合。在本文中，我们表明，通过对偶的团树转换，由于重叠约束的耦合保证是稀疏的密集块，与块稀疏模式，符合树的邻接矩阵。我们考虑两类半定方案具有良好的稀疏模式，包括MAXCUT和MAX $k$ -CUT松弛，Lovasz Theta问题，和AC最优潮流松弛。在假设$ω\ll n$的条件下，我们证明了一个边界点方法的每次迭代代价是线性的$O(n)$时间和内存，因此在近似线性的$O(n^{1.5}\log(1/ε))$时间内进行$O(\sqrt{n}\log(1/ε))$迭代后，得到了一个$ε$ -精确和$ε$ -可行的边界点.我们证实了我们的理论见解与半定程序的数值结果大$n=13659$。（支持代码在https://github.com/ryz-codes/dual_ctc）
2020-04-27 math.OC
A new semidefinite programming hierarchy for cycles in binary matroids and cuts in graphs
多项式理想的θ体是理想实簇的凸包的一系列半定规划松弛。本文构造了二元拟阵中圈的消失理想的θ体。应用于削减图，这产生了一个新的层次结构的半定规划放宽削减多面体的图形。如果二元拟阵避免了某些子式，我们可以刻画何时层次中的第一个θ体等于拟阵的循环多面体。专门削减图，这一结果解决了一个问题所提出的Lovász。
2010-10-15 math.CO math.OC
On Connections Between Association Schemes and Analyses of Polyhedral and Positive Semidefinite Lift-and-Project Relaxations
该研究探索结合方案与Lovász-Schrijver层次中基于SDP的凸松弛分析的联系，给出正则图团数和稳定数的界，提出深度顶点传递图概念，研究超图匹配松弛的秩并说明收缩的作用。
2025-08-20 cs.DM math.CO math.OC
Practical Experience with Stable Set and Coloring Relaxations
本文研究稳定集与图着色问题的半定规划松弛，基于团、奇圈和奇反洞引入割平面类，证明其能高效识别违反约束并显著改进边界。
2025-07-16 math.OC
Improved upper bound on A(18,8)
对于非负整数$n$和$d$，令$A(n,d)$为长度为$n$且最小距离至少为$d$的二进制码的最大基数。我们考虑Gijswijt，Mittelmann和Schrijver的半定规划界的一个小的改进，得到了$A(18,8)\leq 70$ .
2017-03-03 math.CO math.OC
Optimization Problems over Unit-Distance Representations of Graphs
我们研究单位距离表示和图的洛瓦兹θ数之间的关系，最初由洛瓦兹建立。我们推导并证明极小极大定理。这个框架使我们能够得到一个加权版本的超球数的图和相关的最小-最大定理。然后，我们通过图同态连接到三明治定理。本文提出并研究了图的超球数的一个推广及相关的最优化问题。广义问题涉及到找到一个给定的形状，其中包含一个单位距离表示的图形的最小椭球。我们证明了任意半正定形式描述的椭球产生NP-困难的问题。
2012-08-25 math.CO math.OC
Complexity of Chordal Conversion for Sparse Semidefinite Programs with Small Treewidth
针对小树宽稀疏半定规划，通过构造扩展聚合稀疏图并证明其小树宽可保证弦转换实现每迭代线性时间求解，涵盖多个实际应用。
2024-07-08 math.OC
Approximating projections by quantum operations
利用半定规划的技巧，我们研究了寻找一个最接近于矩阵子系统上投影的量子信道的问题。我们推导出与Duan，Severini和Winter的量子Lovász θ函数相关的矩阵子系统的两个不变量。
2023-02-24 math.OA math.OC quant-ph
A feasible method for general convex low-rank SDP problems
针对含半正定矩阵与非负向量的一般凸低秩SDP问题，提出基于黎曼优化的秩-支撑自适应可行方法，证明收敛性，结合随机扰动与对偶精化策略求解退化问题，拓展了黎曼优化的应用范围。
2023-12-13 math.OC
Semidefinite programming bounds for Lee codes
对于$q,n,d \in \mathbb{N}$，令$A_q^L(n,d)$表示具有至少$d$的最小Lee距离的码$C \subseteq \mathbb{Z}_q^n$的最大基数，其中$\mathbb{Z}_q$表示阶为$q$的循环群。我们考虑了一个半定规划界的基础上的三元组的码字，该界可以有效地计算使用对称性减少，从而在$A_q^L(n,d)$几个新的上界。该方法还给出了循环图$C_{d,q}$的$n$次强积幂的独立集个数的上界，该个数与$C_{d,q}$的香农容量有关.这里$C_{d,q}$是顶点集为$\mathbb{Z}_q$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们的距离（mod $q$）严格小于$d$。除了非常小的$n$，新的界限似乎没有显着改善从Lovász θ函数得到的界限。
2019-06-09 math.CO math.OC math.RT
SDP bounds on quantum codes
本文提出基于状态多项式优化的半定规划层级，判定量子码存在性，并推导Lovász界、Delsarte界等经典结果的量子类比，证明特定参数量子码不存在。
2025-09-10 cs.IT math.IT math.OC
New lower bounds on crossing numbers of $K_{m,n}$ from semidefinite programming
本文利用半定规划和表示论，通过新颖的分解技术实现完全块对角化，并引入仅要求一个小矩阵块半正定的新松弛，为完全二部图 $K_{m,n}$ 的交叉数计算了新的下界，如 $\text{cr}(K_{13,n}) \geq 8.65675 n^2-18n$。
2023-10-13 cs.DM math.CO math.OC
A Notion of Total Dual Integrality for Convex, Semidefinite, and Extended Formulations
全对偶完整性是多面体组合学和整数规划中的一个强大而统一的概念，它使得由线性规划强对偶给出的几何最小-最大关系能够细化为组合最小-最大定理。全对偶完整性（TDI）的定义围绕着最优对偶解的存在性展开，这些最优对偶解是完整的，因此很自然地适用于许多组合最优化问题，这些问题被转换为整数规划，其LP松弛具有TDIness性质。然而，当使用更一般的凸松弛（例如半定规划（SDP））来公式化组合问题时，在对偶规划中什么是适当的完整性概念根本不清楚，因此抑制了理论推广到更一般形式的结构化凸优化。(In事实上，我们认为，通常添加到SDP松弛的秩一约束在对偶SDP中是不够的。在本文中，我们提出了一个概念，总的对偶完整性的SDPs，概括了LP的概念，依赖于一个“完整性约束”的SDPs是原始对偶对称的。一个关键成分的理论是一个概括的紧凑凸集的结果霍夫曼多面体，根本概括多面体概念的总对偶积分介绍埃德蒙兹和贾尔斯。我们研究了相应的理论适用于SDP配方的稳定集的图使用Lovász θ函数，并表明，在这种情况下，总的对偶完整性对应的基础图是完美的。我们还涉及对偶完整性的SDP制定的最大割问题的二部图。在这种情况下，扩展公式的完全对偶完整性自然会发挥作用。
2018-01-28 math.CO math.OC
An Axiomatic Duality Framework for the Theta Body and Related Convex Corners
洛瓦兹θ函数及其相关的图的θ体一直是组合优化、图论、信息论和半定优化等四个研究领域交叉的中心。本文利用现代凸优化的观点，给出了一组极小条件（公理），在此条件下，我们推广了某些关键的、期望的性质，包括图的θ函数、θ体的主要等价刻画，以及相应的反阻塞对偶关系.我们的框架描述了几个半定和多面体松弛的独立集多面体的图作为广义θ体。作为我们的方法的一个副产品，我们引入了“舒尔提升”的概念，这是对偶的PSD提升（更常用的SDP松弛的组合最优化问题）在我们的公理化推广的锥。我们还推广的概念补充图对角标度不变多面体锥。最后，我们给出了Dukanovic和Rendl关于分数色数的共正公式的加权推广。
2014-12-05 math.CO math.OC
Linear Programming Hierarchies Collapse under Symmetry
本文证明在(k+1)-传递对称性下，LP层级第k层松弛非空当且仅当初始多面体与超立方体的所有(n-k)维面相交，从而统一刻画了Sherali-Adams、Lovász-Schrijver和Lift-and-Project层级在对称整数规划中检测整数空性时的同等低效性。
2025-11-11 cs.DM math.OC
Optimization hierarchies for extremal geometry through complete positivity
Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）
本论文通过完全正函数框架，将球面码和避距集的半定规划层级扩展到球堆积问题，证明收敛性，并应用于Witsenhausen问题和$t$-几乎等角集问题，给出解析解和最优构造。
2026-09-29 math.CO math.MG math.OC
